数学分析（上）
第四章 函数的连续性
第四章
§ 1
函数的连续性 （ 1 2时 ）
函数的连续性 ( 2时 )
一． 函数在一点的连续性：
1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.
2.
定义
定义
定义
函数在一点连续的定义: 设函数f (x ) 在点x 0某邻域有定义.
(
用lim f (x ) =f (x 0).
x →x 0
) 例如 [1]P 87例1和例2, P 88 例3.
((
用 f (x 0-0) =f (x 0+0) =f (x 0). ) 用 lim ∆y =0. ) 先定义∆x 和∆y .
∆x →0
定义 (连续的Heine 定义.
定义 ( “ε-δ”定义.)
其他定义参阅[3]P 39 Th.
)
x 2+2
例1 用“ε-δ”定义验证函数f (x ) =在点x 0=1连续.
3x -1
例2 试证明: 若∃A ∈R , ∍ ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x , x -x 0
f (x ) -A
3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.
Th ( 单、双侧连续的关系 )
⎧x +2, x >0, ⎪
x =0, 讨论函数f (x ) 在点x 0=0的连续或单侧连续性. 例3 f (x ) =⎨A ,
⎪x -2, x
二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.
跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况
(
f (x 0-0) 中至少有一个不存在
)称为第二类间断点.
即f (x 0+0) 或
例4 讨论函数f (x ) =
x (x -1)
2
x (x -1)
sin 3x
, 使在点x 0=0连续. 例5 延拓函数f (x ) =x
111
例6 举出定义在[0,1]上且仅在点x =, , 三点间断的函数的例.
的间断点类型.
234
例7 讨论Dirichlet 函数D (x ) 和Riemann 函数R (x ) 的连续性.
( 参阅Ch 3 习题课例3 )
三． 区间上的连续函数：
开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.
Ex [1]P 92—93 1 ⑴，2 ⑹ ⑺， 3—6；
[4]P 83 123. ( 改x ≠0等为x ≠2.)
§ 2 连续函数的性质
一. 连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.
1. 局部有界性：
2. 局部保号性：
3. 四则运算性质：
4. 复合函数连续性：
Th 4 若函数f 在点x 0连续，函数g 在点u 0连续, 且u 0=f (x 0) ,
g f 在点x 0连续. ( 证 )
註 Th 4 可简写为
lim x →x g (f (x ) )=g ⎛ ⎝lim x →x f (x ) ⎫⎪=g ⎛ f (lim x ) ⎫⎪=g (f (x 0) ).
0⎭⎝
x →x 0
⎭
则复合函数
例1 求极限 lim sin(1-x ).
x →1
2
例2 求极限:
⑴ l i 2-
x →0
s i n x s i n x
; ⑵ l i 2-.
x →∞x x
例3 求极限 lim
ln(1+x )
.
x →0x
(
ln x 的连续性见后
).
二. 闭区间上连续函数的基本性质:
1. 最值性: 先定义最值.
Th 5 ( 最值性 )
系 ( 有界性 )
2. 介值性: 定义介值.
Th 6 ( 介值性 )
连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.
系 ( 零点定理 )
π
之间有实根. 2n
例5 设p 是正数, n 为正整数. 证明方程 x =p 有唯一正实根.
例4 证明: 方程 x -2sin x =cos x 在0到
n
性的证明用x 在( 0 , +∞ ) 内的严格递增性.
(
唯一
)
三. 反函数的连续性:
Th 7 若函数f 在[a , b ]上严格递增( 或减 ) 且连续, 则其反函数f
域[f (a ), f (b ) ](或[f (b ), f (a ) ])上连续. ( 证 )
关于函数y =arcsin x , x , x α等的连续性 ( [1]P 99 E5,6.)
Ex [1]P 101—102 1—7，11，13；
[4]P 83 125—127.
-1
在相应的定义
四． 函数的整体连续性 —— 一致连续：
1． 连续定义中δ对x 0的依赖性 ： 例6 考查函数f (x ) =对∀x 0∈( 0 , 1 ], 作限制
1
在区间( 0 , 1 ]上的连续性. x
x 0
-=≤=. 2
x x x 0xx 0x 00
x 02
2x 0x
ε , 0 }.这里δ与x 0有关, 有时特记为δ(ε, x 0) . 对∀ε>0 , 取 δ=min{22
本例中不存在可在区间( 0 , 1 ]上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 ) δ.
