2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是（ ）
A ．{a|3＜a ≤4} B ．{a|3＜a ＜4} C ．{a|3≤a ≤4} D．∅ 2．复数A ．
=A+Bi（A ，B ∈R ），则A+B的值是（ ）
C ．﹣
D．﹣4
B ．0
3．x ∈R ，|的图象关于y 轴对称”是“y=f“y=|f对于函数y=f（x ），（x ）（x ）是奇函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C ．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（ ）
A ．25 5．已知A ．﹣
B ．30 C ．31 ，
D ．61
，向量
D．
与
垂直，则实数λ的值为（ ）
B． C ．﹣
由K 2=
算得K 2=
≈4.762
参照附表，得到的正确结论（ ）
A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
7．已知各项均为正数的数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列，则数列{an }的通项公式为（ ）
A ．2n ﹣3 B ．2n ﹣2 C ．2n ﹣1 D ．2n ﹣2+1
8．若（1﹣2x ）2016=a0+a1x+a2x 2+…+a2016x 2016，（x ∈R ），则（a 0+a1）+（a 0+a2）+（a 0+a3）+…+（a 0+a2016）的值是（ ）
A ．2018 B．2017 C．2016 D．2015 9．已知抛物线y 2=4x的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为P ，以坐标原点O 为圆心，
∠FPB=θ，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B ，则sin θ的值为（ ） A ．
B ．
C ．
﹣1 D ．
﹣1
10．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）
A ．2 B．4 C．8 D．16﹣
11．已知双曲线C 为：=1（a ＞0，b ＞0），其左右顶点分别为A 、B ，曲线上一点
P ，k PA 、k PB 分别为直线PA 、PB 的斜率，且k PA •k PB =3，过左焦点的直线l 与双曲线交于两
点M ，N ，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（ ） A ．
﹣
=1
B ．﹣=1
C ．﹣=1和﹣=1
D ．﹣=1或﹣=1
12．直角三角形ABC ，三内角成等差数列，最短边的边长为m （m ＞0），P 是△ABC 内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m 的值为（ ） A ．1 B ． C ． D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n =n2+6n+1（n ∈N *），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为 ．
14．已知函数f （x ）=ax2+bx（a ，b ∈R ），且满足1＜f （1）＜2，3＜f （2）＜8，则f （3）的取值范围是 ．
15．如图所示三棱锥A ﹣BCD ，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接
球的表面积为 ．
16．已知函数f （x ）=，g （x ）=
ax 2﹣2a+2（a ＞0），若存在
x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的
（2）将函数f （x ）的图象向左平移π个单位，可得到函数g （x ）的图象，且函数y=f（x ）•g （x ）在区间（0，m ）上是单调函数，求m 的最大值． 18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l 组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），
95）100]得到的频率分布直方图如图所示：第4组[90，，第5组[95，若要在成绩较高的第3，
4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：
（I ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；
（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．
19．PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值为
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
20．已知动圆过定点A （0，2），且在x 轴上截得的弦MN 的长为4． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）过点A （0，2）作一条直线与曲线C 交于E ，F 两点，过E ，F 分别作曲线C 的切线，两切线交于P 点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF 的方程．
21．已知a ＞0，函数f （x ）=ax2﹣x ，g （x ）=lnx． （1）若a=1，求函数y=f（x ）﹣3g （x ）的极值；
（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≥g （ax ）成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．
四. 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答. 注意：只能做所选的题目. 如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知AB 为半圆O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于点E ，DE=1． （Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 23．已知直线l ：
（t 为参数），曲线C 1：
（θ为参数）．
（1）设l 与C 1相交于A 、B 两点，求|AB|的值； （2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的
，纵坐标压缩为原来的
，得到曲线
C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f （x ）=|x+1|+|x﹣3|． （1）求不等式f （x ）＜6的解集；
（2）若关于x 的方程f （x ）=|a﹣2|有解，求实数a 的取值范围．
2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是（ ）
A ．{a|3＜a ≤4} B ．{a|3＜a ＜4} C ．{a|3≤a ≤4} D．∅ 【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，A ⊇B ，知数a 的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，A ⊇B ， ∴
，
，由此能求出实
解得3≤a ≤4， 故选C ． 2．复数A ．
=A+Bi（A ，B ∈R ），则A+B的值是（ ）
C ．﹣
D．﹣4
B ．0
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：A+Bi=
=
=
=1﹣i ，
∴A=1，B=﹣1， ∴A+B=0， 故选：B ． 3．x ∈R ，|的图象关于y 轴对称”是“y=f“y=|f对于函数y=f（x ），（x ）（x ）是奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C ．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】奇偶函数图象的对称性；充要条件．
【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．
【解答】解：例如f （x ）=x2﹣4满足|f（x ）|的图象关于y 轴对称，但f （x ）不是奇函数，
所以，“y=|f（x ）|的图象关于y 轴对称”推不出“y=f（x ）是奇函数”
当“y=f（x ）是奇函数”⇒f （﹣x ）=﹣f （x ）⇒|f（﹣x ）|=|f（x ）|⇒y=|f（x ）|为偶函数⇒，“y=|f（x ）|的图象关于y 轴对称”
所以，“y=|f（x ）|的图象关于y 轴对称”是“y=f（x ）是奇函数”的必要而不充分条件 故选B
4．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（ ）
A ．25
C ．31 D ．61
