雨中行走问题模型

雨中行走问题

数学2班 1107022015 朱婷婷

摘要

这篇论文主要讨论了在不同的降雨角度下，人在雨中从一处跑到另一处，在此过程中，人的行走速度与淋雨量多少的关系。

在构建模型过程中，将人体简化成一个长方体，高a1.5m (颈部以下)，宽

b0.5m,厚c0.2m.

在将人体简化成长方体过后，运用简单的代数知识、几何知识得到了在不同的降雨角度下，人跑完全程的淋雨量与行走速度及降雨角度的的关系公式。由这些公式，可以讨论人在雨中行走的快慢与淋雨量多少的关系。

关键词：淋雨量 降雨角度 行走速度

1问题提出

人在雨中从一处跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论

是否跑得越快，淋雨量越少。

假设跑步距离d100米，跑步最大速度为vm5m/s，雨速为4m/s，降雨量为

w2cm/h.

将人体简化成一个长方体，高a1.5m (颈部以下)，宽b0.5m,厚c0.2m.

2 合理假设

2.1 降雨的速度和降水的强度保持不变 2.2 人在雨中行走的速度是定量 2.3 风速保持恒定 2.4 人体视为一个长方体

2.5 假设产生影响的各个因素相互独立 2.6 变量限定

d:人在雨中行走的距离（m）

t：人在雨中行走的时间（t）

v：人在雨中行走的速度（m/s）

a,b,c：人的高度，宽度和厚度（m）

w：降雨量（降雨强度，单位时间平面上降下雨水的厚度，cm/h）

C:淋雨的总量（L）

u：雨滴落下的速度，即雨速（m/s）

p：雨滴的密度（p1,p1时意味着大雨倾盆）

：降雨的角度（雨滴落下的方向与行走的方向之间的夹角） 利用新的记号，wpu

3 模型构建

3.1 不考虑降雨角度的影响

当不考虑降雨角度时，假设淋雨的部位是全身所有部位。 则淋雨的面积为

S2ab2acbc

d

淋雨时间为 t

v

淋雨的总量为：

CtwS

dSwd(2ab2acbc)w



vv

3.2 考虑降雨的角度影响（迎面）

图1 0



2

当降雨的角度:0头顶淋雨总量为：



2

时，淋雨的部位为顶部和前方

C1

前方的淋雨总量为： C2

d(pusin)b(c)

vdp(ucosv)ab

v

所以总的淋雨量为： CC1C2

dbp

cusina(usinv) v

从表达式可以看出，人在行走的速度越快，淋雨量就越小。

3.3 考虑降雨角度的影响（背面）

图2

当降雨的角度:



2





2

，淋雨的部位是身后和顶部，设



2



若vusin，即人在雨中行走的速度慢于雨滴的水平运动速度

则后背的淋雨总量为： C3

头顶的淋雨总量为： C4所以淋雨的总量为：

dp(usinv)ab

vdpucos(bc)

v

dpbusinvauccosv

CC3C4

由这个表达式可以看出在上述前提之下，人在雨中的行走速度越快，人的淋雨量就越

少

由于人在雨中行走的最大速度为vm，因此当

Cpbd(uccos)/vm

若vusin，即人在雨中的行走速度快于雨滴的水平运动速度

vmusin

，最小淋雨量为

此时可以想象人在追赶雨滴，雨水滴落在头顶和前方

头顶的淋雨总量为:

C5前方的淋雨总量为：

dpucos(bc)

v

C6

所以总的淋雨量为：

dp(vusin)ab

v

dpbvusinauccos

v

CC5C6

这样得到淋雨量的数学模型为：

C3C4pbduccosa(usinv)/v

C

C5C6pbduccosa(vusin)/v

/2,vusin/2,vusin

第一个式子是速度v的减函数，第二个式子中关于v的增减性取决于

ccosasin是否大于零，而这需要看人的体形决定。

4 模型求解

4.1 针对3.1的求解

已知d100m,a1.5m,b0.5m,c0.2m,w0.2cm/h,vm5m/s，

那么可以算出当人在雨中的行走速度为最大时，即vm5m/s

淋雨的总量为：

CtwS

dSwd(2ab2acbc)w

vv

100*(2*1.5*0.52*1.5*0.20.5*0.2)*0.210

*

53600

0.024L

4.2 针对3.2的求解

当30时，人在雨中以最大速度vm5m/s行走时，

最小淋雨总量为：

CC1C2

dbp

cusina(usinvm)vm



100*0.5*0.2*4*sin1.5*(4sin5)

