南京工业大学 线性代数 试题 （A ）卷
试题标准答案
2009 --2010 学年第一学期 使用班级
一、填空题（每题3分，共15分）
⎛-12-1⎫ ⎪2n -1
/3 (2) -A (3) -1 (4) 3 (5) 0, -24-2⎪ (1)-2
-36-3⎪⎝⎭
二、选择题（每题3分，共15分）
(1) C (2) A (3) C (4) B (5) A 三、（12分）解：
1
x 2 x 2
x n x n
―――――――――――――――5分
D n =(∑x i -m )
i =1
n
11
x 2-m
x n -m
1x 2
n 0-m ＝(∑x i -m )
i =1
00
＝(-m )
n -1
n
x n
――――――――――――――――――10分
-m
(∑x i -m ) ―――――――――――――――――――――――――12分
i =1
四（12分）解：由矩阵方程AB +A =36E +6B 可得 AB -6B =36E -A 即
(A -6E ) B =-(A -6E )(A +6E ) （1）―――――――――6分
-1
又|A -6E |≠0，A -6E 可逆，方程（1）两边左乘(A -6E ) 可得――――8分
2
2
00⎫⎛-70
⎪-2-900⎪――――――――――12分 B =-(A +6E ) =
00-110⎪ 1-50-13⎪⎪⎝⎭
五（12分）解：以α1, α2, , α5为列构成矩阵A ，对A 施行初等行变换将其化为行最简形。
⎛1 -1A ＝
2 ⎝4⎛1r 2-3r 0r 4-23 0
⎝0
[1**********]10
21⎫r 2+r 1
⎪1-1⎪
r 3-2r 1
52r 4-4r 1⎪
60⎭
⎛1 00 ⎝0
⎛1 0 0 ⎝001003100
03122110
3312-2312-
1⎫⎪0⎪ ⎪0⎪⎭4⎛1 0 0 ⎝0
0100
3100
0-0-10
⎫1⎪⎪1 ⎪1⎪0⎭
321⎫
⎪r 2r 3
000⎪
r 3r 4
1101
⎪-r 3
0-4-4⎭1⎫⎪
0r 2-r 3
1⎪r 1-2r 3⎪0⎭
――――――――――――――――――――――――――――――――――――6分 故R (α1, , α5) =3, ―――――――――――――――――――――――――――8分 其一个极大线性无关组为α1, α2, α4且α3=3α1+α2, α5=α4-α1-α2――――――12分
1
六、（13分）解：系数行列式-1
1k
1
k 1=(k +1)(4-k )
-12
由克莱姆法则得，当k ≠-1, 且k ≠4时，方程组有唯一解。――――――—4分 当k =-1时，对方程组的增广矩阵进行初等行变换
⎛11-14⎫ ⎪
(A , b ) → 0-238⎪，r (A ) =2≠r (A , b ) =3，方程组无解――― 8分
0005⎪⎝⎭
⎛1030⎫
⎪
当k =4时，(A , b ) → 0114⎪, 原方程组的通解
0000⎪⎝⎭
X =k (-3, -1, 1) T +(0, 4, 0) T ，其中k 为任意常数。―――――――――――――13分
⎛200⎫
⎪
七（16分）解：二次型的矩阵为A = 031⎪―――――――――――――4分
013⎪⎝⎭
00⎫⎛2-λ ⎪2
03-λ1=-(λ-2) (λ-4) 矩阵A 的特征方程为f A (λ) =A -λE = ⎪ 013-λ⎪⎝⎭
故矩阵A 的特征值为λ1=λ2=2, λ3=4，当λ1=λ2=2解方程组(A -2E ) X =0即
⎛000⎫⎛x 1⎫⎛0⎫⎛1⎫
⎪⎪⎪ ⎪
0-1-1x =0η=-1, η=0⎪；――――――10分 ，解之得212 ⎪⎪⎪ ⎪ 000⎪x ⎪ 0⎪⎝⎭⎝3⎭
1⎭⎝⎭⎛0⎫
⎪
1⎪。 当λ3=4时，解方程组(A -4E ) X =
0，解之得η3=
1⎪⎭
令Q =(η1
22
。 η2η3)，作X =QY 即为正交变换，其标准型为2y 12+2y 2+4y 3
―――――――――――――――――――――――――――――――――――13分
3）因为矩阵的特征值都是正的，故该二次型为正定二次型. ―――――――――16分 八、证明: 由A =4E 可得(A +2E )(A -2E ) =0，从而
R (A +2E ) +R (A -2E ) ≤n 。 ―――――――――――――― 2分
另一方面，
2
R (A +2E ) +R (A -2E ) =R (A +2E ) +R (2E -A )
≥R [(A +2E ) +(2E -A )]=R (4E ) =n ―――――4分
所以
R (A +2E ) +R (A -2E ) =n 。――――――――――――――――――5分
