第十五章 电路方程的矩阵形式内容总结
——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型
1、教学基本要求
初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL 和KVL 的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点
(1) 关联矩阵
(2) 结点电压方程的矩阵形式
(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法 (4) 电路状态方程列写的直观法和系统法 . 三种主要关联矩阵形式：
① 结点关联矩阵A ：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N 个结点、B 条支路，其结点关联矩阵A 表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素a jk 的定义为：a jk = +1，表示结点j 与支路k 相关联且支路方向流出结点；
a jk = -1，表示结点j 与支路k 相关联且支路方向流入结点； a jk = 0，表示结点j 与支路k 不关联；
② 回路关联矩阵B ：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L 个回路、B 条支路，其回路关联矩阵B 表示如下：
l ⅹb
其中任意元素b jk 的定义为：b jk = +1，表示回路j 与支路k 相关联且回路方向与支路方向一致；
b jk = -1，表示回路j 与支路k 相关联且回路方向与支路方向向反； b jk = 0，表示回路j 与支路k 相不关联；
③ 割集关联矩阵Q ：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q 个割集、B 条支路，其割集关联矩阵Q 表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素q jk 的定义为：q jk = +1，表示割集j 与支路k 相关联且割集方向与支路方向一致；
q jk = -1，表示割集j 与支路k 相关联且割集方向与支路方向向反； q jk = 0，表示割集j 与支路k 相不关联；
注意：
★ 对于结点关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式： u =A T u n ；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。 u n =[u n i u n 2 u n 3 …… u n(n-1)]T 。
★ 对于回路关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式： i = B T i l ；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。 i l =[i l i i l 2 i l 3 …… i ll ]T 基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。
★ 对于割集关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式： u =Q f T u t ；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。 u t =[u t i u t 2 u t 3 …… u t(n-1)]T 。
④三种矩阵之间的关系（略）
2. 三种分析方法的方程的矩阵形式
① 回路电流方程的矩阵形式（略） ② 割集电压方程的矩阵形式（略） ③ 结点电压方程的矩阵形式
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n ；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。 u n =[u n i u n 2 u n 3 …… u n(n-1)]T 。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：
第一步：建立复合支路：
由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k 条支路如下：
由基尔霍夫电流定律得：
所以：对该式
进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴ 复合支路中无受控源时：
由KCL 得：
变成
又
角矩阵。
同理可以分析一下两种情况
⑵ 复合支路中无受控源，但电感之间有互感时： ⑶ 复合支路中含有受控源时：
第二步：写出A 、Y 、I S 、U S 等矩阵； 第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：
所以
将
代入得：
Y 为支路导纳矩阵，它是一个对
3、典型例题分析
【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图15.1（a ）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b ）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。
图15.1（a ） 图15.1（b ） 解：由图15.1（b ）得节点关联矩阵
A,
节点电压的列向量，
支路电流的列向量，
支路电压的列向量，
支路导纳矩阵，
节点导纳矩阵，
结点电压方程的矩阵形式为：
【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图15.2（a ）所示，以
为状态变量，列出电路的状态方程。
图15.2（a ） 图15.2（b ）
解：方法 1直观法
KVL ：
KCL ：消去：代入上式：
；
；
；
然后整理成矩阵形式（略）。
方法 2系统法
选图（b ）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支 含电感单连支回路的 KVL ：含电容单树支割集的 KCL ：
【例题3】：求图15.3所示电路的状态方程。
图15.3
解：设 u c ,i 1 ，i 2 为状态变量
其中：
从以上方程中消去非状态量，得：
写成矩阵形式：
【例题4】：
图15.4所示图G 的关联矩阵A =________________________。
图15.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1⎡11
10000
0⎤
2⎢000111000
⎥
A ⎢
⎥
=3⎢00
0000111⎥
4⎢
⎢-100-10
-100⎥
⎥5⎢⎣0-1
-10
0-10⎥⎦(每错一个元素扣2分，扣完为止)
3、典型习题
【题1】：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。
