数列专项训练题
一、选择题
1． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
2． 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )
A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110
*
3． 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ) . 若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11
4． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 二、填空题
5． 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__________升． 6． 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝__________.
1
7． 在等比数列{a n }中，若a 1a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋„＋|a n |＝________.
2
x
8． 设函数f (x ) ＝(x >0)，观察：
x ＋2x
f 1(x ) ＝f (x ) ＝
x ＋2
x
f 2(x ) ＝f (f 1(x )) ＝
3x ＋4x
f 3(x ) ＝f (f 2(x )) ＝
7x ＋8x
f 4(x ) ＝f (f 3(x )) ＝，„
15x ＋16
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n ∈N *且n ≥2时，f n (x ) ＝f (f n －1(x )) ＝________.
9． 设1＝a 1≤a 2≤„≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．
10． 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *) 的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.
11． 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和．．最小，这个最小值为________米．
12． 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 三、解答题
13． 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；
⎧a ⎫
(2)求数列⎨2－的前n 项和．
⎩⎭
14． 在数1和100之间插入n 个实数，使得这(n ＋2) 个数构成递增的等比数列，将这(n ＋2) 个数的
乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .
3
15．设函数f (x ) ＝x 3，在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (a n ＋1) ，令b n ＝a n S n ，数⎧1⎫
列⎨b 的前n 项和为T n . ⎩n ⎭
(1)求{a n }的通项公式和S n ；
1
(2)求证：T n ＜.
3
16．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2) ．
(1)设b n ＝a n ＋1＋λan ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
17．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n 值．
18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =
1
a n =1(n ∈N *) ． 2
=log 3(1-S n +1)(n ∈N *) ，求适合方程1+1+⋅⋅⋅+1
b 1b 2
b 2b 3
b n b n +1
=
25
的正整数n 的51
1-a n
；数列{b n }满足b n =(2n -7) a n 2
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：-
19、设数列{a n }满足a 1+
555≤T n ≤-． 273
a 2a 3
+2+22
+
a n *
=2n n ∈N ，． n -1
2
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
20、已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2，a 3，a 6依次成等比数列，求其公比q ；
a n
，求数列{b n }的前n 项S n ．
a -1a -1n n +1
S →→
(2)若a 1＝1，OP n ＝(n ，n ∈N *) ，求证：对任意的m ，n ∈N *，P m P n 都共线；
n
a S 1→
(n ∈N *) ，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的n ∈N *，(3)若a 1＝1，d ，OQ n ＝⎛⎝n n 2
点Q n 都在这个圆内或圆周上．
数列专项训练题答案
1．【解析】选D. ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1) d ＝2a 1＋(2k ＋1) d ＝2×1＋(2k ＋
1) ×2＝4k ＋4＝24，
∴k ＝5. 2．【解析】选D. ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3
与a 9的等比中项，∴(a 1－12) 2＝(a 1－4)·(a 1－16) ，解得a 1＝20.
1
∴S 10＝10×2010×9×(－2) ＝110.
2
3．【解析】选B. 设数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，由b 3＝－2，b 10＝12， ⎧⎧⎪b 1＋2d ＝－2，⎪b 1＝－6，⎨得解得⎨ ⎪b 1＋9d ＝12，⎪d ＝2，⎩⎩
∴b n ＝－6＋2(n －1) ＝2n －8. ∵b n ＝a n ＋1－a n ，
∴a 8＝(a 8－a 7) ＋(a 7－a 6) ＋(a 6－a 5) ＋(a 5－a 4) ＋(a 4－a 3) ＋(a 3－a 2) ＋(a 2－a 1) ＋a 1 ＝b 7＋b 6＋b 5＋„＋b 1＋a 1 7×(－6＋2×7－8) ＝3＝3.
2
4．【解析】选A. ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1， ∴S 1＝1.
可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝1.
