杨浦长宁数学一模串讲
——阙老师
同学们：
大家好！为了能够使大家流畅的听讲答疑，请按照以下步骤进行登录： 1. 登录， 2. 选择所在的年级，
3. 点击如图 在线答疑
（年级的下面）
4. 从答疑安排表中选择所要参加的答疑科目，点击我要参加，即可. 谢谢配合！
附：为了保证答疑的有效性，同学们可以提前下载答疑材料进行预习，有问题可以在答疑中进行提问.
另外，如其他时间有不会的问题可以到360答疑上来问，会有老师及时作答的。
杨浦区2011学年度高三学科测试
数学试卷（理科） 2011.12.
一、填空题
2n ⎫⎛
1．计算：lim 1-⎪= ．
n →∞⎝n +3⎭
2．不等式
1-x
>0的解集是 ． x +2
3．若全集U =R ，函数y =3x -1的值域为集合A ，则C U A = .
4．若圆锥的母线长l =5(cm ) ，高h =4(cm ) ，则这个圆锥的体积等于 cm 3.
7
5
．在) 的二项展开式中，x 2的系数是 （结果用数字作答）.
()
2x
6．若y =f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x +4)=f (x )，当x ∈(0, 2)时，f (x )=2x 2
)= . 则f (2011
4x 2x -=1，则x = ． 7．若行列式
21
8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则至少含1件二等品的概率是 .
（结果精确到0.01） 9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 ． 10. 根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是 ．
11. 若直线l :ax +by =1与圆C :x 2+y 2=1有两个不同的交点， 则点P (a , b )与圆C 的位置关系是 ． 12. 已知x >0, y >0且
21
+=1, 若x +2y >m 2+2m 恒成立, 则实数m 的取值范围是 ．
x y
x
13. 设函数f (x ) =log 22+1的反函数为y =f -1(x ) ，若关于x 的方程f -1(x ) =m +f (x ) 在[1,2]上有解，则实数m
()
的取值范围是 ．
x 2y 2
14. 若椭圆2+2=1(a >b >1)内有圆x 2+y 2=1，该圆的切线与椭圆交于A , B 两点，且满足⋅=0（其中O
a b
为坐标原点），则9a 2+16b 2的最小值是 ． 二．选择题（本大题满分20分）
15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0, +∞)上单调递减的函数为 ( ) ．
(A ). f (x )=10
x
.
(B )f (x )=x
3
.
(C )
f (x )=lg
1
x
x . (D )f (x )=c o s
i
在复平面上对应的点位于 a +i
16．若等比数列( ) ．
{a n }
前
n 项和为S n =-2n +a ，则复数z =
(A ) 第一象限 . (B )第二象限 . (C )第三象限 . (D ) 第四象限 .
⎧log 2x x ≥1，()f x =17．若函数 则“c =-1”是“y =f (x )在R 上单调增函数”的 ⎨
x +c x
( ) ．
(A )充分非必要条件. (C )充要条件.
(B )必要非充分条件. (D )既非充分也非必要条件.
x 2y 2
18．若F 1, F 2分别为双曲线C :-=1的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2，0) ，AM 为∠F 1AF 2
927
的平分线．则AF 2的值为 ( ) ．
(A ) 3 . (B )6. (C )9. (D )27.
三．解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）
已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1 (cm ) ，其体积为4 (cm 3) ， 求异面直线PA 与CD 所成角的大小.
C B
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知=(2b -c , a )，=(cos A , -cos C ) , 且m ⊥n . 1. 求角A 的大小； 2. 若a =
，∆ABC 面积为
34
，试判断∆ABC 的形状，并说明理由. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
若函数y =f (x )，如果存在给定的实数对(a , b )，使得f (a +x )⋅f (a -x )=b 恒成立，则称y =f (x )为“Ω函数”1. 判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由； ①f (x )=x 3 ② f (x )=2x
2. 已知函数f (x )=tan x 是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对(a , b ).
.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数f (x )=
3x *
，数列{a n }满足a 1=1，a n +1=f (a n ), n ∈N , 2x +3
1. 求a 2，a 3，a 4的值；
⎧1⎫
2. 求证：数列⎨⎬是等差数列；
⎩a n ⎭
3. 设数列{b n }满足b n =a n -1⋅a n (n ≥2)，b 1=3, S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n ， 若S n
m -2012
对一切n ∈N *成立，求最小正整数m 的值. 2
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知∆ABC 的三个顶点在抛物线Γ:x 2=y 上运动，
1. 求Γ的焦点坐标；
2. 若点A 在坐标原点， 且∠BAC =求点M 的轨迹方程；
3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ，若存在，求出这个正三角形ABC 的边长，若不存在，说明理由.