【考点】伪代码．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数 y=当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31， 故选：C ． 5．已知A ．﹣
B．
，C ．﹣
D．
，向量
与
垂直，则实数λ的值为（ ）
的函数值．
的函数值．
B ．30
【考点】平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】先求出向量待定系数λ的值． 【解答】解：∵已知∴（
）•（
）=0，
，
，向量
与
垂直，
与
的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出
即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0， ∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣
．
故选A ．
由K 2=
算得K 2=
≈4.762
参照附表，得到的正确结论（ ）
A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论． 【解答】解：∵K 2=
≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05
∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”． 故选：A ．
7．已知各项均为正数的数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列，则数列{an }的通项公式为（ ）
A ．2n ﹣3 B ．2n ﹣2 C ．2n ﹣1 D ．2n ﹣2+1 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】先根据S n ，a n ，
成等差数列，得到2a n =Sn +
，继而得到2a n ﹣1=Sn ﹣1+
，两式
相减，整理得：a n =2an ﹣1（n ≥2），继而得到数列{an }是题得以解决．
【解答】解：由题意知2a n =Sn +2a n ﹣1=Sn ﹣1+
，
，
为首项，2为公比的等比数列，问
两式相减得a n =2an ﹣2a n ﹣1（n ≥2），整理得：a n =2an ﹣1（n ≥2） 当n=1是，2a 1=S1+∴数列{an }是∴a n =
，即a 1=
为首项，2为公比的等比数列，
•2n ﹣1=2n ﹣2，
当n=1时，成立， 故选：B
8．若（1﹣2x ）2016=a0+a1x+a2x 2+…+a2016x 2016，（x ∈R ），则（a 0+a1）+（a 0+a2）+（a 0+a3）+…+（a 0+a2016）的值是（ ）
A ．2018 B．2017 C．2016 D．2015 【考点】二项式定理的应用．
【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a 0=1．再令x=1，可得a 0+a1+a2+…+a2016 =1，求得a 1+a2+…+a2016 =0，从而求得要求式子的值．
【解答】解：在（1﹣2x ）2016=a0+a2x+a2x 2+…+a2016x 2016 （x ∈R ）中， 令x=0，可得a 0=1．
再令x=1，可得a 0+a1+a2+…+a2016 =1，∴a 1+a2+…+a2016 =0，
∴（a 0+a1）+（a 0+a2）+（a 0+a3）+…+（a 0+a2016）=2016a0+（a 1+a2+…+a2016 ）=2016， 故选：C ． 9．已知抛物线y 2=4x的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为P ，以坐标原点O 为圆心，
∠FPB=θ，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B ，则sin θ的值为（ ） A ．
B ．
C ．
﹣1 D ．
﹣1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出圆O 的方程，联立方程组解出B 的横坐标，根据圆的性质和抛物线的性质得出sin θ=
．
【解答】解：抛物线的焦点为F （1，0），准线方程为x=﹣1，∴P （﹣1，0），∴圆O 的方程为x 2+y2=1． 联立方程组
，消元得x 2+4x﹣1=0，解得x=
﹣2或x=﹣
﹣2（舍）．
∵B 在抛物线y 2=4x上，
∴|BF|=﹣2+1=．
∵PF 是圆O 的直径，∴PB ⊥BF ，∴sin θ=故选：A ．
=
．
10．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）
A ．2 B．4 C．8 D．16
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：
，然后，求解当xy 最大时，该几何体的具体的结构，从而求
解其体积．
【解答】解：由三视图，得 该几何体为三棱锥， 有
∴x 2+y2=128， ∵xy ≤
，当且仅当x=y=8时，等号成立，
，
此时，V=故选：D ．
××2×6×8=16，
11．已知双曲线C 为：﹣=1（a ＞0，b ＞0），其左右顶点分别为A 、B ，曲线上一点
P ，k PA 、k PB 分别为直线PA 、PB 的斜率，且k PA •k PB =3，过左焦点的直线l 与双曲线交于两
点M ，N ，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（ ） A ．
﹣
=1
B ．﹣=1
C ．﹣=1和﹣=1
D ．﹣=1或﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设P （m ，n ），代入双曲线的方程，由A （﹣a ，0），B （a ，0），k PA •k PB =3，运用直线的斜率公式化简可得b=
a ，N 均在左支和分别在两支，讨论M ，由最小值为
=4，
和2a=4，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程． 【解答】解：设P （m ，n ），可得
﹣
=1，即有
=
，
由A （﹣a ，0），B （a ，0），k PA •k PB =3， 可得
•
=
=
=3，即为b=
a ，
由过左焦点的直线l 与双曲线交于两点M ，N ，|MN|的最小值为4， 可得当M ，N 都在左支上，即有MN 垂直于x 轴时取得最小值，且为
=4，
解得a=，b=，可得双曲线的方程为﹣=1；
，
当M ，N 分别在两支上，即有MN 的最小值为2a=4，即a=2，b=2可得双曲线的方程为
﹣
=1．
综上可得，双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．
故选：D ．
12．直角三角形ABC ，三内角成等差数列，最短边的边长为m （m ＞0），P 是△ABC 内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m 的值为（ ） A ．1 B ． C ． D ． 【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由条件和等差中项的性质求出各个内角，由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、
∠ACB=60°，可以得到∠ACP=∠PBC ，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB 、PC 的长，即可得出结论．
【解答】解：∵直角三角形ABC ，三内角成等差数列，设B=90° ∴2A=B+C，又A+B+C=180°，解得A=60°，C=30°，
m ，AC=2m， 由AB=m得，BC=
延长BP 到B ′，在BB' 上取点E ，使PE=PC，EB ′=AP， ∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，
∴△PCE 是正三角形，∴∠CEB'=120°=∠APC ， ∵AP=EB′，PC=EC，∴△ACP ≌△B ′CE ， ∴∠PCA=∠B ′CE ，AC=B′C=2m，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP ，∴∠ACB ′=∠PCE=60°， ∵∠ACB=30°，∴∠BCB ′=90°，
m ， ∵PE=PC，AP=B′E ，AC=2AB=2m，BC=
∴PA+PB+PC=B′E+PB+PE=BB′=∵PA+PB+PC=故选：C ．
，∴
=
m ，得m=
=，
=
m ，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n =n2+6n+1（n ∈N *），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为41． 【考点】数列的求和．
【分析】由S n =n2+6n+1逐一求出数列的前四项得答案． 【解答】解：由S n =n2+6n+1，得a 1=S1=8，
， ， ．
∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=8+9+11+13=41． 故答案为：41．
