非线性电路混动实验研究
王艺涵
西南大学物理科学与技术学院, 重庆 400715
摘要：混沌来自非线性。非线性电路中有十分丰富的分岔和混沌现象。本实验建立由有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器组成的非线性电路，通过调整电路的参数，用示波器观察一倍周期、两
性。通过观察，加深对混沌现象的认识。 关键字：非线性 混沌现象 伏安特性 电路
1. 引言
混沌理论和量子力学，相对论一起被称之为20世纪物理学的三大科学改革沌研究最先起源于1963年洛伦兹(E．Lorenz) 研究天气预报时用到的三个动力学方程，后来又从数学和实验上得到证实。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。其中产生混沌现象最经典的非线性电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路，蔡氏电路是能产生混沌行为的最简单的自治电路，是至今所知唯一的混沌实际物理系混沌现象。
2. 混沌现象及蔡氏电路的介绍 2.1. 混沌现象
混沌现象是指发生在确定性系统中中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌现象对初始条件具有极端敏感性，只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。这可以生动的用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就会在很远的另一个地方造成非常大的差异。因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以
利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。 2.2. 非线性电路—蔡氏电路
Chua's circuit ），一种简单的非线性电子电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。蔡氏电路是由两个线性电容C1 和C2、一个线性电感L 一个可变线性电阻R 0 和一个非线性电阻R 构成，电路如图1所示。电感L 和电容C2 并联构成振荡电路, 线性电阻R0 的作用是分相。非线性电阻R 的伏安特性iR = g ( uR ) , 是一个分段线性的负电阻, 它的伏安特性曲线虽呈现对称但是非线性的。伏安特性曲线如图2所示。非线性负阻是蔡氏电路中出现混沌的原因
。
图1蔡氏电路（Chuas circuits）
图2 非线性负阻的伏安特性
The volt-ampere characteristics of
Nonlinear negative resistance 3. 实验原理
本实验利用蔡氏电路产生混沌现象。
3.1. 蔡氏电路的非线性动力学方程 根据基尔霍夫定理可知上图1电路的非线性动力学方程为： C 1=G(UC2−U C1) −g ∙U C1
C 2=G(UC1−U C2)+IL L=−U C2
式中, G代表可变电阻R V 的导纳, 导纳G=, UC1和U C2分别为表示加在电容器C 1和C 2上的电压，i L 表示流过电感L 的电流，g 表示非线性电阻R 的导纳。实验时将G 取最小，用示波器观察Uc1和Uc2的李萨如图形（相图），并可以用双踪观察两电压详细曲线。 3.2. 有源非线性负阻
蔡氏电路中的负阻是出现混沌的原因，其特性至少可以由三种方法实现，两个晶体管和两个二极管; 一个运算放大器和两个二极管; 一个双运算放大器和六个线性电阻组合。本实验采用的是一个双运算放大器和六个线性电阻组合。电路图如图3所示。
图3 有源非线性器件（Ctive nonlinear devices） 3.3非线性电路混沌实验电路图
图4 非线性电路混沌实验电路图 Nonlinear circuits chaotic
experiment circuit diagram
4. 实验仪器
非线性电路混沌实验仪，YB4325双踪示波器，电阻箱等。 5. 实验内容
5.1. 倍周期分岔和混沌现象的观测及相图描绘
（1）按照图4连接好实验电路，并将C1 C2两端电压分别输入示波器的X 轴和Y 轴，检查电路无误后打开电源。
（2）把R 调到最小，示波器屏上可观察到一条直线，调节R ，直线变成椭圆，到某一位置, 图形缩成一点。增大示波器的倍率，反向微调R ，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期倍增至四周期，„„，直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集。
（3）再细微调节R ，单吸引子突然变成了双吸引子，可看见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种 奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。
（4）利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R ，有时原先的混沌吸引子时原先的混沌吸引子不是倍周期变化，却突然出现了一个三周期图像，再微调R ，又出现现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。