1
例7 考查函数f (x ) =在区间[ c , +∞ ) (c >0) 上的连续性.
x
c 2c
ε , }. 该δ却与x 0无关, 可 本例中可取得最小的, 也就是可通用的 δ=min{22
记为δ(ε) .
2. 一致连续性:
定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.
用定义验证一致连续的方法: 对∀ε>0, 确证δ(>0) 存在. 为此, 从不失真地放大
式 f (x ') -f (x '') 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x '-x '' 之外, 其余部分中不含
有x '和x '', 然后使所得式子
例8 验证函数 f (x ) =ax +b (a ≠0) 在( -∞ , +∞ ) 内一致连续.
例9 验证函f (x ) =sin
证 s i 1
在区间 ( c , 1 ) (0
x 1-x 2x 1-x 2x -x 2x +x 211
-s i =2 s i 1 c o 1≤≤, 2x 1x 22x 1x 2x 1x 2x 1x 2c
例10 若函数f (x ) 在有限区间(a , b ) 内一致连续, 则f (x ) 在(a , b ) 内有界.
3. 一致连续的否定:
否定定义.
例11 证明函数f (x ) =
1
在区间 (0 , 1 ) 内非一致连续. x
12
证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取ε0=1, ∀δ(
证法二 ( 用例10的结果 ).
4.
定义Lipschitz 连续.
例12 函数f (x ) 在区间I 上L -连续, ⇒ f (x ) 在I 上一致连续. ( 证 )
但函数f (x ) 在区间I 上一致连续时, 未必有f (x ) 在I 上L -连续. 例如: 函数
Lipschitz 连续与一致连续:
x 'x 'δ
, 便有 x '-x ''=≤
11121
- = - =≥2>1=ε0. x 'x ''x 'x ''x '
f (x ) =x 在区间( 0 , 1 ) 内一致连续.
(
为证明
x 在区间( 0 , 1 ) 内一致连续, 先证明
不等式: ∀ x 1, x 2≥0, 有不等式 x 1+x 2-2x 1x 2≤ x 1-x 2 . 事实上,
x 1≥x 2时, x 1+x 2-2x 1x 2≤x 1+x 2-x 2x 2=x 1-x 2,
同理, x 1≤x 2时, 有x 1+x 2-2x 1x 2≤x 1+x 2-2x 1x 1=x 2-x 1.
利用该不等式, 为使 f (x 1) -f (x 2)
2
=x 1+x 2-2x 1x 2
)
却不是L -连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ∀ x 1, x 2∈( 0 , 1 ), 有
f (x 1) -f (x 2) =
则当x 1≠x 2时，应成立
x 1-x 2≤L x 1-x 2 ,
但若取x 1=
5.
1x 1+x 2
≤L .
1x 1+x 2
n
→∞, ( n →∞ ). 矛盾. 3
14, x =, 就有 2n 2n 2
一致连续的判定:
=
Th 8 ( Cantor ) 若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, ⇒ f (x ) 在[a , b ]上一致连续.
Ex [1]P 102 8，9，10.
§ 3 初等函数的连续性
回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数.
指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )
一. 初等函数的连续性:
Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.
Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.
註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭
端点是其单侧连续点.
例1 求函数f (x ) =
x +1
的连续区间和间断点.
ln x -2
解 D f =[-1 , 1 ) ⋃( 1 , 2 ) ⋃( 2 , 3 ) ⋃( 3 , +∞ ).
∴ f (x ) 的连续区间为: [-1 , 1 ) 、( 1 , 2 ) 、( 2 , 3 ) 和( 3 , +∞ ) .
间断点为: x =1 , 2 和3. ( f (x ) 在点x =-1右连续 ).
二. 利用函数的连续性求极限:
ln(1+x 2)
. 例2 lim
x →0cos x ⎛1111⎫ ⎪. (作倒代换t =1. ) 例3 lim +--x →0+ x x x x x ⎪
⎝⎭
sec xctgx
. 例4 lim (1+tgx )
x →0
解 I = lim (1+tgx )
x →0
(
ctgx sec x
)
=lim (1+tgx ) ctgx
x →0
()
x →0
lim sec x
=e 1=e .
