第四讲马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型

第四讲 马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型

——习题解答

（葛乐乐）

1.yp1px12px2...npxn,p1,2为两个证券组合的未来价格。试指出证券组合

yyy的收益率ry与y,y的收益率ry和ry之间的关系。特别是指出，他们作为n种

1

2

1

2

12

证券的收益率的组合的相互关系。 解：证券组合y的收益率为ry为

yy

11

22

ry

p(yy)p(y)

1

1



y

1

1

2

p(y)p(y)y

11



y

1

2

2

p(y)p(y)

2



p(y)p(y)p(y)

1

2



p(y)

1

2

y

22

p(y)p(y)p(y)

令 w1

p(y)p(y)p(y)

1

2

1

2

,w2

p(y)p(y)p(y)

1

2

2

则 ryw1ryw2ry (w1w21) 设x1,x2,...,xn的收益率分别为r1,r2,...,rn，则

n

n

'ii

2y

1y

r

wr,r

i1

'i



wr

i1''

''ii

nn

其中 (彭先慧)

w

i1

1,wi1

i1

2.设p和q为两种证券，且它们的收益率rp和rq满足E[rp]E[rq，那么这两种证券

组合前沿是什么？证明，证券p是这两种证券的前沿组合的充要条件为 Cov[rp,rq]Var[rp]。 解：设p1,q2,及E[rp]E[rq]

T

minVWww

由w1w21 所以可得



w2w1

2w

21

22

因为

2w

V

11

w2V

12

ww

12

2

V

22

w

将w21

)w1V

w

1

代入可得

(V

11

V

22

2V)2(V12w1

12

V

2222

所以当

w



1



V

11

22

22

12

12

11

V

22

2V

时



2w

取最小,所以此时可以得到

2

21212



2w

(211

)1222

22

(12

12

)22

VV2V



VV

1111

2222

2V

为一个常

数值，而，所以此时的组合前沿为一个点。

（2）证明：当证券p是这两种证券的前沿组合时即 即 

2w

2w

V

11

11

21212



(11

22

211

)1222

22

(12

12

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2

V

V12

V2V



VV

11

2222

2V

V

11

V

11

即p是这两种证券的前沿组合的充要条件为Cov[rp,rq]Var[rp]。

（彭喆）

3.如果n种证券的期望收益率都相等，但收益率方差可能不同。同时，它们又都是互不相关的。试求出其有效组合，并写出其最小方差的表达式。

2TwminwVwT 解：we1

(ww...w)uu2n1

用拉格朗日乘子法求解，

TT

L(w,1,2)wVw(we1)，求偏导，得

w

T

12

eV12

1

wuVeuu

1...1

1

1T

)

1

代入计算，得（2



2

1



2n

w

2

12

VeV

1T

12

eV

1

1

2

...

1

n

2

以上为最小方差的表达式，其有效组合为(w,uw)，由于其中有效组合为一个点，即一种证券。

（王正旭）

w

,uw均为常数，所以

4. 设证券p和证券q有同样的收益（期望收益率）和风险（收益率标准差）。试讨论这两种证券的组合，并指出其前沿组合和协方差Cov[rp,rq]之间的关系。 解：设p=1，q=2，马科维茨问题为

2

2

minwVijwiwj

i,j1



s.t.w1w21

ww

1122

w

由题知：V11V22

wV11w12V12w1w2V22w2

V11w12V12w1(1w1)V11(1w1)

2

2

222

2(V11V12)w1（2V11V12）w1V11

2

当w1

2(V11V12)4(V11V12)

2w



12

时，

2



2w

min

8(V11V12)V114(V11V12)

8(V11V12)



12

(V11V12)

从而其前沿组合和协方差Cov[rp,rq]之间的关系为：



2w



12

(Var[rp]Cov[rp,rq])

（罗华环）

5.对于任意的证券集,有效前沿是否一定存在?试讨论有两种同样风险,不同收益的证券的组

合.当他们的相关系数为1时,它们的有效前沿存在吗? 解:由二次规划问题,

2T

minwwVw

, w1w21

ww

1122

w

由后两个式子可得

w1

w212

,w2

w121

。

2T

代入wwVw，得

(w1)

2

2w



(V11(w2)V12(w1))(V11V22V12)(w1)

V11

222

，

22

将V111,V222,V1212r12,12,r121代入上式，化简得

w12，即为常数。

222

即两种组合取哪一种风险都一样，而期望收益率不同，这与有效前沿对应的风险与收益的关系为“高收益对应高风险”这个结论矛盾，即有效前沿不存在。即对于任意的证券集，有效前沿不一定存在。

(景丽星)

6,如果证券集中有两种收益不同的无风险证券,那么他们对该证券集的有效前沿有什么影响?

