“任意角三角函数的概念”教学实践后的反思
陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003）
本次课题组活动中，笔者以“任意角三角函数的概念”为课题进行了实际教学．本文是实施教学后的几点反思，为进一步的教学设计、一线教师的教学提供参考．
1．复习锐角三角函数的反思
（1）实际教学片段
上课始，教师用几何画板任意画一个锐角，提出问题1：“任意画一个锐角α，借助三角板，找出sin α，cos α，tan α的近似值．”然后走进学生中间，观察他们的学习行为．结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然．教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示，完成的同学请举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少．之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教师非常赞成．她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数．之后，教师又与学生讨论了问题2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“单位圆定义法”做必要的铺垫．接着讨论问题3：锐角三角函数sin α作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？在教师类比正方形的面积s ＝a 的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值，最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个倒一下得到．至此，时间已经过去20多分钟．
教师本以为，学生在初中既然学习过锐角三角函数，对给出的一个锐角，借助三角板构造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在这一点上，学生耗费了大量的时间，而教师又不想越俎代庖地告诉学生，这就严重影响了后续建立任意角三角函数的概念，并通过特殊角的求值体验、把握内涵的时间保证，造成体验不够，概括过早，应用更少的现象．
（2）问题出在哪里
问题在教学设计不够合理，当中的“教学问题诊断分析”不够准确．没有准确把握学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足．尤其是，对学生关于锐角三角函数的理解估计过高．主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值．二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素．只要求运用符号sin A ，cos A ，tan A 的意义来进行有关的计算，等．现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念这就失去了概念的上位支持．
关于锐角三角函数，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，是在“空间与图形”的“图形与变换”部分．标准指出：“通过实例认识锐角三角函数（sin A ，cos A ，tan A ），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．”
笔者查阅了按照“课程标准”编写的几套初中教材，给出sin A 的方式基本上一致，是：
如图（图略），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦（sine ），记作sin A ，即
和正切都是∠A 的三角函数．” ”（对cos A ，tan A 有类似的定义）并指出“锐角A 的正弦、余弦2
以后的内容（包括解实际问题），都是有关三角函数值的计算，并不强调它们的函数特征．有的教材虽然指出“对于锐角A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是A 的函数．同样地，cos A ，tan A 也是A 的函数．”作出了锐角三角函数是一种特殊的函数的提示，由于缺少必要的练习，作用并不大．应该说，这些都不违背“课程标准” 的要求．可见学生在初中学习过的函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，锐角三角函数并不纳入“函数”这个系统．
初中学习锐角三角函数有一个特定的载体，这就是直角三角形，因此，当他们面对任意画出的一个锐角，其两条边是射线，要求出这个角的三角函数的近似值这个新情境时，竟不知如何是好，手足无措，无计可施，也说明学生对锐角三角函数并不理解．这样看来，画出一个锐角，要求学生会取点、画垂线、度量、计算比值的要求是必要的．
有教师认为，不必复习锐角三角函数，直接提出问题“同学们已经学习过锐角三角函数，你认为应该怎样来定义任意角的三角函数？”这种“大撒手”的问题跨度太大，学生更难回答．原因是对锐角三角函数的“函数”特征认识不足、理解不到位，要让学生直接建立任意角的三角函数，又要突出“函数”这一特征，很困难．因此，为建立任意角的三角函数的概念，需要先复习初中锐角三角函数的概念，因为从锐角（三角函数）到任意角（三角函数）又是由下位到上位的学习．教材要求首先把直角三角形中边长的比值扩展到坐标或者坐标的比值，在直角坐标系中认识锐角三角函数，并引导学生从“函数”的角度认识它，也就是弄清自变量以及与之对应的函数分别是什么是必要的．