例5 lim sin
x →+∞
(
x +1-sin x .
)
解 sin x +1-sin x =2sin cos
x +1-x x +1+x
cos .
22
x +1+x x +1-x x +1-x
≤1, lim sin =sin lim =0,
x →+∞x →∞222
∴ I = 0.
Ex [1]P 107—108 1，2； [4]P 81—83 78—81，120.
习 题 课
例1 设函数f (x ) 在区间[0 , 2a ] (a >0) 上连续, 且f (0) =f (2a ). 证明:
在区间[0 , a ]上至少存在某个c , 使 f (c ) =f (c +a ).
证 若f (a ) =f (2a ) , 取c =0或c =a 即可;
若f (a ) ≠f (2a ), 不妨设f (a ) >f (2a ). 设F (x ) =f (x ) -f (x +a ) , 应用
零点定理即得所证.
例2 设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，a
∃ξ∈[x 1, x n ], 使
f (ξ) =
f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )
.
n
例3 设f ∈C [a , b ], f (a ) >a , f (b )
(a , b ) 内有实根.
例4 设函数f (x ) 在R 内连续且 lim f (x ) =+∞. 则f (x ) 在R 内有最小值.
x →∞
(
与f (0) 比较.
)
例5 设函数f (x ) 和g (x ) 在区间I 上连续, 且在I 的有理点r , 有f (r ) =g (r ).
证明: 在I 上f (x ) ≡g (x ) .
例6 设函数f (x ) 和g (x ) 在区间I 上一致连续. 证明函数f (x ) +g (x ) 在区间
I 上一致连续.
例7 设函数f (x ) 在有限开区间(a , b ) 内连续. 则f (x ) 在有限开区间(a , b ) 内
一致连续, ⇔ f (a +0) 和f (b -0) 存在( 有限 ).
例8 设函数f (x ) 在有限开区间(a , b ) 内连续. 则f (x ) 在(a , b ) 内一致连续,
⇔ f (x ) 在(a , b ) 内一致连续.
Ex [1]P 102—103 15； P 108—109 3，4，6，8，12，14.
数学分析（上）
第四章 函数的连续性
第四章
§ 1
函数的连续性 （ 1 2时 ）
函数的连续性 ( 2时 )
一． 函数在一点的连续性：
1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.
2.
定义
定义
定义
函数在一点连续的定义: 设函数f (x ) 在点x 0某邻域有定义.
(
用lim f (x ) =f (x 0).
x →x 0
) 例如 [1]P 87例1和例2, P 88 例3.
((
用 f (x 0-0) =f (x 0+0) =f (x 0). ) 用 lim ∆y =0. ) 先定义∆x 和∆y .
∆x →0
定义 (连续的Heine 定义.
定义 ( “ε-δ”定义.)
其他定义参阅[3]P 39 Th.
)
x 2+2
例1 用“ε-δ”定义验证函数f (x ) =在点x 0=1连续.
3x -1
例2 试证明: 若∃A ∈R , ∍ ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x , x -x 0
f (x ) -A
3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.
Th ( 单、双侧连续的关系 )
⎧x +2, x >0, ⎪
x =0, 讨论函数f (x ) 在点x 0=0的连续或单侧连续性. 例3 f (x ) =⎨A ,
⎪x -2, x
二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.
跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况
(
f (x 0-0) 中至少有一个不存在
)称为第二类间断点.
即f (x 0+0) 或
例4 讨论函数f (x ) =
x (x -1)
2
x (x -1)
sin 3x
, 使在点x 0=0连续. 例5 延拓函数f (x ) =x
111
例6 举出定义在[0,1]上且仅在点x =, , 三点间断的函数的例.
的间断点类型.
234
例7 讨论Dirichlet 函数D (x ) 和Riemann 函数R (x ) 的连续性.
( 参阅Ch 3 习题课例3 )
三． 区间上的连续函数：
开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.
Ex [1]P 92—93 1 ⑴，2 ⑹ ⑺， 3—6；
[4]P 83 123. ( 改x ≠0等为x ≠2.)
§ 2 连续函数的性质
一. 连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.