即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 5．【解析】设所构成数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意 ⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，⎧4a 1＋6d ＝3，⎪⎪⎨即⎨ ⎪⎪a ＋a ＋a ＝4，3a ＋21d ＝4，⎩7⎩189
⎧a ＝22，解得⎨7
d ＝⎩66，
1
13
1376767
∴a 5＝a 1＋4d ＝＋4×. 【答案】
22666666
6．【解析】由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7) ＝2×37＝74.
【答案】74
1a 4
7．【解析】∵{a n }为等比数列，且a 1＝a 4＝－4，∴q 3＝＝－8，
2a 1
1－－
∴q ＝－2，∴a n ＝·(－2) n 1， ∴|a n |＝2n 2，
2
1
1－2n )211－
∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋„＋|a n |＝n －1) ＝2n 1221－2
1－
【答案】－2 2n 1－
2
8．【解析】依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，„，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1. 又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，„，故其通项公式为b n ＝2n .
x
所以当n ≥2时，f n (x ) ＝f (f n －1(x )) ＝.
(2－1)x ＋2x
(2－1)x ＋29．【解析】由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.
故q ≥3，即q 的最小值为3. 【答案】3 10．【解析】设等差数列的公差为d . 由a 1＝1，a 4＝7，得3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，
5(a 1＋a 5)
∴a 5＝9，S 5＝25. 【答案】25
2
11．【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁．此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差
9×810×9
的等差数列，所有同学往返的总路程为S ＝9×20×20＋10×20×20＝2000(米) ．
22
【答案】2000 12．【解析】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9－S 4＝0，即a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0,5a 7＝0，故a 7＝0. 而a k ＋a 4＝0，故k ＝10. 【答案】10
⎧⎧⎪a 1＋d ＝0，⎪a 1＝1，
13．【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎨解得⎨
⎪⎪2a ＋12d ＝－10，d ＝－1. ⎩1⎩
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
⎧a ⎫a 2a n
(2)设数列⎨2－的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋＋„＋，
22⎩⎭
S a a a 故S 1＝1，＝＋„＋2242
所以，当n >1时，
a 2－a 1a n －a n －1a S ＝a 1＋－－ 2222
1112－n ＝1－⎛2＋42－⎝⎭2
12－n n n
＝1－⎛12－－ 所以S n ＝－2⎝⎭22
⎧a ⎫n
综上，数列⎨2－的前n 项和S n ＝－.
2⎩⎭
14．【解】(1)设t 1，t 2，„，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100， 则T n ＝t 1·t 2·„·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·„·t 2·t 1. ②
①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2) ，得
＋．
T 2(t 2t n ＋1)·„·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1) ＝102(n 2) n ＝(t 1t n ＋2)·
∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1.
(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3) ，n ≥1. 由tan 1＝tan[(k ＋1) －k ] tan (k ＋1)－tan k ＝ 1＋tan (k ＋1)·tan k 得tan(k ＋1)·tan k tan (k ＋1)－tan k ＝－1.
tan 1
n i 1n ＋2
n ＋2k 3
∴S n ＝∑b i ＝∑tan(k ＋1)·tan k ＝＝
tan (k ＋1)－tan k ⎫
－1
k 3⎝tan 1⎭tan (n ＋3)－tan 3＝n .
tan 1
15．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12，解得a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝3n －2.
⎛＝∑ ＝
3
∵f (x ) ＝x 3，∴S n ＝f (a n ＋1) ＝a n ＋1＝3n ＋1. (2)证明：∵b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1) ，
11111
∴3n －2－3n ＋1⎫， b n (3n －2)(3n ＋1)3⎝⎭
111
∴T n ＝＋„＋b 1b 2b n 111111
＝1－4＋4－73n －2－3n ＋1⎫ 3⎭
111
＝1－3n ＋1，∴T n ＜33⎭
16．解：(1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， b 设q (n ≥2) ， b n －1
即a n ＋1＋λan ＝q (a n ＋λan －1) ， 得a n ＋1＝(q －λ) a n ＋qλan －1.
⎧⎪q －λ＝1
与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎨，
⎪qλ＝2⎩
解得λ＝1或λ＝－2.