【题2】：图15.5所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别为： A.3个，3个； B.3个，4个； C.4个，3个； D.4个，4个。
图15.5
【题3】：图15.6所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）
答（ ）
图15.6
【题4】：图15.7所示电路的G 已给出，则其支路导纳矩阵为： 答（ ）
图15.7
【题5】：图15.8所示电路支路编号和参考方向如图G 所示，则其支路导纳矩阵Y b 为： 答（ ）
图15.8
【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为[Y n ][U n ]=[A ][Y b ][U S ]-[A ][I S ]时，标准支路的形式为图15.9中所示的： 答（ ）
图15.9
【题7】：用矩阵法建立图15.10所示电路的节点电压方程。（直接写出无分）
图15.10
【题8】：按下列步骤列出图15.11所示电路节点电压方程的矩阵形式：
1. 有向图; （编号按元件参数下标） 2. 出所需的各矩阵;
3. 出节点电压方程的矩阵公式; 4. 出节点电压方程的矩阵形式。
图15.11
【题9】：用矩阵法建立图15.12所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图15.12
【题10】：试列出图15.13所示电路的矩阵形式状态方程。
图15.13
【题11】：图15.14所示电路中，R =5 ；C 1=2F；C 2=1F；L =2H.。求该电路的状态方程。
图15.14
【题12】：试建立图15.15所示电路的状态方程。
图15.15
【题13】：试建立图15.16所示电路的状态方程。
图15.16
【题14】：图15.17所示电路中，R 1=1000Ω；R 2=3000Ω；C =250μF ；L =0.1mH.。试建立电路的状态方程。
图15.17
【题15】：图15.18所示电路中，R 1=1000Ω；R 2=30Ω；R 3=10Ω；C =4000μF ；L =5mH.。试建立电路的状态方程。
图15.18
第十五章 电路方程的矩阵形式答案
题1
(1) 5)
(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分) 题2：（C ）
题3：（D ）
题4：（C ）
题5：（C ）
题6：（A ）
题7：
题8：
题9：
题10：
⎡d i 1⎢d t ⎢d i ⎢2
⎢d t ⎢d u C ⎢d t ⎣⎤⎥⎡⎥⎢-1-2⎥=⎢-1-4⎥⎢11⎥⎢2⎥⎣2⎦⎤-2⎥⎡i 1⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥-3⎥⎢i 2⎥+⎢1⎥u S ⎥0⎥⎢⎣u C ⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎦题11：
d u C 1=-0. 5i L +0. 5i S d u C 2=-0. 2u C 2+i L d i L =0. 5u C 1-0. 5u C 2 d t d t 题12：
题13：
题14：
d u C
d t =-u C -1000i L +u S 题15：
d t d i L d t =2500u C -7500⨯103i L +7500u S
第十五章 电路方程的矩阵形式内容总结
——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型
1、教学基本要求
初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL 和KVL 的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点
(1) 关联矩阵
(2) 结点电压方程的矩阵形式
(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法 (4) 电路状态方程列写的直观法和系统法 . 三种主要关联矩阵形式：
① 结点关联矩阵A ：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N 个结点、B 条支路，其结点关联矩阵A 表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素a jk 的定义为：a jk = +1，表示结点j 与支路k 相关联且支路方向流出结点；
a jk = -1，表示结点j 与支路k 相关联且支路方向流入结点； a jk = 0，表示结点j 与支路k 不关联；
② 回路关联矩阵B ：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L 个回路、B 条支路，其回路关联矩阵B 表示如下：
l ⅹb
其中任意元素b jk 的定义为：b jk = +1，表示回路j 与支路k 相关联且回路方向与支路方向一致；
b jk = -1，表示回路j 与支路k 相关联且回路方向与支路方向向反； b jk = 0，表示回路j 与支路k 相不关联；
③ 割集关联矩阵Q ：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q 个割集、B 条支路，其割集关联矩阵Q 表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素q jk 的定义为：q jk = +1，表示割集j 与支路k 相关联且割集方向与支路方向一致；
q jk = -1，表示割集j 与支路k 相关联且割集方向与支路方向向反； q jk = 0，表示割集j 与支路k 相不关联；
注意：
★ 对于结点关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式： u =A T u n ；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。 u n =[u n i u n 2 u n 3 …… u n(n-1)]T 。
★ 对于回路关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式： i = B T i l ；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。 i l =[i l i i l 2 i l 3 …… i ll ]T 基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。
★ 对于割集关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式： u =Q f T u t ；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。 u t =[u t i u t 2 u t 3 …… u t(n-1)]T 。