1. 局部有界性：
2. 局部保号性：
3. 四则运算性质：
4. 复合函数连续性：
Th 4 若函数f 在点x 0连续，函数g 在点u 0连续, 且u 0=f (x 0) ,
g f 在点x 0连续. ( 证 )
註 Th 4 可简写为
lim x →x g (f (x ) )=g ⎛ ⎝lim x →x f (x ) ⎫⎪=g ⎛ f (lim x ) ⎫⎪=g (f (x 0) ).
0⎭⎝
x →x 0
⎭
则复合函数
例1 求极限 lim sin(1-x ).
x →1
2
例2 求极限:
⑴ l i 2-
x →0
s i n x s i n x
; ⑵ l i 2-.
x →∞x x
例3 求极限 lim
ln(1+x )
.
x →0x
(
ln x 的连续性见后
).
二. 闭区间上连续函数的基本性质:
1. 最值性: 先定义最值.
Th 5 ( 最值性 )
系 ( 有界性 )
2. 介值性: 定义介值.
Th 6 ( 介值性 )
连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.
系 ( 零点定理 )
π
之间有实根. 2n
例5 设p 是正数, n 为正整数. 证明方程 x =p 有唯一正实根.
例4 证明: 方程 x -2sin x =cos x 在0到
n
性的证明用x 在( 0 , +∞ ) 内的严格递增性.
(
唯一
)
三. 反函数的连续性:
Th 7 若函数f 在[a , b ]上严格递增( 或减 ) 且连续, 则其反函数f
域[f (a ), f (b ) ](或[f (b ), f (a ) ])上连续. ( 证 )
关于函数y =arcsin x , x , x α等的连续性 ( [1]P 99 E5,6.)
Ex [1]P 101—102 1—7，11，13；
[4]P 83 125—127.
-1
在相应的定义
四． 函数的整体连续性 —— 一致连续：
1． 连续定义中δ对x 0的依赖性 ： 例6 考查函数f (x ) =对∀x 0∈( 0 , 1 ], 作限制
1
在区间( 0 , 1 ]上的连续性. x
x 0
-=≤=. 2
x x x 0xx 0x 00
x 02
2x 0x
ε , 0 }.这里δ与x 0有关, 有时特记为δ(ε, x 0) . 对∀ε>0 , 取 δ=min{22
本例中不存在可在区间( 0 , 1 ]上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 ) δ.
1
例7 考查函数f (x ) =在区间[ c , +∞ ) (c >0) 上的连续性.
x
c 2c
ε , }. 该δ却与x 0无关, 可 本例中可取得最小的, 也就是可通用的 δ=min{22
记为δ(ε) .
2. 一致连续性:
定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.
用定义验证一致连续的方法: 对∀ε>0, 确证δ(>0) 存在. 为此, 从不失真地放大
式 f (x ') -f (x '') 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x '-x '' 之外, 其余部分中不含
有x '和x '', 然后使所得式子
例8 验证函数 f (x ) =ax +b (a ≠0) 在( -∞ , +∞ ) 内一致连续.
例9 验证函f (x ) =sin
证 s i 1
在区间 ( c , 1 ) (0
x 1-x 2x 1-x 2x -x 2x +x 211
-s i =2 s i 1 c o 1≤≤, 2x 1x 22x 1x 2x 1x 2x 1x 2c
例10 若函数f (x ) 在有限区间(a , b ) 内一致连续, 则f (x ) 在(a , b ) 内有界.
3. 一致连续的否定:
否定定义.
例11 证明函数f (x ) =
1
在区间 (0 , 1 ) 内非一致连续. x
12
证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取ε0=1, ∀δ(
证法二 ( 用例10的结果 ).
4.
定义Lipschitz 连续.
例12 函数f (x ) 在区间I 上L -连续, ⇒ f (x ) 在I 上一致连续. ( 证 )
但函数f (x ) 在区间I 上一致连续时, 未必有f (x ) 在I 上L -连续. 例如: 函数
Lipschitz 连续与一致连续:
x 'x 'δ
, 便有 x '-x ''=≤
11121
- = - =≥2>1=ε0. x 'x ''x 'x ''x '
f (x ) =x 在区间( 0 , 1 ) 内一致连续.
