黼国校外教臀
每簪靠，亩
浅谈三角函数最值问题
◆张秀英（吉林市工业经济学校）
【摘要】三角函数是现代高中数学领域所涉及的越修内容，同时又是相当便捷的数学运算工具，三角函数的最值问题是函数中的基本知识，在实际生活当中的应用极为重要。随着现代教育形式的不断深化，三角函数的最值问题逐渐成为近年采高中数学教学的重要关注点，它对三角函数的恒等变形能力以覆综合应用要求较高。
【关键词ｌ三角函数高中数学最值值域常见问题方法探究
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数
解可用三角函数的有界性。要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。
例：函数Ｙ＝ｋ若ｋ＞Ｏ，则当ｓｉｎ
ｓｉｎ
学领域和其他领域中有着相当重要的作用。本文从现代高中教学实际出
发，分析并介绍了三角函数中常见的最值求解类型问题．结合具体的实例，阐述了相关问题的典型解题方法．探讨了一般的解题策略与技巧。
一、三角函数的定义
数学领域中，三角函数又叫圆函数．是针对平面直角坐标系而言的角
ｘ＋ｂ的最大值为２．最小值为一４．求ｋ，ｂ的值。解：
Ｘ＝１时。Ｙ懈＝２；
当ｓｉｎＸ＝一ｌ时，Ｙｍｉｎ＝－４
．‘．ｋ＋ｂ＝２。一ｋ＋ｂ＝－４．解得ｋ＝３。ｂ＝一１同理可以求得ｋ＜０的情况。
３．型如Ｙ＝ａｓｌｎ２ｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型的函数
此种类型题目的特点是含有ｓｉｎｘ．ｃｏ“，并且其中一个是二次，解决思
函数。通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率。也可以等价
的定义为单位四上的各种线段的长度。现代数学理论认为。三角函数的定义是把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的值域由实数域的任意正数和负数值扩展到复数值。现代数学领域中．三角函数属于初等函数中的一类函数。
二、三角函数的最值
最值问题是一类特殊的教学问题．它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在高中数学教学中也占有比较重要的比重，它经常
路最好应用ｓｉｎ２ｘ＋嘲２ｘ＝１．使函数式只含有一种三角函数．再应用换元
法，转化成二次函数来求解。
三
三
倒：是否存存实数口，使得函数）一ｓｉｎＺｘ＋ａ・ＣＯＳＸ＋８ａ－－２存闭隧
三
与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，
其解法灵活，综合性强，能力要求高。
三、三角函数最值问题的常见类型及求解策略
三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的方法是选取一个恰当的变量０角．构造以０角为自变量的函数．通过求三角函数最值来解
问Ｅｏ，２】上的鳋大值戆ｌ？若存在，求出对应的ａ值：蓿不存在，试说明理由．
蜘斗ｃｏｓ２…ｃｏｓ工＋；ｎ÷－－（ｃｏｓ０２ｎ尘４÷一争
。
８２８２
决。这类问题解题一般流程为：审读题意一设角建立三角函数武一进行三
角变换一解决实际问题；通常分两步求解：首先，建立目标函数．其关键是选择恰当的自变■并确定自变量的取值范围；其次。是在符合实际问题意义的情形下求目标函数的最值。故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识．能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
兰知ｓ工ｓ鲁时，ｏ≤ＣＯＳＸｓｌ．
若詈＞Ｉ对，印４＞２，列当ＣＯＳＸ＝Ｉ时。），ｋ＝口＋；口一吾＝ｌ
ｊ口：百２０＜２（台去），
高中数学教学中，在三角函数问题分析时，比较常见的类型主要体现
在以下几种类型，下面结合实例分析以下它们的解题策略：
１．型如Ｙ２舾ｉⅡ＋ｂｃｏｅｘ型的函数
此种类型题目的特点是禽有ｊＥ余弦函数，并且是—欠式．解决此类问题的指导思想是把藏、余弦喃数转化为单一的．ｉ角函数。应用
由
瓤争啪…二则当螂善＝秘‰＝等＋扣扣
ｊ口＝妄如＝＿４（ｏ（舍去）．
若詈＜ｏ’即４＜０，则当ｃｏｓ善＝ｏ时，咒靠＝；口一ｊＩ＝ｌ＝’，２－－詈＞ｆ台去）
３
课本中现成的公式ｙ＝√＝ｉ万ｓｊＩＩ（ｘ＋夺），其中汹，２ｉ即可．
互
一
４．型如Ｙ＝ａｓｌｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｅｘ＋删２ｘ型的函数。