（3）对教学的反思
高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构．应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫．以为已经学习过锐角三角函数，学生就能够把它理解为一种特殊的函数，是一个明显的例子．
教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”，这就需要通过复习，来帮助学生补上这一点．
2．其他反思
（1）由于学生在复习阶段花了较多的时间，影响了新课的学习，用任意角三角函数概念解题的时间不多，体验不够，有教师提出“下课后练习不好做”，说明复习锐角三角函数没有必要．笔者认为，当“预设”与“生成”发生矛盾时，教师宁可选择“生成”．尊重学生的认知水平，尊重学生的认知心理过程，决不简单化，把结论直接告诉给学生，追求“结果”，追求“完成”教学任务．教师不能认为我已经把这个概念告诉你了，你就应该知道了．数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，对概念需要的是理解，需要学生用自己的体验建立起对概念的理解．什么是“教学任务”，不能仅限于知识要求，要注意学生的全面发展．比如，当学生不能正确选择在角的一边上取点，画垂线时，启示学生互相讨论、启发一下，借助于同伴的帮助解决问题．当学生不能说出“作为函数的锐角三角函数，自变量以及它的函数分别是什么”（属性）意义不清，不好回答时，教师降低难度，启发类比S ＝a 中a 表示边长，而S 表示正方形的面积．突出线段长、面积，等等．
“任意角三角函数的概念”与作为第一节课的“任意角三角函数的概念”不是同一个概念．对“任意角三角函数的概念”的认识、理解不是一蹴而就的，不是一节课可以完成的任务，需要一个长期的过程．比如，把角度化成弧度到底是为了什么？即便化成弧度，又为什么省略不写呢？建立角的弧度与实数间的一一对应有什么必要呢？任意角三角函数的自变量明明白白是角，为什么偏要把它说成实数呢？刚刚接触任2
意角三角函数就要求理解这一切是十分困难的．随着学习的深入，尤其是三角函数的应用，学生才能慢慢消除这些疑问，逐渐理解它．比如，在三相交流电路中，某一相电路中的电流强度I A ＝I m sin （ωt ）（其中I m 是电路中电流强度的峰值），三角函数是刻画现实世界中周期现象的基本数学模型；再比如，当学生接触到函数y ＝sin （cos x ）后，再来看三角函数的定义域，会认识到抽象后的任意角三角函数的自变量作为实数更具广泛性．
这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．如同在建立数轴之后，一个知道把向东2公里表示为2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是负数”的学生，就已经开始接受有理数，逐渐成为中学生了．
还需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程中所蕴涵的数学思想方法．
（2）在求cos π时，一个学生说出的结果是0.9985．教师追问“你是怎么算出来的？”他回答：“用计算器．”后来，笔者用计算器做了实验，发现他用计算器计算时，把计算器中的角度模式（Mode ）设置成了角度制（Degree ）．在这种模式下，计算cos π可以得到0.9985（即计算的是cos π°）．如果把角度模式设置成了弧度制（Radian ），计算cos π仍可以得到－1．这件事的出现给我以及所有听课教师引发诸多思考．第一，这位同学没有关注到这节课刚学习过的概念，运用新概念解决当前的问题，而是停留在“三角函数值是能够用计算器算出来的”这个认识水平上；第二，反映了计算器的过度使用，会形成对学具的依赖，影响学生思维能力的发展．学具的功能越全面越强大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve ）功能的计算器在初中使用可能会削弱解一元二次方程的学习；具有图象功能的计算器的过早使用可能会干扰函数的学习．因此，教师应该注意技术在教学中的“辅助”作用，适度使用教具，重视算理分析，重视算法的来源，重视思维能力的培养，而不是追求计算结果．
借班上课，对学生的不熟悉是教师的苦恼，加上教学进度等问题，学生的知识储备不足（在教学任意角三角函数概念之前仅上过一堂“任意角”的课），是教学并不理想的一个重要原因．教学过程是师生双边活动的过程，离不开师生之间的交流，生疏是交流的障碍之一，生疏更难以做到师生之间配合默契．另外，学生对教师的教学风格的适应或认可也有一个过程，比如教师希望学生积极发言而不仅是听讲，等等．
（3）讨论中，老师们提出了许多有价值的教学应该遵循的一般规律以及一些先进的教学理念，但是，要求一节课全面体现各种先进教学理念，去承担反映数学教学规律中太多的东西是不现实，也是不应该的．
课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要．教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果．这一切都需要教师有很强的基本功．
参考文献
1 普通高中课程标准实验教科书·数学必修4（A 版）．北京：人民教育出版社，2007，2．第2版 2009-03-25 人教网