④三种矩阵之间的关系（略）
2. 三种分析方法的方程的矩阵形式
① 回路电流方程的矩阵形式（略） ② 割集电压方程的矩阵形式（略） ③ 结点电压方程的矩阵形式
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i 2 i 3 …… i b ]T 。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n ；u =[u i u 2 u 3 …… u b ]T 。 u n =[u n i u n 2 u n 3 …… u n(n-1)]T 。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：
第一步：建立复合支路：
由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k 条支路如下：
由基尔霍夫电流定律得：
所以：对该式
进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴ 复合支路中无受控源时：
由KCL 得：
变成
又
角矩阵。
同理可以分析一下两种情况
⑵ 复合支路中无受控源，但电感之间有互感时： ⑶ 复合支路中含有受控源时：
第二步：写出A 、Y 、I S 、U S 等矩阵； 第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：
所以
将
代入得：
Y 为支路导纳矩阵，它是一个对
3、典型例题分析
【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图15.1（a ）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b ）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。
图15.1（a ） 图15.1（b ） 解：由图15.1（b ）得节点关联矩阵
A,
节点电压的列向量，
支路电流的列向量，
支路电压的列向量，
支路导纳矩阵，
节点导纳矩阵，
结点电压方程的矩阵形式为：
【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图15.2（a ）所示，以
为状态变量，列出电路的状态方程。
图15.2（a ） 图15.2（b ）
解：方法 1直观法
KVL ：
KCL ：消去：代入上式：
；
；
；
然后整理成矩阵形式（略）。
方法 2系统法
选图（b ）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支 含电感单连支回路的 KVL ：含电容单树支割集的 KCL ：
【例题3】：求图15.3所示电路的状态方程。
图15.3
解：设 u c ,i 1 ，i 2 为状态变量
其中：
从以上方程中消去非状态量，得：
写成矩阵形式：
【例题4】：
图15.4所示图G 的关联矩阵A =________________________。
图15.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1⎡11
10000
0⎤
2⎢000111000
⎥
A ⎢
⎥
=3⎢00
0000111⎥
4⎢
⎢-100-10
-100⎥
⎥5⎢⎣0-1
-10
0-10⎥⎦(每错一个元素扣2分，扣完为止)
3、典型习题
【题1】：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。
【题2】：图15.5所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别为： A.3个，3个； B.3个，4个； C.4个，3个； D.4个，4个。
图15.5
【题3】：图15.6所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）
答（ ）
图15.6
【题4】：图15.7所示电路的G 已给出，则其支路导纳矩阵为： 答（ ）
图15.7
【题5】：图15.8所示电路支路编号和参考方向如图G 所示，则其支路导纳矩阵Y b 为： 答（ ）
图15.8
【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为[Y n ][U n ]=[A ][Y b ][U S ]-[A ][I S ]时，标准支路的形式为图15.9中所示的： 答（ ）
图15.9
【题7】：用矩阵法建立图15.10所示电路的节点电压方程。（直接写出无分）
图15.10
【题8】：按下列步骤列出图15.11所示电路节点电压方程的矩阵形式：
1. 有向图; （编号按元件参数下标） 2. 出所需的各矩阵;
3. 出节点电压方程的矩阵公式; 4. 出节点电压方程的矩阵形式。
图15.11
【题9】：用矩阵法建立图15.12所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图15.12
【题10】：试列出图15.13所示电路的矩阵形式状态方程。
图15.13
【题11】：图15.14所示电路中，R =5 ；C 1=2F；C 2=1F；L =2H.。求该电路的状态方程。
图15.14
【题12】：试建立图15.15所示电路的状态方程。
图15.15
【题13】：试建立图15.16所示电路的状态方程。
图15.16
【题14】：图15.17所示电路中，R 1=1000Ω；R 2=3000Ω；C =250μF ；L =0.1mH.。试建立电路的状态方程。
图15.17
【题15】：图15.18所示电路中，R 1=1000Ω；R 2=30Ω；R 3=10Ω；C =4000μF ；L =5mH.。试建立电路的状态方程。
图15.18
第十五章 电路方程的矩阵形式答案
题1
(1) 5)
(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分) 题2：（C ）
题3：（D ）
题4：（C ）
题5：（C ）
题6：（A ）
题7：
题8：
题9：
题10：
⎡d i 1⎢d t ⎢d i ⎢2
⎢d t ⎢d u C ⎢d t ⎣⎤⎥⎡⎥⎢-1-2⎥=⎢-1-4⎥⎢11⎥⎢2⎥⎣2⎦⎤-2⎥⎡i 1⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥-3⎥⎢i 2⎥+⎢1⎥u S ⎥0⎥⎢⎣u C ⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎦题11：
d u C 1=-0. 5i L +0. 5i S d u C 2=-0. 2u C 2+i L d i L =0. 5u C 1-0. 5u C 2 d t d t 题12：
题13：
题14：
d u C
d t =-u C -1000i L +u S 题15：
d t d i L d t =2500u C -7500⨯103i L +7500u S