（5）记录一倍周期、两倍周期、四倍周期、阵发混乱、三倍周期、奇异吸引子和双吸引子。
5.2. 测量有源非线性负阻原价的伏安特性并画出曲线
双运算放大器中2个对称放大器各自的分配电阻相差100倍这就使得2个放大器输出电流的总和在不同的工作电压段，输出总电流随电压变化关系不相同（其中一个放大器达到电流饱和，另一个尚未饱和）因而出现了非线性的伏安特性。 因为非线性电阻是含源的，测量时不用电源。按如图5方式连接电路：
（1）断开实验仪的电源，将+15V电源输出端与有源非线性负阻的正极连接，负极与电阻箱的一端连接，然后将电阻箱的另一端与-15V 电源输出端连接，最后在有源非线性负阻两端并联上实验仪上的数字电压表。将电阻箱阻值调到最大，检查电路无误后打开实验仪电源。由此可确定输出电压为30V
（2）调节改变电阻的大小，记录电阻值和有源非线性负阻两端的电压值。尽量多测几组数据。
图5 非线性负阻伏安特性测量示意图
Nonlinear negative resistance volt-ampere
characteristics measuring schemes
6. 实验数据记录与图形处理
6.1. 倍周期分岔和混沌现象的关系而和相图描绘
倍周期（A period-doubling） Vc1-t
两倍周期（Two times cycle） Vc1-t
一
四倍周期（Four times the cycle）
阵法混沌（Array hair chaos）
三倍周期（Three times cycle）
Vc1-t
Vc1-t
Vc1-t
奇异吸引子（Strange attractor） Vc1-t
双吸引子（1）（Double attractor ） Vc1-t
双吸引子（2）（Double attractor） Vc1-t
6.2. 测量有源非线性负阻原价的伏安特性并画出曲线
电路中无电压表，但是可读出电压和电阻值大小，根据欧姆定律I=U/R,即可计算出I 的大小，从而画相应的出伏安特性曲线。
表1 非线性负阻伏安特性数据记录表
Nonlinear negative resistance volt-amperecharacteristics detected data record
I/MA 0 0.016 0.082 0.161 0.231 0.475 0.604 0.7 0.821 0.956 1.027 1.238 1.319 1.394 1.769 2.214 2.582 3.062 3.364 3.795 4.136 4.648 3.79 3.28 2.833 2.309 1.896 1.365
R/Ω 99.9 599.9 1199.9 1275.9 1299.9 1300.9 1316.9 1319.9 1339.9 1331.9 1332.9 1334.9 1374.9 1434.9 1679 1810.9 1930.9 2000 2077 2107 2159 2200 2790 3290 3799.9 4849.9 5999.9 8499.9
U/V 0 -0.01 -0.099 -0.206 -0.3 -0.618 -0.795 -0.924 -1.1 -1.273 -1.369 -1.653 -1.184 -2 -2.97 -4.01 -4.986 -6.123 -6.986 -7.996 -8.93 -10.226 -10.574 -10.79 -10.955 -11.2 -11.374 -11.6
I/MA 0.907 0.596 0.243
R/Ω 12999.9 19999.9 49999.9
U/V -11.795 -11.926 -12.18
根据上述数据，以电压为横轴，以电流为纵轴，做出伏安特性曲线，如图6。
I=-0.39525U+0.615889 -10.23V≤U ≤-2.97V r=-0.99985 I=-0.75134U+0.025733 -2.97V≤U ≤0V r=0.998383
这三段线性回归方程r 的绝对值都非常接近于1，数据的线性相关性很好，其准确度得到验证。由于U>O的部分在试验中无法验证，因此现可根据伏安特性曲线关于原点的对称性，依照图6，可做出U>0部分的曲线图，之后得到完整伏安特性曲线如图7。
7.
通过一学期对《大学普通物理实验》研究性实验的学习后，我第一次深深的感受到研究性实验的魅力。研究性实验不像其他实验，它需要我们自主的查找资料，并对资料进行自主性的探究学习和总结，老师不再是实验里的主角，我们无法再在实验上依赖老师，这确实是给我带来了比较大的考验。每两个星期做一个实验，也给了我们充分的时间进行准备。然而在实验过程中，我们依然会遇到各种各样的问题，这样的考验逼着我们提高出发现问题和解决问题的能力。并且实验后的实验报告也是一次总结的机会，这也提高了我们总结问题的能力。通过研究性实验的学习，我对于物理实验有了全新的认识，也对物理实验所倡导的严谨认真的实验态度有了更深一步的了解。
【参考文献】
[1]FD-NCE-II 非线性电路混沌实验以实验讲义.
[2]熊伟. 非线性电路的混沌现象[J].湖北第二师范学院学报，2009,26（8）：79-80.