答:若证券集中有两种收益不同的无风险证券,组合将定义为满足

w01w02w1w2wn1的w01,w02,w1,w2,,wn,其中w01,w02为两种无风险证券

的组合.我们仍记w(w1,w2,,wn)T,这时,组合的期望收益率为 w(w01w02)rfw11w22wnn

从而wrfw1(1rf)w2(2rf)wn(nrf)w(rf)而组合的方差则显然仍为w2wTVw.此问题也就变成了证券集中含有一种无风险证券的情况.则由4.4知.带无风险证券的有效前沿的证券组合是一条射线.则证券集的有效前沿由双曲线的一支变为一条射线.

7.设证券组合wp(wp,wp,...,wp),wq(wq,wq,...,wq)

1

2

n

T

1

2

n

T

T

，那

Cov[rp,rq]该怎样用n种证券的协方差阵来表示？试由此证明如果wp是极小风险组合，并

且不是总体极小风险组合，那么一定存在另一个极小风险组合wq，使得Cov[rp,rq]0。 （大家都不会，请老师多指教）

（骆挺挺）

8.什么是资本资产定价模型中的市场组合？怎样来论证市场组合是有效组合，并且它不包含无风险证券？

答：所谓市场组合是指市场上所有投资者的证券投资的总和所形成的组合。

在市场组合不包含无风险证券的前提下，要论证市场组合是有效组合，首先假设所有投资者都是“理性投资者”，并且他们的投资策略都是按照“均值-方差”的原则来进行的，那么每个投资者的证券选择都形成一个有效组合。再由定理4.2的结论，两个有效组合中的证券合在一起，一定也是一个有效组合。由此继而导得有限个投资者的所有证券合在一起所形成的证券组合也是有效的，由市场组合的定义，即市场组合是有效的。

(胡小英)

9.什么是资本市场线？什么是证券市场线？请用证券的收益率来写出它们的表达式，并指出

它们的不同含义及相互关系。

答：假设n种证券中包括有误风险证券，则组合的收益（μ）和组合的风险（σ）之间在（σ，μ）平面上的双曲线关系在这种情形下退化为两条射线，其中上面的一条射线是有效前沿，通常称为资本市场线，其表达式为：



(()V

'T

'

1

))

'1/2

一般情况下，有效前沿射线与余下的风险证券组合的有效前沿相切于一点(m,m))，因此，在这条射线上的每一点所对应的期望收益μ1都有下列形式： WrfW(Mrf) （1） 其中WW/

M

。这一等式也有资本资产定价模型的形式，但它并不是资本资产定价

模型，而只是说，对应各种有正β的证券组合总存在有同样收益的有效前沿上的组合。如果把（1）式理解为W与W之间的关系，那么它的图像也是一条直线，这条直线通常称为证券市场线，其表达式就是（1）式。

(白娟娟)

10.什么是证券收益的系统风险和非系统风险？能不能把系统风险称为“系统风险”？

2

答：Var[ri]iVar[rii]Var[]，iCov[ru,ri][ru]，ri是市场收益率，

2

证券收益的风险可分为两部分，一部分是市场带来的系统风险iVar[rii]，另一部分是

与市场风险无关的非系统风险Var[]。非系统风险是与2正交的所造成的风险。所谓系统风险和非系统风险是风险的一种“正交分解”。

系统风险是与市场的具体情况有关的，非系统风险是所有市场共有的特征，是随机因素。

（杨丽）

11．怎样看待资本资产定价模型与马科维茨证券组合选择理论之间的关系？

答：资产定价模型以证券组合理论为基础的，而且它们是等价的。因为证券组合选择理论是关于风险控制和增加收益的理论，应用标准差和期望值进行组合配置，以实现在风险程度

一定的条件下期望收益最大化，或是期望收益一定的条件下风险程度最小。而资本资产定价模型是在理想的条件下在给定的风险组合中如何确定其中单项风险资产的收益率，所以从理论发展进程来看，证券组合理论在前，资本资产定价理论在后，资产定价模型以证券组合理论为基础的。另外，通过定理4.4的证明可知资产定价模型与证券组合选择理论是等价的。