所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．
当λ＝1时，q ＝2，b 1＝4，则数列{b n }是首项为4、公比为2的等比数列；
当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1、公比为－1的等比数列．
＋
(2)由(1)知a n ＋1－2a n ＝(－1) n 1(n ≥1) ，
＋
a n ＋1a n (－1)n 11＋
所以－＝(－) n 1(n ≥1) ，
2222
a a a a a a a a n －1
当n ≥2时，(＋－＋„＋(－)
22222222
1111＝(－) 2＋(－3＋„＋(－) n 2222
11－(－)2[1－(－)n 1]221
＝21
1－(－)
2
111－
＝[1－(－) n 1]． 262a 1
因为也适合上式，
22a n 111－
所以＋－(－n 1](n ≥1) ．
2262
1＋
所以a n ＝[2n 1＋(－1) n ]．
31＋
则S n ＝[(22＋23＋24＋„＋2n 1) ＋(－1) 1＋(－1) 2＋(－1) 3＋„＋(－1) n ]
3
n n
14(1－2)(－1)(1－(－1))＝＋] 31－21－(－1)
(－1)n －11n ＋2
＝－4) ＋]． 32
12
a 1=1，得a 1= „„„„„„„„1分 23
11
当n ≥2时，∵ s n =1-a n ， s n -1=1-a n -1， „„„„„„„2分
22
17．（1） 当n =1时，a 1=s 1，由s 1+∴s n -s n -1=
11
(a n -1-a n )，即a n =(a n -1-a n ) 22
∴a n =故a n =
121
a n -1(n ≥2) „5分∴{a n }是以为首项，为公比的等比数列．„„„6分 333
21n -11
⋅() =2⋅() n (n ∈N *) „„„„„„„„„„„„„„„„7分 333111
a n =() n ，b n =log 3(1-s n +1) =log 3() n +1=-n -1„„„„„9分 233
（2）1-s n =
1111==-
b n b n +1(n +1)(n +2) n +1n +2 „„„„„„„„„„„„„„„„11分 [1**********]++⋅⋅⋅+=(-) +(-) +⋅⋅⋅+(-) =-b 1b 2b 2b 3b n b n +12334n +1n +22n +2 „„13分
解方程
18．解：（1）∵S n =
1125
，得n =100 „„„„„„„„„„„„„„„„14分 -=
2n +251
1-a n 1-a 11
∴n =1时，a 1=S 1=∴a 1=………………………1分 2231-a n 1-a n -1
………………………2分 ，S n -1=
22
n ≥2时，S n =
两式相减得：a n =s n -s n -1
a n 11-a n 1-a n -1
∴=，，………3分 =-
a n -1322
∴{a n }是以a 1=
111
为首项，为公比的等比数列 ∴a n =n ……………………4分 333
1
………………………………………5分 3n
-5-3-12n -7
(2) T n =……① +2+3+……+n
33331-5-3-12n -7
T n =2+3+4+……+n +1②………………………………7分 33333
∴b n =(2n -7) a n =(2n -7) ①-②得：T n =-
2
3511112n -7
+2(2+3+4+……+n )-n +1……………8分 333333
11
(1-) 42n -4522n -7=-- …………9分 =--+2⨯-n +1n +1
1333331-3
∴T n =-2-
n -2
…………………10分 3n
Q T n +1-T n =-2-
n -1n -22n -5
-(-2-) =………………11分 3n +13n 3n +1
∴当n ≤2时，
2n -5
3
55
……………12分 27
当n ≥3时，T n +1>T n , 此时T n >T 3，∴T n ≥T 3=-
又当n ≥3时，
n -25
>0-2=T
3n 3
∴T n ≤T 1=-
5555
…………13分 ∴-≤T n ≤-…………………14分 3273
a 2a 3
+2+22
+
a n *
=2n n ∈N ，， ① n -1
2
19、解：（1）因为a 1+
所以当n =1时，a 1=2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 当n ≥2时，a 1+① ②得，
a 2a 3
+2+22
+
a n -1
=2(n -1)， ② „„„„„„„„„2分 n -2
2
a n
=2．„„„„4分； 所以a n =2n ．„„„„5分 n -1
2
*
因为a 1=2，适合上式， 所以a n =2n n ∈N ．„„„„„„6分
()
（2）由（1）得a n =2n ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
a n 2n
=n 所以b n =„„„„„„„„„„„„„8分 n +1
a -1a -12-12-1n n +1=
