2．2．1 用样本的频率分布估计总体的分布
荣成二中 宋海燕
目的要求
通过实例体会分布的意义和作用，在表示数据的过程中，学会列出频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。 教学过程 1．实例引课
为了解某地区女中学生的身体发育情况，不仅要了解其平均身高，还要了解身高在哪个范围内的学生多，哪个范围内的学生少．
为了解某次考试成绩，不仅应知道平均成绩，还应知道90分以上占多少，80分～90分占多少，……，不及格占多少等．
要解决上面的两个问题，需要从总体中得到一个包含大量数据的样本，并且把这些数据形成频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。 2．引出课题：用样本的频率分布估计总体的分布 看下面的例子
某钢铁加工厂生产内径为25．40mm 的钢管，为了掌握产品的生产状况，需要定期对产品进行检测。又由于产品的数量巨大，不可能一一检测所有的钢管，因而通常采用随机抽样的办法。如果把这些钢管的内径看成总体，我们可以从中随机抽取的100件钢管进行检测，把这100件钢管的质量分布情况作为总体的质量分布情况来看待。根据规定，钢管内径的尺寸在区间25.325～25.475内为优等品，我们特别希望知道所有生产的钢管中优等品所占的比例，这时就可以用样本的分布情况估计总体的分布情况。
下面的数据是一次抽样中的100件钢管的内径尺寸：(幻灯示) ．
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39
上面的100个数据有点散乱，从中很难看出产品质量的分布情况，必须对样本数据用统计的方法加以概括和整理。下面我们列出这组样本数据的频率分布表、频率分布直方图，步骤如下：
（1）计算级差（一组数据中最大值与最小值的差） 25.26－25.24＝0.32
（2）决定组距与组数（样本容量不超过100时，组数常分为5～12组） 如果组距定为0.03，那么
级差/组距＝0.32/0.03＝10 2/3
于是应将样本数据分成11组（组距还可以定为其他的数值） （3）决定分点
将第1组的起点定为25.235，组距为0.03，这样所分的11个组是：［25.235，25.265［］25.265，25.295］……
（4）列频率分布表
分组 25.235～25.265 25.265～25.295 25.295～25.325 25.325～25.355 25.355～25.385 25.385～25.415 25.415～25.445 25.445～25.475 25.475～25.505 25.505～25.535 25.535～25.565
合计
个数累计
1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100
频数 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100
频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00
（5）绘制频率分布直方图
注：（1）小长方形的面积＝组距×频率／组距＝频率
各长方形的面积总和等于1
（2）从频率分布表或频率分布直方图容易看出，优等品所占的比例等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品。 （3）用样本的频率分布估计总体的分布时，要使样本能够很好的反映总体的特性，必须随机抽样。由于抽样的随机性，可以想到，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同。但是，它们都可以近似地看作总体的分布。
（4）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体态势，但是直方图本身得不出原始的数据内容。所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
3．频率分布折线图
把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到分布折线图。
4．总体密度曲线
频率分布直方图表明了所抽取的100件产品中，尺寸落在各个小组内的频率大小．样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，则频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．总体密度曲线能够更好的反映总体在各个范围内的百分比，能够提供更准确的信息。根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b) 内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a,x=b及x 轴所围图形的面积．
5．茎叶图
常用的统计图表还有茎叶图，下面的例子就是用茎叶图表示数据。 例：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：
甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50。 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。
甲 52 54 97661
1 94
0 1 2 3 4 5
乙 8 346 368 38
注：中间的数字表示得分的十位数字。 旁边的数字分别表示两个人得分的个位数字
从上面这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26。因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好。
用茎叶图表示数据有两个突出的优点，一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛是随时记录，方便记录与表示。但茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰。
6．课堂练习
1) 、对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（ ） （A ）频率分布直方图与总体密度曲线无关 （B ）频率分布直方图就是总体密度曲线
（C ）样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
（D ）如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
2) 、在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（ ） （A ）总体容量越大，估计越精确 （B ）总体容量越小，估计越精确 （C ）样本容量越大，估计越精确 （D ）样本容量越小，估计越精确
3) 、10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（ ）
（A ）频数 （B ）概率 （C ）频率 （D ）累计频率
4) 、已知样本：
12 7 11 12 11 12 10 10 9 8 13 12 10 9 6 11 8 9 8 10那么频率为0.25的样本的范围是（ ） （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
5) 、频率分布直方图中，小长方体的面积等于（ ）
（A ）相应各组的频数 （B ）相应各组的频率 （C ）组数 （D ）组距
6) 、在总体密度曲线中，总体在区间（a ，b ）内取值的概率就是直线______、_______、_______和总体密度曲线围成的图形的面积.
7) 、对100位大学毕业生在该年七月份求职录取情况调查结果如下：20人录取在行政机关，31人录取在公司，3人录取在银行，18人录取在学校，其余的还在求职中. 那么七月份这100位大学生还未被录取的概率为_______________.
8) 、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n=_______________. 9)
(1)完成上面的频率分布表．
(2)根据上表，画出频率分布直方图．
(3)根据上表，估计数据落在[10．95，11．35) 范围内的概率约为多少? 解：(1)(2)略．
(3)数据落在[10．95，11．35]范围的频率为0．13+0．16十0．26+0．20 落在[10．95，11．35]内的概率约为0．75． 10）教科书第67页练习B 第2、3题． 7．归纳小结
①获得样本的频率分布的步骤：
(1)求最大值与最小值的差；(2)确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.
