奇偶性判断练习
（抽象函数）
一、选择题
1. 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意的α，β∈R ，总有f （α+β）-[f（α）+f（β）]=2011，则下列说法正确的是（ ）
A ．f （x ）-1是奇函数 B．f （x ）+1是奇函数
C ．f （x ）+2011是奇函数 D．f （x ）-2011是奇函数
2. （2008•重庆）若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x1，x2∈R 有f （x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．f （x ）为奇函数 B．f （x ）为偶函数
C ．f （x ）+1为奇函数 D．f （x ）+1为偶函数
3. 已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，f （x ）满足关系式：f （a •b ）=bf（a ）+af（b ），则f （x ）的奇偶性为（ ）
A ．奇函数 B．偶函数
C ．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
4. 若定义在R 上的函数f （x ）满足对任意x ，y ∈R ，都有f （x+y）=f（x ）+f（y ）+2，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．f （x ）是奇函数 B．f （x ）是偶函数
C ．f （x ）+2是奇函数 D．f （x ）+2是偶函数
二、填空题
5. 定义在R 上的函数f （x ），当x ∈[-1，1]时，f （x ）=x2+x，且对任意x ，满足f （x-3）=2f（x ），则f （x ）在区间[5，7]上的值域是[-1/16 ，1 /2 ]
三、解答题
6．定义在R 上的函数f （x ）满足对任意x ，y ∈R 都有f （x+y）=f（x ）+f（y ），求证：f （x ）为奇函数．
答案:
1. 解：取α=β=0，得f （0）=-2011，取α=x，β=-x，f （0）-f （x ）-f （-x ）=2011⇒f （-x ）+2011=-[f（x ）-f （0）]=[f（x ）+2011]故函数f （x ）+2011是奇函数．故选：C ．
2. 解：∵对任意x1，x2∈R 有f （x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f （0）=-1
∴令x1=x，x2=-x，得f （0）=f（x ）+f（-x ）+1，∴f （x ）+1=-f（-x ）-1=-[f（-x ）+1]，
∴f （x ）+1为奇函数．故选C
3. 解：令a=b=1则f （1）=2f（1）则f （1）=0令a=b=-1，则f （1）=-2f（-1）=0∴f （-1）=0 令a=x，b=-1，则f （-x ）=-f（x ）+xf（-1）=-f（x ）则f （x ）为奇函数．故选A
4. 解：∵对任意x1，x2∈R 有f （x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，
∴令x1=x2=0，得f （0）=-2∴令x1=x，x2=-x，得f （0）=f（x ）+f（-x ）+2，
∴f （x ）+2=-f（-x ）-2=-[f（-x ）+2]，∴f （x ）+2为奇函数．故选C
5. 解：因为；f （x-3）=2f（x ），∴f （x-6）=2f（x-3）=4f（x ），∴f （x ）=1/ 4 f（x-6），
22x ∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；∵当x ∈[-1，1]时，f （x ）=x+x=（x+1 /2 ）-1/ 4 ∴x=-1/ 2 时，y min =-1/
4 ，x=1时，y max =2．故当x ∈[-1，1]时，f （x ）∈[-1 /4 ，2]．∴x ∈[5，7]
∴f （x ）=1/ 4 f（x-6）∈[-1/ 16 ，1/ 2 ]．故答案为：[-1/ 16 ，1 /2 ]．
6. 证明：令x=y=0，代入f （x+y）=f（x ）+f（y ）式，得f （0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f （x+y）=f（x ）+f（y ），得 f（x-x ）=f（x ）+f（-x ），又f （0）=0，则有 0=f（x ）+f（-x ）．即f （-x ）=-f（x ）对任意x ∈R 成立，所以f （x ）是奇函数．
奇偶性判断练习
（抽象函数）
一、选择题
1. 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意的α，β∈R ，总有f （α+β）-[f（α）+f（β）]=2011，则下列说法正确的是（ ）
A ．f （x ）-1是奇函数 B．f （x ）+1是奇函数
C ．f （x ）+2011是奇函数 D．f （x ）-2011是奇函数
2. （2008•重庆）若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x1，x2∈R 有f （x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．f （x ）为奇函数 B．f （x ）为偶函数
C ．f （x ）+1为奇函数 D．f （x ）+1为偶函数
3. 已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，f （x ）满足关系式：f （a •b ）=bf（a ）+af（b ），则f （x ）的奇偶性为（ ）
A ．奇函数 B．偶函数
C ．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
4. 若定义在R 上的函数f （x ）满足对任意x ，y ∈R ，都有f （x+y）=f（x ）+f（y ）+2，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．f （x ）是奇函数 B．f （x ）是偶函数
C ．f （x ）+2是奇函数 D．f （x ）+2是偶函数
二、填空题
5. 定义在R 上的函数f （x ），当x ∈[-1，1]时，f （x ）=x2+x，且对任意x ，满足f （x-3）=2f（x ），则f （x ）在区间[5，7]上的值域是[-1/16 ，1 /2 ]
三、解答题
6．定义在R 上的函数f （x ）满足对任意x ，y ∈R 都有f （x+y）=f（x ）+f（y ），求证：f （x ）为奇函数．
答案:
1. 解：取α=β=0，得f （0）=-2011，取α=x，β=-x，f （0）-f （x ）-f （-x ）=2011⇒f （-x ）+2011=-[f（x ）-f （0）]=[f（x ）+2011]故函数f （x ）+2011是奇函数．故选：C ．
2. 解：∵对任意x1，x2∈R 有f （x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f （0）=-1
∴令x1=x，x2=-x，得f （0）=f（x ）+f（-x ）+1，∴f （x ）+1=-f（-x ）-1=-[f（-x ）+1]，
∴f （x ）+1为奇函数．故选C
3. 解：令a=b=1则f （1）=2f（1）则f （1）=0令a=b=-1，则f （1）=-2f（-1）=0∴f （-1）=0 令a=x，b=-1，则f （-x ）=-f（x ）+xf（-1）=-f（x ）则f （x ）为奇函数．故选A
4. 解：∵对任意x1，x2∈R 有f （x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，
∴令x1=x2=0，得f （0）=-2∴令x1=x，x2=-x，得f （0）=f（x ）+f（-x ）+2，
∴f （x ）+2=-f（-x ）-2=-[f（-x ）+2]，∴f （x ）+2为奇函数．故选C
5. 解：因为；f （x-3）=2f（x ），∴f （x-6）=2f（x-3）=4f（x ），∴f （x ）=1/ 4 f（x-6），
22x ∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；∵当x ∈[-1，1]时，f （x ）=x+x=（x+1 /2 ）-1/ 4 ∴x=-1/ 2 时，y min =-1/
4 ，x=1时，y max =2．故当x ∈[-1，1]时，f （x ）∈[-1 /4 ，2]．∴x ∈[5，7]
∴f （x ）=1/ 4 f（x-6）∈[-1/ 16 ，1/ 2 ]．故答案为：[-1/ 16 ，1 /2 ]．
6. 证明：令x=y=0，代入f （x+y）=f（x ）+f（y ）式，得f （0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f （x+y）=f（x ）+f（y ），得 f（x-x ）=f（x ）+f（-x ），又f （0）=0，则有 0=f（x ）+f（-x ）．即f （-x ）=-f（x ）对任意x ∈R 成立，所以f （x ）是奇函数．