“任意角三角函数的概念”教学实践后的反思
陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003）
本次课题组活动中，笔者以“任意角三角函数的概念”为课题进行了实际教学．本文是实施教学后的几点反思，为进一步的教学设计、一线教师的教学提供参考．
1．复习锐角三角函数的反思
（1）实际教学片段
上课始，教师用几何画板任意画一个锐角，提出问题1：“任意画一个锐角α，借助三角板，找出sin α，cos α，tan α的近似值．”然后走进学生中间，观察他们的学习行为．结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然．教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示，完成的同学请举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少．之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教师非常赞成．她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数．之后，教师又与学生讨论了问题2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“单位圆定义法”做必要的铺垫．接着讨论问题3：锐角三角函数sin α作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？在教师类比正方形的面积s ＝a 的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值，最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个倒一下得到．至此，时间已经过去20多分钟．
教师本以为，学生在初中既然学习过锐角三角函数，对给出的一个锐角，借助三角板构造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在这一点上，学生耗费了大量的时间，而教师又不想越俎代庖地告诉学生，这就严重影响了后续建立任意角三角函数的概念，并通过特殊角的求值体验、把握内涵的时间保证，造成体验不够，概括过早，应用更少的现象．
（2）问题出在哪里
问题在教学设计不够合理，当中的“教学问题诊断分析”不够准确．没有准确把握学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足．尤其是，对学生关于锐角三角函数的理解估计过高．主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值．二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素．只要求运用符号sin A ，cos A ，tan A 的意义来进行有关的计算，等．现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念这就失去了概念的上位支持．
关于锐角三角函数，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，是在“空间与图形”的“图形与变换”部分．标准指出：“通过实例认识锐角三角函数（sin A ，cos A ，tan A ），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．”
笔者查阅了按照“课程标准”编写的几套初中教材，给出sin A 的方式基本上一致，是：
如图（图略），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦（sine ），记作sin A ，即
和正切都是∠A 的三角函数．” ”（对cos A ，tan A 有类似的定义）并指出“锐角A 的正弦、余弦2
以后的内容（包括解实际问题），都是有关三角函数值的计算，并不强调它们的函数特征．有的教材虽然指出“对于锐角A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是A 的函数．同样地，cos A ，tan A 也是A 的函数．”作出了锐角三角函数是一种特殊的函数的提示，由于缺少必要的练习，作用并不大．应该说，这些都不违背“课程标准” 的要求．可见学生在初中学习过的函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，锐角三角函数并不纳入“函数”这个系统．
初中学习锐角三角函数有一个特定的载体，这就是直角三角形，因此，当他们面对任意画出的一个锐角，其两条边是射线，要求出这个角的三角函数的近似值这个新情境时，竟不知如何是好，手足无措，无计可施，也说明学生对锐角三角函数并不理解．这样看来，画出一个锐角，要求学生会取点、画垂线、度量、计算比值的要求是必要的．
有教师认为，不必复习锐角三角函数，直接提出问题“同学们已经学习过锐角三角函数，你认为应该怎样来定义任意角的三角函数？”这种“大撒手”的问题跨度太大，学生更难回答．原因是对锐角三角函数的“函数”特征认识不足、理解不到位，要让学生直接建立任意角的三角函数，又要突出“函数”这一特征，很困难．因此，为建立任意角的三角函数的概念，需要先复习初中锐角三角函数的概念，因为从锐角（三角函数）到任意角（三角函数）又是由下位到上位的学习．教材要求首先把直角三角形中边长的比值扩展到坐标或者坐标的比值，在直角坐标系中认识锐角三角函数，并引导学生从“函数”的角度认识它，也就是弄清自变量以及与之对应的函数分别是什么是必要的．