π
2
，点M 在BC 上，且 AM ⋅BC =0，
2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号空格内填写结果，每题填写对得4分，否则一律得零分. 1． 不等式
1-x
≥0的解集是__________． 2x +1
1
-1
3中-3的代数余子式的值为__________． 1
2． 行列式2
1-1-3
3． 从总体中抽取一个样本是5,6,7,8,9，则该样本的方差是__________．
4． 等比数列{a n }的首项与公比分别是复数2+i （i 是虚数单位）的实部与虚部，则数列{a n }的各项和的值为__________．
5． 随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__________（精确到0.001）．
6． 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得
1
3
C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB =__________． ∠B C D =15︒, ∠B D C =30︒, C D =米，并在点30
是8，则从集合{0,1,2,3}中
7． 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值取所有满足
条件的
S 0的值为__________．
8． 圆锥和圆柱的底面半径和高都是R ，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为__________． 9． 设A n 为(1+x)
n +1
的展开式中含x n -1项的系数，B n 为(1+x)
n -1
*
的展开式中二项式系数的和n ∈N ，则能使A n ≥B n
()
成立的n 的最大值是__________． 10．
已知y =f (x )是偶函数，y =g (x )是奇函数，他们的定义
域均为
且它们在x ∈[0,3]上的图像如图所示，则不等式[-3,3]，__________． 11．
f (x )
等比数列{a n }的前项和S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }公比为__________．
12．
111
x >0, y >0, 2x +y =，则+的最小值是__________．
3x y
已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有f (x )=f (x -1)+f (x +1)．若f (-1)=2, f (1)=3，
13．
则f (2012)+f (-2012)=__________． 14．
把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数
阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =2011，则n =__________．
1 1 2 3 4 2 4
5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36
图甲 图乙
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分. 15． 下列命题正确的是 （ ）
A ．若x ∈A ⋃B ，则x ∈A 且x ∈B
B ．∆ABC 中，sin A >sin B 是A >B 的充要条件
C. 若a ⋅b =a ⋅c ，则b =c
22
D. 命题“若x -2x =0，则x =2”的否命题是“若x ≠2，则x -2x ≠0”
16．
已知平面向量a =(1, -3), b =(4, -2)，λa +b 与a 垂直，则λ是 （ ）
A ． 1 B. 2 C. -2 D. -1
17． 下列命题中
① 三点确定一个平面；
② 若一条直线垂直与平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行；
④ 底面边长为2
12
正确的个数为 （ ） A ． 0 B. 1 C. 2 D. 3
18．
已知f (x )=a
x
(a >0, a ≠1)，g (x )为f (x )的反函数，若f (-2)⋅g (2)
系内的图像可能是 （ ）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤. 19． （本题满分12分） 设
i 2
（其中i 是虚数单位）是实系数方程2x -mx +n =0的一个根，求m +ni 的值. 1+i
20．
（本大题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分.
在正四棱柱ABCD -A 一直底面ABCD 的边长为2，点P 是CC 1的中点，直线AP 与平面BCC 1B 1成30︒角. 1B 1C 1D 1中，（1）求异面直线BC 1和AP 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）； （2）求点C 到平面BC 1D 的距离. 21．
P
（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知α
为锐角，且tan α=1.
⎛π⎫（1）设m =(x ,1), n = 2,sin(2α+⎪，若m ⊥n ，求x 的值； 4⎭⎝
（2）在∆ABC 中，若∠A =2α, ∠C =
22． π3, BC =2，求∆ABC 的面积. （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
x -x 设函数f (x )=a -(k -1)a
（1）求k 值； (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．
2（2）若f (1)
（3）若f (1)=
32x -2x ，且g (x )=a +a -2mf (x )，在[1, +∞)上的最小值为-2，求m 的值. 2
23． （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对数列{a n }和{b n }，若对任意正整数n ，恒有b n ≤a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“下界数列”.
