高二下学期期末考试文科复习卷
一、选择题(共10个小题，每小题5分，满分50分)
1. 已知命题p 、q ，如果⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ B ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要
2. 函数f(x)的定义域为R ，且满足(x-1)f ' (x)≥0，则有（ C ）
A.f(0)+f(2)＜2f(1) B. f(0)+f(2)≤2f(1)
C. f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)＞2f(1)
y 22=1（a 是常数）则下列结论正确的是（B ） 3. 若方程C ：x +a
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆 B．∀a ∈R -，方程C 表示双曲线
C ．∃a ∈R -，方程C 表示椭圆 D．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线
x 2y 2x 2y 2
4. 若双曲线2-2=1(a>0,b>0)和椭圆2+2=1（m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a,b,m 为边a b b m
长的三角形是（ B ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5. 设f(x)=x(ax 2+bx+c)(a≠0) 在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是（ A ）
A （a,b ） B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c)
6. 落在平静水面上的石头, 使水面产生同心圆形波纹. 在持续的一段时间内, 若外围圈波的半径r(单位:m)与时间t (单位:s)的函数关系是r=8t,在2s 末, 扰动水面面积的变化率为(C )
A.72πm 2s B.144πm 2 C.256πm 2s D.512πm 2
7. 一动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，动圆恒与直线x +2=0相切，则动圆必定过点（ B ）
（ A ）（4，0） ( B ) （2，0） ( C ) （0，2） ( D ) （0，-2）
x 2y 2
8. 如果方程-=1表示双曲线，那么实数m 的取值范围是（ D ） |m |-1m -2
A. m >2 B. m 2 C. -12
9. 过双曲线x 2-y 2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（ C ）
πππ3ππ3πππB. (, ) ⋃(, ) C. (, ) D. (0, ) ⋃(, π) 42244422
b x 2y 2
10. 若椭圆2+2=1(a >b >0) 和圆x 2+y 2=(+c ) 2, (c 为椭圆的半焦距), 有四个不同的交点, 2a b A. [0, π)
则椭圆的离心率e 的取值范围是（ A ） 325235A. (, ) B. (, ) C. (, ) D. (0, ) 5555555
二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)
11. 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线方程为 x 2=16y 12. 函数f(x)=ax3＋x ＋1在实数集R 上不单调的充要条件是__________ a
y 2
213. 双曲线x -=1的焦点为F 1，F 2, 点M 在双曲线上, 且MF 1⋅MF 2=0, 则点M 到x 轴距离为
2
. 34000π____cm 3. 14. 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值是______27
15. 已知一个动圆与圆C ：(x +4) 2+y 2=100 相内切，且过点A （4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程
x 2y 2
是_____25+9=1_____.
16. 对于函数f (x ) =ax 3, (a ≠0) 有以下说法：
①x =0是f (x ) 的极值点.
②当a
③f (x ) 的图像与(1, f (1)) 处的切线必相交于另一点.
1④若a >0且x ≠0则f (x ) +f () 有最小值是2a . x
其中说法正确的序号是_____②③__________.
17. 函数f (x ) =3x -x 3在区间(a 2-12, a ) 上有最小值，则实数a 的取值范围是(-1, 2]
三、解答题(共5小题，满分65分)
18. （本小题满分12分）
已知命题p:对m ∈[-1,1],不等式a 2-5a-3
; 命题q:不等式x 2+ax+2
是真命题,q 是假命题, 求a 的取值范围.
18. 解:∵m ∈[-1,1],
∵对m ∈[-1,1],不等式a 2-5a-3
, 可得a 2-5a-3≥3, ∴a ≥6或a ≤-1.
故命题p 为真命题时,a ≥6或a ≤-1.
又命题q:不等式x 2+ax+2
∴Δ=a2-8>0,∴
从而命题q 为假命题时
a ≤
∴命题p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范围为
a ≤-1.