11
-．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 n n +1
2-12-1
所以S n =b 1+b 2++b n
1⎫⎛1
+ n -n +1⎪„„„„„„12分 ⎝2-12-1⎭
⎛1⎫⎛11⎫⎛11⎫= 1-⎪+ -⎪+ -⎪+⎝3⎭⎝37⎭⎝715⎭=1-
12n +1-1
．„„„„„„„„„„„„„„„„„14分
20、解：(1)因为a 2，a 3，a 6成等比数列， 所以a 2a 6，(a 1＋2d ) 2＝(a 1＋d )(a 1＋5d ) ， 3＝a 2·
a 所以d ＝－2a 1，q ＝＝3. a 2
S S S S →→→(2)证明：因为P m P n ＝OP n －OP m ＝(n ，) －(m ，) ＝(n －m ，－， n m n m
S S n m →所以kP m P n n －m
(n －1)d (m －1)d [a 1＋－[a 1＋]22d ＝， 2n －m
→所以P m P n 都共线． 22111n 23→2a S (3)|OQ n |＝a n ＝1＋(n －1) ＝＋S n ＝， n n 22244
112[(n ＋1)]2n ＋3n )2216→所以|OQ n |2＝＋ n n 5n 4＋14n 3＋13n 2511314＝＝(． 16n 1616n n
11314设x ＝n ∈N *，所以x ∈(0,1]，＋＝13x 2＋14x ，当x ∈(0,1]时单调递增，所以当x ＝n n n
→1，即n ＝1时，取得最大值27，所以|OQ n |2≤2，所以存在半径最小的圆，最小半径为2，使得对任
意的n ∈N *，Q n 点都在这个圆内或圆周上．
11
数列专项训练题
一、选择题
1． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
2． 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )
A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110
*
3． 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ) . 若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11
4． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 二、填空题
5． 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__________升． 6． 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝__________.
1
7． 在等比数列{a n }中，若a 1a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋„＋|a n |＝________.
2
x
8． 设函数f (x ) ＝(x >0)，观察：
x ＋2x
f 1(x ) ＝f (x ) ＝
x ＋2
x
f 2(x ) ＝f (f 1(x )) ＝
3x ＋4x
f 3(x ) ＝f (f 2(x )) ＝
7x ＋8x
f 4(x ) ＝f (f 3(x )) ＝，„
15x ＋16
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n ∈N *且n ≥2时，f n (x ) ＝f (f n －1(x )) ＝________.
9． 设1＝a 1≤a 2≤„≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．
10． 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *) 的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.
11． 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和．．最小，这个最小值为________米．
12． 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 三、解答题
13． 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；
⎧a ⎫
(2)求数列⎨2－的前n 项和．
⎩⎭
14． 在数1和100之间插入n 个实数，使得这(n ＋2) 个数构成递增的等比数列，将这(n ＋2) 个数的
乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .
3
15．设函数f (x ) ＝x 3，在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (a n ＋1) ，令b n ＝a n S n ，数⎧1⎫
列⎨b 的前n 项和为T n . ⎩n ⎭
(1)求{a n }的通项公式和S n ；
1
(2)求证：T n ＜.
