高考经典练习题
不等式
2013年高考题
1、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）设正实数
x , y , z 满足
xy 21x 2-3xy +4y 2
-z =0+-2, 则当z 取得最大值时, x y z 的最大值为
9A ．0
B ．1
C ．4
D ．3
【答案】B
2、（2013年高考山东卷（文））设正实数x , y , z 满足x
2
-3xy +4y 2-z =0, 则当
z
xy
取得最大值时, x +2y -z 的最大值为 A ．0
B ．
9
8
C ．2 D ．
94
【答案】C
3、（2013年高考陕西卷（理））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有
A ．[-x ] = -[x ] B ．[2x ] = 2[x ] C ．[x +y ]≤[x ]+[y ] D ．[x -y ]≤[x ]-[y ]
【答案】D
⎧y 4、（2013年高考湖南卷（理））若变量x , y 满足约束条件⎪
≤2x ⎨x +y ≤1, 则x +2y 的最大值是
⎪⎩
y ≥-1A ．-
52
B ．0
C ．
53
D ．
52
【答案】C
） ） ） ）（
（
（
（
⎧x ≥0⎪
5、（2013年高考北京卷（文））设D 为不等式组⎨2x -y ≤0, 表示的平面区域, 区域D 上
⎪⎩
x +y -3≤0的点与点(1,0)之间的距离的最小值为___________.
【答案】
5
6、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）设变量x , y 满足约束条件
⎧⎪
3x +y -6≥0, ⎨x -y -2≤0, 则目标函数z = y -2x 的最小值为 ⎪⎩
y -3≤0, A ．-7 B ．-4 C ．1
D ．2
【答案】A
⎧⎪x +y ≤8, 7、（2013年高考四川卷（文））若变量x , y 满足约束条件⎪
⎨2y -x ≤4, 且z =5y -x 的最大值
⎪x ≥0, ⎪⎩y ≥0,
为a , 最小值为b , 则a -b 的值是 A ．48 B ．30 C ．24 D ．16
【答案】C
⎧⎪
x +4y ≥4
⎨x +y ≤4⎪8、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）给定区域D :⎩x ≥0
, 令点
集
T ={(x 0, y 0)∈D |x 0, y 0∈Z , (x 0, y 0)
, 是
z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的
点}, 则T 中的点共确定______条不同的直线.
【答案】6
） ）（
（
9、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知a >0, x , y 满足约束条件
⎧x ≥1
⎪
⎨x +y ≤3, 若z =2x +y 的最小值为1, 则a = （ ）
⎪⎩
y ≥a (x -3) A ．
14
B ．
12
C ．1 D ．2
【答案】B
⎧210、（2013年高考北京卷（理））设关于x , y 的不等式组⎪
x -y +1>0, ⎨x +m
⎪⎩
y -m >0在点P (x 0, y 0), 满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是 A ． ⎛
-∞, 4⎪⎫
⎛1⎫⎫⎛⎝3⎭
B ． ⎝-∞, 3⎪⎭
C ． ⎛-∞, -
2⎝3⎪⎭
D ． -∞, -53⎪⎫⎝⎭
【答案】C
11、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）记不等式组
⎧⎪
x ≥0, ⎨x +3y ≥4, 所表示的平面区域为D , 若直线y =a (x +1)与D 公共点, 则a 的取值范⎪⎩
3x +y ≤4, 围是______.