19. （本小题满分12分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克) 与销售价格x (单位：元/千克) 满足关系式y ＝a
x －3＋10(x －6) 2，其中3
每日可售出该商品11千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以10＝11，a ＝2. 2
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
2y ＝10(x －6) 2. x －3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
⎡2⎤10 x －6 2⎥＝2＋10(x －3)(x －6) 2, 3
2从而f ′(x ) ＝10[ x －6 ＋2 x －3 x －6 ]
＝30(x －4)(x －6) ．
于是，当x
由上表可得，x ＝4
所以，当x ＝4时，函数f (x ) 取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20、（本小题满分13分）
如图，由y =0, x =8, y =x 2围城的曲边三角形，在曲线OB 弧上求一点M ，使得过M
所作的y =x 2的切线PQ 与OA , AB 围城的三角形PQA 的面积最大。
解： 设 M (x 0, y 0) PQ :y =k (x -x 0) +y 0
2 则 y 0=x 0，y ' =2x |x =x 0=2x 0 a 即k =2x 0 所以y =2x 0(x -x 0) +y 0
令y =0 则x =x 0-x y 0=2x 0 P (0, 0) 22x 0
22 令x =8 则y =16x 0-x 0 Q (8, 16x 0-x 0)
S =S ∆PAQ =x 13122+x 0(8-0)(16x 0-x 0) =64x 0-8x 0 422
32x 0 4
16 3S ' =64-16x 0+令S ' =0，则x 0=16（舍去）或x 0=
即当x 0=164096时 S max = 327
21. （本小题满分14分）
已知m ∈R ，函数f (x ) =mx -
(1)求函数g (x ) 的极小值;
(2)若y =f (x ) -g (x ) 在[1,+∞) 上是单调增函数，求实数m 的取值范围。
解：（Ⅰ）函数g (x )的定义域为(0, +∞).
g '(x ) =-11x -1+=2. 2x x x m -11-ln x , g (x ) =+ln x x x
当x ∈(0, 1), g '(x ) 0.
∴ x =1为极小值点. 极小值g (1)=1. …………………………………………（6分）
m m -11--2ln x =mx --2ln x . （Ⅱ） y =mx -x x x
m 2∴y '=m +2-≥0在[1，+∞）上恒成立， x x
2x 即m ≥2在x ∈[1, +∞) 上恒成立. x +1
又2x =2x +121x +x ≤1，所以m ≥1.
所以，实数m 的取值范围为[1, +∞) . …………………………………………（14分）
22. （本小题满分14分）
已知抛物线y 2=2px (p >0) , 焦点为F, 一直线l 与抛物线交于A 、B
两
点,AB 的中点是M(x 0, y 0) 且 AF +BF =8,AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
（1）求抛物线方程;
（2）求∆ABF 面积的最大值.
22. （1）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , AB中点 M (x 0, y 0) 由AF +BF =8得x 1+x 2+p =8, ∴x 0=4-p 2
2⎧p ⎪y 1=2px 12=2p (x 1-x 2), ∴y 0= 又⎨2 得y 12-y 2k ⎪⎩y 2=2px 2
p
p p 所以 M (4-, ) 依题意⋅k =-1, ∴p =4 p 2k 4--62
抛物线方程为 y 2=8x ------------------7分
（2）由M (2, y 0) 及k l =令y =0得x K =2-44, l AB :y -y 0=(x -2) y 0y 012y 0 4
又由y 2=8x 和l AB :y -y 0=
∴S ∆ABF =42(x -2) 得: y 2-2y 0y +2y 0-16=0 y 0111222⋅KF ⋅y 2-y 1=(y 0) 4y 0-4(2y 0-16) 224
121246-y 0y 0-y 0=y 0= 44
46令h (y 0) =16y 0-y 0, (y 0>0)
353h ' (y 0) =64y 0-6y 0=6y 0(322-y 0) 3
当h ' (y 0) >0, 0
32 3 当h ' (y 0)
所以y 0=32是极大值点，并且是唯一的 3
32时, (S ∆ABF ) max =-----------------14分 93
所以y 0=
高二下学期期末考试文科复习卷
一、选择题(共10个小题，每小题5分，满分50分)
1. 已知命题p 、q ，如果⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ B ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要
2. 函数f(x)的定义域为R ，且满足(x-1)f ' (x)≥0，则有（ C ）
A.f(0)+f(2)＜2f(1) B. f(0)+f(2)≤2f(1)
C. f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)＞2f(1)
y 22=1（a 是常数）则下列结论正确的是（B ） 3. 若方程C ：x +a
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆 B．∀a ∈R -，方程C 表示双曲线
C ．∃a ∈R -，方程C 表示椭圆 D．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线
x 2y 2x 2y 2
4. 若双曲线2-2=1(a>0,b>0)和椭圆2+2=1（m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a,b,m 为边a b b m
长的三角形是（ B ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5. 设f(x)=x(ax 2+bx+c)(a≠0) 在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是（ A ）
A （a,b ） B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c)
6. 落在平静水面上的石头, 使水面产生同心圆形波纹. 在持续的一段时间内, 若外围圈波的半径r(单位:m)与时间t (单位:s)的函数关系是r=8t,在2s 末, 扰动水面面积的变化率为(C )
A.72πm 2s B.144πm 2 C.256πm 2s D.512πm 2
7. 一动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，动圆恒与直线x +2=0相切，则动圆必定过点（ B ）
（ A ）（4，0） ( B ) （2，0） ( C ) （0，2） ( D ) （0，-2）
x 2y 2
8. 如果方程-=1表示双曲线，那么实数m 的取值范围是（ D ） |m |-1m -2
A. m >2 B. m 2 C. -12
9. 过双曲线x 2-y 2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（ C ）
πππ3ππ3πππB. (, ) ⋃(, ) C. (, ) D. (0, ) ⋃(, π) 42244422
b x 2y 2
10. 若椭圆2+2=1(a >b >0) 和圆x 2+y 2=(+c ) 2, (c 为椭圆的半焦距), 有四个不同的交点, 2a b A. [0, π)
则椭圆的离心率e 的取值范围是（ A ） 325235A. (, ) B. (, ) C. (, ) D. (0, ) 5555555
二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)
11. 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线方程为 x 2=16y 12. 函数f(x)=ax3＋x ＋1在实数集R 上不单调的充要条件是__________ a
y 2
213. 双曲线x -=1的焦点为F 1，F 2, 点M 在双曲线上, 且MF 1⋅MF 2=0, 则点M 到x 轴距离为
2
. 34000π____cm 3. 14. 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值是______27
15. 已知一个动圆与圆C ：(x +4) 2+y 2=100 相内切，且过点A （4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程
x 2y 2
是_____25+9=1_____.