3
16．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2) ．
(1)设b n ＝a n ＋1＋λan ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
17．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n 值．
18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =
1
a n =1(n ∈N *) ． 2
=log 3(1-S n +1)(n ∈N *) ，求适合方程1+1+⋅⋅⋅+1
b 1b 2
b 2b 3
b n b n +1
=
25
的正整数n 的51
1-a n
；数列{b n }满足b n =(2n -7) a n 2
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：-
19、设数列{a n }满足a 1+
555≤T n ≤-． 273
a 2a 3
+2+22
+
a n *
=2n n ∈N ，． n -1
2
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
20、已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2，a 3，a 6依次成等比数列，求其公比q ；
a n
，求数列{b n }的前n 项S n ．
a -1a -1n n +1
S →→
(2)若a 1＝1，OP n ＝(n ，n ∈N *) ，求证：对任意的m ，n ∈N *，P m P n 都共线；
n
a S 1→
(n ∈N *) ，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的n ∈N *，(3)若a 1＝1，d ，OQ n ＝⎛⎝n n 2
点Q n 都在这个圆内或圆周上．
数列专项训练题答案
1．【解析】选D. ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1) d ＝2a 1＋(2k ＋1) d ＝2×1＋(2k ＋
1) ×2＝4k ＋4＝24，
∴k ＝5. 2．【解析】选D. ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3
与a 9的等比中项，∴(a 1－12) 2＝(a 1－4)·(a 1－16) ，解得a 1＝20.
1
∴S 10＝10×2010×9×(－2) ＝110.
2
3．【解析】选B. 设数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，由b 3＝－2，b 10＝12， ⎧⎧⎪b 1＋2d ＝－2，⎪b 1＝－6，⎨得解得⎨ ⎪b 1＋9d ＝12，⎪d ＝2，⎩⎩
∴b n ＝－6＋2(n －1) ＝2n －8. ∵b n ＝a n ＋1－a n ，
∴a 8＝(a 8－a 7) ＋(a 7－a 6) ＋(a 6－a 5) ＋(a 5－a 4) ＋(a 4－a 3) ＋(a 3－a 2) ＋(a 2－a 1) ＋a 1 ＝b 7＋b 6＋b 5＋„＋b 1＋a 1 7×(－6＋2×7－8) ＝3＝3.
2
4．【解析】选A. ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1， ∴S 1＝1.
可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝1.
即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 5．【解析】设所构成数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意 ⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，⎧4a 1＋6d ＝3，⎪⎪⎨即⎨ ⎪⎪a ＋a ＋a ＝4，3a ＋21d ＝4，⎩7⎩189
⎧a ＝22，解得⎨7
d ＝⎩66，
1
13
1376767
∴a 5＝a 1＋4d ＝＋4×. 【答案】
22666666
6．【解析】由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7) ＝2×37＝74.
【答案】74
1a 4
7．【解析】∵{a n }为等比数列，且a 1＝a 4＝－4，∴q 3＝＝－8，
2a 1
1－－
∴q ＝－2，∴a n ＝·(－2) n 1， ∴|a n |＝2n 2，
2
1
1－2n )211－
∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋„＋|a n |＝n －1) ＝2n 1221－2
1－
【答案】－2 2n 1－
2
8．【解析】依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，„，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1. 又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，„，故其通项公式为b n ＝2n .
x
所以当n ≥2时，f n (x ) ＝f (f n －1(x )) ＝.
(2－1)x ＋2x
(2－1)x ＋29．【解析】由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.
故q ≥3，即q 的最小值为3. 【答案】3 10．【解析】设等差数列的公差为d . 由a 1＝1，a 4＝7，得3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，
5(a 1＋a 5)
∴a 5＝9，S 5＝25. 【答案】25
2
11．【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁．此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差
9×810×9
的等差数列，所有同学往返的总路程为S ＝9×20×20＋10×20×20＝2000(米) ．
22
【答案】2000 12．【解析】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9－S 4＝0，即a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0,5a 7＝0，故a 7＝0. 而a k ＋a 4＝0，故k ＝10. 【答案】10
⎧⎧⎪a 1＋d ＝0，⎪a 1＝1，
13．【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎨解得⎨
⎪⎪2a ＋12d ＝－10，d ＝－1. ⎩1⎩
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
⎧a ⎫a 2a n
(2)设数列⎨2－的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋＋„＋，
22⎩⎭
S a a a 故S 1＝1，＝＋„＋2242
所以，当n >1时，
a 2－a 1a n －a n －1a S ＝a 1＋－－ 2222
1112－n ＝1－⎛2＋42－⎝⎭2
12－n n n
＝1－⎛12－－ 所以S n ＝－2⎝⎭22
⎧a ⎫n
综上，数列⎨2－的前n 项和S n ＝－.