14．已知函数f （x ）=ax2+bx（a ，b ∈R ），且满足1＜f （1）＜2，3＜f （2）＜8，则f （3）的取值范围是 （3，21） ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据f （1），f （2）的范围得到：1＜a+b＜2，3＜4a+2b＜8，根据不等式的性质求出3a+b的范围，从而求出f （3）的范围即可． 【解答】解：f （x ）=ax2+bx（a ，b ∈R ）， ∵1＜f （1）＜2，3＜f （2）＜8， ∴1＜f （2）﹣f （1）＜7， 令f （3）=mf（1）+nf（2）， 即9a+3b=m（a+b）+n（4a+2b）， ∴
，
解得：m=3，n=﹣3
∴f （3）=3[f（2）﹣f （1）]， ∴3＜f （3）＜21， 故答案为：（3，21）．
15．如图所示三棱锥A ﹣BCD ，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接
球的表面积为 55π
．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可． 【解答】解：如图，
∵三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两相等，∴把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径， d=
∴它的外接球半径是外接球的表面积是 4π故答案为：55π．
=．
．
．
ax 2﹣2a+2（a ＞0），若存在
16．已知函数f （x ）=，g （x ）=
x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立，则实数a 的取值范围是
≤a ≤ ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】判断函数f （x ）的单调性，求出函数f （x ）的值域，根据若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立得到，f （x ）的值域和g （x ）的值域交集不是空集即可得到结论． 【解答】解：当
＜x ≤1时，f （x ）=
的导数f ′（x ）=
=
=
＞0，
则此时函数f （x ）为增函数，则f （当0≤x ≤
时，f （x ）=﹣
，
]∪（x+
）＜f （x ）≤f （1），即＜f （x ）≤1，
为减函数，
则0≤f （x ）≤
即函数f （x ）的值域为[0，函数g （x ）=
，1]
ax 2﹣2a+2（a ＞0），在[0，1]上为增函数，
则g （0）≤g （x ）≤g （1）， 即2﹣2a ≤g （x ）≤2﹣
a ，
a ]
即g （x ）的值域为[2﹣2a ，2﹣
若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立， 则[2﹣2a ，2﹣若[2﹣2a ，2﹣
a ]∩（[0，a ]∩（[0，
]∪（]∪（
，1]）≠∅， ，1]）=∅，
则2﹣a ＜0或或2﹣2a ＞1，
即a ＞或a 无解或0＜a ＜
a ]∩（[0，
， ]∪（
，1]）≠∅，
即若[2﹣2a ，2﹣则
≤a ≤
，
≤a ≤
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜ ）在某一个周期内的
（2）将函数f （x ）的图象向左平移π个单位，可得到函数g （x ）的图象，且函数y=f（x ）•g （x ）在区间（0，m ）上是单调函数，求m 的最大值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（1）由
πω+φ=0，
πω+φ=π，可解得ω，φ，由Asin
=2，可得A ，即可得解
函数f （x ）的表达式．
（2）由图象平移可求g （x ），从而可求y=f（x ）•g （x ）=2sin（x ﹣可求﹣为
． π＜x ﹣
π＜m ﹣
π，由题意可得﹣
π＜m ﹣
π≤﹣
），由x ∈（0，m ），，即可解得m 的最大值
【解答】（本题满分为12分） 解：（1）由由Asin
πω+φ=0，
πω+φ=π，可得：ω=
，φ=﹣
，
=2，可得：A=2，
x ﹣
），…6分 ）， x ﹣
）=2sin（x ﹣
），
故函数f （x ）的表达式为：f （x ）=2sin（（2）由图象平移可知：g （x ）=2cos（所以y=f（x ）•g （x ）=2×2sin （因为x ∈（0，m ）， 所以：﹣则﹣
π＜x ﹣
π＜m ﹣
，
x ﹣
x ﹣
）cos （
π，要使该函数在区间（0，m ）上是单调函数，
π＜m ﹣π≤﹣，
所以：0＜m ≤
所以m 的最大值为．…12分
18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l 组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），
95）100]得到的频率分布直方图如图所示：第4组[90，，第5组[95，若要在成绩较高的第3，
4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：
（I ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；
（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 【分析】（I ）根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，即可求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；
（Ⅱ）确定第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A ， 第三组人数为100×0.06×5=30，第四组人数为100×0.04×5=20，第五组人数为100×0.02×5=10， 根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，… 第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：
（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3． 且，则随机变量ξ的分布列为：
．…
19．PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值为
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．
AC ⊥BC ； 【分析】（Ⅰ）证明平面EAC ⊥平面PBC ，只需证明AC ⊥平面PBC ，即证AC ⊥PC ，
（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC 的法向量=（1，﹣1，0），面EAC 的法向量=（a ，﹣a ，﹣2），利用二面角P ﹣A C﹣E 的余弦值为
，
可求a 的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=， ∴AC 2+BC2=AB2，∴AC ⊥BC ， 又BC ∩PC=C，∴AC ⊥平面PBC ，
∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．…
（Ⅱ）如图，以C 为原点，取AB 中点F ，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，﹣1，0）． 设P （0，0，a ）（a ＞0），则E （=（1，1，0），
，﹣
，=（
），… ，﹣
，
），
=（0，0，a ），
取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC 的法向量． 设=（x ，y ，z ）为面EAC 的法向量，则•=•=0， 即
取x=a，y=﹣a ，z=﹣2，则=（a ，﹣a ，﹣2），
依题意，|cos＜，＞|=于是=（2，﹣2，﹣2），
==，则a=2．…
=（1，1，﹣2）．
，＞|=
=
，
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ=|cos＜
即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为．…
20．已知动圆过定点A （0，2），且在x 轴上截得的弦MN 的长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）过点A （0，2）作一条直线与曲线C 交于E ，F 两点，过E ，F 分别作曲线C 的切线，两切线交于P 点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF 的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
y ）【分析】（1）设圆心为C （x ，，线段MN 的中点为E ，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
由此能求出动圆圆心的轨迹C 的方程． （2）设E （
），F （
），由A ，E ，F 三点共线，得到x 1x 2=﹣8，由已