【答案】[1
2
, 4]
12、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）设z =kx +y , 其中实数x , y 满
⎧x +y -2≥足⎪
0⎨x -2y +4≥0, 若z 的最大值为12, 则实数k =________. ⎪⎩
2x -y -4≤0【答案】2
）
（
13、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知一元二次不等式f (x )
解集为{x |x
1
2
}, 则f (10x )>0的解集为
A ．{x |x lg2} B ．{x |-1
C ．{x |x >-lg2
} D ．{x |x
}
【答案】D
14、（2013年上海市春季高考数学试卷(）如果a
A ．
11
a
B ．ab
C ．-ab
D ．-
1a
【答案】D
15
、
（
2013
年
高
考
湖
南
卷
（
理
）
）
已知
a ,
b ∈, c +,
a +2则b 2
=3c 26的最小值为+, 2a +______.4b
9c
【答案】12
16、（2013年高考福建卷（文））若2
x
+2y =1, 则x +y 的取值范围是
A ．[0, 2]
B ．[-2, 0]
C ．[-2, +∞)
D ．(-∞, -2]
【答案】D
17、（2013年高考江西卷（文））下列选项中, 使不等式x
成立的x
的取值范围是
A ．(错误！未找到引用源。,-1) B ．(-1,0) C ．0,1)
【答案】A
18、（2013年高考课标Ⅱ卷（文））若存在正数x 使2x
(x-a)
A ．(-∞,+∞)
B ．(-2, +∞) C ．(0, +∞) D ．(-1,+∞)
【答案】D
19、（2013年高考四川卷（文））已知函数f (x ) =4x +
a
x
(x >0, a >0) 在x =3时取得最小值, 则a =__________. 【答案】36
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
D ．(1,+错误！未
（ ）
a 2
≥a +1对一切正实数x 成20、（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a >0, 若9x +x
立, 则a 的取值范围为________.
【答案】[, +∞)
21、（2013年高考陕西卷（文））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接
1
5
矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为___(m
).
【答案】20
2012年高考题
1、【2012高考浙江理9】设a 大于0，b 大于0.
A. 若2a +2a=2b +3b，则a ＞b B. 若2a +2a=2b +3b，则a ＞b C. 若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D. 若2a -2a=ab -3b ，则a ＜b 【答案】A
b
+b 2．构造函数：f (x )=2x +2x ，则【解析】若2a +2a =2b +3b ，必有2a +2a >2
f '(x )=2x ⋅l n 2+>2恒成立，0故有函数f (x )=2x +2x 在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其
余选项用同样方法排除．故选A
2、【2012高考福建理5】下列不等式一定成立的是（ ）
11
) >lg x (x >0) B ．sin x +≥2(x ≠k π, k ∈Z ) 4sin x
12
>1(x ∈R ) C ．x +1≥2|x |(x ∈R ) D ．2
x +1
A ．lg(x +
2
解答：A 中，x +
11
≥x (当x =0时，x 2+=x ) 。 4411
≥2(sinx ∈(0, 1])；sin x +≤-2(sinx ∈[-1, 0)) 。 B 中，sin x +
sin x sin x
2
C 中，x 2-2|x |+1=(|x |-1) 2≥0(x ∈R ) 。 D 中，
3、【2012高考山东理13】若不等式kx -4≤2的解集为x ≤x ≤3，则实数
1
∈(0, 1](x ∈R ) 。 x 2+1
{}
k =__________. 【答案】k =2
【解析】由|kx -4|≤2可得2≤kx ≤6，所以1≤
k k
x ≤3，所以=1，故k =2。 22
+∞) ，若4、【2012高考江苏13】（5分）已知函数f (x ) =x 2+ax +b (a ，b ∈R ) 的值域为[0，m +6) ，则实数c 的值为 ▲ ． 关于x 的不等式f (x )
a 2
+∞) ，当x +ax +b =0时有V =a -4b =0，即b =【解析】由值域为[0，，
4
2
2
a 2⎛a ⎫= x +⎪。 ∴f (x ) =x +ax +b =x +ax +
4⎝2⎭
2
2
2
a ⎫a a a ⎛
∴f (x ) = x +⎪
，
2⎭
222⎝
m +6) ，∴) -() =6，解得∵不等式f (x )
c =9。
2
a
2a 2
b ，c 满足：5c -3a ≤b ≤4c -a ，c ln b ≥a +c ln c ，5、【2012高考江苏14】（5分）已知正数a ，
则
b
的取值范围是 ▲ ． a
【答案】[e ， 7]。
c ln b ≥a +c ln c 可化为：【解析】条件5c -3a ≤b ≤4c -a ，
⎧a b ⎪3⋅+≥5⎪c c ⎪a b
⎨+≤4。 ⎪c c
a ⎪b ⎪≥e c ⎩c
设
a b
=x ，y =，则题目转化为： c c
⎧3x +y ≥5
⎪x +y ≤4
y ⎪
已知x ，求的取值范围。 ，y 满足⎨x
x ⎪y ≥e
⎪x >0，y >0⎩
