数列求和的技巧和方法

摘要：“数列求和”是数列知识体系的重要内容，常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大多数数列求和的问题都需要一定的解题技巧和方法。

关键词：数列求和问题；高考重要内容；高中数学；技巧和解法；总结点评

数列是高中数学的重要内容，并在高考中占有重要的地位。其中的“数列求和”是数列知识体系的重要内容，常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题，但是逐年淡化。然而，2011年高考，数列求和、求通项有了回归趋势。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大多数数列求和的问题都需要一定的解题技巧和方法。

一、利用常用公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）d22、等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1） 3、Sn=1+2+3+…+n=12n（n+1）4、Sn=12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）5、Sn=13+23+33+…+n3=[12n（n+1）]2【总结点评】通项an=kn+b，利用等差数列前n项和公式直接求解；通项an=a·qn-1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对公比q是否等于1两种情况进行讨论。

二、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差、等比或者常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例1、已知数列an的通项公式an=3n+2n-1，求数列an的前n项和Sn.解：Sn=a1+a2+a3+…+an=（2+5+…+3n-1）+（2+22+…+2n）=n（2+3n-1）2+2-2n+11-2=12n（3n+1）+2n+1-2例2、求数列5，55，555，5555，…的前n项和Sn.解：∵an=59（10n-1）∴Sn=5910-1+102-1+…+10n-1？=5910+102+…+10n+-1·n=59101-10n1-10-n？=508110n-1-59n【总结点评】用分组法求和，常见的题型为：an=bn±cn，数列bn，cn是等差数列或等比数列。

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排序，再把它与原数列相加，可以得到n个a1+an。例3、设fx=12x+2，求f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6的值。解：f1-x+fx=121-x+2+12x+2=2x2+2·2x+12x+2=2x22+2x+222+2x=22设S=f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6，则S=f6+f5+…+f0+…+f-4+f-5，两式相加得2S=12×22，∴S=32。例4、求证：C0n+3C1n+5C2n+…+2n+1Cnn=n+12n.证明：设Sn=C0n+3C1n+5C2n+…+2n+1Cnn（1）把上式右边倒序过来得Sn=2n+1Cnn+2n-1Cn-1n+…+3C1n+C0n由Cmn=Cn-mn得Sn=2n+1C0n+2n-1C1n+…+3Cn-1n+Cnn（2）（1）+（2）得2Sn=2n+2（C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn）=2n+1·2n于是Sn=n+1·2n.【总结点评】用倒序相加法求和，常见的题型有以下几种：①fx+fn-x=α（常数）型；②数列an中，ak+an-k=α（常数）型；③与Cmn有关的式子求和。

四、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。例5、求数列12，34，58，…，2n-12n，…的前n项和。解：通项an=2n-1·12n，数列2n-1是等差数列，12n是等比数列Sn=1×12+3×122+5×123+…+2n-1×12n12Sn=1×122+3×123+5×124+…+2n-1×12n+1上两个式子相减得：12Sn=12+2×122+2×123+…+2n-3×12n-2n-1×12n+112Sn=12+2（122+123+…+12n）-2n-1×12n+112Sn=12+2×141-12n-11-12-2n-1×12n+1，整理得：Sn=3-2n-32n.例6、求和Sn=1a+2a2+3a3+…+nan.解：由通项an=nan知，1an为等比数列，其系数构成数列n成等差数列，于是：当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=n1+n2；当a≠1时，Sn=1a+2a2+3a3+…+nan（1）两边同乘1a得1aSn=1a2+2a3+3a4+…+nan+1（2）（1）-（2）得（1-1a）Sn=1a+1a2+1a3+…+1an-nan+1，即Sn=a（an-1）-n（a-1）an（a-1）2.综上所述得，Sn=n1+n2a=1a（an-1）-n（a-1）an（a-1）2a≠1  【总结点评】如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积组成，则求此数列的前n项和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子错位相减法，要注意对字母的讨论。

五、裂项相消法求和

裂项相消法的实质是把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的拆项公式有：1n（n+1）=1n-1n+1；1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）；1a+b=1a-b（a-b）；an=Sn-Sn-1（n≥2）.例7、在数列an中，an=1n+1+2n+1+…+nn+1，又bn=2an·an+1，求数列bn的前n项和。解：an=1n+11+2+3+…+n=n2，bn=2n2·n+12=81n-1n+1∴数列bn的前n项和为Sn=81-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=81-1n+1=8nn+1.例8、数列an的通项an=1n2+2n，求数列an的前n项和。解：通项an=1n2+2n=121n-1n+2∴Sn=121-13+12-14+13-15+…+1n-2-1n+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32n+1n+2.【总结点评】（1）若数列an的通项能转化为fn+1-fn的形式，常采用裂项相消法求和；（2）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。

此外，通项形如an=-1nfn，可采用相邻两项合并求解，即采用“合并法”；形如“求出S1，S2，S3，然后猜出Sn”，用数学归纳法证明。希望上述方法能给大家的学习提供一定的方法和建议。