谈谈人教版教材中函数极值的定义
甘志国(该文已发表 中学数学杂志2011(5)：15-16)
普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-2》) 第27页给出了函数极值的定义：
定义1 如图1，以a , b 两点为例，我们可以发现，函数y =f (x ) 在点x =a 的函数值f (a ) 比它在点x =a 附近其他点的函数值都小，f '(a ) =0；而且在点点x =a 附近的左侧f '(x ) 0. 类似地，函数y =f (x ) 在点x =b 的函数值f (b ) 比它在点x =a 附近其他点的函数值都大，f '(b ) =0；而且在点点x =b 附近的左侧f '(x ) >0，右侧f
'(x )
图1
我们把点a 叫做函数y =f (x ) 的极小值点，f (a ) 叫做函数y =f (x ) 的极小值；点b 叫做函数y =f (x ) 的极大值点，f (b ) 叫做函数y =f (x ) 的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值点统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.
《选修2-2》第29页又作了以下说明：
3导数值为0的点不一定是函数的极值点. 例如，对于函数f (x ) =x ，„„所以x =0不
3是函数f (x ) =x 的极值点. 一般地，函数y =f (x ) 在一点的导数值为0是函数y =f (x ) 在
这点取极值的必要条件，而非充分条件.
一般地，求函数y =f (x ) 的极值的方法是：
解方程f '(x ) =0. 当f '(x 0) =0时：
(1)如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x )
(2)如果在x 0附近的左侧f '(x ) 0，那么f (x 0) 是极小值.
显然，以上函数极值的定义是针对可导函数的，而在某些点不可导的函数也可以有极
值，例如函数y =x (x ∈R ) 在x =0处取极小值. 但《选修2-2》并没有给出“可导函数”的定义，而是在第5页直接给出导数的定义：
一般地，函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率是
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
我们称它为函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数，记作f '(x 0) 或y 'x =x 0，即
f '(x 0) =lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
显然，《选修2-2》这样处理的目的是为了帮助学生易于理解. 但笔者认为这样不科学，至少没有注意定义的合理性，笔者建议把此定义改述为：
一般地，若函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
存在，我们就说函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个瞬时变化率叫做函数y =f (x ) 在点x 0处的导数，记作f '(x 0) 或y 'x =x 0，即
f '(x 0) =lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
在本章(指《选修2-2》第一章) 中，我们所研究的函数在定义域上的每一点都是可导的. 在此约定下，《选修2-2》第一章后面的叙述都没有问题了，包括《选修2-2》第7页的叙述“我们发现，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线”也是正确的(否则割线PP n 不一定趋近于确定的位置).
我们再来看看全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II) 》(2006年人民教育出版社)(下简称《选修II 》) 第141页给出的函数极值的定义：
定义2 一般地，设函数f (x ) 在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有点都有
我们就说f (x 0) 是函数f (x ) 的一个极大(小) 值. 极大值与极小值统称为f (x ) ) f (x 0) ，
极值.
大学中的一些《数学分析》、《微积分》教材中也是这样定义极值的，比如樊映川等编的《高等数学讲义》(人民教育出版社，1964年第2版) 第305页的定义.
首先，定义1与定义2中的“点的附近”意义不同：由定义1中的“f (a ) 比它在点x =a
附近其他点的函数值都小”知“点x =a 附近”包括点x =a ，即指点x =a 的一个无限小．．
的邻域；而定义2中的“点x 0附近”指点x 0的一个无限小的空心邻域. 笔者认为，前者正确. 即使按照后者的理解，定义也不不严谨.
由定义2知：
常数函数[1] f (x ) =c 是没有极值的，所以它在任何开区间上也无极值 ①
f (x ) 在闭又由上述《高等数学讲义》第311页的叙述(以下也是显然的事实) ：“设函数
区间[a , b ]上是连续的，则它的最大值及最小值必然是存在的. 我们来讨论怎样求出最大值的方法(求最小值的方法也可同样讨论). 如果函数在a 与把b 之间的某一点达到最大值，这个最大值显然也是极大值；但最大值也可以在区间的端点a , b 处达到，„”可知：
在开区间上可导函数的最值一定是极值 ②
又常数函数在任何开区间上都是可导的，所以由结论①②知：
常数函数在开区间上没有最值 ③
众所周知，函数的最大(小) 值就是所有函数值中最大(小) 的，常数函数的最大值、最小值均存在，并且都是这个常数本身. 这与③矛盾！
这说明《选修II 》中函数极值的定义不严谨，可修正为：
一般地，设函数f (x ) 在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有点都有f (x ) ≤(≥) f (x 0) ，我们就说f (x 0) 是函数f (x ) 的一个极大(小) 值. 极大值与极小值统称为极值.
