“二分法”的同课异构
陆 庭
（）江苏省太仓高级中学 ２１５４０
“（用二分法求方程的近似解”下文简述为“二）是苏教版普通高中课程标准实验教科书高分法”
函数与方程》第二中数学必修１第三章第４．１节《课时的内容．本文将以“二分法”为载体，分析两种课型（课型一：传统教学；课型二：Ｉ图形计算Ｔ器辅助教学）对学生接受新知识，掌握新技能所产生的影响和差别．１ 教学目标及重难点分析
知识与技能目标：１．
（）通过实例的探究，学生能了解二分法的１
概念；
（）体会函数的零点与方程根之间的联系，初２
步形成用函数观点处理问题的意识；
（）能够借助计算器或计算机用二分法求方３
程的近似解．
过程与方法目标：２．（）通过经历“用二分法求方程近似解”的探１
索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等；（）培养学生能够探究问题的能力、严谨的科２
学态度和创新能力．
情感态度与价值观目标：３．（）在具体的问题情境中感受无限逼近的过１
程，感受精确与近似的相对统一；
（）在探究解决问题的过程中，培养学生与人２
合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神．
教学重、难点：４．
重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤；
难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括及二分法的理论依据．
２ 教学方法与教学手段课型一：运用以引导探究为主的教学方法，借助多媒体辅助教学，通过“问题—情境”式教学；
课型二：运用学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，借助图形计算器，通过“问题
情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”式教学．３ 教学过程片段
课型一
ｘ２
有几个零点呢？师：函数ｆ（＝２ｘ）－ｘ
生１：应该是２个吧，令ｆ（ｘ）＝０转化为ｘ２
和ｈ（的交点问题，通过画图发ｘ）ｘ）＝２＝ｘｇ（
（现有两个交点．生１画的图如图１所示，部分学
生画图如图２所示，判断仅有一个交点，这里不再
赘述）
师：真的只有２个吗？引导学生观察ｇ（ｘ）＝ｘ２ｘ
和ｈ（的递增趋势，递增发现ｇ（＝ｘ＝２ｘ）ｘ）２
２
的递增速度缓慢，速度非常快，而ｈ（从而ｘ）＝ｘ
ｘ２
的图像不超过ｈ（的在某一处ｇ（ｘ）ｘ）＝２＝ｘ
，）图像（并且它的两个大于０的零点为ｘ＝如图３
学生点头赞同
．２和ｘ＝４．
图
１图
２图３
师：既然我们已经求出了它的两个正的零点，并那你们能估且从图上能发现它有一个负的零点ｘ０，？（算下他的近似值吗，要求精确到０学生动手）．１
）之间吧？生２：ｘ０－１，０大概在（师：怎么估算出来的呢？
生２：感觉吧．－１）－１）＝＜ｈ（＝１，ｇ（
２
）由图像可以知道当ｘ＝－１ｈ（０＝１＞０）＝０，ｇ（
的图像比ｈ（低；当ｘ＝０时，的图时，ｘ）ｘ）ｘ）ｇ（ｇ（）高，所以在（和ｈ（必之间ｇ（像比ｈ（ｘ）ｘ）ｘ）０－１，然有一个交点．的零点一定在（因此ｆ（ｘ）－１，）内．０
·师：其实你用的是零点存在定理：－１）ｆ（
·）在教１＝－＜０判定的是吧？（０＝－ｆ（
２２
师的提醒下，学生们意识到了利用零点存在定理去判断零点所处的区间）
（）
）ｘ－０．８７５，－０．７５０∈（
－０－０．８１２５）＜０，．７５）＞０ｆ（ｆ（
）ｘ－０．８１２５，－０．７５０∈（
因为－０．８１２５与－０．７５精确到０．１的近似的一个负零点的近似值所以ｆ（值都为－０ｘ）．８，
