一课三议
张家港市暨阳高中 刘飚
函数的奇偶性（第一课时）
1、背景
“函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的轴对称性。利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。函数的奇偶性也是学生今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。
由于这节课是函数性质学习的第一课时，因此如果通过学生对实物的观察、分析；对课本的阅读、理解来获得函数的奇偶性就显得比较顺。这样一方面与学生的认知结构相吻合，另一方面也可以增强学生的阅读理解能力。另外根据我班学生的情况，本教案在例题的选择及处理方式方面也可作适当调整。
2、研究重点、难点
偶函数的概念属于揭示内涵的概念，在教学中要注重“种属”关系的分析，突出概念“属差”的研究，使学生明确概念的本质属性。因此，本节课的重点是理解偶函数的概念及对偶函数的判定。对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。因此教学难点是有关偶函数问题的证明。教学的关键是抓住实例，结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。
目标：1、学习函数奇偶性的概念；
2、利用定义判断简单函数的奇偶性
3、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。
重点：1、理解奇偶函数的定义；
2、利用定义判断函数的奇偶性，并探索其中简单的规律。
难点：1、对奇偶性定义的理解；
2、定义的简单应用。
第一次教学实录：
过程：
一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性
1．依然观察 y=x2与 y=x3 的图象――从对称的角度
．观察结果：
y=x2的图象关于轴对称
y=x3的图象关于原点对称
3．继而，更深入分析这两种对称的特点：
①当自变量取一对相反数时，y 取同一值．
111f(x)=y=x2 f(-1)=f(1)=1 f (-) =f () = 即 f(-x)=f(x) 224
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y 轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=x2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y 亦取相反数．
111f(x)=y=x3 f(-1)=-f(1)=-1 f (-) =-f () =- 即 f(-x)=f(x) 228
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x3的图象上，则该点关于原点的对称点 (-x, -y) 也在函数y=x3的图象上．
4．得出奇（偶）函数的定义
注意强调：①定义本身蕴涵着：
函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条前提
判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义f(-x)=-f(x)
三、例题：例6，7
小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数 例：y =1 y=2x （奇函数） x
y=-3x 2+1 y=2x4+3x2 （偶函数）
y=0 （即奇且偶函数）
y=2x+1 （非奇非偶函数）
例、判断下列函数的奇偶性：
1．f (x ) =(x -1) 1+x 1-x
四、奇函数⇔图象关于原点对称
偶函数⇔图象关于轴对称
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、练习
七、作业
修改意见：
1．创设情境，激发学生的动机不够。
2．应在尝试指导活动中获取新知识。
3．教师要不断提高自己课堂教学的调控能力，善于根据学生活动情况作灵活调整。
第二次教学实录：
过程：
一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性
11．依然观察 y=x2与 y=y = 的图象――从对称的角度 x
．观察结果：
y=x2的图象关于轴对称
y=x3的图象关于原点对称
3．继而，更深入分析这两种对称的特点：
①当自变量取一对相反数时，y 取同一值．
111f(x)=y=x2 f(-1)=f(1)=1 f (-) =f () = 224
即 f(-x)=f(x)
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y 轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=x2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y 亦取相反数．
1 11 f(-1)=-f(1)=-1 f (-) =-f () =-2 22x
即 f(-x)=f(x)
11再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y =的图象上，则该点关于原点的对称点 (-x, -y) 也在函数y = x 3的图象上． x x
4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略）
注意强调：①定义本身蕴涵着：
函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件――前提
②＂定义域内任一个＂：
意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究
③判断函数奇偶性最基本的方法：