致谢：感想指导老师邓涛的辛苦指导，谢谢组长蔡益勉的帮助。
非线性电路混动实验研究
王艺涵
西南大学物理科学与技术学院, 重庆 400715
摘要：混沌来自非线性。非线性电路中有十分丰富的分岔和混沌现象。本实验建立由有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器组成的非线性电路，通过调整电路的参数，用示波器观察一倍周期、两
性。通过观察，加深对混沌现象的认识。 关键字：非线性 混沌现象 伏安特性 电路
1. 引言
混沌理论和量子力学，相对论一起被称之为20世纪物理学的三大科学改革沌研究最先起源于1963年洛伦兹(E．Lorenz) 研究天气预报时用到的三个动力学方程，后来又从数学和实验上得到证实。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。其中产生混沌现象最经典的非线性电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路，蔡氏电路是能产生混沌行为的最简单的自治电路，是至今所知唯一的混沌实际物理系混沌现象。
2. 混沌现象及蔡氏电路的介绍 2.1. 混沌现象
混沌现象是指发生在确定性系统中中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌现象对初始条件具有极端敏感性，只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。这可以生动的用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就会在很远的另一个地方造成非常大的差异。因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以
利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。 2.2. 非线性电路—蔡氏电路
Chua's circuit ），一种简单的非线性电子电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。蔡氏电路是由两个线性电容C1 和C2、一个线性电感L 一个可变线性电阻R 0 和一个非线性电阻R 构成，电路如图1所示。电感L 和电容C2 并联构成振荡电路, 线性电阻R0 的作用是分相。非线性电阻R 的伏安特性iR = g ( uR ) , 是一个分段线性的负电阻, 它的伏安特性曲线虽呈现对称但是非线性的。伏安特性曲线如图2所示。非线性负阻是蔡氏电路中出现混沌的原因
。
图1蔡氏电路（Chuas circuits）
图2 非线性负阻的伏安特性
The volt-ampere characteristics of
Nonlinear negative resistance 3. 实验原理
本实验利用蔡氏电路产生混沌现象。
3.1. 蔡氏电路的非线性动力学方程 根据基尔霍夫定理可知上图1电路的非线性动力学方程为： C 1=G(UC2−U C1) −g ∙U C1
C 2=G(UC1−U C2)+IL L=−U C2
式中, G代表可变电阻R V 的导纳, 导纳G=, UC1和U C2分别为表示加在电容器C 1和C 2上的电压，i L 表示流过电感L 的电流，g 表示非线性电阻R 的导纳。实验时将G 取最小，用示波器观察Uc1和Uc2的李萨如图形（相图），并可以用双踪观察两电压详细曲线。 3.2. 有源非线性负阻
蔡氏电路中的负阻是出现混沌的原因，其特性至少可以由三种方法实现，两个晶体管和两个二极管; 一个运算放大器和两个二极管; 一个双运算放大器和六个线性电阻组合。本实验采用的是一个双运算放大器和六个线性电阻组合。电路图如图3所示。
图3 有源非线性器件（Ctive nonlinear devices） 3.3非线性电路混沌实验电路图
图4 非线性电路混沌实验电路图 Nonlinear circuits chaotic
experiment circuit diagram
4. 实验仪器
非线性电路混沌实验仪，YB4325双踪示波器，电阻箱等。 5. 实验内容
5.1. 倍周期分岔和混沌现象的观测及相图描绘
（1）按照图4连接好实验电路，并将C1 C2两端电压分别输入示波器的X 轴和Y 轴，检查电路无误后打开电源。
（2）把R 调到最小，示波器屏上可观察到一条直线，调节R ，直线变成椭圆，到某一位置, 图形缩成一点。增大示波器的倍率，反向微调R ，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期倍增至四周期，„„，直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集。
（3）再细微调节R ，单吸引子突然变成了双吸引子，可看见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种 奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。
（4）利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R ，有时原先的混沌吸引子时原先的混沌吸引子不是倍周期变化，却突然出现了一个三周期图像，再微调R ，又出现现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。