南京工业大学 线性代数 试题 （A ）卷
试题标准答案
2009 --2010 学年第一学期 使用班级
一、填空题（每题3分，共15分）
⎛-12-1⎫ ⎪2n -1
/3 (2) -A (3) -1 (4) 3 (5) 0, -24-2⎪ (1)-2
-36-3⎪⎝⎭
二、选择题（每题3分，共15分）
(1) C (2) A (3) C (4) B (5) A 三、（12分）解：
1
x 2 x 2
x n x n
―――――――――――――――5分
D n =(∑x i -m )
i =1
n
11
x 2-m
x n -m
1x 2
n 0-m ＝(∑x i -m )
i =1
00
＝(-m )
n -1
n
x n
――――――――――――――――――10分
-m
(∑x i -m ) ―――――――――――――――――――――――――12分
i =1
四（12分）解：由矩阵方程AB +A =36E +6B 可得 AB -6B =36E -A 即
(A -6E ) B =-(A -6E )(A +6E ) （1）―――――――――6分
-1
又|A -6E |≠0，A -6E 可逆，方程（1）两边左乘(A -6E ) 可得――――8分
2
2
00⎫⎛-70
⎪-2-900⎪――――――――――12分 B =-(A +6E ) =
00-110⎪ 1-50-13⎪⎪⎝⎭
五（12分）解：以α1, α2, , α5为列构成矩阵A ，对A 施行初等行变换将其化为行最简形。
⎛1 -1A ＝
2 ⎝4⎛1r 2-3r 0r 4-23 0
⎝0
[1**********]10
21⎫r 2+r 1
⎪1-1⎪
r 3-2r 1
52r 4-4r 1⎪
60⎭
⎛1 00 ⎝0
⎛1 0 0 ⎝001003100
03122110
3312-2312-
1⎫⎪0⎪ ⎪0⎪⎭4⎛1 0 0 ⎝0
0100
3100
0-0-10
⎫1⎪⎪1 ⎪1⎪0⎭
321⎫
⎪r 2r 3
000⎪
r 3r 4
1101
⎪-r 3
0-4-4⎭1⎫⎪
0r 2-r 3
1⎪r 1-2r 3⎪0⎭
――――――――――――――――――――――――――――――――――――6分 故R (α1, , α5) =3, ―――――――――――――――――――――――――――8分 其一个极大线性无关组为α1, α2, α4且α3=3α1+α2, α5=α4-α1-α2――――――12分
1
六、（13分）解：系数行列式-1
1k
1
k 1=(k +1)(4-k )
-12
由克莱姆法则得，当k ≠-1, 且k ≠4时，方程组有唯一解。――――――—4分 当k =-1时，对方程组的增广矩阵进行初等行变换
⎛11-14⎫ ⎪
(A , b ) → 0-238⎪，r (A ) =2≠r (A , b ) =3，方程组无解――― 8分
0005⎪⎝⎭
⎛1030⎫
⎪
当k =4时，(A , b ) → 0114⎪, 原方程组的通解
0000⎪⎝⎭
X =k (-3, -1, 1) T +(0, 4, 0) T ，其中k 为任意常数。―――――――――――――13分
⎛200⎫
⎪
七（16分）解：二次型的矩阵为A = 031⎪―――――――――――――4分
013⎪⎝⎭
00⎫⎛2-λ ⎪2
03-λ1=-(λ-2) (λ-4) 矩阵A 的特征方程为f A (λ) =A -λE = ⎪ 013-λ⎪⎝⎭
故矩阵A 的特征值为λ1=λ2=2, λ3=4，当λ1=λ2=2解方程组(A -2E ) X =0即
⎛000⎫⎛x 1⎫⎛0⎫⎛1⎫
⎪⎪⎪ ⎪
0-1-1x =0η=-1, η=0⎪；――――――10分 ，解之得212 ⎪⎪⎪ ⎪ 000⎪x ⎪ 0⎪⎝⎭⎝3⎭
1⎭⎝⎭⎛0⎫
⎪
1⎪。 当λ3=4时，解方程组(A -4E ) X =
0，解之得η3=
1⎪⎭
令Q =(η1
22
。 η2η3)，作X =QY 即为正交变换，其标准型为2y 12+2y 2+4y 3
―――――――――――――――――――――――――――――――――――13分
3）因为矩阵的特征值都是正的，故该二次型为正定二次型. ―――――――――16分 八、证明: 由A =4E 可得(A +2E )(A -2E ) =0，从而
R (A +2E ) +R (A -2E ) ≤n 。 ―――――――――――――― 2分
另一方面，
2
R (A +2E ) +R (A -2E ) =R (A +2E ) +R (2E -A )
≥R [(A +2E ) +(2E -A )]=R (4E ) =n ―――――4分
所以
R (A +2E ) +R (A -2E ) =n 。――――――――――――――――――5分