此种类型题目的特点是合有ｓｉｎｘ．ＣＯａＸ的二次式．他的解题方式是进行降幂处理。再转化威Ｙ＝Ｍｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ的形式Ｊ露题。
综台上述知，存在”ｉ符台题设
例：已知函数
（１）求函数．Ｋｘ）＝２ｃｏ黜ｓｒ小ｓｉｎ芷（ｘ周＋Ａｘ）ｔ＾Ｊ
３卜一怕ｓｉｎｋ｝ｓ洒耽鸺ｏ期；
（２）求／取Ｊ的最小值及取得簸小值时棚应的工的值；
ｆ
凡此种种．还有型如Ｙ＝善笺型的函数；型如Ｙ：ｓｉｎｘｅｏｅ２ｘ型的函
ＤＣＯｇｘ＋口
解ｌ（１）／（ｘ）＝２ｃｏｓｘｓｉｎ（ｘ＋－３）一４］ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｍ．ｃｏｓｘ
数：舍有ｓｉ呱与嘲的和与积型的函数式等等最值问题均可找到其解题
规律。
四、结束语
息之．三角函数的最值问题，是最近几年高考所经常涉及的数学领域．
吨删ｓｉ蝴ｊ＋咖厕一４５ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｒ
Ｊｒ
ｆ
ｆ
宅ｓ咖∞时｝占∞砣阀ｓｉｎ（２什了）
．．．瓜ｘ）的颀小正周期７；”
三角函数最值的求解方法．也是比较多样和灵活的。在高中数学教学中．
根据实际需要．结合三角函数的性质．明确具体问题的实质，掌握三角函数的最值求解方法．简化三角函数的问题复杂性．可以极其有效的便捷学生处理问题的效率。
参考文献：
（２）当２ｘ＋３＝２ｋ席一２．鄄硝ｊ一１２（ｔ∈ｚ）时・弛）取得最小值一２．
２．型如Ｙ－－Ｉｔ
ｓｉｎ
苎三塾
ｘ＋ｂ（或Ｙ－－ａ
ＣＯＢ
ｘ＋ｂ）的函数
［１】刘红浸．三角函数最值的求解方法．【２】贾广素．三角函数最值问题基本题型分析．
这种类型的函数的特点是由一次函数与正弦函数复合而威的．最值求
４６６
１２／２０１０
万方数据
浅谈三角函数最值问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
张秀英， 张秀英吉林市工业经济学校
中国校外教育（理论）
CHINA AFTER SCHOOL EDUCATION2010(12)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgxwjy2010121528.aspx
黼国校外教臀
每簪靠，亩
浅谈三角函数最值问题
◆张秀英（吉林市工业经济学校）
【摘要】三角函数是现代高中数学领域所涉及的越修内容，同时又是相当便捷的数学运算工具，三角函数的最值问题是函数中的基本知识，在实际生活当中的应用极为重要。随着现代教育形式的不断深化，三角函数的最值问题逐渐成为近年采高中数学教学的重要关注点，它对三角函数的恒等变形能力以覆综合应用要求较高。
【关键词ｌ三角函数高中数学最值值域常见问题方法探究
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数
解可用三角函数的有界性。要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。
例：函数Ｙ＝ｋ若ｋ＞Ｏ，则当ｓｉｎ
ｓｉｎ
学领域和其他领域中有着相当重要的作用。本文从现代高中教学实际出
发，分析并介绍了三角函数中常见的最值求解类型问题．结合具体的实例，阐述了相关问题的典型解题方法．探讨了一般的解题策略与技巧。
一、三角函数的定义
数学领域中，三角函数又叫圆函数．是针对平面直角坐标系而言的角
ｘ＋ｂ的最大值为２．最小值为一４．求ｋ，ｂ的值。解：
Ｘ＝１时。Ｙ懈＝２；
当ｓｉｎＸ＝一ｌ时，Ｙｍｉｎ＝－４
．‘．ｋ＋ｂ＝２。一ｋ＋ｂ＝－４．解得ｋ＝３。ｂ＝一１同理可以求得ｋ＜０的情况。
３．型如Ｙ＝ａｓｌｎ２ｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型的函数
此种类型题目的特点是含有ｓｉｎｘ．ｃｏ“，并且其中一个是二次，解决思
函数。通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率。也可以等价
的定义为单位四上的各种线段的长度。现代数学理论认为。三角函数的定义是把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的值域由实数域的任意正数和负数值扩展到复数值。现代数学领域中．三角函数属于初等函数中的一类函数。
二、三角函数的最值
最值问题是一类特殊的教学问题．它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在高中数学教学中也占有比较重要的比重，它经常
路最好应用ｓｉｎ２ｘ＋嘲２ｘ＝１．使函数式只含有一种三角函数．再应用换元