先看定义域，再用定义――f(-x)=f(x) ( 或f(-x)=-f(x) )
三、例题：
例1、判断下列函数的奇偶性 f(x)=y=y =
1．f (x ) =x 2-1 2．f (x ) =2x
3．f (x ) =2x 4．f (x ) =(x -1)
5．f (x ) =(x -1)
21+x 6．f (x ) =x 2-1-x 2 1-x
⎧x 2+x (x 0)
四、奇函数⇔图象关于原点对称
偶函数⇔图象关于轴对称
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、作业：略
修改意见：
1．要注重学生的学习过程，概念讲解与理解不够。
2．学生的学习交流需要教师的精心指导，使课堂学习交流不仅是问题解决的过程，而且是培养学生表达能力、探索精神、团结协作精神的过程。
3．注重实践、探究，注重自主活动，注重学习过程，能激发学生的主体意识，有利于创新精神与实践能力的培养。
第三次教学实录
过程：
一、新课引入
实际生活中对称性在许多地方起着极其重要的作用，课本举例：蝴蝶，雪花，建筑等。例如：火箭为保持飞行方向和飞行平稳，尾翼称中心对称设计；汽车为易于驾驶设计成轴对称等等。
对称也是函数图象的一个重要特征，通过图象的对称进而得到函数（函数值变
化）的一个重要性质。（板书课题）
二、新课讲述
下面请大家按照列表、描点、画图的过程在一张白纸上绘出函数y=x2的图象，并注意观察分析随自变量的改变函数
1 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸值间的变化特征。○
展开，观察坐标系中的图形；
让学生叙述自己（对函数值间的变化特征）的发现：f (-1) =f (1), f (-2) =f (2), 将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称；
（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
适时引入，加深印象。（板书概念）
一般地，对于函数f (x ) ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就叫做偶函数。按照列表、描点、画图的过程在一张白纸上绘出函数g (x ) =
变化特征。 112 的图象，显然g (x ) =不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？○x x
以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
引入课件，加深印象。
引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。（由教师板书概念） 1的图象，并注意观察分析随自变量的改变函数值间的x 注意观察g (x ) =一般地，对于函数f (x ) ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) , 那么函数f (x ) 就叫做奇函数。 图象具有这种特点的函数是奇（或偶）函数，函数图象的这种对称性就是函数的奇偶性。
前面我们得出了函数奇偶性的定义，那么通常为了正确理解和应用定义，就需要我们首先能够找到并把握定义中的关键词语，下面我们一起找找定义中的关键词：定义域内、任意„都、f (-x ) =f (x ) 及f (-x ) =-f (x ) 。
分析：⑴ 定义域内：奇偶性是整个定义域上的性质，而不仅仅是某个区间上的性质，与单调性区分开； ⑵ 任意„都：说明具有普遍性，是对所有的自变量都成立，而不是个别
的；
⑶ f (-x ) =f (x ) 及f (-x ) =-f (x ) ：首先是函数值必须满足的关系即必要
条件，那么是不是充分条件呢？
例1、判断下列函数的奇偶性
1．f (x ) =x 2-1 2．f (x ) =2x
3．f (x ) =2x 4．f (x ) =(x -1)
5．f (x ) =(x -1)
21+x 6．f (x ) =x 2-1-x 2 1-x
⎧x 2+x (x 0)
奇函数⇔图象关于原点对称
偶函数⇔图象关于轴对称
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、作业：略
课后反思：
1．创设情境，激发学生的动机。 从生活中的轴对称问题入手，通过学生动手操作、动脑联想，激发了学生探究的
兴趣与欲望，一下子把课堂教学的气氛推向了高潮，为偶函数概念的引入及性质的探究创设了有效的学习情境。
2．学生的学习交流需要教师的精心指导，使课堂学习交流不仅是问题解决的过程，而且是培养学生表达能力、探索
精神、团结协作精神的过程。数学教学是师生共同参与的学习过程，在这个过程中学生是活动的主体，教师的引导要为主体达到学习目标服务。通过学生的自主学习活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使他们在获取知识的同时体验过程，提高能力。
3．这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，运用了“创设情景—尝试指
导—变式训练—回授调节—归纳总结”的教学模式，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面收获都比较大，基本上达到了预期的教学目的。比如，用图案作为轴对称的实际例子，调动了学生的学习积极性；通过阅读理解、交流学习的形式导出偶函数的概念，使学生体验了知识习得的过程；又通过变式训练及反馈回授使知识进一步得到巩固。在教学手段方面本堂课充分发挥了多媒体辅助教学的作用，使学生想象、发现的空间更加广阔，使得许多难以描绘的函数图象轻松可得，降低了学生的学习难度。
4．作为探究型课，要注重学生的学习过程，这个过程是一个不确定的过程，即使教师作了认真准备，也不可能完全
预料探究的全过程，因此教师要不断提高自己课堂教学的调控能力，善于根据学生活动情况作灵活调整。