（1）设数列a n =2n +1，请写出一个公比不为1的等比数列{b n }，使数列{b n }是数列{a n }的“下界数列”；
（2）设数列a n =2n -3n +10, b n =2n +2，求证数列{b n }是数列{a n }的“下界数列”； 2n -7
7, n =1⎧1⎪（3）设数列a n =2，b n =⎨7, n ∈N *，构造T n =(1-a 2)(1-a 3) (1-a n ), 7n -, n ≥2⎪⎩n n -1
*P n 对n ≥2, n ∈N 恒成立k 的最小值. n =(1+b 1)+(1+b 2)+ +(1+b n )，求使T n ≤kP
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3. 点击如图 在线答疑
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另外，如其他时间有不会的问题可以到360答疑上来问，会有老师及时作答的。
杨浦区2011学年度高三学科测试
数学试卷（理科） 2011.12.
一、填空题
2n ⎫⎛
1．计算：lim 1-⎪= ．
n →∞⎝n +3⎭
2．不等式
1-x
>0的解集是 ． x +2
3．若全集U =R ，函数y =3x -1的值域为集合A ，则C U A = .
4．若圆锥的母线长l =5(cm ) ，高h =4(cm ) ，则这个圆锥的体积等于 cm 3.
7
5
．在) 的二项展开式中，x 2的系数是 （结果用数字作答）.
()
2x
6．若y =f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x +4)=f (x )，当x ∈(0, 2)时，f (x )=2x 2
)= . 则f (2011
4x 2x -=1，则x = ． 7．若行列式
21
8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则至少含1件二等品的概率是 .
（结果精确到0.01） 9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 ． 10. 根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是 ．
11. 若直线l :ax +by =1与圆C :x 2+y 2=1有两个不同的交点， 则点P (a , b )与圆C 的位置关系是 ． 12. 已知x >0, y >0且
21
+=1, 若x +2y >m 2+2m 恒成立, 则实数m 的取值范围是 ．
x y
x
13. 设函数f (x ) =log 22+1的反函数为y =f -1(x ) ，若关于x 的方程f -1(x ) =m +f (x ) 在[1,2]上有解，则实数m
()
的取值范围是 ．
x 2y 2
14. 若椭圆2+2=1(a >b >1)内有圆x 2+y 2=1，该圆的切线与椭圆交于A , B 两点，且满足⋅=0（其中O
a b
为坐标原点），则9a 2+16b 2的最小值是 ． 二．选择题（本大题满分20分）
15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0, +∞)上单调递减的函数为 ( ) ．
(A ). f (x )=10
x
.
(B )f (x )=x
3
.
(C )
f (x )=lg
1
x
x . (D )f (x )=c o s
i
在复平面上对应的点位于 a +i
16．若等比数列( ) ．
{a n }
前
n 项和为S n =-2n +a ，则复数z =
(A ) 第一象限 . (B )第二象限 . (C )第三象限 . (D ) 第四象限 .
⎧log 2x x ≥1，()f x =17．若函数 则“c =-1”是“y =f (x )在R 上单调增函数”的 ⎨
x +c x
( ) ．
(A )充分非必要条件. (C )充要条件.
(B )必要非充分条件. (D )既非充分也非必要条件.
x 2y 2
18．若F 1, F 2分别为双曲线C :-=1的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2，0) ，AM 为∠F 1AF 2
927
的平分线．则AF 2的值为 ( ) ．
(A ) 3 . (B )6. (C )9. (D )27.
三．解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）
已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1 (cm ) ，其体积为4 (cm 3) ， 求异面直线PA 与CD 所成角的大小.
C B
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知=(2b -c , a )，=(cos A , -cos C ) , 且m ⊥n . 1. 求角A 的大小； 2. 若a =
，∆ABC 面积为
34
，试判断∆ABC 的形状，并说明理由. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
若函数y =f (x )，如果存在给定的实数对(a , b )，使得f (a +x )⋅f (a -x )=b 恒成立，则称y =f (x )为“Ω函数”1. 判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由； ①f (x )=x 3 ② f (x )=2x
2. 已知函数f (x )=tan x 是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对(a , b ).
.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数f (x )=
3x *
，数列{a n }满足a 1=1，a n +1=f (a n ), n ∈N , 2x +3
1. 求a 2，a 3，a 4的值；
⎧1⎫
2. 求证：数列⎨⎬是等差数列；
⎩a n ⎭
3. 设数列{b n }满足b n =a n -1⋅a n (n ≥2)，b 1=3, S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n ， 若S n
m -2012
对一切n ∈N *成立，求最小正整数m 的值. 2
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知∆ABC 的三个顶点在抛物线Γ:x 2=y 上运动，
1. 求Γ的焦点坐标；
2. 若点A 在坐标原点， 且∠BAC =求点M 的轨迹方程；
3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ，若存在，求出这个正三角形ABC 的边长，若不存在，说明理由.