作出（x 。求出y =e x 的切 ，y ）所在平面区域（如图）线的斜率e ，设过切点P (x 0，y 0)的切线为y =ex +m (m ≥0)， 则
y 0ex 0+m m
==e +，要使它最小，须m =0。 x 0x 0x 0
∴
y
的最小值在P (x 0，y 0)处，为e 。此时，点P (x 0，y 0)在y =e x 上A , B 之间。 x
⎧y =4-x ⎧5y =20-5x y
当（x ⇒⎨⇒y =7x ⇒=7， ，y ）对应点C 时， ⎨
x ⎩y =5-3x ⎩4y =20-12x
∴ ∴
6、【2012高考浙江理17】设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1) x －1]( x 2－ax －1) ≥0，则a ＝______________．
【答案】a =【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A ) ⎨(B ) ⎨
⎧(a －1) x －1≤0
， 无解； 2
x －ax －1≤0⎩
⎧(a －1) x －1≥0
， 无解． 2
x －ax －1≥0⎩
y
的最大值在C 处，为7。 x
b y
的取值范围为[e ， 7]，即的取值范围是[e ， 7]。
a x
因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？) ，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答
图)
我们知道：函数y 1＝(a －1) x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1) ． 考查函数y 1＝(a －1) x －1：令y ＝0，得M (
2
1
，0) ，还可分析得：a ＞1； a -1
2
a 1⎛1⎫--1=0，解之
考查函数y 2＝x －ax －1：显然过点M (，0) ，代入得： ⎪
a -1⎝a -1⎭a -1
得：a =
，舍去a =
，得答案：a =
2011年高考题
⎧x +2y -5＞0⎪
⎨2x +y -7＞0, ⎪x ≥0，y ≥0，
x , y 1、（浙江理5）设实数满足不等式组⎩若x , y 为整数，则3x +4y 的最小
值是
A ．14 【答案】B
B ．16
C ．17
D ．19
⎧21-x , x ≤1f (x ) =⎨
⎩1-log 2x , x >1，则满足f (x ) ≤2的x 的取值范围是 2、（辽宁理9）设函数
（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）
【答案】D
⎧y ≥x ⎪
⎨y ≤mx ⎪x +y ≤1
3、（湖南理7）设m ＞1，在约束条件⎩下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则
m 的取值范围为
A ．（1
，1 C ．（1,3 ） 【答案】A
B ．
（1+∞） D ．（3，+∞）
1m 1m 2
, ) 取最大值，由+
解析：画出可行域，可知z =x +5y 在点(
1+m 1+m 1+m 1+m
得1
1。
⎧y ≥x ⎪
4、湖南文14．设m >1, 在约束条件⎨y ≤mx 下，目标函数z =x +5y 的最大值为4，则m
⎪x +y ≤1⎩
的值为 ． 答案：3
解析：画出可行域，可知z =x +5y 在点(
5、（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b．若x , y 满足不等式
则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D．[-3，3] 【答案】D
1m , ) 取最大值为4，解得m =3。 1+m 1+m
x +y ≤1，
⎧0≤x ≤⎪
⎨y ≤2⎪
6、（广东理5）。已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式组⎩x ≤给定。若
M (x , y ) 为D 上的动点，点A
的坐标为，则z =OM ⋅OA 的最大值为
A
． 【答案】C
B
．
C ．4
D ．3
7、（上海理15）若a , b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是
22
A ．a +b >2ab
B
．a +b ≥
11+>
C ．
D a b
b a
+≥2D ．a b
【答案】
2
2
8、（浙江理16）设x , y 为实数，若4x +y +xy =1, 则2x +y 的最大值是 ．。
【答案】5
m
≤(x -2) 2+y 2≤m 2, x , y ∈R }29、（江苏14）设集合,
B ={(x , y ) |2m ≤x +y ≤2m +1, x , y ∈R }, 若A ⋂B ≠φ, 则实数m 的取值范围是
A ={(x , y ) |
______________
1
[, 2+2]
【答案】2
10、江西理15（2）. （不等式选做题）对于实数x ，y ，若x -≤1y -2≤1，则x -2y +的最大值为 . 【答案】5 【解析】
x -2y +1=(x -1) -2(y -2) -2≤(x -1) -2(y -2) +2
≤x -1+2y -2+2=5
11、江西文15．对于x ∈R ，不等式x +10-x -2≥8的解集为________ 答案：{x x ≥0} 解析：两种方法，方法一：分三段，
当x2时， x+10-x+2≥8, x>2
x ≥0 ∴综上：
方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为d 1=10，到2的距离为d 2=2，d 1-d 2=8，并当x 往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x 的范围是x ≥0.
