函数图像的对称性
一、 点的对称
1、在平面直角坐标系中，已知点P (a , b ) ，则
（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ a 2
+b 2
2、平行直线上的点的坐标特征：
a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A 、B 的纵坐标都等于m ；
X
b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C 、D 的横坐标都等于n ；
X
3、对称点的坐标特征：
c) 点P
(m , n ) 关于x 轴的对称点为P 1(m , -n ) ，
即横坐标不变，纵坐标互为相反
数；
d) 点P (m , n ) 关于y
轴的对称点为P 2(-m , n ) ， 即纵坐标不变，横坐标互为相反
数；
e) 点P (m , n ) 关于原点的对称点为P 3(-m , -n ) ，即横、纵坐标都互为相反数；
X
X
-X
关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 4、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
f) 若点P （m , n ）在第一、三象限的角平分线上，则m =n ，即横、纵坐标相
等；
g) 若点P （m , n ）在第二、四象限的角平分线上，则m =-n ，即横、纵坐标互
为相反数；
X
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
二、(一次函数) ： 1、若直线与直线
关于
（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为
（3）原点对称，则直线l 的解析式为
（4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为
（5）直线对称，则直线l 的解析式为
2、直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）
的位置关系 （1）两直线平行⇔k 1=k 2且b 1≠b 2
（2）两直线相交⇔k 1≠k 2
（3）两直线重合⇔k 1=k 2且b 1=b 2
（4）两直线垂直⇔k 1k 2=-1
三、二次函数：
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
y =a 2x +b x +关于c x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax 2-bx -c ；y =a (x -h )2
+k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )2
-k ； 2. 关于y 轴对称
y =a 2
x +b x +关于c y 轴对称后，得到的解析式是y =ax 2-bx +c ； y =a (x -h )2
+k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =a (x +h )2
+k ；
3. 关于原点对称
y =a 2x +b x
+关于原点对称后，得到的解析式是c y =-ax 2
+bx -c ； y =a
(x -)h 2
+关于原点对称后，得到的解析式是k y =-a (x +h )2
-k ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
y =a 2
x +b x
+关于顶点对称后，得到的解析式是c y =-ax 2
-bx +c -b 2
2a
； y =a (x -h )2
+k 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )2
+k ．
5. 关于点(m ，n )对称
y =a (x -h )2
+k 关于点
(m ，n )
对称后，得到的解析式是
y =-a (x +h -2m )2
+2n -k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原
则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
注意：本部分内容的理解最好结合图形
函数图像的对称性
一、 点的对称
1、在平面直角坐标系中，已知点P (a , b ) ，则
（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ a 2
+b 2
2、平行直线上的点的坐标特征：
a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A 、B 的纵坐标都等于m ；
X
b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C 、D 的横坐标都等于n ；
X
3、对称点的坐标特征：
c) 点P
(m , n ) 关于x 轴的对称点为P 1(m , -n ) ，
即横坐标不变，纵坐标互为相反
数；
d) 点P (m , n ) 关于y
轴的对称点为P 2(-m , n ) ， 即纵坐标不变，横坐标互为相反
数；
e) 点P (m , n ) 关于原点的对称点为P 3(-m , -n ) ，即横、纵坐标都互为相反数；
X
X
-X
关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 4、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
f) 若点P （m , n ）在第一、三象限的角平分线上，则m =n ，即横、纵坐标相
等；
g) 若点P （m , n ）在第二、四象限的角平分线上，则m =-n ，即横、纵坐标互
为相反数；
X
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
二、(一次函数) ： 1、若直线与直线
关于
（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为
（3）原点对称，则直线l 的解析式为
（4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为
（5）直线对称，则直线l 的解析式为
2、直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）
的位置关系 （1）两直线平行⇔k 1=k 2且b 1≠b 2
（2）两直线相交⇔k 1≠k 2
（3）两直线重合⇔k 1=k 2且b 1=b 2
（4）两直线垂直⇔k 1k 2=-1
三、二次函数：
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
y =a 2x +b x +关于c x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax 2-bx -c ；y =a (x -h )2
+k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )2
-k ； 2. 关于y 轴对称
y =a 2
x +b x +关于c y 轴对称后，得到的解析式是y =ax 2-bx +c ； y =a (x -h )2
+k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =a (x +h )2
+k ；
3. 关于原点对称
y =a 2x +b x
+关于原点对称后，得到的解析式是c y =-ax 2
+bx -c ； y =a
(x -)h 2
+关于原点对称后，得到的解析式是k y =-a (x +h )2
-k ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
y =a 2
x +b x
+关于顶点对称后，得到的解析式是c y =-ax 2
-bx +c -b 2
2a
； y =a (x -h )2
+k 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )2
+k ．
5. 关于点(m ，n )对称
y =a (x -h )2
+k 关于点
(m ，n )
对称后，得到的解析式是
y =-a (x +h -2m )2
+2n -k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原
则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
注意：本部分内容的理解最好结合图形