为ｘ０．８．０≈－
接着教师请学生归纳用二分法求解方程近似解的一般步骤，并讲解例１．利用计算器，求方程）精确到０ｘ＝３－ｘ的近似解（．１．ｌｇ
课型二
教师引入提问同课型一，学生回答基本与课型一生１回答相似．
师：请你们用你们手中的图形计算器验证下（你们的结论吧．学生动手操作）
生４：是三个零点，怎么会是三个零点呢？不）
可思议！（学生做的几种情况如图５，图６，图
７
师：那我们能不能更进一步的缩小零点所处的范围呢？（学生继续动手计算）
老师，计算太烦了，而且很多我们不会生３：算，像２
－４
怎么算？算不下去了．
师：呵呵，我们先不管算的，说说你的想法吧？生３：既然要缩小范围，我想我先把（０）－１，这个区间一分为二，取中间值－算算，发现
２
－＝２－ｆ ２
（）（）
－
２
２
＝
－＞０，又
４２
）－１＝－ｆ（
＜０，所以我确定零点应该在２
（
内然后我再想把上面这个区间一分－－１，．２
）
的值就算不
为二，取中间值－想算算ｆ －
４４
下去了．
（）
师：你的想法非常好，就是我们今天要介绍的“二分法”的主要思想．
此时教师给出二分法的定义：对于在区间［ａ，·ｆ（上连续不断且ｆ（ｂ］ａ）ｂ）＜０的函数ｙ＝，的零点所在区间通过不断地把函数ｆ（ｘ）ｘ）ｆ（
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．并用Ｅｘｃｅｌ表格计算ｆ（ｘ）在０，－１，－０．５，－０．７５，
，讲解如
如图４）－０．８７５，－０．８１２５处的函数值（
何用二分法求解方程的近似解：
图５
图６
图４
）））－１０－１，０＞０ｘ＜０，ｆ（ｆ（０∈（
－１）－０－１，．５）＜０，＞０ｘｆ（ｆ（０∈（）－０．５
－１）－０－１，．７５）＜０，＞０ｘｆ（ｆ（０∈（）－０．７５
－０－０．８７５）＜０，．７５）＞０ｆ（ｆ（
图７
师：你们能从图５中找出解释吗？（图５切换到大屏幕）
ｘ２
的图像比ｙ＝ｘ的我知道，函数ｙ＝２生６：
ｘ
的图图像递增速度快，所以在第一象限当ｙ＝２２
的图像有第一个交点后，像与ｙ＝ｘ必然还会超２
的图像，所以他们还会有第二个交点．过ｙ＝ｘ
生８：我通过图８，图９的计算，得到它的近似
）内，所以解应该在区间（．７７３４３８，－０．７６５６２５－０（得到同学的认可）我估计的近似值为ｘ０．７７．０≈－
ｘ２
师：刚才我们一步一步求函数ｆ（ｘ）－ｘ＝２
的负的零点的过程其实叫做二分法．教师给出二分法的定义．谁能帮我们总结一下二分法求方程近似解的步骤及它的理论依据是什么呢？
二分法求方程近似解的步骤（教师引导生９：
：，·ｆ（满足ｆ（确定大区间［完善）ａ，ｂ］ａ）ｂ）１．＜
的中点ｃ；计算ｆ（的值，求区间（若３．ａ，ｂ）ｃ）０；２．）·ｆ（则ｃ就是函数的零点；若ｆ（ｃａ）ｃ）＝０，＜ｆ（
；·ｆ（零点则零点ｘ若ｆ（０，ａ，ｃ）ｃ）ｂ）＜０，０∈（
如此继续下去，当区间两端点的近．４．ｘｃ，ｂ）０∈（
似值（满足精度要求）相等时，这个值即为我们要求的近似值它的理论依据应该是零点存在定理吧．
师：说的很好，其实我们还发现函数的零点问题，方程的根的问题以及函数图像的交点问题是有机的结合在一起的，它们可以相互的转化．接下来我们当堂测一下吧，看看你们对二分法掌握的如何？（教师将测试题“利用计算器，求方程ｘ＝３－ｌｇ”）发送到学生的图形计算精确到０．ｘ的近似解（１
器上，学生做完答案直接反馈到教师机上）．４ 对比分析