⎧lg x 1,00 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值⎩2
范围是
（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)
C
13、（陕西文）设0
a +b a +b
）a
a +b a +b
）a
a
a
【解】选B （方法一）已知a
b 和
与2，因
为a 2-2=a (a -b )
以a
作差法：b -
由b 2-2=b (b -a ) >
0得a +b b -a a +b a +b =>0，
a +b a +b =
5，所以a
8=4， 22
log x , x >0⎧⎪214（天津理）、设函数f (x )=⎨log -x , x f (-a )，则实数a 的取值范)1(⎪⎩2
围是（ ）．
Ａ．(-1, 0)U (0, 1) Ｂ．(-∞, -1)U (1, +∞)
Ｃ．(-1, 0)U (1, +∞) Ｄ．(-∞, -1)U (0, 1)
【解】若a >0，则log 2a >log 1a ，即2log 2a >0，所以a >1，
2
若a log 2(-a )，即2log 2(-a )2
所以实数a 的取值范围是a >1或-1
15、设集合A =x x -a 2, x ∈R ．若A ⊆B ，则实数a , b 必满足（ ）． Ａ．a +b ≤3 Ｂ．a +b ≥3 Ｃ．a -b ≤3 Ｄ．a -b ≥3 11 {}{}
【解】A =x a -1
B
a-1a+1b-2b+2a-1B a+1{}{}
若A ⊆B ，则满足a +1≤b -2或a -1≥b +2，因此有
a -b ≤-3或a -b ≥3，即a -b ≥3．故选Ｄ．
⎧x -4y +3≤0⎪16浙江理、已知O 是坐标原点，A (2, 1) ，P (x , y ) 满足⎨3x +5y ≤25，则在
方向
⎪x -1≥0⎩
上的投影的最大值等于 ▲ .
17、若实数x , y 满足x 2+y 2+xy =1，则x +y 的最大值是________________
12
高考经典练习题
不等式
2013年高考题
1、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）设正实数
x , y , z 满足
xy 21x 2-3xy +4y 2
-z =0+-2, 则当z 取得最大值时, x y z 的最大值为
9A ．0
B ．1
C ．4
D ．3
【答案】B
2、（2013年高考山东卷（文））设正实数x , y , z 满足x
2
-3xy +4y 2-z =0, 则当
z
xy
取得最大值时, x +2y -z 的最大值为 A ．0
B ．
9
8
C ．2 D ．
94
【答案】C
3、（2013年高考陕西卷（理））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有
A ．[-x ] = -[x ] B ．[2x ] = 2[x ] C ．[x +y ]≤[x ]+[y ] D ．[x -y ]≤[x ]-[y ]
【答案】D
⎧y 4、（2013年高考湖南卷（理））若变量x , y 满足约束条件⎪
≤2x ⎨x +y ≤1, 则x +2y 的最大值是
⎪⎩
y ≥-1A ．-
52
B ．0
C ．
53
D ．
52
【答案】C
） ） ） ）（
（
（
（
⎧x ≥0⎪
5、（2013年高考北京卷（文））设D 为不等式组⎨2x -y ≤0, 表示的平面区域, 区域D 上
⎪⎩
x +y -3≤0的点与点(1,0)之间的距离的最小值为___________.
【答案】
5
6、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）设变量x , y 满足约束条件
⎧⎪
3x +y -6≥0, ⎨x -y -2≤0, 则目标函数z = y -2x 的最小值为 ⎪⎩
y -3≤0, A ．-7 B ．-4 C ．1
D ．2
【答案】A
⎧⎪x +y ≤8, 7、（2013年高考四川卷（文））若变量x , y 满足约束条件⎪
⎨2y -x ≤4, 且z =5y -x 的最大值
⎪x ≥0, ⎪⎩y ≥0,
为a , 最小值为b , 则a -b 的值是 A ．48 B ．30 C ．24 D ．16
【答案】C
⎧⎪
x +4y ≥4
⎨x +y ≤4⎪8、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）给定区域D :⎩x ≥0
, 令点
集
T ={(x 0, y 0)∈D |x 0, y 0∈Z , (x 0, y 0)
, 是
z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的
点}, 则T 中的点共确定______条不同的直线.