法，转化成二次函数来求解。
三
三
倒：是否存存实数口，使得函数）一ｓｉｎＺｘ＋ａ・ＣＯＳＸ＋８ａ－－２存闭隧
三
与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，
其解法灵活，综合性强，能力要求高。
三、三角函数最值问题的常见类型及求解策略
三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的方法是选取一个恰当的变量０角．构造以０角为自变量的函数．通过求三角函数最值来解
问Ｅｏ，２】上的鳋大值戆ｌ？若存在，求出对应的ａ值：蓿不存在，试说明理由．
蜘斗ｃｏｓ２…ｃｏｓ工＋；ｎ÷－－（ｃｏｓ０２ｎ尘４÷一争
。
８２８２
决。这类问题解题一般流程为：审读题意一设角建立三角函数武一进行三
角变换一解决实际问题；通常分两步求解：首先，建立目标函数．其关键是选择恰当的自变■并确定自变量的取值范围；其次。是在符合实际问题意义的情形下求目标函数的最值。故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识．能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
兰知ｓ工ｓ鲁时，ｏ≤ＣＯＳＸｓｌ．
若詈＞Ｉ对，印４＞２，列当ＣＯＳＸ＝Ｉ时。），ｋ＝口＋；口一吾＝ｌ
ｊ口：百２０＜２（台去），
高中数学教学中，在三角函数问题分析时，比较常见的类型主要体现
在以下几种类型，下面结合实例分析以下它们的解题策略：
１．型如Ｙ２舾ｉⅡ＋ｂｃｏｅｘ型的函数
此种类型题目的特点是禽有ｊＥ余弦函数，并且是—欠式．解决此类问题的指导思想是把藏、余弦喃数转化为单一的．ｉ角函数。应用
由
瓤争啪…二则当螂善＝秘‰＝等＋扣扣
ｊ口＝妄如＝＿４（ｏ（舍去）．
若詈＜ｏ’即４＜０，则当ｃｏｓ善＝ｏ时，咒靠＝；口一ｊＩ＝ｌ＝’，２－－詈＞ｆ台去）
３
课本中现成的公式ｙ＝√＝ｉ万ｓｊＩＩ（ｘ＋夺），其中汹，２ｉ即可．
互
一
４．型如Ｙ＝ａｓｌｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｅｘ＋删２ｘ型的函数。
此种类型题目的特点是合有ｓｉｎｘ．ＣＯａＸ的二次式．他的解题方式是进行降幂处理。再转化威Ｙ＝Ｍｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ的形式Ｊ露题。
综台上述知，存在”ｉ符台题设
例：已知函数
（１）求函数．Ｋｘ）＝２ｃｏ黜ｓｒ小ｓｉｎ芷（ｘ周＋Ａｘ）ｔ＾Ｊ
３卜一怕ｓｉｎｋ｝ｓ洒耽鸺ｏ期；
（２）求／取Ｊ的最小值及取得簸小值时棚应的工的值；
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凡此种种．还有型如Ｙ＝善笺型的函数；型如Ｙ：ｓｉｎｘｅｏｅ２ｘ型的函
ＤＣＯｇｘ＋口
解ｌ（１）／（ｘ）＝２ｃｏｓｘｓｉｎ（ｘ＋－３）一４］ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｍ．ｃｏｓｘ
数：舍有ｓｉ呱与嘲的和与积型的函数式等等最值问题均可找到其解题
规律。
四、结束语
息之．三角函数的最值问题，是最近几年高考所经常涉及的数学领域．
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宅ｓ咖∞时｝占∞砣阀ｓｉｎ（２什了）
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三角函数最值的求解方法．也是比较多样和灵活的。在高中数学教学中．
根据实际需要．结合三角函数的性质．明确具体问题的实质，掌握三角函数的最值求解方法．简化三角函数的问题复杂性．可以极其有效的便捷学生处理问题的效率。
参考文献：
（２）当２ｘ＋３＝２ｋ席一２．鄄硝ｊ一１２（ｔ∈ｚ）时・弛）取得最小值一２．
２．型如Ｙ－－Ｉｔ
ｓｉｎ
苎三塾
ｘ＋ｂ（或Ｙ－－ａ
ＣＯＢ
ｘ＋ｂ）的函数
［１】刘红浸．三角函数最值的求解方法．【２】贾广素．三角函数最值问题基本题型分析．
这种类型的函数的特点是由一次函数与正弦函数复合而威的．最值求
４６６
１２／２０１０
万方数据
浅谈三角函数最值问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
张秀英， 张秀英吉林市工业经济学校
中国校外教育（理论）
CHINA AFTER SCHOOL EDUCATION2010(12)
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