8．布置做业
教科书第69页练习A 第3、4题
2．2．1 用样本的频率分布估计总体的分布
荣成二中 宋海燕
目的要求
通过实例体会分布的意义和作用，在表示数据的过程中，学会列出频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。 教学过程 1．实例引课
为了解某地区女中学生的身体发育情况，不仅要了解其平均身高，还要了解身高在哪个范围内的学生多，哪个范围内的学生少．
为了解某次考试成绩，不仅应知道平均成绩，还应知道90分以上占多少，80分～90分占多少，……，不及格占多少等．
要解决上面的两个问题，需要从总体中得到一个包含大量数据的样本，并且把这些数据形成频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。 2．引出课题：用样本的频率分布估计总体的分布 看下面的例子
某钢铁加工厂生产内径为25．40mm 的钢管，为了掌握产品的生产状况，需要定期对产品进行检测。又由于产品的数量巨大，不可能一一检测所有的钢管，因而通常采用随机抽样的办法。如果把这些钢管的内径看成总体，我们可以从中随机抽取的100件钢管进行检测，把这100件钢管的质量分布情况作为总体的质量分布情况来看待。根据规定，钢管内径的尺寸在区间25.325～25.475内为优等品，我们特别希望知道所有生产的钢管中优等品所占的比例，这时就可以用样本的分布情况估计总体的分布情况。
下面的数据是一次抽样中的100件钢管的内径尺寸：(幻灯示) ．
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39
上面的100个数据有点散乱，从中很难看出产品质量的分布情况，必须对样本数据用统计的方法加以概括和整理。下面我们列出这组样本数据的频率分布表、频率分布直方图，步骤如下：
（1）计算级差（一组数据中最大值与最小值的差） 25.26－25.24＝0.32
（2）决定组距与组数（样本容量不超过100时，组数常分为5～12组） 如果组距定为0.03，那么
级差/组距＝0.32/0.03＝10 2/3
于是应将样本数据分成11组（组距还可以定为其他的数值） （3）决定分点
将第1组的起点定为25.235，组距为0.03，这样所分的11个组是：［25.235，25.265［］25.265，25.295］……
（4）列频率分布表
分组 25.235～25.265 25.265～25.295 25.295～25.325 25.325～25.355 25.355～25.385 25.385～25.415 25.415～25.445 25.445～25.475 25.475～25.505 25.505～25.535 25.535～25.565
合计
个数累计
1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100
频数 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100
频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00
（5）绘制频率分布直方图
注：（1）小长方形的面积＝组距×频率／组距＝频率
各长方形的面积总和等于1
（2）从频率分布表或频率分布直方图容易看出，优等品所占的比例等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品。 （3）用样本的频率分布估计总体的分布时，要使样本能够很好的反映总体的特性，必须随机抽样。由于抽样的随机性，可以想到，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同。但是，它们都可以近似地看作总体的分布。
（4）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体态势，但是直方图本身得不出原始的数据内容。所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
3．频率分布折线图
把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到分布折线图。
4．总体密度曲线
频率分布直方图表明了所抽取的100件产品中，尺寸落在各个小组内的频率大小．样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，则频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．总体密度曲线能够更好的反映总体在各个范围内的百分比，能够提供更准确的信息。根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b) 内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a,x=b及x 轴所围图形的面积．
5．茎叶图
常用的统计图表还有茎叶图，下面的例子就是用茎叶图表示数据。 例：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：
甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50。 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。
甲 52 54 97661
1 94
0 1 2 3 4 5
乙 8 346 368 38
注：中间的数字表示得分的十位数字。 旁边的数字分别表示两个人得分的个位数字
从上面这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26。因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好。
用茎叶图表示数据有两个突出的优点，一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛是随时记录，方便记录与表示。但茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰。
6．课堂练习
1) 、对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（ ） （A ）频率分布直方图与总体密度曲线无关 （B ）频率分布直方图就是总体密度曲线
（C ）样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
（D ）如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
2) 、在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（ ） （A ）总体容量越大，估计越精确 （B ）总体容量越小，估计越精确 （C ）样本容量越大，估计越精确 （D ）样本容量越小，估计越精确
3) 、10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（ ）
（A ）频数 （B ）概率 （C ）频率 （D ）累计频率
4) 、已知样本：
12 7 11 12 11 12 10 10 9 8 13 12 10 9 6 11 8 9 8 10那么频率为0.25的样本的范围是（ ） （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
5) 、频率分布直方图中，小长方体的面积等于（ ）
（A ）相应各组的频数 （B ）相应各组的频率 （C ）组数 （D ）组距
6) 、在总体密度曲线中，总体在区间（a ，b ）内取值的概率就是直线______、_______、_______和总体密度曲线围成的图形的面积.
7) 、对100位大学毕业生在该年七月份求职录取情况调查结果如下：20人录取在行政机关，31人录取在公司，3人录取在银行，18人录取在学校，其余的还在求职中. 那么七月份这100位大学生还未被录取的概率为_______________.
8) 、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n=_______________. 9)
(1)完成上面的频率分布表．
(2)根据上表，画出频率分布直方图．
(3)根据上表，估计数据落在[10．95，11．35) 范围内的概率约为多少? 解：(1)(2)略．
(3)数据落在[10．95，11．35]范围的频率为0．13+0．16十0．26+0．20 落在[10．95，11．35]内的概率约为0．75． 10）教科书第67页练习B 第2、3题． 7．归纳小结
①获得样本的频率分布的步骤：
(1)求最大值与最小值的差；(2)确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.
8．布置做业
教科书第69页练习A 第3、4题