【答案】6
） ）（
（
9、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知a >0, x , y 满足约束条件
⎧x ≥1
⎪
⎨x +y ≤3, 若z =2x +y 的最小值为1, 则a = （ ）
⎪⎩
y ≥a (x -3) A ．
14
B ．
12
C ．1 D ．2
【答案】B
⎧210、（2013年高考北京卷（理））设关于x , y 的不等式组⎪
x -y +1>0, ⎨x +m
⎪⎩
y -m >0在点P (x 0, y 0), 满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是 A ． ⎛
-∞, 4⎪⎫
⎛1⎫⎫⎛⎝3⎭
B ． ⎝-∞, 3⎪⎭
C ． ⎛-∞, -
2⎝3⎪⎭
D ． -∞, -53⎪⎫⎝⎭
【答案】C
11、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）记不等式组
⎧⎪
x ≥0, ⎨x +3y ≥4, 所表示的平面区域为D , 若直线y =a (x +1)与D 公共点, 则a 的取值范⎪⎩
3x +y ≤4, 围是______.
【答案】[1
2
, 4]
12、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）设z =kx +y , 其中实数x , y 满
⎧x +y -2≥足⎪
0⎨x -2y +4≥0, 若z 的最大值为12, 则实数k =________. ⎪⎩
2x -y -4≤0【答案】2
）
（
13、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知一元二次不等式f (x )
解集为{x |x
1
2
}, 则f (10x )>0的解集为
A ．{x |x lg2} B ．{x |-1
C ．{x |x >-lg2
} D ．{x |x
}
【答案】D
14、（2013年上海市春季高考数学试卷(）如果a
A ．
11
a
B ．ab
C ．-ab
D ．-
1a
【答案】D
15
、
（
2013
年
高
考
湖
南
卷
（
理
）
）
已知
a ,
b ∈, c +,
a +2则b 2
=3c 26的最小值为+, 2a +______.4b
9c
【答案】12
16、（2013年高考福建卷（文））若2
x
+2y =1, 则x +y 的取值范围是
A ．[0, 2]
B ．[-2, 0]
C ．[-2, +∞)
D ．(-∞, -2]
【答案】D
17、（2013年高考江西卷（文））下列选项中, 使不等式x
成立的x
的取值范围是
A ．(错误！未找到引用源。,-1) B ．(-1,0) C ．0,1)
【答案】A
18、（2013年高考课标Ⅱ卷（文））若存在正数x 使2x
(x-a)
A ．(-∞,+∞)
B ．(-2, +∞) C ．(0, +∞) D ．(-1,+∞)
【答案】D
19、（2013年高考四川卷（文））已知函数f (x ) =4x +
a
x
(x >0, a >0) 在x =3时取得最小值, 则a =__________. 【答案】36
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
D ．(1,+错误！未
（ ）
a 2
≥a +1对一切正实数x 成20、（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a >0, 若9x +x
立, 则a 的取值范围为________.
【答案】[, +∞)
21、（2013年高考陕西卷（文））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接
1
5
矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为___(m
).
【答案】20
2012年高考题
1、【2012高考浙江理9】设a 大于0，b 大于0.