“教学的目的是培养学生自郭沫若曾经说过：己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的”眼睛看，用自己的手来做这种精神．从教学方法和教学手段的对比我们可以看出，课型一虽然借），但几乎全是教师操助了多媒体（一般为Ｅｘｃｅｌ作学生看，学生没有实际的动手操作．课型二借助了图形计算器，让学生有更多的动手操作的时间，让学生的主动性与参与性更加强烈．
两种课型，学生的主体性地位不一样．课型一虽然教师也让学生参与到教学中，但是绝大多数情况还是教师做主角，学生仅是配角而已．如
ｘ２与ｈ（的图像，画出正确的ｇ（只是＝２＝ｘｘ）ｘ）
通过教师的解释学生被动接受而已，学生并没有
师：回答的很好．并且我们由图７可以很轻松的发现，它的两个正的零点分别为２和４．由图还存在一个负的零点，我们发现ｆ（由ｘ）５和图６，
如果图７我们知道这个负的零点是－０．７６６６６５．我们没有图形计算器的话，我们怎么去算它的近）？似值呢（精确到０．１０
）生７：由图６我知道这个解在（内？０－１，师：很好，不过老师要打断你一下，这个（－１，）是你从图上看出来的，有理论依据保证吗？０
生７：因为ｆ（０）－１）＞０，＜０由零点存在ｆ（定理保证的．如果我能把这个解确定在一个小的区间内，并且区间两个端点的近似值如果相等的话，我想我就能把这个近似解找到了．
师：很好，怎样找区间最方便呢？生７：一半一半的找应该最方便吧．
师：那大家试试看，看谁能先找到这个小区间
．
图
８
直观感受图像的形成过程．又如教师给出的Ｅｘ－学生也只是看看数据而已，并没有主动ｃｅｌ表格，
的参与进来．课型二，学生通过图形计算器直观
ｘ２
存在三个零点，感受到了ｆ（发现和ｘ）－ｘ＝２
自己想象的不一样，从而提出疑问：为什么会有三
图９
个零点呢？进一步发现函数图像的规律性．在求
ｘ２
的负零点的过程中，解ｆ（学生通过＝２ｘ）－ｘ
身就提高了学生的积极性，再加上实际动手操作让学生对二分法有了深刻的认识．通过在线的测试反馈，教师能在第一时间就了解到学生的掌握“如果学习只程度，让教师心中有数．高尔基说：”真在模仿，那么我们就不会有科学，不会有进步．正的能让学生参与到整个教学活动中来，教师教授学生的不仅仅是知识，还有如何去发现问题，研究问题，解决问题的能力，这将会使学生受益匪浅，会成为他这一生最宝贵的财富．
“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件．当一个人不仅在认识世界，而且在认“”兴趣是创造一个识自我的时候，就能形成兴趣．”欢乐和光明的教学环境的重要途径之一．课型一这节课上下来，学生的感受可能较为平淡，感受到的那就是一节普通的数学课．课型二上下来，学生是激动的，是热情的，因为整个过程都是他们自己参与其中，他们发现问题，他们解决问题，他们整堂课都是快乐的，他们在课堂上真正的形成了兴趣．
态度）怎样本土化？数学课程如何体现、处理大众数学与数学英才教育关系？数学课程如何渗透超越数学学科能力之上的通用能力？考核运用数字技术解决数学问题能力是否是数学课程与信息技术有机整合的积极推手？基本的金融数学知识能否成为数学课程联系现代生活实际的重要主题？省思这些看似平常的关键问题，或许能有所启迪、推陈出新．
参考文献
ｅａｒｔｍｅｎｔｆｏｒＥｄｕｃａｔｉｏｎ．ＴｈｅＮａｔｉｏｎａｌｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍｉｎＥｎ１ Ｄ－ ｐｇ
／：：／／ｓｔａｅｓ１ｔｏ４［ＥＢＯＬ］．ｈｔｔｓａｎｄｆｒａｍｅｗｏｒｋｆｏｒｋｅｌ ｇｐｙ ／／／／／ｗｗｗ．ｏｖ．ｕｋｏｖｅｒｎｍｅｎｔｕｌｏａｄｓｓｓｔｅｍｕｌｏａｄｓａｔｔａｃｈ－ｇｇｐｙｐ＿／／／Ｍ＿＿ｃｅｎｔｄａｔａｆｉｌｅ３３０２９０ａｓｔｅｒ＿ｆｉｎａｌｎａｔｉｏｎａｌｕｒｒｉｃｕｌｕｍ＿ｍ