一课三议
张家港市暨阳高中 刘飚
函数的奇偶性（第一课时）
1、背景
“函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的轴对称性。利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。函数的奇偶性也是学生今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。
由于这节课是函数性质学习的第一课时，因此如果通过学生对实物的观察、分析；对课本的阅读、理解来获得函数的奇偶性就显得比较顺。这样一方面与学生的认知结构相吻合，另一方面也可以增强学生的阅读理解能力。另外根据我班学生的情况，本教案在例题的选择及处理方式方面也可作适当调整。
2、研究重点、难点
偶函数的概念属于揭示内涵的概念，在教学中要注重“种属”关系的分析，突出概念“属差”的研究，使学生明确概念的本质属性。因此，本节课的重点是理解偶函数的概念及对偶函数的判定。对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。因此教学难点是有关偶函数问题的证明。教学的关键是抓住实例，结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。
目标：1、学习函数奇偶性的概念；
2、利用定义判断简单函数的奇偶性
3、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。
重点：1、理解奇偶函数的定义；
2、利用定义判断函数的奇偶性，并探索其中简单的规律。
难点：1、对奇偶性定义的理解；
2、定义的简单应用。
第一次教学实录：
过程：
一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性
1．依然观察 y=x2与 y=x3 的图象――从对称的角度
．观察结果：
y=x2的图象关于轴对称
y=x3的图象关于原点对称
3．继而，更深入分析这两种对称的特点：
①当自变量取一对相反数时，y 取同一值．
111f(x)=y=x2 f(-1)=f(1)=1 f (-) =f () = 即 f(-x)=f(x) 224
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y 轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=x2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y 亦取相反数．
111f(x)=y=x3 f(-1)=-f(1)=-1 f (-) =-f () =- 即 f(-x)=f(x) 228
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x3的图象上，则该点关于原点的对称点 (-x, -y) 也在函数y=x3的图象上．
4．得出奇（偶）函数的定义
注意强调：①定义本身蕴涵着：
函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条前提
判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义f(-x)=-f(x)
三、例题：例6，7
小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数 例：y =1 y=2x （奇函数） x
y=-3x 2+1 y=2x4+3x2 （偶函数）
y=0 （即奇且偶函数）
y=2x+1 （非奇非偶函数）
例、判断下列函数的奇偶性：
1．f (x ) =(x -1) 1+x 1-x
四、奇函数⇔图象关于原点对称
偶函数⇔图象关于轴对称
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、练习
七、作业
修改意见：
1．创设情境，激发学生的动机不够。
2．应在尝试指导活动中获取新知识。
3．教师要不断提高自己课堂教学的调控能力，善于根据学生活动情况作灵活调整。
第二次教学实录：
过程：
一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性
11．依然观察 y=x2与 y=y = 的图象――从对称的角度 x
．观察结果：
y=x2的图象关于轴对称
y=x3的图象关于原点对称
3．继而，更深入分析这两种对称的特点：
①当自变量取一对相反数时，y 取同一值．
111f(x)=y=x2 f(-1)=f(1)=1 f (-) =f () = 224
即 f(-x)=f(x)
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y 轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=x2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y 亦取相反数．
1 11 f(-1)=-f(1)=-1 f (-) =-f () =-2 22x
即 f(-x)=f(x)
11再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y =的图象上，则该点关于原点的对称点 (-x, -y) 也在函数y = x 3的图象上． x x
4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略）
注意强调：①定义本身蕴涵着：
函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件――前提
②＂定义域内任一个＂：
意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究
③判断函数奇偶性最基本的方法：