66*10



53600

0.303L(p1)

4.3 针对3.3的求解 当30时

若vusin，则人在雨中的最小淋雨量是在vusin2m/s取得

CC5C6

dpbuccos

v

100*0.5*4*0.2*cos

2



*100.048L(p1)3600

若vusin，此时ccosasin=-0.5768

最小淋雨总量为：

CC5C6

dpbuccos

v

100*0.5*4*0.2*cos

2



*100.048L(p1)3600

4.4针对上述问题作图讨论

人行走的路线为直线,行走距离为d, 跑步最大速度

vmaxu5s

选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：v(u,0,0)，则行走的时间为 l。 雨的速度不变,记为： 相对速度：

wvx,vy,vz

vwuvxu,vy,vz

人体为长方体,其前、侧、顶的面积之比为 a:b:c 单位时间内的淋雨量正比于

RuvxuavybvzcT

vxuavybvzc

，从而总淋雨量正比于



(行走的时间为lu)

y

v

已知

vx0

x

uaklu

kv

bvzc0



L,vx,a

求u 为何值是Ru 最小？

LavxLuvxu

RuLavx

Luvxu



分两类情况:

vxa;

和vxa

va

图3 vxa的情形 图4 x的情形

当

vxa

时，

uvx才使Ru取最小值RminLavx

。

当

vxa

时，u尽可能大时，Ru才会尽可能小。

vx0

RuluuvxaLavx

L

其图像为下图

Rvx0

图5

易知无最小值. 同样有对

vx0及vxa

的情形

情形的讨论。

时，取

uvx

由结果分析知：仅当

vxa0

可使前后不淋雨，其淋雨总量最

小，其它情况下，应使u尽可能的大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。

雨中行走问题

数学2班 1107022015 朱婷婷

摘要

这篇论文主要讨论了在不同的降雨角度下，人在雨中从一处跑到另一处，在此过程中，人的行走速度与淋雨量多少的关系。

在构建模型过程中，将人体简化成一个长方体，高a1.5m (颈部以下)，宽

b0.5m,厚c0.2m.

在将人体简化成长方体过后，运用简单的代数知识、几何知识得到了在不同的降雨角度下，人跑完全程的淋雨量与行走速度及降雨角度的的关系公式。由这些公式，可以讨论人在雨中行走的快慢与淋雨量多少的关系。

关键词：淋雨量 降雨角度 行走速度

1问题提出

人在雨中从一处跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论

是否跑得越快，淋雨量越少。

假设跑步距离d100米，跑步最大速度为vm5m/s，雨速为4m/s，降雨量为

w2cm/h.

将人体简化成一个长方体，高a1.5m (颈部以下)，宽b0.5m,厚c0.2m.

2 合理假设

2.1 降雨的速度和降水的强度保持不变 2.2 人在雨中行走的速度是定量 2.3 风速保持恒定 2.4 人体视为一个长方体

2.5 假设产生影响的各个因素相互独立 2.6 变量限定

d:人在雨中行走的距离（m）

t：人在雨中行走的时间（t）

v：人在雨中行走的速度（m/s）

a,b,c：人的高度，宽度和厚度（m）

w：降雨量（降雨强度，单位时间平面上降下雨水的厚度，cm/h）

C:淋雨的总量（L）

u：雨滴落下的速度，即雨速（m/s）

p：雨滴的密度（p1,p1时意味着大雨倾盆）

：降雨的角度（雨滴落下的方向与行走的方向之间的夹角） 利用新的记号，wpu

3 模型构建

3.1 不考虑降雨角度的影响

当不考虑降雨角度时，假设淋雨的部位是全身所有部位。 则淋雨的面积为

S2ab2acbc

d

淋雨时间为 t

v

淋雨的总量为：

CtwS

dSwd(2ab2acbc)w



vv

3.2 考虑降雨的角度影响（迎面）

图1 0



2

当降雨的角度:0头顶淋雨总量为：



2

时，淋雨的部位为顶部和前方

C1

前方的淋雨总量为： C2

d(pusin)b(c)

vdp(ucosv)ab

v

所以总的淋雨量为： CC1C2

dbp

cusina(usinv) v

从表达式可以看出，人在行走的速度越快，淋雨量就越小。

3.3 考虑降雨角度的影响（背面）

图2

当降雨的角度:



2





2

，淋雨的部位是身后和顶部，设



2



若vusin，即人在雨中行走的速度慢于雨滴的水平运动速度

则后背的淋雨总量为： C3

头顶的淋雨总量为： C4所以淋雨的总量为：

dp(usinv)ab

vdpucos(bc)

v

dpbusinvauccosv

CC3C4

由这个表达式可以看出在上述前提之下，人在雨中的行走速度越快，人的淋雨量就越

少

由于人在雨中行走的最大速度为vm，因此当

Cpbd(uccos)/vm

若vusin，即人在雨中的行走速度快于雨滴的水平运动速度

vmusin

，最小淋雨量为

此时可以想象人在追赶雨滴，雨水滴落在头顶和前方

头顶的淋雨总量为:

C5前方的淋雨总量为：

dpucos(bc)

v

C6

所以总的淋雨量为：

dp(vusin)ab

v

dpbvusinauccos

v

CC5C6

这样得到淋雨量的数学模型为：

C3C4pbduccosa(usinv)/v

C

C5C6pbduccosa(vusin)/v

/2,vusin/2,vusin

第一个式子是速度v的减函数，第二个式子中关于v的增减性取决于

ccosasin是否大于零，而这需要看人的体形决定。

4 模型求解

4.1 针对3.1的求解

已知d100m,a1.5m,b0.5m,c0.2m,w0.2cm/h,vm5m/s，

那么可以算出当人在雨中的行走速度为最大时，即vm5m/s

淋雨的总量为：

CtwS

dSwd(2ab2acbc)w

vv

100*(2*1.5*0.52*1.5*0.20.5*0.2)*0.210

*

53600

0.024L

4.2 针对3.2的求解

当30时，人在雨中以最大速度vm5m/s行走时，

最小淋雨总量为：

CC1C2

dbp

cusina(usinvm)vm



100*0.5*0.2*4*sin1.5*(4sin5)

66*10



53600

0.303L(p1)

4.3 针对3.3的求解 当30时

若vusin，则人在雨中的最小淋雨量是在vusin2m/s取得

CC5C6

dpbuccos

v

100*0.5*4*0.2*cos

2



*100.048L(p1)3600

若vusin，此时ccosasin=-0.5768

最小淋雨总量为：

CC5C6

dpbuccos

v

100*0.5*4*0.2*cos

2



*100.048L(p1)3600

4.4针对上述问题作图讨论

人行走的路线为直线,行走距离为d, 跑步最大速度

vmaxu5s

选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：v(u,0,0)，则行走的时间为 l。 雨的速度不变,记为： 相对速度：

wvx,vy,vz

vwuvxu,vy,vz

人体为长方体,其前、侧、顶的面积之比为 a:b:c 单位时间内的淋雨量正比于

RuvxuavybvzcT

vxuavybvzc

，从而总淋雨量正比于



(行走的时间为lu)

y

v

已知

vx0

x

uaklu

kv

bvzc0



L,vx,a

求u 为何值是Ru 最小？

LavxLuvxu

RuLavx

Luvxu



分两类情况:

vxa;

和vxa

va

图3 vxa的情形 图4 x的情形

当

vxa

时，

uvx才使Ru取最小值RminLavx

。

当

vxa

时，u尽可能大时，Ru才会尽可能小。

vx0

RuluuvxaLavx

L

其图像为下图

Rvx0

图5

易知无最小值. 同样有对

vx0及vxa

的情形

情形的讨论。

时，取

uvx

由结果分析知：仅当

vxa0

可使前后不淋雨，其淋雨总量最

小，其它情况下，应使u尽可能的大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。