π
2
，点M 在BC 上，且 AM ⋅BC =0，
2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号空格内填写结果，每题填写对得4分，否则一律得零分. 1． 不等式
1-x
≥0的解集是__________． 2x +1
1
-1
3中-3的代数余子式的值为__________． 1
2． 行列式2
1-1-3
3． 从总体中抽取一个样本是5,6,7,8,9，则该样本的方差是__________．
4． 等比数列{a n }的首项与公比分别是复数2+i （i 是虚数单位）的实部与虚部，则数列{a n }的各项和的值为__________．
5． 随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__________（精确到0.001）．
6． 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得
1
3
C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB =__________． ∠B C D =15︒, ∠B D C =30︒, C D =米，并在点30
是8，则从集合{0,1,2,3}中
7． 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值取所有满足
条件的
S 0的值为__________．
8． 圆锥和圆柱的底面半径和高都是R ，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为__________． 9． 设A n 为(1+x)
n +1
的展开式中含x n -1项的系数，B n 为(1+x)
n -1
*
的展开式中二项式系数的和n ∈N ，则能使A n ≥B n
()
成立的n 的最大值是__________． 10．
已知y =f (x )是偶函数，y =g (x )是奇函数，他们的定义
域均为
且它们在x ∈[0,3]上的图像如图所示，则不等式[-3,3]，__________． 11．
f (x )
等比数列{a n }的前项和S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }公比为__________．
12．
111
x >0, y >0, 2x +y =，则+的最小值是__________．
3x y
已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有f (x )=f (x -1)+f (x +1)．若f (-1)=2, f (1)=3，
13．
则f (2012)+f (-2012)=__________． 14．
把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数
阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =2011，则n =__________．
1 1 2 3 4 2 4
5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36
图甲 图乙
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分. 15． 下列命题正确的是 （ ）
A ．若x ∈A ⋃B ，则x ∈A 且x ∈B
B ．∆ABC 中，sin A >sin B 是A >B 的充要条件
C. 若a ⋅b =a ⋅c ，则b =c
22
D. 命题“若x -2x =0，则x =2”的否命题是“若x ≠2，则x -2x ≠0”
16．
已知平面向量a =(1, -3), b =(4, -2)，λa +b 与a 垂直，则λ是 （ ）
A ． 1 B. 2 C. -2 D. -1
17． 下列命题中
① 三点确定一个平面；
② 若一条直线垂直与平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行；
④ 底面边长为2
12
正确的个数为 （ ） A ． 0 B. 1 C. 2 D. 3
18．
已知f (x )=a
x
(a >0, a ≠1)，g (x )为f (x )的反函数，若f (-2)⋅g (2)
系内的图像可能是 （ ）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤. 19． （本题满分12分） 设
i 2
（其中i 是虚数单位）是实系数方程2x -mx +n =0的一个根，求m +ni 的值. 1+i
20．
（本大题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分.
在正四棱柱ABCD -A 一直底面ABCD 的边长为2，点P 是CC 1的中点，直线AP 与平面BCC 1B 1成30︒角. 1B 1C 1D 1中，（1）求异面直线BC 1和AP 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）； （2）求点C 到平面BC 1D 的距离. 21．
P
（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知α
为锐角，且tan α=1.
⎛π⎫（1）设m =(x ,1), n = 2,sin(2α+⎪，若m ⊥n ，求x 的值； 4⎭⎝
（2）在∆ABC 中，若∠A =2α, ∠C =
22． π3, BC =2，求∆ABC 的面积. （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
x -x 设函数f (x )=a -(k -1)a
（1）求k 值； (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．
2（2）若f (1)
（3）若f (1)=
32x -2x ，且g (x )=a +a -2mf (x )，在[1, +∞)上的最小值为-2，求m 的值. 2
23． （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对数列{a n }和{b n }，若对任意正整数n ，恒有b n ≤a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“下界数列”.
（1）设数列a n =2n +1，请写出一个公比不为1的等比数列{b n }，使数列{b n }是数列{a n }的“下界数列”；
（2）设数列a n =2n -3n +10, b n =2n +2，求证数列{b n }是数列{a n }的“下界数列”； 2n -7
7, n =1⎧1⎪（3）设数列a n =2，b n =⎨7, n ∈N *，构造T n =(1-a 2)(1-a 3) (1-a n ), 7n -, n ≥2⎪⎩n n -1
*P n 对n ≥2, n ∈N 恒成立k 的最小值. n =(1+b 1)+(1+b 2)+ +(1+b n )，求使T n ≤kP