先看定义域，再用定义――f(-x)=f(x) ( 或f(-x)=-f(x) )
三、例题：
例1、判断下列函数的奇偶性 f(x)=y=y =
1．f (x ) =x 2-1 2．f (x ) =2x
3．f (x ) =2x 4．f (x ) =(x -1)
5．f (x ) =(x -1)
21+x 6．f (x ) =x 2-1-x 2 1-x
⎧x 2+x (x 0)
四、奇函数⇔图象关于原点对称
偶函数⇔图象关于轴对称
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、作业：略
修改意见：
1．要注重学生的学习过程，概念讲解与理解不够。
2．学生的学习交流需要教师的精心指导，使课堂学习交流不仅是问题解决的过程，而且是培养学生表达能力、探索精神、团结协作精神的过程。
3．注重实践、探究，注重自主活动，注重学习过程，能激发学生的主体意识，有利于创新精神与实践能力的培养。
第三次教学实录
过程：
一、新课引入
实际生活中对称性在许多地方起着极其重要的作用，课本举例：蝴蝶，雪花，建筑等。例如：火箭为保持飞行方向和飞行平稳，尾翼称中心对称设计；汽车为易于驾驶设计成轴对称等等。
对称也是函数图象的一个重要特征，通过图象的对称进而得到函数（函数值变
化）的一个重要性质。（板书课题）
二、新课讲述
下面请大家按照列表、描点、画图的过程在一张白纸上绘出函数y=x2的图象，并注意观察分析随自变量的改变函数
1 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸值间的变化特征。○
展开，观察坐标系中的图形；
让学生叙述自己（对函数值间的变化特征）的发现：f (-1) =f (1), f (-2) =f (2), 将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称；
（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
适时引入，加深印象。（板书概念）
一般地，对于函数f (x ) ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就叫做偶函数。按照列表、描点、画图的过程在一张白纸上绘出函数g (x ) =
变化特征。 112 的图象，显然g (x ) =不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？○x x
以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
引入课件，加深印象。
引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。（由教师板书概念） 1的图象，并注意观察分析随自变量的改变函数值间的x 注意观察g (x ) =一般地，对于函数f (x ) ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) , 那么函数f (x ) 就叫做奇函数。 图象具有这种特点的函数是奇（或偶）函数，函数图象的这种对称性就是函数的奇偶性。
前面我们得出了函数奇偶性的定义，那么通常为了正确理解和应用定义，就需要我们首先能够找到并把握定义中的关键词语，下面我们一起找找定义中的关键词：定义域内、任意„都、f (-x ) =f (x ) 及f (-x ) =-f (x ) 。
分析：⑴ 定义域内：奇偶性是整个定义域上的性质，而不仅仅是某个区间上的性质，与单调性区分开； ⑵ 任意„都：说明具有普遍性，是对所有的自变量都成立，而不是个别
的；
⑶ f (-x ) =f (x ) 及f (-x ) =-f (x ) ：首先是函数值必须满足的关系即必要
条件，那么是不是充分条件呢？
例1、判断下列函数的奇偶性
1．f (x ) =x 2-1 2．f (x ) =2x
3．f (x ) =2x 4．f (x ) =(x -1)
5．f (x ) =(x -1)
21+x 6．f (x ) =x 2-1-x 2 1-x
⎧x 2+x (x 0)
奇函数⇔图象关于原点对称
偶函数⇔图象关于轴对称
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、作业：略
课后反思：
1．创设情境，激发学生的动机。 从生活中的轴对称问题入手，通过学生动手操作、动脑联想，激发了学生探究的
兴趣与欲望，一下子把课堂教学的气氛推向了高潮，为偶函数概念的引入及性质的探究创设了有效的学习情境。
2．学生的学习交流需要教师的精心指导，使课堂学习交流不仅是问题解决的过程，而且是培养学生表达能力、探索
精神、团结协作精神的过程。数学教学是师生共同参与的学习过程，在这个过程中学生是活动的主体，教师的引导要为主体达到学习目标服务。通过学生的自主学习活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使他们在获取知识的同时体验过程，提高能力。
3．这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，运用了“创设情景—尝试指
导—变式训练—回授调节—归纳总结”的教学模式，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面收获都比较大，基本上达到了预期的教学目的。比如，用图案作为轴对称的实际例子，调动了学生的学习积极性；通过阅读理解、交流学习的形式导出偶函数的概念，使学生体验了知识习得的过程；又通过变式训练及反馈回授使知识进一步得到巩固。在教学手段方面本堂课充分发挥了多媒体辅助教学的作用，使学生想象、发现的空间更加广阔，使得许多难以描绘的函数图象轻松可得，降低了学生的学习难度。
4．作为探究型课，要注重学生的学习过程，这个过程是一个不确定的过程，即使教师作了认真准备，也不可能完全
预料探究的全过程，因此教师要不断提高自己课堂教学的调控能力，善于根据学生活动情况作灵活调整。