），由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x 2=
知条件利用导数性质求出P 点坐标为（
﹣x 1时取最小值，从而能求出直线EF 方程为y=2．
【解答】解：（1）设圆心为C （x ，y ），线段MN 的中点为E ，则|ME|=依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴x 2+（y ﹣2）2=22+y2，整理，得x 2=4y， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为x 2=4y． （2）设E （
），F （
），
，
由A ，E ，F 三点共线，得
，∴x 1x 2=﹣8，
由x 2=4y，得y=∴PE 的方程为
，∴， ，即y=
．
同理PF 的方程为y=解得P 点坐标为（
， ），即（
），
∴|PE|==，
∴|PE|•|PF|=
=
=
=
≥=24，
当且仅当x 2=﹣x 1时，上式取等号，
此时EF 的斜率为0，所求直线EF 方程为y=2．
21．已知a ＞0，函数f （x ）=ax2﹣x ，g （x ）=lnx． （1）若a=1，求函数y=f（x ）﹣3g （x ）的极值；
（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≥g （ax ）成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题． 【分析】（1）求出y=f（x ）﹣3g （x ）的解析式，求出导函数的根，判断导函数根左右的单调性，再根据极值的定义即可得；
=f=ax2﹣x ﹣ln h =′x ）（2）令h （x ）（x ）﹣g （ax ）（ax ），则问题等价于h （x ）（min ≥0，
，
令p （x ）=2ax2﹣x ﹣1，△=1+8a＞0，设p （x ）=0有两不等根x 1，x 2，不妨令x 1＜0＜x 2，
利用导数可求得h （x ）min =h（x 2）≥0；由p （x 2）=0可对h （x 2）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h （x 2）≤0，由此求得x 2=1，进而求得a 值． 【解答】解：（1）当a=1时，y=f（x ）﹣3g （x ）=x2﹣x ﹣3lnx ， 导数y ′=2x﹣1﹣
=
，
时，y ′＜0，当x ＞
时，y ′＞0，
）﹣3g （
）=
﹣
﹣3ln
=
﹣
因为x ＞0，所以当0＜x ＜
所以函数y=f（x ）﹣3g （x ）在x=3ln
，
处取得极小值f （
函数y=f（x ）﹣3g （x ）没有极大值； （2）假设存在f （x ）≥g （ax ）成立．
令h （x ）=f（x ）﹣g （ax ）=ax2﹣x ﹣ln （ax ），即h （x ）min ≥0， 所以h ′（x ）=2ax﹣1﹣
=
，
令p （x ）=2ax2﹣x ﹣1，△=1+8a＞0， 所以p （x ）=0有两个不等根x 1，x 2，x 1 x2=﹣
，不妨令x 1＜0＜x 2，
所以h （x ）在（0，x 2）上递减，在（x 2，+∞）上递增， 所以h （x 2）=ax22﹣x 2﹣ln （ax 2）≥0成立， 因为p （x 2）=2ax22﹣x 2﹣1=0，
所以ax 2=
，
所以h （x 2）=令k （x ）=k ′（x ）=﹣
+
﹣ln ﹣
﹣ln ≥0，
==﹣
+ln2x﹣ln （1+x），
，
所以k （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 所以k （x 2）≤k （1）=0，又h （x 2）=
﹣ln
≥0，
所以x 2=1代入ax 2=
，得a=1，
所以a ∈{1}．
故存在实数a 的取值集合{1}，使得f （x ）≥g （ax ）成立．
四. 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答. 注意：只能做所选的题目. 如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知AB 为半圆O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于点E ，DE=1． （Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（Ⅰ）连接OC ，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA ，再证明OC ∥AD ，即可证得AC 平分∠BAD ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE 四点共圆，可得∠B=∠CED ，从而有
，故可求BC 的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC ，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA ， 因为CD 为半圆的切线，所以OC ⊥CD ， 又因为AD ⊥CD ，所以OC ∥AD ，
所以∠OCA=∠CAD ，∠OAC=∠CAD ，所以AC 平分∠BAD ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，
连接CE ，因为ABCE 四点共圆，∠B=∠CED ，所以cosB=cos∠CED ，
所以，所以BC=2．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．已知直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数）．
（1）设l 与C 1相交于A 、B 两点，求|AB|的值；
（2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】本题（1）可以将曲线C 1的方程转化为普通方程，再将直线l ：（t 为参数），方程代入后，求出交点A 、B 对应的参数t 1，t 2，得到两个参数的和与积，再利用交点点A 、B 两点的坐标与参数t 1，t 2的关系，求出|AB|的值，也可以将直线l 的方程化成普通方程后，利用弦长公式求出出|AB|的值，得到本题结论；
（2）将曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，利用曲线的变换规律，求出到曲线C 2的方程，再将直线l 平移到与曲线C 2的相切，
利用根据的判断式为0，求出平移后的直线方程，利用两直线间距离公式，求出两平行线距离，得到曲线C 2上的一个动点P 到直线l 的距离的最小值．
【解答】解：（1）∵曲线C 1：
∴消去参数θ，得到C 1：x 2+y2=4．
∵直线l ：
∴（t+1）2+（
∴4t 2+2t﹣3=0． （t 为参数）， ）2=4， （θ为参数），
∴（t 2﹣t 1）2=（t 2+t1）2﹣4t 1t 2==．
设l 与C 1相交于A 、B 两点，则A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
|AB|2=
=[（1+t2）﹣（1+t1）]2+[
=4（t 2﹣t 1）2
=13．
]2
∴|AB|=．
，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C 2， （2）∵把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的
∴由C 1：x 2+y2=4得
C 2：（4x ）2+（
∴
∵直线l ：
∴y=
将y=x ． x+m代入，
， ． （t 为参数）， ）2=4， ∴
令△=0，
，
∴m=
取m=﹣
∵直线y=． ，得到直线：y=x x x ， 的距离为： 与直线y=
=，
． ∴曲线C 2上的一个动点P 到直线l 的距离的最小值为
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f （x ）=|x+1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f （x ）＜6的解集；
（2）若关于x 的方程f （x ）=|a﹣2|有解，求实数a 的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）原不等式等价于或或
＜0，分别解每一个不等式，最后取其并集即可；
（2）利用绝对值不等式可得f （x ）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x ﹣3|=4，依题意，解不等式|a﹣2|≥4即可求得实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式等价于或或
＜0…
解得﹣2＜x ＜﹣1或﹣1≤x ≤3或3＜x ＜4，
故原不等式的解集为{x|﹣2＜x ＜4}．…
（2）∵f （x ）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x ﹣3|=4．…
又关于x 的方程f （x ）=|a﹣2|有解，
∴|a﹣2|≥4，即a ﹣2≥4或a ﹣2≤﹣4，解得a ≥6或a ≤﹣2，…
所以实数a 的取值范围为a ≥6或a ≤﹣2．…
2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是（ ）