A. 若2a +2a=2b +3b，则a ＞b B. 若2a +2a=2b +3b，则a ＞b C. 若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D. 若2a -2a=ab -3b ，则a ＜b 【答案】A
b
+b 2．构造函数：f (x )=2x +2x ，则【解析】若2a +2a =2b +3b ，必有2a +2a >2
f '(x )=2x ⋅l n 2+>2恒成立，0故有函数f (x )=2x +2x 在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其
余选项用同样方法排除．故选A
2、【2012高考福建理5】下列不等式一定成立的是（ ）
11
) >lg x (x >0) B ．sin x +≥2(x ≠k π, k ∈Z ) 4sin x
12
>1(x ∈R ) C ．x +1≥2|x |(x ∈R ) D ．2
x +1
A ．lg(x +
2
解答：A 中，x +
11
≥x (当x =0时，x 2+=x ) 。 4411
≥2(sinx ∈(0, 1])；sin x +≤-2(sinx ∈[-1, 0)) 。 B 中，sin x +
sin x sin x
2
C 中，x 2-2|x |+1=(|x |-1) 2≥0(x ∈R ) 。 D 中，
3、【2012高考山东理13】若不等式kx -4≤2的解集为x ≤x ≤3，则实数
1
∈(0, 1](x ∈R ) 。 x 2+1
{}
k =__________. 【答案】k =2
【解析】由|kx -4|≤2可得2≤kx ≤6，所以1≤
k k
x ≤3，所以=1，故k =2。 22
+∞) ，若4、【2012高考江苏13】（5分）已知函数f (x ) =x 2+ax +b (a ，b ∈R ) 的值域为[0，m +6) ，则实数c 的值为 ▲ ． 关于x 的不等式f (x )
a 2
+∞) ，当x +ax +b =0时有V =a -4b =0，即b =【解析】由值域为[0，，
4
2
2
a 2⎛a ⎫= x +⎪。 ∴f (x ) =x +ax +b =x +ax +
4⎝2⎭
2
2
2
a ⎫a a a ⎛
∴f (x ) = x +⎪
，
2⎭
222⎝
m +6) ，∴) -() =6，解得∵不等式f (x )
c =9。
2
a
2a 2
b ，c 满足：5c -3a ≤b ≤4c -a ，c ln b ≥a +c ln c ，5、【2012高考江苏14】（5分）已知正数a ，
则
b
的取值范围是 ▲ ． a
【答案】[e ， 7]。
c ln b ≥a +c ln c 可化为：【解析】条件5c -3a ≤b ≤4c -a ，
⎧a b ⎪3⋅+≥5⎪c c ⎪a b
⎨+≤4。 ⎪c c
a ⎪b ⎪≥e c ⎩c
设
a b
=x ，y =，则题目转化为： c c
⎧3x +y ≥5
⎪x +y ≤4
y ⎪
已知x ，求的取值范围。 ，y 满足⎨x
x ⎪y ≥e
⎪x >0，y >0⎩
作出（x 。求出y =e x 的切 ，y ）所在平面区域（如图）线的斜率e ，设过切点P (x 0，y 0)的切线为y =ex +m (m ≥0)， 则
y 0ex 0+m m
==e +，要使它最小，须m =0。 x 0x 0x 0
∴
y
的最小值在P (x 0，y 0)处，为e 。此时，点P (x 0，y 0)在y =e x 上A , B 之间。 x
⎧y =4-x ⎧5y =20-5x y
当（x ⇒⎨⇒y =7x ⇒=7， ，y ）对应点C 时， ⎨
x ⎩y =5-3x ⎩4y =20-12x
∴ ∴
6、【2012高考浙江理17】设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1) x －1]( x 2－ax －1) ≥0，则a ＝______________．
【答案】a =【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A ) ⎨(B ) ⎨
⎧(a －1) x －1≤0
， 无解； 2
x －ax －1≤0⎩
⎧(a －1) x －1≥0
， 无解． 2
x －ax －1≥0⎩
y
的最大值在C 处，为7。 x
b y
的取值范围为[e ， 7]，即的取值范围是[e ， 7]。
a x
因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？) ，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答
图)
我们知道：函数y 1＝(a －1) x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1) ． 考查函数y 1＝(a －1) x －1：令y ＝0，得M (
2
1
，0) ，还可分析得：a ＞1； a -1
2
a 1⎛1⎫--1=0，解之
考查函数y 2＝x －ax －1：显然过点M (，0) ，代入得： ⎪
a -1⎝a -1⎭a -1
得：a =
，舍去a =
，得答案：a =
2011年高考题
⎧x +2y -5＞0⎪
⎨2x +y -7＞0, ⎪x ≥0，y ≥0，
x , y 1、（浙江理5）设实数满足不等式组⎩若x , y 为整数，则3x +4y 的最小
值是
A ．14 【答案】B
B ．16
C ．17
D ．19
⎧21-x , x ≤1f (x ) =⎨