（5）记录一倍周期、两倍周期、四倍周期、阵发混乱、三倍周期、奇异吸引子和双吸引子。
5.2. 测量有源非线性负阻原价的伏安特性并画出曲线
双运算放大器中2个对称放大器各自的分配电阻相差100倍这就使得2个放大器输出电流的总和在不同的工作电压段，输出总电流随电压变化关系不相同（其中一个放大器达到电流饱和，另一个尚未饱和）因而出现了非线性的伏安特性。 因为非线性电阻是含源的，测量时不用电源。按如图5方式连接电路：
（1）断开实验仪的电源，将+15V电源输出端与有源非线性负阻的正极连接，负极与电阻箱的一端连接，然后将电阻箱的另一端与-15V 电源输出端连接，最后在有源非线性负阻两端并联上实验仪上的数字电压表。将电阻箱阻值调到最大，检查电路无误后打开实验仪电源。由此可确定输出电压为30V
（2）调节改变电阻的大小，记录电阻值和有源非线性负阻两端的电压值。尽量多测几组数据。
图5 非线性负阻伏安特性测量示意图
Nonlinear negative resistance volt-ampere
characteristics measuring schemes
6. 实验数据记录与图形处理
6.1. 倍周期分岔和混沌现象的关系而和相图描绘
倍周期（A period-doubling） Vc1-t
两倍周期（Two times cycle） Vc1-t
一
四倍周期（Four times the cycle）
阵法混沌（Array hair chaos）
三倍周期（Three times cycle）
Vc1-t
Vc1-t
Vc1-t
奇异吸引子（Strange attractor） Vc1-t
双吸引子（1）（Double attractor ） Vc1-t
双吸引子（2）（Double attractor） Vc1-t
6.2. 测量有源非线性负阻原价的伏安特性并画出曲线
电路中无电压表，但是可读出电压和电阻值大小，根据欧姆定律I=U/R,即可计算出I 的大小，从而画相应的出伏安特性曲线。
表1 非线性负阻伏安特性数据记录表
Nonlinear negative resistance volt-amperecharacteristics detected data record
I/MA 0 0.016 0.082 0.161 0.231 0.475 0.604 0.7 0.821 0.956 1.027 1.238 1.319 1.394 1.769 2.214 2.582 3.062 3.364 3.795 4.136 4.648 3.79 3.28 2.833 2.309 1.896 1.365
R/Ω 99.9 599.9 1199.9 1275.9 1299.9 1300.9 1316.9 1319.9 1339.9 1331.9 1332.9 1334.9 1374.9 1434.9 1679 1810.9 1930.9 2000 2077 2107 2159 2200 2790 3290 3799.9 4849.9 5999.9 8499.9
U/V 0 -0.01 -0.099 -0.206 -0.3 -0.618 -0.795 -0.924 -1.1 -1.273 -1.369 -1.653 -1.184 -2 -2.97 -4.01 -4.986 -6.123 -6.986 -7.996 -8.93 -10.226 -10.574 -10.79 -10.955 -11.2 -11.374 -11.6
I/MA 0.907 0.596 0.243
R/Ω 12999.9 19999.9 49999.9
U/V -11.795 -11.926 -12.18
根据上述数据，以电压为横轴，以电流为纵轴，做出伏安特性曲线，如图6。
I=-0.39525U+0.615889 -10.23V≤U ≤-2.97V r=-0.99985 I=-0.75134U+0.025733 -2.97V≤U ≤0V r=0.998383
这三段线性回归方程r 的绝对值都非常接近于1，数据的线性相关性很好，其准确度得到验证。由于U>O的部分在试验中无法验证，因此现可根据伏安特性曲线关于原点的对称性，依照图6，可做出U>0部分的曲线图，之后得到完整伏安特性曲线如图7。
7.
通过一学期对《大学普通物理实验》研究性实验的学习后，我第一次深深的感受到研究性实验的魅力。研究性实验不像其他实验，它需要我们自主的查找资料，并对资料进行自主性的探究学习和总结，老师不再是实验里的主角，我们无法再在实验上依赖老师，这确实是给我带来了比较大的考验。每两个星期做一个实验，也给了我们充分的时间进行准备。然而在实验过程中，我们依然会遇到各种各样的问题，这样的考验逼着我们提高出发现问题和解决问题的能力。并且实验后的实验报告也是一次总结的机会，这也提高了我们总结问题的能力。通过研究性实验的学习，我对于物理实验有了全新的认识，也对物理实验所倡导的严谨认真的实验态度有了更深一步的了解。
【参考文献】
[1]FD-NCE-II 非线性电路混沌实验以实验讲义.
[2]熊伟. 非线性电路的混沌现象[J].湖北第二师范学院学报，2009,26（8）：79-80.
致谢：感想指导老师邓涛的辛苦指导，谢谢组长蔡益勉的帮助。