数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1⎪n
2、 等比数列求和公式：S n =⎨a 1(1-q ) a 1-a n q
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
自然数方幂和公式：
n
11
3、 S n =∑k =(n +1) 4、S n =∑k 2=(n +1)(2n +1)
62k =1k =1
n
5、 S n =
13
k =[(n +1)]2 ∑2k =1
二、错位相减法求和
n
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我
们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an · b n }的前n 项和，其中{ an }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比这种方法就是错位相减法。
[例1] 求和：S n =1+3x +5x 2+7x 3+⋅⋅⋅+(2n -1) x n -1（
注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况； 2 错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{a n }的首项a 1=
q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，
x ≠1）…………………①
1
，前n 项和为S n ，且210S 30-(210+1) S 20+S 10=0。2
（Ⅰ）求{a n }的通项； （Ⅱ）求{nS n }的前n 项和T n 。
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a 1+a n ) .
[例2] 求证：C n +3C n +5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n =(n +1) 2（提示C n =C n
1
2
n
n
m
n -m
）
1
延展思考：
1：求
2. 已知函数f (x ) =中点的横坐标为
1
(x ∈R ) ，点P x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 是函数f (x ) 图象上的任意两点, 且线段PP 12的1(x
4+2
1
． 2
12k m -1m ), a 2=f (), , a k =f (), , a m -1=f (), a m =f (), m ∈N *, m m m m m
求证：（１）点P 的纵坐标为定植 （２）在数列{a n }中, a 1=f (求数列{a n }的前
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
若数列{a n }的通项公式为c n =a n +b n ，其中{a n }{, b n }中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
[例3]：求数列1, 2, 3, 4
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
2
项和S m
1214181
的前n 项和； 16
sin 1
（1）a n =f (n +1) -f (n ) （2） =tan(n +1) -tan n
cos n cos(n +1)
111(2n ) 2111
（3）a n = （4）a n ==-=1+(-)
n (n +1) n n +1(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
（5）a n =
1111
=[-]
n (n -1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
11+2
,
12+3
, ⋅⋅⋅,
1n +n +1
, ⋅⋅⋅的前n 项和.
[例4] 求数列
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。
[练习] 在数列{an }中，a n =
12n 2
++⋅⋅⋅+，又b n =，求数列{bn }的前n 项的和. n +1n +1n +1a n ⋅a n +1
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例5] 在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 6=9, 求log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10的值.
3
数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。
数列求和的基本方法和技巧
例1. 解：由题可知，{(2n -1) x n -1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x
n -1
}的通项之积
设xS n =1x +3x 2+5x 3+7x 4+⋅⋅⋅+(2n -1) x n ………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1-x ) S n =1+2x +2x 2+2x 3+2x 4+⋅⋅⋅+2x n -1-(2n -1) x n （错位相减）
1-x n -1
-(2n -1) x n 再利用等比数列的求和公式得：(1-x ) S n =1+2x ⋅
1-x
(2n -1) x n +1-(2n +1) x n +(1+x )
∴ S n =
(1-x ) 2
012n
例2. 证明： 设S n =C n ………………………….. ① +3C n +5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n
把①式右边倒转过来得
n n -110
（反序） S n =(2n +1) C n +(2n -1) C n +⋅⋅⋅+3C n +C n
m n -m
又由C n 可得 =C n
01n -1n S n =(2n +1) C n …………..…….. ② +(2n -1) C n +⋅⋅⋅+3C n +C n
01n -1n ①+②得 2S n =(2n +2)(C n +C n +⋅⋅⋅+C n +C n ) =2(n +1) ⋅2n （反序相加）
∴ S n =(n +1) ⋅2n
延展思考1. 解： 设
倒序得：
①＋②得
．．．．．．．①
．．．．．．②
评析：本题用倒序相加法是利用了三角函数所特有的条性质．
和两
延展思考2解：（１）
的中点的横坐标为
4
，
；
，
的纵坐标为是定值．
（２） 由（１）知：，，
又
令．．．．．．．．．．．．．①．
倒序得：①＋②得：
．．．．．．．②
，
评析： 显然, 此题用倒序相加法的条件是函数具备的特殊性质:
例3. 分析：数列的通项公式为a n =n +用分组结合法；
[解] ：因为a n =n +
1⎧1⎫，而数列{}n , ⎨n ⎬分别是等差数列、等比数列，求和时一般n 2⎩2⎭
1
，所以 n 2
5
1111
s n =(1+) +(2+) +(3+) + +(n +n )
2482
=(1+2+3+ +n ) +(+
1
2111
++ +n ) （分组） 482
（前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此）
1 =n (n +1) (1-1
n )
n 2+2+=n -11-122n +1
2
例4. 解：设a n =
1n +n +1=n +1-n 则 S n =
11+2
+
1+⋅⋅⋅+
12+3
n +n +1
＝(2-) +(-2) +⋅⋅⋅+(n +1-n ) ＝n +1-1
例5. 解：设S n =log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10
由等比数列的性质 m +n =p +q ⇒a m a n =a p a q 和对数的运算性质 log a M +log a N =log a M ⋅N 得
S n =(log3a 1+log 3a 10) +(log3a 2+log 3a 9) +⋅⋅⋅+(log3a 5+log 3a 6) ＝(log3a 1⋅a 10) +(log3a 2⋅a 9) +⋅⋅⋅+(log3a 5⋅a 6) ＝log 39+log 39+⋅⋅⋅+log 39 ＝10
6
（裂项）（裂项求和）
（合并求和）
（找特殊性质项）
数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1⎪n
2、 等比数列求和公式：S n =⎨a 1(1-q ) a 1-a n q
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
自然数方幂和公式：
n
11
3、 S n =∑k =(n +1) 4、S n =∑k 2=(n +1)(2n +1)
62k =1k =1
n
5、 S n =
13
k =[(n +1)]2 ∑2k =1
二、错位相减法求和
n
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我
们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an · b n }的前n 项和，其中{ an }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比这种方法就是错位相减法。
[例1] 求和：S n =1+3x +5x 2+7x 3+⋅⋅⋅+(2n -1) x n -1（
注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况； 2 错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{a n }的首项a 1=
q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，
x ≠1）…………………①
1
，前n 项和为S n ，且210S 30-(210+1) S 20+S 10=0。2
（Ⅰ）求{a n }的通项； （Ⅱ）求{nS n }的前n 项和T n 。
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a 1+a n ) .