A ．{a|3＜a ≤4} B ．{a|3＜a ＜4} C ．{a|3≤a ≤4} D．∅ 2．复数A ．
=A+Bi（A ，B ∈R ），则A+B的值是（ ）
C ．﹣
D．﹣4
B ．0
3．x ∈R ，|的图象关于y 轴对称”是“y=f“y=|f对于函数y=f（x ），（x ）（x ）是奇函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C ．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（ ）
A ．25 5．已知A ．﹣
B ．30 C ．31 ，
D ．61
，向量
D．
与
垂直，则实数λ的值为（ ）
B． C ．﹣
由K 2=
算得K 2=
≈4.762
参照附表，得到的正确结论（ ）
A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
7．已知各项均为正数的数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列，则数列{an }的通项公式为（ ）
A ．2n ﹣3 B ．2n ﹣2 C ．2n ﹣1 D ．2n ﹣2+1
8．若（1﹣2x ）2016=a0+a1x+a2x 2+…+a2016x 2016，（x ∈R ），则（a 0+a1）+（a 0+a2）+（a 0+a3）+…+（a 0+a2016）的值是（ ）
A ．2018 B．2017 C．2016 D．2015 9．已知抛物线y 2=4x的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为P ，以坐标原点O 为圆心，
∠FPB=θ，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B ，则sin θ的值为（ ） A ．
B ．
C ．
﹣1 D ．
﹣1
10．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）
A ．2 B．4 C．8 D．16﹣
11．已知双曲线C 为：=1（a ＞0，b ＞0），其左右顶点分别为A 、B ，曲线上一点
P ，k PA 、k PB 分别为直线PA 、PB 的斜率，且k PA •k PB =3，过左焦点的直线l 与双曲线交于两
点M ，N ，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（ ） A ．
﹣
=1
B ．﹣=1
C ．﹣=1和﹣=1
D ．﹣=1或﹣=1
12．直角三角形ABC ，三内角成等差数列，最短边的边长为m （m ＞0），P 是△ABC 内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m 的值为（ ） A ．1 B ． C ． D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n =n2+6n+1（n ∈N *），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为 ．
14．已知函数f （x ）=ax2+bx（a ，b ∈R ），且满足1＜f （1）＜2，3＜f （2）＜8，则f （3）的取值范围是 ．
15．如图所示三棱锥A ﹣BCD ，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接
球的表面积为 ．
16．已知函数f （x ）=，g （x ）=
ax 2﹣2a+2（a ＞0），若存在
x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的
（2）将函数f （x ）的图象向左平移π个单位，可得到函数g （x ）的图象，且函数y=f（x ）•g （x ）在区间（0，m ）上是单调函数，求m 的最大值． 18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l 组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），
95）100]得到的频率分布直方图如图所示：第4组[90，，第5组[95，若要在成绩较高的第3，
4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：
（I ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；
（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．
19．PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值为
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
20．已知动圆过定点A （0，2），且在x 轴上截得的弦MN 的长为4． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）过点A （0，2）作一条直线与曲线C 交于E ，F 两点，过E ，F 分别作曲线C 的切线，两切线交于P 点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF 的方程．
21．已知a ＞0，函数f （x ）=ax2﹣x ，g （x ）=lnx． （1）若a=1，求函数y=f（x ）﹣3g （x ）的极值；
（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≥g （ax ）成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．
四. 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答. 注意：只能做所选的题目. 如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知AB 为半圆O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于点E ，DE=1． （Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 23．已知直线l ：
（t 为参数），曲线C 1：
（θ为参数）．
（1）设l 与C 1相交于A 、B 两点，求|AB|的值； （2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的
，纵坐标压缩为原来的
，得到曲线
C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f （x ）=|x+1|+|x﹣3|． （1）求不等式f （x ）＜6的解集；
（2）若关于x 的方程f （x ）=|a﹣2|有解，求实数a 的取值范围．
2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是（ ）
A ．{a|3＜a ≤4} B ．{a|3＜a ＜4} C ．{a|3≤a ≤4} D．∅ 【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，A ⊇B ，知数a 的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|a﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，A ⊇B ， ∴
，
，由此能求出实
解得3≤a ≤4， 故选C ． 2．复数A ．
=A+Bi（A ，B ∈R ），则A+B的值是（ ）
C ．﹣
D．﹣4
B ．0
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：A+Bi=
=
=
=1﹣i ，
∴A=1，B=﹣1， ∴A+B=0， 故选：B ． 3．x ∈R ，|的图象关于y 轴对称”是“y=f“y=|f对于函数y=f（x ），（x ）（x ）是奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C ．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】奇偶函数图象的对称性；充要条件．
【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．
【解答】解：例如f （x ）=x2﹣4满足|f（x ）|的图象关于y 轴对称，但f （x ）不是奇函数，
所以，“y=|f（x ）|的图象关于y 轴对称”推不出“y=f（x ）是奇函数”
当“y=f（x ）是奇函数”⇒f （﹣x ）=﹣f （x ）⇒|f（﹣x ）|=|f（x ）|⇒y=|f（x ）|为偶函数⇒，“y=|f（x ）|的图象关于y 轴对称”
所以，“y=|f（x ）|的图象关于y 轴对称”是“y=f（x ）是奇函数”的必要而不充分条件 故选B
4．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（ ）
A ．25
C ．31 D ．61