，１４０７１４．ｄｆ２０１４－０７－１６ｐ
）／［２ ＴｈｅＮａｔｉｏｎａｌＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍｆｏｒＥｎｌａｎｄ（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＢＥ ｇ
：／／，／／ＯＬ］．ｈｔｔｎｃ．ｕｋ．ｎｅｔ１９９９０１２－０６－２９ｗｗｗ．２ｐ
———Ｐ３ ＱＣＡ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｒｏｒａｍｍｅｏｆｓｔｕｄｆｏｒｋｅｓｔａｅ３－ ｇｙｙｇ
［／／４ａｎｄａｔｔａｉｎｍｅｎｔｔａｒｅｔｓＥＢＯＬ］．ｗｗｗ．ｃａ．ｏｒ．ｕｋｃｕｒｒｉｃｕ －ｇｑｇｌｕｍ，２０１２－０６－２９
４ ＤｅａｒｔｍｅｎｔｆｏｒＥｄｕｃａｔｉｏｎ．ＲｅｖｉｅｗｏｆｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍ ｐ
［／：／／／／ＥＢＯＬ］．ｈｔｔｅｄｕｃａｔｉｏｎ．ｏｖ．ｕｋｓｃｈｏｏｌｓｔｅａｃｈｉｎｗｗｗ．ｐｇｇ／／／，ａｎｄｌｅａｒｎｉｎｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍｎａｔｉｏｎａｌｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ０１２－０６－２９２ ｇ］５ 马立平．美国小学数学内容结构之批评［Ｊ．数学教育学报，
（）：０１２４５１－１２
图形计算器已经知道了它的负零点是接下来就是通过何种途径去找到它．７６６６６５，－０
的问题了．通过问题的提出，在学生的思维里已——去寻找这个解所在的经出现了二分法的雏形—
小区间，接着再让学生利用图形计算器的电子表格功能去寻找这个区间．通过自己动手操作，学生直观感受到了二分法的全部过程，加强了对二分法的认识．在课型二中，学生真正的参与到了教学中来，成为了教学的主人．
课型一教师设置的精度为０．主要考虑到１，以学生笔算为主，不能给学生造成太大的计算障碍．但是在课上学生还是遇到了计算的困难，最终通过教师的Ｅｘｃｅｌ表格演示完成．课型二的精学生完全可以自主利用图形计算度设置为０．１，０器的电子表格功能或计算器功能完成计算，真正体会二分法的全过程．
课型一例１的过程只是学生模仿的过程，由于计算繁琐，部分学生懒于动手，导致学生只是听听便罢，根本没有实际动手操作，老师也不知道学生掌握的如何．课型二，学生使用图形计算器本（上接第１８页）
最好的毕业生或优秀人才加入数学教师队伍、博——数学和物理教席项目、士进入中小学任教—实施小学数学专家型教师计划、建立数学教育战略中心等，是２１世纪以来英国提升数学教师数学专业素养的重要举措，旨在促进数学课改的有效实施、以改善和提升当前不尽如人意的学生数学学业成绩．
第三，数学教育改革是一项与时俱进、持续不约１断的系统工程，任重道远．最近３０年，０－１５年英国就进行一次较大规模的数学课程改革，动因无外乎是社会对学校数学教育质量的不满，英国国家数学课程的嬗变表明，学生个人生活、就业和进一步学习所需数学随社会发展而变化，任何单一的数学课程、教学或评价等改革都收效甚微，难有本质改善，数学教育需要综合改革，挑战性、艰巨性和长期性相伴相随．
展望未来，如何科学设计有效的数学课程，方能最大限度地促进未来公民形成所需的不同数学素养？应当教给学生何种必需的数学？统一化的数学内容（数与代数、几何与测量、概率与统计）和数学过程（知识技能、数学推理、问题解决和数学