[例2] 求证：C n +3C n +5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n =(n +1) 2（提示C n =C n
1
2
n
n
m
n -m
）
1
延展思考：
1：求
2. 已知函数f (x ) =中点的横坐标为
1
(x ∈R ) ，点P x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 是函数f (x ) 图象上的任意两点, 且线段PP 12的1(x
4+2
1
． 2
12k m -1m ), a 2=f (), , a k =f (), , a m -1=f (), a m =f (), m ∈N *, m m m m m
求证：（１）点P 的纵坐标为定植 （２）在数列{a n }中, a 1=f (求数列{a n }的前
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
若数列{a n }的通项公式为c n =a n +b n ，其中{a n }{, b n }中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
[例3]：求数列1, 2, 3, 4
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
2
项和S m
1214181
的前n 项和； 16
sin 1
（1）a n =f (n +1) -f (n ) （2） =tan(n +1) -tan n
cos n cos(n +1)
111(2n ) 2111
（3）a n = （4）a n ==-=1+(-)
n (n +1) n n +1(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
（5）a n =
1111
=[-]
n (n -1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
11+2
,
12+3
, ⋅⋅⋅,
1n +n +1
, ⋅⋅⋅的前n 项和.
[例4] 求数列
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。
[练习] 在数列{an }中，a n =
12n 2
++⋅⋅⋅+，又b n =，求数列{bn }的前n 项的和. n +1n +1n +1a n ⋅a n +1
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例5] 在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 6=9, 求log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10的值.
3
数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。
数列求和的基本方法和技巧
例1. 解：由题可知，{(2n -1) x n -1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x
n -1
}的通项之积
设xS n =1x +3x 2+5x 3+7x 4+⋅⋅⋅+(2n -1) x n ………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1-x ) S n =1+2x +2x 2+2x 3+2x 4+⋅⋅⋅+2x n -1-(2n -1) x n （错位相减）
1-x n -1
-(2n -1) x n 再利用等比数列的求和公式得：(1-x ) S n =1+2x ⋅
1-x
(2n -1) x n +1-(2n +1) x n +(1+x )
∴ S n =
(1-x ) 2
012n
例2. 证明： 设S n =C n ………………………….. ① +3C n +5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n
把①式右边倒转过来得
n n -110
（反序） S n =(2n +1) C n +(2n -1) C n +⋅⋅⋅+3C n +C n
m n -m
又由C n 可得 =C n
01n -1n S n =(2n +1) C n …………..…….. ② +(2n -1) C n +⋅⋅⋅+3C n +C n
01n -1n ①+②得 2S n =(2n +2)(C n +C n +⋅⋅⋅+C n +C n ) =2(n +1) ⋅2n （反序相加）
∴ S n =(n +1) ⋅2n
延展思考1. 解： 设
倒序得：
①＋②得
．．．．．．．①
．．．．．．②
评析：本题用倒序相加法是利用了三角函数所特有的条性质．
和两
延展思考2解：（１）
的中点的横坐标为
4
，
；
，
的纵坐标为是定值．
（２） 由（１）知：，，
又
令．．．．．．．．．．．．．①．
倒序得：①＋②得：
．．．．．．．②
，
评析： 显然, 此题用倒序相加法的条件是函数具备的特殊性质:
例3. 分析：数列的通项公式为a n =n +用分组结合法；
[解] ：因为a n =n +
1⎧1⎫，而数列{}n , ⎨n ⎬分别是等差数列、等比数列，求和时一般n 2⎩2⎭
1
，所以 n 2
5
1111
s n =(1+) +(2+) +(3+) + +(n +n )
2482
=(1+2+3+ +n ) +(+
1
2111
++ +n ) （分组） 482
（前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此）
1 =n (n +1) (1-1
n )
n 2+2+=n -11-122n +1
2
例4. 解：设a n =
1n +n +1=n +1-n 则 S n =
11+2
+
1+⋅⋅⋅+
12+3
n +n +1
＝(2-) +(-2) +⋅⋅⋅+(n +1-n ) ＝n +1-1
例5. 解：设S n =log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10
由等比数列的性质 m +n =p +q ⇒a m a n =a p a q 和对数的运算性质 log a M +log a N =log a M ⋅N 得
S n =(log3a 1+log 3a 10) +(log3a 2+log 3a 9) +⋅⋅⋅+(log3a 5+log 3a 6) ＝(log3a 1⋅a 10) +(log3a 2⋅a 9) +⋅⋅⋅+(log3a 5⋅a 6) ＝log 39+log 39+⋅⋅⋅+log 39 ＝10
6
（裂项）（裂项求和）
（合并求和）
（找特殊性质项）