【考点】伪代码．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数 y=当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31， 故选：C ． 5．已知A ．﹣
B．
，C ．﹣
D．
，向量
与
垂直，则实数λ的值为（ ）
的函数值．
的函数值．
B ．30
【考点】平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】先求出向量待定系数λ的值． 【解答】解：∵已知∴（
）•（
）=0，
，
，向量
与
垂直，
与
的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出
即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0， ∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣
．
故选A ．
由K 2=
算得K 2=
≈4.762
参照附表，得到的正确结论（ ）
A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论． 【解答】解：∵K 2=
≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05
∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”． 故选：A ．
7．已知各项均为正数的数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列，则数列{an }的通项公式为（ ）
A ．2n ﹣3 B ．2n ﹣2 C ．2n ﹣1 D ．2n ﹣2+1 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】先根据S n ，a n ，
成等差数列，得到2a n =Sn +
，继而得到2a n ﹣1=Sn ﹣1+
，两式
相减，整理得：a n =2an ﹣1（n ≥2），继而得到数列{an }是题得以解决．
【解答】解：由题意知2a n =Sn +2a n ﹣1=Sn ﹣1+
，
，
为首项，2为公比的等比数列，问
两式相减得a n =2an ﹣2a n ﹣1（n ≥2），整理得：a n =2an ﹣1（n ≥2） 当n=1是，2a 1=S1+∴数列{an }是∴a n =
，即a 1=
为首项，2为公比的等比数列，
•2n ﹣1=2n ﹣2，
当n=1时，成立， 故选：B
8．若（1﹣2x ）2016=a0+a1x+a2x 2+…+a2016x 2016，（x ∈R ），则（a 0+a1）+（a 0+a2）+（a 0+a3）+…+（a 0+a2016）的值是（ ）
A ．2018 B．2017 C．2016 D．2015 【考点】二项式定理的应用．
【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a 0=1．再令x=1，可得a 0+a1+a2+…+a2016 =1，求得a 1+a2+…+a2016 =0，从而求得要求式子的值．
【解答】解：在（1﹣2x ）2016=a0+a2x+a2x 2+…+a2016x 2016 （x ∈R ）中， 令x=0，可得a 0=1．
再令x=1，可得a 0+a1+a2+…+a2016 =1，∴a 1+a2+…+a2016 =0，
∴（a 0+a1）+（a 0+a2）+（a 0+a3）+…+（a 0+a2016）=2016a0+（a 1+a2+…+a2016 ）=2016， 故选：C ． 9．已知抛物线y 2=4x的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为P ，以坐标原点O 为圆心，
∠FPB=θ，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B ，则sin θ的值为（ ） A ．
B ．
C ．
﹣1 D ．
﹣1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出圆O 的方程，联立方程组解出B 的横坐标，根据圆的性质和抛物线的性质得出sin θ=
．
【解答】解：抛物线的焦点为F （1，0），准线方程为x=﹣1，∴P （﹣1，0），∴圆O 的方程为x 2+y2=1． 联立方程组
，消元得x 2+4x﹣1=0，解得x=
﹣2或x=﹣
﹣2（舍）．
∵B 在抛物线y 2=4x上，
∴|BF|=﹣2+1=．
∵PF 是圆O 的直径，∴PB ⊥BF ，∴sin θ=故选：A ．
=
．
10．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）
A ．2 B．4 C．8 D．16
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：
，然后，求解当xy 最大时，该几何体的具体的结构，从而求
解其体积．
【解答】解：由三视图，得 该几何体为三棱锥， 有
∴x 2+y2=128， ∵xy ≤
，当且仅当x=y=8时，等号成立，
，
此时，V=故选：D ．
××2×6×8=16，
11．已知双曲线C 为：﹣=1（a ＞0，b ＞0），其左右顶点分别为A 、B ，曲线上一点
P ，k PA 、k PB 分别为直线PA 、PB 的斜率，且k PA •k PB =3，过左焦点的直线l 与双曲线交于两
点M ，N ，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（ ） A ．
﹣
=1
B ．﹣=1
C ．﹣=1和﹣=1
D ．﹣=1或﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设P （m ，n ），代入双曲线的方程，由A （﹣a ，0），B （a ，0），k PA •k PB =3，运用直线的斜率公式化简可得b=
a ，N 均在左支和分别在两支，讨论M ，由最小值为
=4，
和2a=4，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程． 【解答】解：设P （m ，n ），可得
﹣
=1，即有
=
，
由A （﹣a ，0），B （a ，0），k PA •k PB =3， 可得
•
=
=
=3，即为b=
a ，
由过左焦点的直线l 与双曲线交于两点M ，N ，|MN|的最小值为4， 可得当M ，N 都在左支上，即有MN 垂直于x 轴时取得最小值，且为
=4，
解得a=，b=，可得双曲线的方程为﹣=1；
，
当M ，N 分别在两支上，即有MN 的最小值为2a=4，即a=2，b=2可得双曲线的方程为
﹣
=1．
综上可得，双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．
故选：D ．
12．直角三角形ABC ，三内角成等差数列，最短边的边长为m （m ＞0），P 是△ABC 内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m 的值为（ ） A ．1 B ． C ． D ． 【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由条件和等差中项的性质求出各个内角，由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、
∠ACB=60°，可以得到∠ACP=∠PBC ，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB 、PC 的长，即可得出结论．
【解答】解：∵直角三角形ABC ，三内角成等差数列，设B=90° ∴2A=B+C，又A+B+C=180°，解得A=60°，C=30°，
m ，AC=2m， 由AB=m得，BC=
延长BP 到B ′，在BB' 上取点E ，使PE=PC，EB ′=AP， ∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，
∴△PCE 是正三角形，∴∠CEB'=120°=∠APC ， ∵AP=EB′，PC=EC，∴△ACP ≌△B ′CE ， ∴∠PCA=∠B ′CE ，AC=B′C=2m，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP ，∴∠ACB ′=∠PCE=60°， ∵∠ACB=30°，∴∠BCB ′=90°，
m ， ∵PE=PC，AP=B′E ，AC=2AB=2m，BC=
∴PA+PB+PC=B′E+PB+PE=BB′=∵PA+PB+PC=故选：C ．
，∴
=
m ，得m=
=，
=
m ，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知数列{an }，其前n 项和为S n ，且S n =n2+6n+1（n ∈N *），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为41． 【考点】数列的求和．
【分析】由S n =n2+6n+1逐一求出数列的前四项得答案． 【解答】解：由S n =n2+6n+1，得a 1=S1=8，
， ， ．
∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=8+9+11+13=41． 故答案为：41．