(
为证明
x 在区间( 0 , 1 ) 内一致连续, 先证明
不等式: ∀ x 1, x 2≥0, 有不等式 x 1+x 2-2x 1x 2≤ x 1-x 2 . 事实上,
x 1≥x 2时, x 1+x 2-2x 1x 2≤x 1+x 2-x 2x 2=x 1-x 2,
同理, x 1≤x 2时, 有x 1+x 2-2x 1x 2≤x 1+x 2-2x 1x 1=x 2-x 1.
利用该不等式, 为使 f (x 1) -f (x 2)
2
=x 1+x 2-2x 1x 2
)
却不是L -连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ∀ x 1, x 2∈( 0 , 1 ), 有
f (x 1) -f (x 2) =
则当x 1≠x 2时，应成立
x 1-x 2≤L x 1-x 2 ,
但若取x 1=
5.
1x 1+x 2
≤L .
1x 1+x 2
n
→∞, ( n →∞ ). 矛盾. 3
14, x =, 就有 2n 2n 2
一致连续的判定:
=
Th 8 ( Cantor ) 若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, ⇒ f (x ) 在[a , b ]上一致连续.
Ex [1]P 102 8，9，10.
§ 3 初等函数的连续性
回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数.
指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )
一. 初等函数的连续性:
Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.
Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.
註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭
端点是其单侧连续点.
例1 求函数f (x ) =
x +1
的连续区间和间断点.
ln x -2
解 D f =[-1 , 1 ) ⋃( 1 , 2 ) ⋃( 2 , 3 ) ⋃( 3 , +∞ ).
∴ f (x ) 的连续区间为: [-1 , 1 ) 、( 1 , 2 ) 、( 2 , 3 ) 和( 3 , +∞ ) .
间断点为: x =1 , 2 和3. ( f (x ) 在点x =-1右连续 ).
二. 利用函数的连续性求极限:
ln(1+x 2)
. 例2 lim
x →0cos x ⎛1111⎫ ⎪. (作倒代换t =1. ) 例3 lim +--x →0+ x x x x x ⎪
⎝⎭
sec xctgx
. 例4 lim (1+tgx )
x →0
解 I = lim (1+tgx )
x →0
(
ctgx sec x
)
=lim (1+tgx ) ctgx
x →0
()
x →0
lim sec x
=e 1=e .
例5 lim sin
x →+∞
(
x +1-sin x .
)
解 sin x +1-sin x =2sin cos
x +1-x x +1+x
cos .
22
x +1+x x +1-x x +1-x
≤1, lim sin =sin lim =0,
x →+∞x →∞222
∴ I = 0.
Ex [1]P 107—108 1，2； [4]P 81—83 78—81，120.
习 题 课
例1 设函数f (x ) 在区间[0 , 2a ] (a >0) 上连续, 且f (0) =f (2a ). 证明:
在区间[0 , a ]上至少存在某个c , 使 f (c ) =f (c +a ).
证 若f (a ) =f (2a ) , 取c =0或c =a 即可;
若f (a ) ≠f (2a ), 不妨设f (a ) >f (2a ). 设F (x ) =f (x ) -f (x +a ) , 应用
零点定理即得所证.
例2 设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，a
∃ξ∈[x 1, x n ], 使
f (ξ) =
f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )
.
n
例3 设f ∈C [a , b ], f (a ) >a , f (b )
(a , b ) 内有实根.
例4 设函数f (x ) 在R 内连续且 lim f (x ) =+∞. 则f (x ) 在R 内有最小值.
x →∞
(
与f (0) 比较.
)
例5 设函数f (x ) 和g (x ) 在区间I 上连续, 且在I 的有理点r , 有f (r ) =g (r ).
证明: 在I 上f (x ) ≡g (x ) .
例6 设函数f (x ) 和g (x ) 在区间I 上一致连续. 证明函数f (x ) +g (x ) 在区间
I 上一致连续.
例7 设函数f (x ) 在有限开区间(a , b ) 内连续. 则f (x ) 在有限开区间(a , b ) 内
一致连续, ⇔ f (a +0) 和f (b -0) 存在( 有限 ).
例8 设函数f (x ) 在有限开区间(a , b ) 内连续. 则f (x ) 在(a , b ) 内一致连续,
⇔ f (x ) 在(a , b ) 内一致连续.
Ex [1]P 102—103 15； P 108—109 3，4，6，8，12，14.