⎩1-log 2x , x >1，则满足f (x ) ≤2的x 的取值范围是 2、（辽宁理9）设函数
（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）
【答案】D
⎧y ≥x ⎪
⎨y ≤mx ⎪x +y ≤1
3、（湖南理7）设m ＞1，在约束条件⎩下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则
m 的取值范围为
A ．（1
，1 C ．（1,3 ） 【答案】A
B ．
（1+∞） D ．（3，+∞）
1m 1m 2
, ) 取最大值，由+
解析：画出可行域，可知z =x +5y 在点(
1+m 1+m 1+m 1+m
得1
1。
⎧y ≥x ⎪
4、湖南文14．设m >1, 在约束条件⎨y ≤mx 下，目标函数z =x +5y 的最大值为4，则m
⎪x +y ≤1⎩
的值为 ． 答案：3
解析：画出可行域，可知z =x +5y 在点(
5、（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b．若x , y 满足不等式
则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D．[-3，3] 【答案】D
1m , ) 取最大值为4，解得m =3。 1+m 1+m
x +y ≤1，
⎧0≤x ≤⎪
⎨y ≤2⎪
6、（广东理5）。已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式组⎩x ≤给定。若
M (x , y ) 为D 上的动点，点A
的坐标为，则z =OM ⋅OA 的最大值为
A
． 【答案】C
B
．
C ．4
D ．3
7、（上海理15）若a , b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是
22
A ．a +b >2ab
B
．a +b ≥
11+>
C ．
D a b
b a
+≥2D ．a b
【答案】
2
2
8、（浙江理16）设x , y 为实数，若4x +y +xy =1, 则2x +y 的最大值是 ．。
【答案】5
m
≤(x -2) 2+y 2≤m 2, x , y ∈R }29、（江苏14）设集合,
B ={(x , y ) |2m ≤x +y ≤2m +1, x , y ∈R }, 若A ⋂B ≠φ, 则实数m 的取值范围是
A ={(x , y ) |
______________
1
[, 2+2]
【答案】2
10、江西理15（2）. （不等式选做题）对于实数x ，y ，若x -≤1y -2≤1，则x -2y +的最大值为 . 【答案】5 【解析】
x -2y +1=(x -1) -2(y -2) -2≤(x -1) -2(y -2) +2
≤x -1+2y -2+2=5
11、江西文15．对于x ∈R ，不等式x +10-x -2≥8的解集为________ 答案：{x x ≥0} 解析：两种方法，方法一：分三段，
当x2时， x+10-x+2≥8, x>2
x ≥0 ∴综上：
方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为d 1=10，到2的距离为d 2=2，d 1-d 2=8，并当x 往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x 的范围是x ≥0.
⎧lg x 1,00 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值⎩2
范围是
（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)
C
13、（陕西文）设0
a +b a +b
）a
a +b a +b
）a
a
a
【解】选B （方法一）已知a
b 和
与2，因
为a 2-2=a (a -b )
以a
作差法：b -
由b 2-2=b (b -a ) >
0得a +b b -a a +b a +b =>0，
a +b a +b =
5，所以a
8=4， 22
log x , x >0⎧⎪214（天津理）、设函数f (x )=⎨log -x , x f (-a )，则实数a 的取值范)1(⎪⎩2
围是（ ）．
Ａ．(-1, 0)U (0, 1) Ｂ．(-∞, -1)U (1, +∞)
Ｃ．(-1, 0)U (1, +∞) Ｄ．(-∞, -1)U (0, 1)
【解】若a >0，则log 2a >log 1a ，即2log 2a >0，所以a >1，
2
若a log 2(-a )，即2log 2(-a )2
所以实数a 的取值范围是a >1或-1
15、设集合A =x x -a 2, x ∈R ．若A ⊆B ，则实数a , b 必满足（ ）． Ａ．a +b ≤3 Ｂ．a +b ≥3 Ｃ．a -b ≤3 Ｄ．a -b ≥3 11 {}{}
【解】A =x a -1
B
a-1a+1b-2b+2a-1B a+1{}{}
若A ⊆B ，则满足a +1≤b -2或a -1≥b +2，因此有
a -b ≤-3或a -b ≥3，即a -b ≥3．故选Ｄ．
⎧x -4y +3≤0⎪16浙江理、已知O 是坐标原点，A (2, 1) ，P (x , y ) 满足⎨3x +5y ≤25，则在
方向
⎪x -1≥0⎩
上的投影的最大值等于 ▲ .
17、若实数x , y 满足x 2+y 2+xy =1，则x +y 的最大值是________________
12