“二分法”的同课异构
陆 庭
（）江苏省太仓高级中学 ２１５４０
“（用二分法求方程的近似解”下文简述为“二）是苏教版普通高中课程标准实验教科书高分法”
函数与方程》第二中数学必修１第三章第４．１节《课时的内容．本文将以“二分法”为载体，分析两种课型（课型一：传统教学；课型二：Ｉ图形计算Ｔ器辅助教学）对学生接受新知识，掌握新技能所产生的影响和差别．１ 教学目标及重难点分析
知识与技能目标：１．
（）通过实例的探究，学生能了解二分法的１
概念；
（）体会函数的零点与方程根之间的联系，初２
步形成用函数观点处理问题的意识；
（）能够借助计算器或计算机用二分法求方３
程的近似解．
过程与方法目标：２．（）通过经历“用二分法求方程近似解”的探１
索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等；（）培养学生能够探究问题的能力、严谨的科２
学态度和创新能力．
情感态度与价值观目标：３．（）在具体的问题情境中感受无限逼近的过１
程，感受精确与近似的相对统一；
（）在探究解决问题的过程中，培养学生与人２
合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神．
教学重、难点：４．
重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤；
难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括及二分法的理论依据．
２ 教学方法与教学手段课型一：运用以引导探究为主的教学方法，借助多媒体辅助教学，通过“问题—情境”式教学；
课型二：运用学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，借助图形计算器，通过“问题
情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”式教学．３ 教学过程片段
课型一
ｘ２
有几个零点呢？师：函数ｆ（＝２ｘ）－ｘ
生１：应该是２个吧，令ｆ（ｘ）＝０转化为ｘ２
和ｈ（的交点问题，通过画图发ｘ）ｘ）＝２＝ｘｇ（
（现有两个交点．生１画的图如图１所示，部分学
生画图如图２所示，判断仅有一个交点，这里不再
赘述）
师：真的只有２个吗？引导学生观察ｇ（ｘ）＝ｘ２ｘ
和ｈ（的递增趋势，递增发现ｇ（＝ｘ＝２ｘ）ｘ）２
２
的递增速度缓慢，速度非常快，而ｈ（从而ｘ）＝ｘ
ｘ２
的图像不超过ｈ（的在某一处ｇ（ｘ）ｘ）＝２＝ｘ
，）图像（并且它的两个大于０的零点为ｘ＝如图３
学生点头赞同
．２和ｘ＝４．
图
１图
２图３
师：既然我们已经求出了它的两个正的零点，并那你们能估且从图上能发现它有一个负的零点ｘ０，？（算下他的近似值吗，要求精确到０学生动手）．１
）之间吧？生２：ｘ０－１，０大概在（师：怎么估算出来的呢？
生２：感觉吧．－１）－１）＝＜ｈ（＝１，ｇ（
２
）由图像可以知道当ｘ＝－１ｈ（０＝１＞０）＝０，ｇ（
的图像比ｈ（低；当ｘ＝０时，的图时，ｘ）ｘ）ｘ）ｇ（ｇ（）高，所以在（和ｈ（必之间ｇ（像比ｈ（ｘ）ｘ）ｘ）０－１，然有一个交点．的零点一定在（因此ｆ（ｘ）－１，）内．０
·师：其实你用的是零点存在定理：－１）ｆ（
·）在教１＝－＜０判定的是吧？（０＝－ｆ（
２２
师的提醒下，学生们意识到了利用零点存在定理去判断零点所处的区间）
（）
）ｘ－０．８７５，－０．７５０∈（
－０－０．８１２５）＜０，．７５）＞０ｆ（ｆ（
）ｘ－０．８１２５，－０．７５０∈（
因为－０．８１２５与－０．７５精确到０．１的近似的一个负零点的近似值所以ｆ（值都为－０ｘ）．８，