（曾浩娥）

12．本讲导出的资本资产定价模型与上一讲中的资本资产定价模型有什么不同？它们之间有什么关系？

答：不同之处在于：当ru和rv都是风险证券收益时，本讲中没有Erv0的要求，但是对于i多了与rv的联系。由于EruErv，它们两者中至少有一个不为零。因此，当

Erv0时，我们可以让Eru和Erv角色对调，再利用i和rv的关系，仍能得到上讲中

的资本资产定价模型。也就是说，上讲中其实比本讲导出的要求低。因为上一讲导论的框架是“未定权益的希尔伯特空间”，而本讲是“马科维茨组合收益率（仿射）集”，对于本讲，收益率是当前价值为1的未定权益，从而0不能是收益率。而对于上一讲没有要求。因此本讲导出的资产定价模型比上一讲要求更高。

（谢靖婷）

13.怎样看待马科维茨证券组合选择理论，资本资产定价模型和线性定价法则之间的等价关系？怎样认识这里涉及的数学本质上是一种“平面几何’?

答：马科维茨证券组合选择理论与线性定价法则等价意味着，马科维茨的组合前沿决定一种唯一的线性定价法则，反之也一样马科维茨的组合前沿只需要用两个组合前沿来确定，而由这两个前沿组合就能完全确定线性定价法则所需要的随机折现因子，作为这两种理论等价的资本资产定价模型也同样如此，且将资本资产定价模型设置在某个未定权益希尔伯特空间中，我们也可以得出线性定价法则成立。

因为我们这里所涉及的数学理论都只涉及到一个二维空间，这个二维空间是有随机折现因子和无风险证券的模仿组合所长程的，资本资产定价模型所涉及以及马科维茨证券所涉及的都是二维空间中的两个不共线的收益率向量。故这里涉及的数学本质是一种“平面几何”。

第四讲 马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型

——习题解答

（葛乐乐）

1.yp1px12px2...npxn,p1,2为两个证券组合的未来价格。试指出证券组合

yyy的收益率ry与y,y的收益率ry和ry之间的关系。特别是指出，他们作为n种

1

2

1

2

12

证券的收益率的组合的相互关系。 解：证券组合y的收益率为ry为

yy

11

22

ry

p(yy)p(y)

1

1



y

1

1

2

p(y)p(y)y

11



y

1

2

2

p(y)p(y)

2



p(y)p(y)p(y)

1

2



p(y)

1

2

y

22

p(y)p(y)p(y)

令 w1

p(y)p(y)p(y)

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2

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2

,w2

p(y)p(y)p(y)

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2

2

则 ryw1ryw2ry (w1w21) 设x1,x2,...,xn的收益率分别为r1,r2,...,rn，则

n

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2y

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wr

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''ii

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其中 (彭先慧)

w

i1

1,wi1

i1

2.设p和q为两种证券，且它们的收益率rp和rq满足E[rp]E[rq，那么这两种证券

组合前沿是什么？证明，证券p是这两种证券的前沿组合的充要条件为 Cov[rp,rq]Var[rp]。 解：设p1,q2,及E[rp]E[rq]

T

minVWww

由w1w21 所以可得



w2w1

2w

21

22

因为

2w

V

11

w2V

12

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2

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将w21

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代入可得

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12

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所以当

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11

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12

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取最小,所以此时可以得到

2

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VV2V



VV

1111

2222

2V

为一个常

数值，而，所以此时的组合前沿为一个点。

（2）证明：当证券p是这两种证券的前沿组合时即 即 

2w

2w

V

11

11

21212



(11

22

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)1222

22

(12

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V

V12

V2V



VV

11

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V

11

V

11

即p是这两种证券的前沿组合的充要条件为Cov[rp,rq]Var[rp]。

（彭喆）

3.如果n种证券的期望收益率都相等，但收益率方差可能不同。同时，它们又都是互不相关的。试求出其有效组合，并写出其最小方差的表达式。

2TwminwVwT 解：we1

(ww...w)uu2n1

用拉格朗日乘子法求解，

TT

L(w,1,2)wVw(we1)，求偏导，得

w

T

12

eV12

1

wuVeuu

1...1

1

1T

)

1

代入计算，得（2



2

1



2n

w

2

12

VeV

1T

12

eV

1

1

2

...