注 以上“x 0附近”是不严格的表述(限于高中生的理解只能这样表述). 罗元等主编、路见可主审《数学分析简明教程(上册) 》(1988年武汉工业大学出版社) 第169页，赵慈庚编《一元函数微分学》(1980年上海科技出版社) 第316页及谷超豪主编《数学词典》(1992年上海辞书出版社) 第275页的函数极值的定义均与该“修正”一致.
文献[2]认为定义1有误(但没有指出产生错误的原因) ，定义2正确，这也是值得商榷的.
笔者还认为，在《选修2-2》中先给出极限的描述性定义(同《选修II 》) ，再由极限给出导数的严格定义是可取的. 一方面，极限的定义在数学中很有用，在高一时很多求函数值域的问题(包括恒成立问题) 就必须要用到极限；另外，这样不会加重学生负担，反而会减轻学生在理解上的负担，在教学老教材(即大纲教材) 时，我校在高一上学期讲完《第二章 函数》后就立即讲授《导数》，很受学生欢迎且教学效果良好，就不曾有理解困难，那要是在高二下学期的《选修2-2》中讲极限、讲导数，学生在理解上绝无困难；第三，学生肯定还会遇到在某些点不可导的函数，如何用导数研究它们呢(若不用导数肯定有难度) ？对于导数，讲就讲彻底、讲清楚，只有好处，绝无坏处！
参考文献
1 甘志国著. 初等数学研究(I)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.266-267
2 刘焕芬. 值得商榷的问题——谈新人教版与旧人教版教材中对极值的处理[J].中学数学
(高中) ，2010(12):14
谈谈人教版教材中函数极值的定义
甘志国(该文已发表 中学数学杂志2011(5)：15-16)
普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-2》) 第27页给出了函数极值的定义：
定义1 如图1，以a , b 两点为例，我们可以发现，函数y =f (x ) 在点x =a 的函数值f (a ) 比它在点x =a 附近其他点的函数值都小，f '(a ) =0；而且在点点x =a 附近的左侧f '(x ) 0. 类似地，函数y =f (x ) 在点x =b 的函数值f (b ) 比它在点x =a 附近其他点的函数值都大，f '(b ) =0；而且在点点x =b 附近的左侧f '(x ) >0，右侧f
'(x )
图1
我们把点a 叫做函数y =f (x ) 的极小值点，f (a ) 叫做函数y =f (x ) 的极小值；点b 叫做函数y =f (x ) 的极大值点，f (b ) 叫做函数y =f (x ) 的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值点统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.
《选修2-2》第29页又作了以下说明：
3导数值为0的点不一定是函数的极值点. 例如，对于函数f (x ) =x ，„„所以x =0不
3是函数f (x ) =x 的极值点. 一般地，函数y =f (x ) 在一点的导数值为0是函数y =f (x ) 在
这点取极值的必要条件，而非充分条件.
一般地，求函数y =f (x ) 的极值的方法是：
解方程f '(x ) =0. 当f '(x 0) =0时：
(1)如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x )
(2)如果在x 0附近的左侧f '(x ) 0，那么f (x 0) 是极小值.
显然，以上函数极值的定义是针对可导函数的，而在某些点不可导的函数也可以有极
值，例如函数y =x (x ∈R ) 在x =0处取极小值. 但《选修2-2》并没有给出“可导函数”的定义，而是在第5页直接给出导数的定义：
一般地，函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率是
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
我们称它为函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数，记作f '(x 0) 或y 'x =x 0，即
f '(x 0) =lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
显然，《选修2-2》这样处理的目的是为了帮助学生易于理解. 但笔者认为这样不科学，至少没有注意定义的合理性，笔者建议把此定义改述为：
一般地，若函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
存在，我们就说函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个瞬时变化率叫做函数y =f (x ) 在点x 0处的导数，记作f '(x 0) 或y 'x =x 0，即
f '(x 0) =lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
在本章(指《选修2-2》第一章) 中，我们所研究的函数在定义域上的每一点都是可导的. 在此约定下，《选修2-2》第一章后面的叙述都没有问题了，包括《选修2-2》第7页的叙述“我们发现，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线”也是正确的(否则割线PP n 不一定趋近于确定的位置).