为ｘ０．８．０≈－
接着教师请学生归纳用二分法求解方程近似解的一般步骤，并讲解例１．利用计算器，求方程）精确到０ｘ＝３－ｘ的近似解（．１．ｌｇ
课型二
教师引入提问同课型一，学生回答基本与课型一生１回答相似．
师：请你们用你们手中的图形计算器验证下（你们的结论吧．学生动手操作）
生４：是三个零点，怎么会是三个零点呢？不）
可思议！（学生做的几种情况如图５，图６，图
７
师：那我们能不能更进一步的缩小零点所处的范围呢？（学生继续动手计算）
老师，计算太烦了，而且很多我们不会生３：算，像２
－４
怎么算？算不下去了．
师：呵呵，我们先不管算的，说说你的想法吧？生３：既然要缩小范围，我想我先把（０）－１，这个区间一分为二，取中间值－算算，发现
２
－＝２－ｆ ２
（）（）
－
２
２
＝
－＞０，又
４２
）－１＝－ｆ（
＜０，所以我确定零点应该在２
（
内然后我再想把上面这个区间一分－－１，．２
）
的值就算不
为二，取中间值－想算算ｆ －
４４
下去了．
（）
师：你的想法非常好，就是我们今天要介绍的“二分法”的主要思想．
此时教师给出二分法的定义：对于在区间［ａ，·ｆ（上连续不断且ｆ（ｂ］ａ）ｂ）＜０的函数ｙ＝，的零点所在区间通过不断地把函数ｆ（ｘ）ｘ）ｆ（
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．并用Ｅｘｃｅｌ表格计算ｆ（ｘ）在０，－１，－０．５，－０．７５，
，讲解如
如图４）－０．８７５，－０．８１２５处的函数值（
何用二分法求解方程的近似解：
图５
图６
图４
）））－１０－１，０＞０ｘ＜０，ｆ（ｆ（０∈（
－１）－０－１，．５）＜０，＞０ｘｆ（ｆ（０∈（）－０．５
－１）－０－１，．７５）＜０，＞０ｘｆ（ｆ（０∈（）－０．７５
－０－０．８７５）＜０，．７５）＞０ｆ（ｆ（
图７
师：你们能从图５中找出解释吗？（图５切换到大屏幕）
ｘ２
的图像比ｙ＝ｘ的我知道，函数ｙ＝２生６：
ｘ
的图图像递增速度快，所以在第一象限当ｙ＝２２
的图像有第一个交点后，像与ｙ＝ｘ必然还会超２
的图像，所以他们还会有第二个交点．过ｙ＝ｘ
生８：我通过图８，图９的计算，得到它的近似
）内，所以解应该在区间（．７７３４３８，－０．７６５６２５－０（得到同学的认可）我估计的近似值为ｘ０．７７．０≈－
ｘ２
师：刚才我们一步一步求函数ｆ（ｘ）－ｘ＝２
的负的零点的过程其实叫做二分法．教师给出二分法的定义．谁能帮我们总结一下二分法求方程近似解的步骤及它的理论依据是什么呢？
二分法求方程近似解的步骤（教师引导生９：
：，·ｆ（满足ｆ（确定大区间［完善）ａ，ｂ］ａ）ｂ）１．＜
的中点ｃ；计算ｆ（的值，求区间（若３．ａ，ｂ）ｃ）０；２．）·ｆ（则ｃ就是函数的零点；若ｆ（ｃａ）ｃ）＝０，＜ｆ（
；·ｆ（零点则零点ｘ若ｆ（０，ａ，ｃ）ｃ）ｂ）＜０，０∈（
如此继续下去，当区间两端点的近．４．ｘｃ，ｂ）０∈（
似值（满足精度要求）相等时，这个值即为我们要求的近似值它的理论依据应该是零点存在定理吧．
师：说的很好，其实我们还发现函数的零点问题，方程的根的问题以及函数图像的交点问题是有机的结合在一起的，它们可以相互的转化．接下来我们当堂测一下吧，看看你们对二分法掌握的如何？（教师将测试题“利用计算器，求方程ｘ＝３－ｌｇ”）发送到学生的图形计算精确到０．ｘ的近似解（１
器上，学生做完答案直接反馈到教师机上）．４ 对比分析