2⎩⎭
14．【解】(1)设t 1，t 2，„，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100， 则T n ＝t 1·t 2·„·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·„·t 2·t 1. ②
①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2) ，得
＋．
T 2(t 2t n ＋1)·„·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1) ＝102(n 2) n ＝(t 1t n ＋2)·
∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1.
(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3) ，n ≥1. 由tan 1＝tan[(k ＋1) －k ] tan (k ＋1)－tan k ＝ 1＋tan (k ＋1)·tan k 得tan(k ＋1)·tan k tan (k ＋1)－tan k ＝－1.
tan 1
n i 1n ＋2
n ＋2k 3
∴S n ＝∑b i ＝∑tan(k ＋1)·tan k ＝＝
tan (k ＋1)－tan k ⎫
－1
k 3⎝tan 1⎭tan (n ＋3)－tan 3＝n .
tan 1
15．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12，解得a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝3n －2.
⎛＝∑ ＝
3
∵f (x ) ＝x 3，∴S n ＝f (a n ＋1) ＝a n ＋1＝3n ＋1. (2)证明：∵b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1) ，
11111
∴3n －2－3n ＋1⎫， b n (3n －2)(3n ＋1)3⎝⎭
111
∴T n ＝＋„＋b 1b 2b n 111111
＝1－4＋4－73n －2－3n ＋1⎫ 3⎭
111
＝1－3n ＋1，∴T n ＜33⎭
16．解：(1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， b 设q (n ≥2) ， b n －1
即a n ＋1＋λan ＝q (a n ＋λan －1) ， 得a n ＋1＝(q －λ) a n ＋qλan －1.
⎧⎪q －λ＝1
与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎨，
⎪qλ＝2⎩
解得λ＝1或λ＝－2.
所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．
当λ＝1时，q ＝2，b 1＝4，则数列{b n }是首项为4、公比为2的等比数列；
当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1、公比为－1的等比数列．
＋
(2)由(1)知a n ＋1－2a n ＝(－1) n 1(n ≥1) ，
＋
a n ＋1a n (－1)n 11＋
所以－＝(－) n 1(n ≥1) ，
2222
a a a a a a a a n －1
当n ≥2时，(＋－＋„＋(－)
22222222
1111＝(－) 2＋(－3＋„＋(－) n 2222
11－(－)2[1－(－)n 1]221
＝21
1－(－)
2
111－
＝[1－(－) n 1]． 262a 1
因为也适合上式，
22a n 111－
所以＋－(－n 1](n ≥1) ．
2262
1＋
所以a n ＝[2n 1＋(－1) n ]．
31＋
则S n ＝[(22＋23＋24＋„＋2n 1) ＋(－1) 1＋(－1) 2＋(－1) 3＋„＋(－1) n ]
3
n n
14(1－2)(－1)(1－(－1))＝＋] 31－21－(－1)
(－1)n －11n ＋2
＝－4) ＋]． 32
12
a 1=1，得a 1= „„„„„„„„1分 23
11
当n ≥2时，∵ s n =1-a n ， s n -1=1-a n -1， „„„„„„„2分
22
17．（1） 当n =1时，a 1=s 1，由s 1+∴s n -s n -1=
11
(a n -1-a n )，即a n =(a n -1-a n ) 22
∴a n =故a n =
121
a n -1(n ≥2) „5分∴{a n }是以为首项，为公比的等比数列．„„„6分 333
21n -11
⋅() =2⋅() n (n ∈N *) „„„„„„„„„„„„„„„„7分 333111