1

n

2

以上为最小方差的表达式，其有效组合为(w,uw)，由于其中有效组合为一个点，即一种证券。

（王正旭）

w

,uw均为常数，所以

4. 设证券p和证券q有同样的收益（期望收益率）和风险（收益率标准差）。试讨论这两种证券的组合，并指出其前沿组合和协方差Cov[rp,rq]之间的关系。 解：设p=1，q=2，马科维茨问题为

2

2

minwVijwiwj

i,j1



s.t.w1w21

ww

1122

w

由题知：V11V22

wV11w12V12w1w2V22w2

V11w12V12w1(1w1)V11(1w1)

2

2

222

2(V11V12)w1（2V11V12）w1V11

2

当w1

2(V11V12)4(V11V12)

2w



12

时，

2



2w

min

8(V11V12)V114(V11V12)

8(V11V12)



12

(V11V12)

从而其前沿组合和协方差Cov[rp,rq]之间的关系为：



2w

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12

(Var[rp]Cov[rp,rq])

（罗华环）

5.对于任意的证券集,有效前沿是否一定存在?试讨论有两种同样风险,不同收益的证券的组

合.当他们的相关系数为1时,它们的有效前沿存在吗? 解:由二次规划问题,

2T

minwwVw

, w1w21

ww

1122

w

由后两个式子可得

w1

w212

,w2

w121

。

2T

代入wwVw，得

(w1)

2

2w



(V11(w2)V12(w1))(V11V22V12)(w1)

V11

222

，

22

将V111,V222,V1212r12,12,r121代入上式，化简得

w12，即为常数。

222

即两种组合取哪一种风险都一样，而期望收益率不同，这与有效前沿对应的风险与收益的关系为“高收益对应高风险”这个结论矛盾，即有效前沿不存在。即对于任意的证券集，有效前沿不一定存在。

(景丽星)

6,如果证券集中有两种收益不同的无风险证券,那么他们对该证券集的有效前沿有什么影响?

答:若证券集中有两种收益不同的无风险证券,组合将定义为满足

w01w02w1w2wn1的w01,w02,w1,w2,,wn,其中w01,w02为两种无风险证券

的组合.我们仍记w(w1,w2,,wn)T,这时,组合的期望收益率为 w(w01w02)rfw11w22wnn

从而wrfw1(1rf)w2(2rf)wn(nrf)w(rf)而组合的方差则显然仍为w2wTVw.此问题也就变成了证券集中含有一种无风险证券的情况.则由4.4知.带无风险证券的有效前沿的证券组合是一条射线.则证券集的有效前沿由双曲线的一支变为一条射线.

7.设证券组合wp(wp,wp,...,wp),wq(wq,wq,...,wq)

1

2

n

T

1

2

n

T

T

，那

Cov[rp,rq]该怎样用n种证券的协方差阵来表示？试由此证明如果wp是极小风险组合，并

且不是总体极小风险组合，那么一定存在另一个极小风险组合wq，使得Cov[rp,rq]0。 （大家都不会，请老师多指教）

（骆挺挺）

8.什么是资本资产定价模型中的市场组合？怎样来论证市场组合是有效组合，并且它不包含无风险证券？

答：所谓市场组合是指市场上所有投资者的证券投资的总和所形成的组合。

在市场组合不包含无风险证券的前提下，要论证市场组合是有效组合，首先假设所有投资者都是“理性投资者”，并且他们的投资策略都是按照“均值-方差”的原则来进行的，那么每个投资者的证券选择都形成一个有效组合。再由定理4.2的结论，两个有效组合中的证券合在一起，一定也是一个有效组合。由此继而导得有限个投资者的所有证券合在一起所形成的证券组合也是有效的，由市场组合的定义，即市场组合是有效的。