（3）对教学的反思
高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构．应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫．以为已经学习过锐角三角函数，学生就能够把它理解为一种特殊的函数，是一个明显的例子．
教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”，这就需要通过复习，来帮助学生补上这一点．
2．其他反思
（1）由于学生在复习阶段花了较多的时间，影响了新课的学习，用任意角三角函数概念解题的时间不多，体验不够，有教师提出“下课后练习不好做”，说明复习锐角三角函数没有必要．笔者认为，当“预设”与“生成”发生矛盾时，教师宁可选择“生成”．尊重学生的认知水平，尊重学生的认知心理过程，决不简单化，把结论直接告诉给学生，追求“结果”，追求“完成”教学任务．教师不能认为我已经把这个概念告诉你了，你就应该知道了．数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，对概念需要的是理解，需要学生用自己的体验建立起对概念的理解．什么是“教学任务”，不能仅限于知识要求，要注意学生的全面发展．比如，当学生不能正确选择在角的一边上取点，画垂线时，启示学生互相讨论、启发一下，借助于同伴的帮助解决问题．当学生不能说出“作为函数的锐角三角函数，自变量以及它的函数分别是什么”（属性）意义不清，不好回答时，教师降低难度，启发类比S ＝a 中a 表示边长，而S 表示正方形的面积．突出线段长、面积，等等．
“任意角三角函数的概念”与作为第一节课的“任意角三角函数的概念”不是同一个概念．对“任意角三角函数的概念”的认识、理解不是一蹴而就的，不是一节课可以完成的任务，需要一个长期的过程．比如，把角度化成弧度到底是为了什么？即便化成弧度，又为什么省略不写呢？建立角的弧度与实数间的一一对应有什么必要呢？任意角三角函数的自变量明明白白是角，为什么偏要把它说成实数呢？刚刚接触任2
意角三角函数就要求理解这一切是十分困难的．随着学习的深入，尤其是三角函数的应用，学生才能慢慢消除这些疑问，逐渐理解它．比如，在三相交流电路中，某一相电路中的电流强度I A ＝I m sin （ωt ）（其中I m 是电路中电流强度的峰值），三角函数是刻画现实世界中周期现象的基本数学模型；再比如，当学生接触到函数y ＝sin （cos x ）后，再来看三角函数的定义域，会认识到抽象后的任意角三角函数的自变量作为实数更具广泛性．
这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．如同在建立数轴之后，一个知道把向东2公里表示为2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是负数”的学生，就已经开始接受有理数，逐渐成为中学生了．
还需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程中所蕴涵的数学思想方法．
（2）在求cos π时，一个学生说出的结果是0.9985．教师追问“你是怎么算出来的？”他回答：“用计算器．”后来，笔者用计算器做了实验，发现他用计算器计算时，把计算器中的角度模式（Mode ）设置成了角度制（Degree ）．在这种模式下，计算cos π可以得到0.9985（即计算的是cos π°）．如果把角度模式设置成了弧度制（Radian ），计算cos π仍可以得到－1．这件事的出现给我以及所有听课教师引发诸多思考．第一，这位同学没有关注到这节课刚学习过的概念，运用新概念解决当前的问题，而是停留在“三角函数值是能够用计算器算出来的”这个认识水平上；第二，反映了计算器的过度使用，会形成对学具的依赖，影响学生思维能力的发展．学具的功能越全面越强大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve ）功能的计算器在初中使用可能会削弱解一元二次方程的学习；具有图象功能的计算器的过早使用可能会干扰函数的学习．因此，教师应该注意技术在教学中的“辅助”作用，适度使用教具，重视算理分析，重视算法的来源，重视思维能力的培养，而不是追求计算结果．
借班上课，对学生的不熟悉是教师的苦恼，加上教学进度等问题，学生的知识储备不足（在教学任意角三角函数概念之前仅上过一堂“任意角”的课），是教学并不理想的一个重要原因．教学过程是师生双边活动的过程，离不开师生之间的交流，生疏是交流的障碍之一，生疏更难以做到师生之间配合默契．另外，学生对教师的教学风格的适应或认可也有一个过程，比如教师希望学生积极发言而不仅是听讲，等等．
（3）讨论中，老师们提出了许多有价值的教学应该遵循的一般规律以及一些先进的教学理念，但是，要求一节课全面体现各种先进教学理念，去承担反映数学教学规律中太多的东西是不现实，也是不应该的．
课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要．教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果．这一切都需要教师有很强的基本功．
参考文献
1 普通高中课程标准实验教科书·数学必修4（A 版）．北京：人民教育出版社，2007，2．第2版 2009-03-25 人教网