函数的奇偶性
教学目标
1. 从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念, 回 会利用定义判断简单函数的奇偶性.
2. 在奇偶性概念形成过程中, 培养学生的观察, 归纳能力, 同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.
3. 在学生感受数学美的同时, 激发学习的兴趣, 培养学生乐于求索的精神.
教学重点
函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断
教学难点
对函数奇偶性的概念的理解
教学用具
投影仪, 计算机
教学方法
引导发现法
教学过程
一. 引入新课
同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一
下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）
生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当的建立直角坐标系，那么大家发现了是么特点呢？（学生发现：
图象关于轴对称。）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究。
思考：那些函数的图象关于轴对称？试举例。
(学生可能会举出一些，如
和
等.)
二. 讲解新课
以函数为例，给出图象, 然后问学生初中是怎样判断图象关于
轴对称呢?(由学生回答, 是利用图象的翻折后重合来判定) 此时提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数, 函数值相等. 引导学生先把它们具体化, 再用数学符号表示.(借助课件演示令
, 再令
比较
得出等式, 得到
) 进而再提出会不会在定义域内存
动起来观察, 发现结论, 这样的 在 , 使
是不存在的) 与
不等呢?(可用课件帮助演示让
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 , 都有
成立. 最后让学生用完整的语言给出定义, 不准确的地方予以提示或调整.
(1) 偶函数的定义:如果对于函数
那么 就叫做偶函数。(板书) 的定义域内任意一个 , 都有
,
(给出定义后可让学生举几个例子, 如
的初步认识) 等以检验一下对概念
提出新问题:函数图象关于原点对称, 它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出
的图象让学生观察研究)
学生可类比刚才的方法, 很快得出结论, 再让学生给出奇函数的定义.
(2) 奇函数的定义: 如果对于函数
, 那么的定义域内任意一个 , 都有
就叫做奇函数.(板书)
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1)
; (2)
;
(3)
;
;
(5)
2; (6)
.
（7）f (x ) =-x
x +2-2
前三个题做完，进行一次小结, 判断奇偶性, 只需验证
与
之间的关系, 但对你们的回答我不满意, 因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半, 另一半没有作答, 以第(1)为例, 说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?
学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明
与
不等.
如
即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意
性的重要)
从(4)题开始, 学生的答案会有不同, 可以让学生先讨论, 老师再做评述. 即第(4)题中表面成立的
=
不能经受任意性的考验, 当
时, 由于
, 故
不存在, 更谈不上与
相等了, 由于任意性被破坏, 所以它不具有奇偶性.
由此引导学生, 通过刚才这个题目, 你发现在判断中需要注意些什么?
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（板书）
由学生小结判断奇偶性的步骤之后, 提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数, 有是偶函数不是奇函数, 也有既不是奇函数也不是偶函数, 那么有没有这样的函数, 它既是奇函数也是偶函数呢? 若有, 举例说明.
经学生思考, 可找到函数
都只能写成这样呢? 能证明吗? . 然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式
例2. 已知函数
完成) 既是奇函数也是偶函数, 求证
: . （板书） (试由学生来
证明:
既是奇函数也是偶函数,
=
, 且
,
=
.
, 即
.
进一步提问：这样的函数应有多少个呢?
（学生开始可能认为只有一个, 经提示可发现
,
数的定义域, 如
, ,
只是解析式的特征, 若改变函, 它们显然是不同的函,
数, 但它们都是既是奇函数也是偶函数. ）
(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类:（板书）
三. 小结
1. 函数奇偶性的概念
2. 判断函数奇偶性的步骤
四. 作业 略
五. 板书设计
函数的奇偶性
教学目标
1. 从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念, 回 会利用定义判断简单函数的奇偶性.
2. 在奇偶性概念形成过程中, 培养学生的观察, 归纳能力, 同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.
3. 在学生感受数学美的同时, 激发学习的兴趣, 培养学生乐于求索的精神.
教学重点
函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断
教学难点
对函数奇偶性的概念的理解
教学用具
投影仪, 计算机
教学方法
引导发现法
教学过程
一. 引入新课
同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一
下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）
生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当的建立直角坐标系，那么大家发现了是么特点呢？（学生发现：
图象关于轴对称。）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究。
思考：那些函数的图象关于轴对称？试举例。
(学生可能会举出一些，如
和
等.)
二. 讲解新课
以函数为例，给出图象, 然后问学生初中是怎样判断图象关于
轴对称呢?(由学生回答, 是利用图象的翻折后重合来判定) 此时提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数, 函数值相等. 引导学生先把它们具体化, 再用数学符号表示.(借助课件演示令
, 再令
比较
得出等式, 得到
) 进而再提出会不会在定义域内存
动起来观察, 发现结论, 这样的 在 , 使
是不存在的) 与
不等呢?(可用课件帮助演示让
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 , 都有
成立. 最后让学生用完整的语言给出定义, 不准确的地方予以提示或调整.
(1) 偶函数的定义:如果对于函数
那么 就叫做偶函数。(板书) 的定义域内任意一个 , 都有
,
(给出定义后可让学生举几个例子, 如
的初步认识) 等以检验一下对概念
提出新问题:函数图象关于原点对称, 它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出
的图象让学生观察研究)
学生可类比刚才的方法, 很快得出结论, 再让学生给出奇函数的定义.
(2) 奇函数的定义: 如果对于函数
, 那么的定义域内任意一个 , 都有
就叫做奇函数.(板书)
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1)
; (2)
;
(3)
;
;
(5)
2; (6)
.
（7）f (x ) =-x
x +2-2
前三个题做完，进行一次小结, 判断奇偶性, 只需验证
与
之间的关系, 但对你们的回答我不满意, 因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半, 另一半没有作答, 以第(1)为例, 说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?
学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明
与
不等.
如
即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意
性的重要)
从(4)题开始, 学生的答案会有不同, 可以让学生先讨论, 老师再做评述. 即第(4)题中表面成立的
=
不能经受任意性的考验, 当
时, 由于
, 故
不存在, 更谈不上与
相等了, 由于任意性被破坏, 所以它不具有奇偶性.
由此引导学生, 通过刚才这个题目, 你发现在判断中需要注意些什么?
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（板书）
由学生小结判断奇偶性的步骤之后, 提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数, 有是偶函数不是奇函数, 也有既不是奇函数也不是偶函数, 那么有没有这样的函数, 它既是奇函数也是偶函数呢? 若有, 举例说明.
经学生思考, 可找到函数
都只能写成这样呢? 能证明吗? . 然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式
例2. 已知函数
完成) 既是奇函数也是偶函数, 求证
: . （板书） (试由学生来
证明:
既是奇函数也是偶函数,
=
, 且
,
=
.
, 即
.
进一步提问：这样的函数应有多少个呢?
（学生开始可能认为只有一个, 经提示可发现
,
数的定义域, 如
, ,
只是解析式的特征, 若改变函, 它们显然是不同的函,
数, 但它们都是既是奇函数也是偶函数. ）
(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类:（板书）
三. 小结
1. 函数奇偶性的概念
2. 判断函数奇偶性的步骤
四. 作业 略
五. 板书设计