我们再来看看全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II) 》(2006年人民教育出版社)(下简称《选修II 》) 第141页给出的函数极值的定义：
定义2 一般地，设函数f (x ) 在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有点都有
我们就说f (x 0) 是函数f (x ) 的一个极大(小) 值. 极大值与极小值统称为f (x ) ) f (x 0) ，
极值.
大学中的一些《数学分析》、《微积分》教材中也是这样定义极值的，比如樊映川等编的《高等数学讲义》(人民教育出版社，1964年第2版) 第305页的定义.
首先，定义1与定义2中的“点的附近”意义不同：由定义1中的“f (a ) 比它在点x =a
附近其他点的函数值都小”知“点x =a 附近”包括点x =a ，即指点x =a 的一个无限小．．
的邻域；而定义2中的“点x 0附近”指点x 0的一个无限小的空心邻域. 笔者认为，前者正确. 即使按照后者的理解，定义也不不严谨.
由定义2知：
常数函数[1] f (x ) =c 是没有极值的，所以它在任何开区间上也无极值 ①
f (x ) 在闭又由上述《高等数学讲义》第311页的叙述(以下也是显然的事实) ：“设函数
区间[a , b ]上是连续的，则它的最大值及最小值必然是存在的. 我们来讨论怎样求出最大值的方法(求最小值的方法也可同样讨论). 如果函数在a 与把b 之间的某一点达到最大值，这个最大值显然也是极大值；但最大值也可以在区间的端点a , b 处达到，„”可知：
在开区间上可导函数的最值一定是极值 ②
又常数函数在任何开区间上都是可导的，所以由结论①②知：
常数函数在开区间上没有最值 ③
众所周知，函数的最大(小) 值就是所有函数值中最大(小) 的，常数函数的最大值、最小值均存在，并且都是这个常数本身. 这与③矛盾！
这说明《选修II 》中函数极值的定义不严谨，可修正为：
一般地，设函数f (x ) 在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有点都有f (x ) ≤(≥) f (x 0) ，我们就说f (x 0) 是函数f (x ) 的一个极大(小) 值. 极大值与极小值统称为极值.
注 以上“x 0附近”是不严格的表述(限于高中生的理解只能这样表述). 罗元等主编、路见可主审《数学分析简明教程(上册) 》(1988年武汉工业大学出版社) 第169页，赵慈庚编《一元函数微分学》(1980年上海科技出版社) 第316页及谷超豪主编《数学词典》(1992年上海辞书出版社) 第275页的函数极值的定义均与该“修正”一致.
文献[2]认为定义1有误(但没有指出产生错误的原因) ，定义2正确，这也是值得商榷的.
笔者还认为，在《选修2-2》中先给出极限的描述性定义(同《选修II 》) ，再由极限给出导数的严格定义是可取的. 一方面，极限的定义在数学中很有用，在高一时很多求函数值域的问题(包括恒成立问题) 就必须要用到极限；另外，这样不会加重学生负担，反而会减轻学生在理解上的负担，在教学老教材(即大纲教材) 时，我校在高一上学期讲完《第二章 函数》后就立即讲授《导数》，很受学生欢迎且教学效果良好，就不曾有理解困难，那要是在高二下学期的《选修2-2》中讲极限、讲导数，学生在理解上绝无困难；第三，学生肯定还会遇到在某些点不可导的函数，如何用导数研究它们呢(若不用导数肯定有难度) ？对于导数，讲就讲彻底、讲清楚，只有好处，绝无坏处！
参考文献
1 甘志国著. 初等数学研究(I)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.266-267
2 刘焕芬. 值得商榷的问题——谈新人教版与旧人教版教材中对极值的处理[J].中学数学
(高中) ，2010(12):14