“教学的目的是培养学生自郭沫若曾经说过：己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的”眼睛看，用自己的手来做这种精神．从教学方法和教学手段的对比我们可以看出，课型一虽然借），但几乎全是教师操助了多媒体（一般为Ｅｘｃｅｌ作学生看，学生没有实际的动手操作．课型二借助了图形计算器，让学生有更多的动手操作的时间，让学生的主动性与参与性更加强烈．
两种课型，学生的主体性地位不一样．课型一虽然教师也让学生参与到教学中，但是绝大多数情况还是教师做主角，学生仅是配角而已．如
ｘ２与ｈ（的图像，画出正确的ｇ（只是＝２＝ｘｘ）ｘ）
通过教师的解释学生被动接受而已，学生并没有
师：回答的很好．并且我们由图７可以很轻松的发现，它的两个正的零点分别为２和４．由图还存在一个负的零点，我们发现ｆ（由ｘ）５和图６，
如果图７我们知道这个负的零点是－０．７６６６６５．我们没有图形计算器的话，我们怎么去算它的近）？似值呢（精确到０．１０
）生７：由图６我知道这个解在（内？０－１，师：很好，不过老师要打断你一下，这个（－１，）是你从图上看出来的，有理论依据保证吗？０
生７：因为ｆ（０）－１）＞０，＜０由零点存在ｆ（定理保证的．如果我能把这个解确定在一个小的区间内，并且区间两个端点的近似值如果相等的话，我想我就能把这个近似解找到了．
师：很好，怎样找区间最方便呢？生７：一半一半的找应该最方便吧．
师：那大家试试看，看谁能先找到这个小区间
．
图
８
直观感受图像的形成过程．又如教师给出的Ｅｘ－学生也只是看看数据而已，并没有主动ｃｅｌ表格，
的参与进来．课型二，学生通过图形计算器直观
ｘ２
存在三个零点，感受到了ｆ（发现和ｘ）－ｘ＝２
自己想象的不一样，从而提出疑问：为什么会有三
图９
个零点呢？进一步发现函数图像的规律性．在求
ｘ２
的负零点的过程中，解ｆ（学生通过＝２ｘ）－ｘ
身就提高了学生的积极性，再加上实际动手操作让学生对二分法有了深刻的认识．通过在线的测试反馈，教师能在第一时间就了解到学生的掌握“如果学习只程度，让教师心中有数．高尔基说：”真在模仿，那么我们就不会有科学，不会有进步．正的能让学生参与到整个教学活动中来，教师教授学生的不仅仅是知识，还有如何去发现问题，研究问题，解决问题的能力，这将会使学生受益匪浅，会成为他这一生最宝贵的财富．
“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件．当一个人不仅在认识世界，而且在认“”兴趣是创造一个识自我的时候，就能形成兴趣．”欢乐和光明的教学环境的重要途径之一．课型一这节课上下来，学生的感受可能较为平淡，感受到的那就是一节普通的数学课．课型二上下来，学生是激动的，是热情的，因为整个过程都是他们自己参与其中，他们发现问题，他们解决问题，他们整堂课都是快乐的，他们在课堂上真正的形成了兴趣．
态度）怎样本土化？数学课程如何体现、处理大众数学与数学英才教育关系？数学课程如何渗透超越数学学科能力之上的通用能力？考核运用数字技术解决数学问题能力是否是数学课程与信息技术有机整合的积极推手？基本的金融数学知识能否成为数学课程联系现代生活实际的重要主题？省思这些看似平常的关键问题，或许能有所启迪、推陈出新．
参考文献
ｅａｒｔｍｅｎｔｆｏｒＥｄｕｃａｔｉｏｎ．ＴｈｅＮａｔｉｏｎａｌｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍｉｎＥｎ１ Ｄ－ ｐｇ
／：：／／ｓｔａｅｓ１ｔｏ４［ＥＢＯＬ］．ｈｔｔｓａｎｄｆｒａｍｅｗｏｒｋｆｏｒｋｅｌ ｇｐｙ ／／／／／ｗｗｗ．ｏｖ．ｕｋｏｖｅｒｎｍｅｎｔｕｌｏａｄｓｓｓｔｅｍｕｌｏａｄｓａｔｔａｃｈ－ｇｇｐｙｐ＿／／／Ｍ＿＿ｃｅｎｔｄａｔａｆｉｌｅ３３０２９０ａｓｔｅｒ＿ｆｉｎａｌｎａｔｉｏｎａｌｕｒｒｉｃｕｌｕｍ＿ｍ
