2003年第19期 数学通讯21
抽象函数奇偶性的又一证明方法
郭 松
(荆州市沙市七中,湖北 434000)
中图分类号:O12-42 文献标识:A 文章编号:0488-7395(2003)19-0021-01 抽象函数奇偶性的证明往往是同学感到困难问题之一,一般方法是通过对f(x)和f(-x)的性质的探讨加以证明.笔者在教学中得到一种新颖的方法,介绍如下:
引理 任意一个函数f(x)可表示为一个偶函数Υ(x)和一个奇函数g(x)之和(f(x)的定义域关于原点对称).
证 设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),
(1)则 f(x)=Υ(x)+g(x)
f(-x)=Υ(-x)+g(-x)
)=Υ(x)-g(x)
由(1),(2)得:
,g)Υ(x)=
2
经检验Υ(x),g()满足题意,故引理成立.
例1 已知函数定义域是R,且对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y),判断函数的奇偶性.
证 设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),
由引理得:
==Υ(x)=
222
∵f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得
f(0)=0,
∴Υ(x)=0,∴f(x)=g(x).
因为g(x)为奇函数,所以f(x)为奇函数.例2 若函数y=f(x)对任意的实数Α,Β满足
)+f(Β)=2f()f(),f(x)不恒为零,试f(Α
22
证明y=f(x)为偶函数.
证 设f(x)=g(x)+Υ(x,其中g(x)为奇函数,Υ(x),
(3)f()=(x)+xx)(-+(-x)
(4)=Υ(x)-g(x)
(3)+(4),得
2Υ(x)=f(x)+f(-x)
)=2f(0)f(x).2)+f(Β)=2f()f(),取Α∵f(Α=Β=22
2
t得
=2f(
)f(
2f(t)=2f(t)f(0).
又因为f(t)不恒为零,所以f(0)=1.f(x)=
Υ(x)为偶函数.
此方法主要利用设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),然后证明f(x)=Υ(x)或f(x)=g(x),从而证明f(x)的奇偶性.
PF1 + PF2 =2a(a>c>0),求P的轨迹方程.
解 令P(x,y),则由已知得:
(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a将(1)两边取倒数,得:
(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=
a
(1)(2)
22
(3)整理得:2+22=1
aa-c
易验证(3)上任一点(x,y)也在(1)上,从而点P
22
轨迹方程为:2+22=1.
aa-c
x.a2
平方得:x2+2cx+c2+y2=a2+2cx+2・x2
.
a
(1)+(2)得,(x+c)2+y2=a+
注 对于(1)的化简,中学课本上用了两次平方,较为麻烦.以上算法,抓住了(1)的左边的整体上的特点,只用一次平方,较为简单,是优化算法的结果.
收稿日期:2003-07-05
作者简介:郭松(1972—),男,湖北江陵人,湖北荆州市沙市七中一级教师.
1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
2003年第19期 数学通讯21
抽象函数奇偶性的又一证明方法
郭 松
(荆州市沙市七中,湖北 434000)
中图分类号:O12-42 文献标识:A 文章编号:0488-7395(2003)19-0021-01 抽象函数奇偶性的证明往往是同学感到困难问题之一,一般方法是通过对f(x)和f(-x)的性质的探讨加以证明.笔者在教学中得到一种新颖的方法,介绍如下:
引理 任意一个函数f(x)可表示为一个偶函数Υ(x)和一个奇函数g(x)之和(f(x)的定义域关于原点对称).
证 设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),
(1)则 f(x)=Υ(x)+g(x)
f(-x)=Υ(-x)+g(-x)
)=Υ(x)-g(x)
由(1),(2)得:
,g)Υ(x)=
2
经检验Υ(x),g()满足题意,故引理成立.
例1 已知函数定义域是R,且对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y),判断函数的奇偶性.
证 设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),
由引理得:
==Υ(x)=
222
∵f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得
f(0)=0,
∴Υ(x)=0,∴f(x)=g(x).
因为g(x)为奇函数,所以f(x)为奇函数.例2 若函数y=f(x)对任意的实数Α,Β满足
)+f(Β)=2f()f(),f(x)不恒为零,试f(Α
22
证明y=f(x)为偶函数.
证 设f(x)=g(x)+Υ(x,其中g(x)为奇函数,Υ(x),
(3)f()=(x)+xx)(-+(-x)
(4)=Υ(x)-g(x)
(3)+(4),得
2Υ(x)=f(x)+f(-x)
)=2f(0)f(x).2)+f(Β)=2f()f(),取Α∵f(Α=Β=22
2
t得
=2f(
)f(
2f(t)=2f(t)f(0).
又因为f(t)不恒为零,所以f(0)=1.f(x)=
Υ(x)为偶函数.
此方法主要利用设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),然后证明f(x)=Υ(x)或f(x)=g(x),从而证明f(x)的奇偶性.
PF1 + PF2 =2a(a>c>0),求P的轨迹方程.
解 令P(x,y),则由已知得:
(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a将(1)两边取倒数,得:
(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=
a
(1)(2)
22
(3)整理得:2+22=1
aa-c
易验证(3)上任一点(x,y)也在(1)上,从而点P
22
轨迹方程为:2+22=1.
aa-c
x.a2
平方得:x2+2cx+c2+y2=a2+2cx+2・x2
.
a
(1)+(2)得,(x+c)2+y2=a+
注 对于(1)的化简,中学课本上用了两次平方,较为麻烦.以上算法,抓住了(1)的左边的整体上的特点,只用一次平方,较为简单,是优化算法的结果.
收稿日期:2003-07-05
作者简介:郭松(1972—),男,湖北江陵人,湖北荆州市沙市七中一级教师.
1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net