14．已知函数f （x ）=ax2+bx（a ，b ∈R ），且满足1＜f （1）＜2，3＜f （2）＜8，则f （3）的取值范围是 （3，21） ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据f （1），f （2）的范围得到：1＜a+b＜2，3＜4a+2b＜8，根据不等式的性质求出3a+b的范围，从而求出f （3）的范围即可． 【解答】解：f （x ）=ax2+bx（a ，b ∈R ）， ∵1＜f （1）＜2，3＜f （2）＜8， ∴1＜f （2）﹣f （1）＜7， 令f （3）=mf（1）+nf（2）， 即9a+3b=m（a+b）+n（4a+2b）， ∴
，
解得：m=3，n=﹣3
∴f （3）=3[f（2）﹣f （1）]， ∴3＜f （3）＜21， 故答案为：（3，21）．
15．如图所示三棱锥A ﹣BCD ，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接
球的表面积为 55π
．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可． 【解答】解：如图，
∵三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两相等，∴把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径， d=
∴它的外接球半径是外接球的表面积是 4π故答案为：55π．
=．
．
．
ax 2﹣2a+2（a ＞0），若存在
16．已知函数f （x ）=，g （x ）=
x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立，则实数a 的取值范围是
≤a ≤ ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】判断函数f （x ）的单调性，求出函数f （x ）的值域，根据若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立得到，f （x ）的值域和g （x ）的值域交集不是空集即可得到结论． 【解答】解：当
＜x ≤1时，f （x ）=
的导数f ′（x ）=
=
=
＞0，
则此时函数f （x ）为增函数，则f （当0≤x ≤
时，f （x ）=﹣
，
]∪（x+
）＜f （x ）≤f （1），即＜f （x ）≤1，
为减函数，
则0≤f （x ）≤
即函数f （x ）的值域为[0，函数g （x ）=
，1]
ax 2﹣2a+2（a ＞0），在[0，1]上为增函数，
则g （0）≤g （x ）≤g （1）， 即2﹣2a ≤g （x ）≤2﹣
a ，
a ]
即g （x ）的值域为[2﹣2a ，2﹣
若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g（x 2）成立， 则[2﹣2a ，2﹣若[2﹣2a ，2﹣
a ]∩（[0，a ]∩（[0，
]∪（]∪（
，1]）≠∅， ，1]）=∅，
则2﹣a ＜0或或2﹣2a ＞1，
即a ＞或a 无解或0＜a ＜
a ]∩（[0，
， ]∪（
，1]）≠∅，
即若[2﹣2a ，2﹣则
≤a ≤
，
≤a ≤
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜ ）在某一个周期内的
（2）将函数f （x ）的图象向左平移π个单位，可得到函数g （x ）的图象，且函数y=f（x ）•g （x ）在区间（0，m ）上是单调函数，求m 的最大值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（1）由
πω+φ=0，
πω+φ=π，可解得ω，φ，由Asin
=2，可得A ，即可得解
函数f （x ）的表达式．
（2）由图象平移可求g （x ），从而可求y=f（x ）•g （x ）=2sin（x ﹣可求﹣为
． π＜x ﹣
π＜m ﹣
π，由题意可得﹣
π＜m ﹣
π≤﹣
），由x ∈（0，m ），，即可解得m 的最大值
【解答】（本题满分为12分） 解：（1）由由Asin
πω+φ=0，
πω+φ=π，可得：ω=
，φ=﹣
，
=2，可得：A=2，
x ﹣
），…6分 ）， x ﹣
）=2sin（x ﹣
），
故函数f （x ）的表达式为：f （x ）=2sin（（2）由图象平移可知：g （x ）=2cos（所以y=f（x ）•g （x ）=2×2sin （因为x ∈（0，m ）， 所以：﹣则﹣
π＜x ﹣
π＜m ﹣
，
x ﹣
x ﹣
）cos （
π，要使该函数在区间（0，m ）上是单调函数，
π＜m ﹣π≤﹣，
所以：0＜m ≤
所以m 的最大值为．…12分
18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l 组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），
95）100]得到的频率分布直方图如图所示：第4组[90，，第5组[95，若要在成绩较高的第3，
4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：
（I ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；
（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 【分析】（I ）根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，即可求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；
（Ⅱ）确定第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A ， 第三组人数为100×0.06×5=30，第四组人数为100×0.04×5=20，第五组人数为100×0.02×5=10， 根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，… 第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：
（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3． 且，则随机变量ξ的分布列为：
．…
19．PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值为
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．
AC ⊥BC ； 【分析】（Ⅰ）证明平面EAC ⊥平面PBC ，只需证明AC ⊥平面PBC ，即证AC ⊥PC ，
（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC 的法向量=（1，﹣1，0），面EAC 的法向量=（a ，﹣a ，﹣2），利用二面角P ﹣A C﹣E 的余弦值为
，
可求a 的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=， ∴AC 2+BC2=AB2，∴AC ⊥BC ， 又BC ∩PC=C，∴AC ⊥平面PBC ，
∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．…
（Ⅱ）如图，以C 为原点，取AB 中点F ，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，﹣1，0）． 设P （0，0，a ）（a ＞0），则E （=（1，1，0），
，﹣
，=（
），… ，﹣
，
），
=（0，0，a ），
取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC 的法向量． 设=（x ，y ，z ）为面EAC 的法向量，则•=•=0， 即
取x=a，y=﹣a ，z=﹣2，则=（a ，﹣a ，﹣2），
依题意，|cos＜，＞|=于是=（2，﹣2，﹣2），
==，则a=2．…
=（1，1，﹣2）．
，＞|=
=
，
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ=|cos＜
即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为．…
20．已知动圆过定点A （0，2），且在x 轴上截得的弦MN 的长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）过点A （0，2）作一条直线与曲线C 交于E ，F 两点，过E ，F 分别作曲线C 的切线，两切线交于P 点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF 的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
y ）【分析】（1）设圆心为C （x ，，线段MN 的中点为E ，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
由此能求出动圆圆心的轨迹C 的方程． （2）设E （
），F （