，１４０７１４．ｄｆ２０１４－０７－１６ｐ
）／［２ ＴｈｅＮａｔｉｏｎａｌＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍｆｏｒＥｎｌａｎｄ（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＢＥ ｇ
：／／，／／ＯＬ］．ｈｔｔｎｃ．ｕｋ．ｎｅｔ１９９９０１２－０６－２９ｗｗｗ．２ｐ
———Ｐ３ ＱＣＡ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｒｏｒａｍｍｅｏｆｓｔｕｄｆｏｒｋｅｓｔａｅ３－ ｇｙｙｇ
［／／４ａｎｄａｔｔａｉｎｍｅｎｔｔａｒｅｔｓＥＢＯＬ］．ｗｗｗ．ｃａ．ｏｒ．ｕｋｃｕｒｒｉｃｕ －ｇｑｇｌｕｍ，２０１２－０６－２９
４ ＤｅａｒｔｍｅｎｔｆｏｒＥｄｕｃａｔｉｏｎ．ＲｅｖｉｅｗｏｆｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍ ｐ
［／：／／／／ＥＢＯＬ］．ｈｔｔｅｄｕｃａｔｉｏｎ．ｏｖ．ｕｋｓｃｈｏｏｌｓｔｅａｃｈｉｎｗｗｗ．ｐｇｇ／／／，ａｎｄｌｅａｒｎｉｎｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍｎａｔｉｏｎａｌｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ０１２－０６－２９２ ｇ］５ 马立平．美国小学数学内容结构之批评［Ｊ．数学教育学报，
（）：０１２４５１－１２
图形计算器已经知道了它的负零点是接下来就是通过何种途径去找到它．７６６６６５，－０
的问题了．通过问题的提出，在学生的思维里已——去寻找这个解所在的经出现了二分法的雏形—
小区间，接着再让学生利用图形计算器的电子表格功能去寻找这个区间．通过自己动手操作，学生直观感受到了二分法的全部过程，加强了对二分法的认识．在课型二中，学生真正的参与到了教学中来，成为了教学的主人．
课型一教师设置的精度为０．主要考虑到１，以学生笔算为主，不能给学生造成太大的计算障碍．但是在课上学生还是遇到了计算的困难，最终通过教师的Ｅｘｃｅｌ表格演示完成．课型二的精学生完全可以自主利用图形计算度设置为０．１，０器的电子表格功能或计算器功能完成计算，真正体会二分法的全过程．
课型一例１的过程只是学生模仿的过程，由于计算繁琐，部分学生懒于动手，导致学生只是听听便罢，根本没有实际动手操作，老师也不知道学生掌握的如何．课型二，学生使用图形计算器本（上接第１８页）
最好的毕业生或优秀人才加入数学教师队伍、博——数学和物理教席项目、士进入中小学任教—实施小学数学专家型教师计划、建立数学教育战略中心等，是２１世纪以来英国提升数学教师数学专业素养的重要举措，旨在促进数学课改的有效实施、以改善和提升当前不尽如人意的学生数学学业成绩．
第三，数学教育改革是一项与时俱进、持续不约１断的系统工程，任重道远．最近３０年，０－１５年英国就进行一次较大规模的数学课程改革，动因无外乎是社会对学校数学教育质量的不满，英国国家数学课程的嬗变表明，学生个人生活、就业和进一步学习所需数学随社会发展而变化，任何单一的数学课程、教学或评价等改革都收效甚微，难有本质改善，数学教育需要综合改革，挑战性、艰巨性和长期性相伴相随．
展望未来，如何科学设计有效的数学课程，方能最大限度地促进未来公民形成所需的不同数学素养？应当教给学生何种必需的数学？统一化的数学内容（数与代数、几何与测量、概率与统计）和数学过程（知识技能、数学推理、问题解决和数学