(胡小英)

9.什么是资本市场线？什么是证券市场线？请用证券的收益率来写出它们的表达式，并指出

它们的不同含义及相互关系。

答：假设n种证券中包括有误风险证券，则组合的收益（μ）和组合的风险（σ）之间在（σ，μ）平面上的双曲线关系在这种情形下退化为两条射线，其中上面的一条射线是有效前沿，通常称为资本市场线，其表达式为：



(()V

'T

'

1

))

'1/2

一般情况下，有效前沿射线与余下的风险证券组合的有效前沿相切于一点(m,m))，因此，在这条射线上的每一点所对应的期望收益μ1都有下列形式： WrfW(Mrf) （1） 其中WW/

M

。这一等式也有资本资产定价模型的形式，但它并不是资本资产定价

模型，而只是说，对应各种有正β的证券组合总存在有同样收益的有效前沿上的组合。如果把（1）式理解为W与W之间的关系，那么它的图像也是一条直线，这条直线通常称为证券市场线，其表达式就是（1）式。

(白娟娟)

10.什么是证券收益的系统风险和非系统风险？能不能把系统风险称为“系统风险”？

2

答：Var[ri]iVar[rii]Var[]，iCov[ru,ri][ru]，ri是市场收益率，

2

证券收益的风险可分为两部分，一部分是市场带来的系统风险iVar[rii]，另一部分是

与市场风险无关的非系统风险Var[]。非系统风险是与2正交的所造成的风险。所谓系统风险和非系统风险是风险的一种“正交分解”。

系统风险是与市场的具体情况有关的，非系统风险是所有市场共有的特征，是随机因素。

（杨丽）

11．怎样看待资本资产定价模型与马科维茨证券组合选择理论之间的关系？

答：资产定价模型以证券组合理论为基础的，而且它们是等价的。因为证券组合选择理论是关于风险控制和增加收益的理论，应用标准差和期望值进行组合配置，以实现在风险程度

一定的条件下期望收益最大化，或是期望收益一定的条件下风险程度最小。而资本资产定价模型是在理想的条件下在给定的风险组合中如何确定其中单项风险资产的收益率，所以从理论发展进程来看，证券组合理论在前，资本资产定价理论在后，资产定价模型以证券组合理论为基础的。另外，通过定理4.4的证明可知资产定价模型与证券组合选择理论是等价的。

（曾浩娥）

12．本讲导出的资本资产定价模型与上一讲中的资本资产定价模型有什么不同？它们之间有什么关系？

答：不同之处在于：当ru和rv都是风险证券收益时，本讲中没有Erv0的要求，但是对于i多了与rv的联系。由于EruErv，它们两者中至少有一个不为零。因此，当

Erv0时，我们可以让Eru和Erv角色对调，再利用i和rv的关系，仍能得到上讲中

的资本资产定价模型。也就是说，上讲中其实比本讲导出的要求低。因为上一讲导论的框架是“未定权益的希尔伯特空间”，而本讲是“马科维茨组合收益率（仿射）集”，对于本讲，收益率是当前价值为1的未定权益，从而0不能是收益率。而对于上一讲没有要求。因此本讲导出的资产定价模型比上一讲要求更高。

（谢靖婷）

13.怎样看待马科维茨证券组合选择理论，资本资产定价模型和线性定价法则之间的等价关系？怎样认识这里涉及的数学本质上是一种“平面几何’?

答：马科维茨证券组合选择理论与线性定价法则等价意味着，马科维茨的组合前沿决定一种唯一的线性定价法则，反之也一样马科维茨的组合前沿只需要用两个组合前沿来确定，而由这两个前沿组合就能完全确定线性定价法则所需要的随机折现因子，作为这两种理论等价的资本资产定价模型也同样如此，且将资本资产定价模型设置在某个未定权益希尔伯特空间中，我们也可以得出线性定价法则成立。

因为我们这里所涉及的数学理论都只涉及到一个二维空间，这个二维空间是有随机折现因子和无风险证券的模仿组合所长程的，资本资产定价模型所涉及以及马科维茨证券所涉及的都是二维空间中的两个不共线的收益率向量。故这里涉及的数学本质是一种“平面几何”。