），由A ，E ，F 三点共线，得到x 1x 2=﹣8，由已
），由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x 2=
知条件利用导数性质求出P 点坐标为（
﹣x 1时取最小值，从而能求出直线EF 方程为y=2．
【解答】解：（1）设圆心为C （x ，y ），线段MN 的中点为E ，则|ME|=依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴x 2+（y ﹣2）2=22+y2，整理，得x 2=4y， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为x 2=4y． （2）设E （
），F （
），
，
由A ，E ，F 三点共线，得
，∴x 1x 2=﹣8，
由x 2=4y，得y=∴PE 的方程为
，∴， ，即y=
．
同理PF 的方程为y=解得P 点坐标为（
， ），即（
），
∴|PE|==，
∴|PE|•|PF|=
=
=
=
≥=24，
当且仅当x 2=﹣x 1时，上式取等号，
此时EF 的斜率为0，所求直线EF 方程为y=2．
21．已知a ＞0，函数f （x ）=ax2﹣x ，g （x ）=lnx． （1）若a=1，求函数y=f（x ）﹣3g （x ）的极值；
（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≥g （ax ）成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题． 【分析】（1）求出y=f（x ）﹣3g （x ）的解析式，求出导函数的根，判断导函数根左右的单调性，再根据极值的定义即可得；
=f=ax2﹣x ﹣ln h =′x ）（2）令h （x ）（x ）﹣g （ax ）（ax ），则问题等价于h （x ）（min ≥0，
，
令p （x ）=2ax2﹣x ﹣1，△=1+8a＞0，设p （x ）=0有两不等根x 1，x 2，不妨令x 1＜0＜x 2，
利用导数可求得h （x ）min =h（x 2）≥0；由p （x 2）=0可对h （x 2）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h （x 2）≤0，由此求得x 2=1，进而求得a 值． 【解答】解：（1）当a=1时，y=f（x ）﹣3g （x ）=x2﹣x ﹣3lnx ， 导数y ′=2x﹣1﹣
=
，
时，y ′＜0，当x ＞
时，y ′＞0，
）﹣3g （
）=
﹣
﹣3ln
=
﹣
因为x ＞0，所以当0＜x ＜
所以函数y=f（x ）﹣3g （x ）在x=3ln
，
处取得极小值f （
函数y=f（x ）﹣3g （x ）没有极大值； （2）假设存在f （x ）≥g （ax ）成立．
令h （x ）=f（x ）﹣g （ax ）=ax2﹣x ﹣ln （ax ），即h （x ）min ≥0， 所以h ′（x ）=2ax﹣1﹣
=
，
令p （x ）=2ax2﹣x ﹣1，△=1+8a＞0， 所以p （x ）=0有两个不等根x 1，x 2，x 1 x2=﹣
，不妨令x 1＜0＜x 2，
所以h （x ）在（0，x 2）上递减，在（x 2，+∞）上递增， 所以h （x 2）=ax22﹣x 2﹣ln （ax 2）≥0成立， 因为p （x 2）=2ax22﹣x 2﹣1=0，
所以ax 2=
，
所以h （x 2）=令k （x ）=k ′（x ）=﹣
+
﹣ln ﹣
﹣ln ≥0，
==﹣
+ln2x﹣ln （1+x），
，
所以k （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 所以k （x 2）≤k （1）=0，又h （x 2）=
﹣ln
≥0，
所以x 2=1代入ax 2=
，得a=1，
所以a ∈{1}．
故存在实数a 的取值集合{1}，使得f （x ）≥g （ax ）成立．
四. 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答. 注意：只能做所选的题目. 如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知AB 为半圆O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于点E ，DE=1． （Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（Ⅰ）连接OC ，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA ，再证明OC ∥AD ，即可证得AC 平分∠BAD ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE 四点共圆，可得∠B=∠CED ，从而有
，故可求BC 的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC ，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA ， 因为CD 为半圆的切线，所以OC ⊥CD ， 又因为AD ⊥CD ，所以OC ∥AD ，
所以∠OCA=∠CAD ，∠OAC=∠CAD ，所以AC 平分∠BAD ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，
连接CE ，因为ABCE 四点共圆，∠B=∠CED ，所以cosB=cos∠CED ，
所以，所以BC=2．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．已知直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数）．
（1）设l 与C 1相交于A 、B 两点，求|AB|的值；
（2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】本题（1）可以将曲线C 1的方程转化为普通方程，再将直线l ：（t 为参数），方程代入后，求出交点A 、B 对应的参数t 1，t 2，得到两个参数的和与积，再利用交点点A 、B 两点的坐标与参数t 1，t 2的关系，求出|AB|的值，也可以将直线l 的方程化成普通方程后，利用弦长公式求出出|AB|的值，得到本题结论；
（2）将曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，利用曲线的变换规律，求出到曲线C 2的方程，再将直线l 平移到与曲线C 2的相切，
利用根据的判断式为0，求出平移后的直线方程，利用两直线间距离公式，求出两平行线距离，得到曲线C 2上的一个动点P 到直线l 的距离的最小值．
【解答】解：（1）∵曲线C 1：
∴消去参数θ，得到C 1：x 2+y2=4．
∵直线l ：
∴（t+1）2+（
∴4t 2+2t﹣3=0． （t 为参数）， ）2=4， （θ为参数），
∴（t 2﹣t 1）2=（t 2+t1）2﹣4t 1t 2==．
设l 与C 1相交于A 、B 两点，则A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
|AB|2=
=[（1+t2）﹣（1+t1）]2+[
=4（t 2﹣t 1）2
=13．
]2
∴|AB|=．
，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C 2， （2）∵把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的
∴由C 1：x 2+y2=4得
C 2：（4x ）2+（
∴
∵直线l ：
∴y=
将y=x ． x+m代入，
， ． （t 为参数）， ）2=4， ∴
令△=0，
，
∴m=
取m=﹣
∵直线y=． ，得到直线：y=x x x ， 的距离为： 与直线y=
=，
． ∴曲线C 2上的一个动点P 到直线l 的距离的最小值为
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f （x ）=|x+1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f （x ）＜6的解集；
（2）若关于x 的方程f （x ）=|a﹣2|有解，求实数a 的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）原不等式等价于或或
＜0，分别解每一个不等式，最后取其并集即可；
（2）利用绝对值不等式可得f （x ）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x ﹣3|=4，依题意，解不等式|a﹣2|≥4即可求得实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式等价于或或
＜0…
解得﹣2＜x ＜﹣1或﹣1≤x ≤3或3＜x ＜4，
故原不等式的解集为{x|﹣2＜x ＜4}．…
（2）∵f （x ）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x ﹣3|=4．…
又关于x 的方程f （x ）=|a﹣2|有解，
∴|a﹣2|≥4，即a ﹣2≥4或a ﹣2≤﹣4，解得a ≥6或a ≤﹣2，…
所以实数a 的取值范围为a ≥6或a ≤﹣2．…