a n =() n ，b n =log 3(1-s n +1) =log 3() n +1=-n -1„„„„„9分 233
（2）1-s n =
1111==-
b n b n +1(n +1)(n +2) n +1n +2 „„„„„„„„„„„„„„„„11分 [1**********]++⋅⋅⋅+=(-) +(-) +⋅⋅⋅+(-) =-b 1b 2b 2b 3b n b n +12334n +1n +22n +2 „„13分
解方程
18．解：（1）∵S n =
1125
，得n =100 „„„„„„„„„„„„„„„„14分 -=
2n +251
1-a n 1-a 11
∴n =1时，a 1=S 1=∴a 1=………………………1分 2231-a n 1-a n -1
………………………2分 ，S n -1=
22
n ≥2时，S n =
两式相减得：a n =s n -s n -1
a n 11-a n 1-a n -1
∴=，，………3分 =-
a n -1322
∴{a n }是以a 1=
111
为首项，为公比的等比数列 ∴a n =n ……………………4分 333
1
………………………………………5分 3n
-5-3-12n -7
(2) T n =……① +2+3+……+n
33331-5-3-12n -7
T n =2+3+4+……+n +1②………………………………7分 33333
∴b n =(2n -7) a n =(2n -7) ①-②得：T n =-
2
3511112n -7
+2(2+3+4+……+n )-n +1……………8分 333333
11
(1-) 42n -4522n -7=-- …………9分 =--+2⨯-n +1n +1
1333331-3
∴T n =-2-
n -2
…………………10分 3n
Q T n +1-T n =-2-
n -1n -22n -5
-(-2-) =………………11分 3n +13n 3n +1
∴当n ≤2时，
2n -5
3
55
……………12分 27
当n ≥3时，T n +1>T n , 此时T n >T 3，∴T n ≥T 3=-
又当n ≥3时，
n -25
>0-2=T
3n 3
∴T n ≤T 1=-
5555
…………13分 ∴-≤T n ≤-…………………14分 3273
a 2a 3
+2+22
+
a n *
=2n n ∈N ，， ① n -1
2
19、解：（1）因为a 1+
所以当n =1时，a 1=2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 当n ≥2时，a 1+① ②得，
a 2a 3
+2+22
+
a n -1
=2(n -1)， ② „„„„„„„„„2分 n -2
2
a n
=2．„„„„4分； 所以a n =2n ．„„„„5分 n -1
2
*
因为a 1=2，适合上式， 所以a n =2n n ∈N ．„„„„„„6分
()
（2）由（1）得a n =2n ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
a n 2n
=n 所以b n =„„„„„„„„„„„„„8分 n +1
a -1a -12-12-1n n +1=
11
-．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 n n +1
2-12-1
所以S n =b 1+b 2++b n
1⎫⎛1
+ n -n +1⎪„„„„„„12分 ⎝2-12-1⎭
⎛1⎫⎛11⎫⎛11⎫= 1-⎪+ -⎪+ -⎪+⎝3⎭⎝37⎭⎝715⎭=1-
12n +1-1
．„„„„„„„„„„„„„„„„„14分
20、解：(1)因为a 2，a 3，a 6成等比数列， 所以a 2a 6，(a 1＋2d ) 2＝(a 1＋d )(a 1＋5d ) ， 3＝a 2·
a 所以d ＝－2a 1，q ＝＝3. a 2
S S S S →→→(2)证明：因为P m P n ＝OP n －OP m ＝(n ，) －(m ，) ＝(n －m ，－， n m n m
S S n m →所以kP m P n n －m
(n －1)d (m －1)d [a 1＋－[a 1＋]22d ＝， 2n －m
→所以P m P n 都共线． 22111n 23→2a S (3)|OQ n |＝a n ＝1＋(n －1) ＝＋S n ＝， n n 22244
112[(n ＋1)]2n ＋3n )2216→所以|OQ n |2＝＋ n n 5n 4＋14n 3＋13n 2511314＝＝(． 16n 1616n n
11314设x ＝n ∈N *，所以x ∈(0,1]，＋＝13x 2＋14x ，当x ∈(0,1]时单调递增，所以当x ＝n n n
→1，即n ＝1时，取得最大值27，所以|OQ n |2≤2，所以存在半径最小的圆，最小半径为2，使得对任
意的n ∈N *，Q n 点都在这个圆内或圆周上．
11