16. 对于函数f (x ) =ax 3, (a ≠0) 有以下说法：
①x =0是f (x ) 的极值点.
②当a
③f (x ) 的图像与(1, f (1)) 处的切线必相交于另一点.
1④若a >0且x ≠0则f (x ) +f () 有最小值是2a . x
其中说法正确的序号是_____②③__________.
17. 函数f (x ) =3x -x 3在区间(a 2-12, a ) 上有最小值，则实数a 的取值范围是(-1, 2]
三、解答题(共5小题，满分65分)
18. （本小题满分12分）
已知命题p:对m ∈[-1,1],不等式a 2-5a-3
; 命题q:不等式x 2+ax+2
是真命题,q 是假命题, 求a 的取值范围.
18. 解:∵m ∈[-1,1],
∵对m ∈[-1,1],不等式a 2-5a-3
, 可得a 2-5a-3≥3, ∴a ≥6或a ≤-1.
故命题p 为真命题时,a ≥6或a ≤-1.
又命题q:不等式x 2+ax+2
∴Δ=a2-8>0,∴
从而命题q 为假命题时
a ≤
∴命题p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范围为
a ≤-1.
19. （本小题满分12分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克) 与销售价格x (单位：元/千克) 满足关系式y ＝a
x －3＋10(x －6) 2，其中3
每日可售出该商品11千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以10＝11，a ＝2. 2
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
2y ＝10(x －6) 2. x －3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
⎡2⎤10 x －6 2⎥＝2＋10(x －3)(x －6) 2, 3
2从而f ′(x ) ＝10[ x －6 ＋2 x －3 x －6 ]
＝30(x －4)(x －6) ．
于是，当x
由上表可得，x ＝4
所以，当x ＝4时，函数f (x ) 取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20、（本小题满分13分）
如图，由y =0, x =8, y =x 2围城的曲边三角形，在曲线OB 弧上求一点M ，使得过M
所作的y =x 2的切线PQ 与OA , AB 围城的三角形PQA 的面积最大。
解： 设 M (x 0, y 0) PQ :y =k (x -x 0) +y 0
2 则 y 0=x 0，y ' =2x |x =x 0=2x 0 a 即k =2x 0 所以y =2x 0(x -x 0) +y 0
令y =0 则x =x 0-x y 0=2x 0 P (0, 0) 22x 0
22 令x =8 则y =16x 0-x 0 Q (8, 16x 0-x 0)
S =S ∆PAQ =x 13122+x 0(8-0)(16x 0-x 0) =64x 0-8x 0 422
32x 0 4
16 3S ' =64-16x 0+令S ' =0，则x 0=16（舍去）或x 0=
即当x 0=164096时 S max = 327
21. （本小题满分14分）
已知m ∈R ，函数f (x ) =mx -
(1)求函数g (x ) 的极小值;
(2)若y =f (x ) -g (x ) 在[1,+∞) 上是单调增函数，求实数m 的取值范围。
解：（Ⅰ）函数g (x )的定义域为(0, +∞).
g '(x ) =-11x -1+=2. 2x x x m -11-ln x , g (x ) =+ln x x x
当x ∈(0, 1), g '(x ) 0.
∴ x =1为极小值点. 极小值g (1)=1. …………………………………………（6分）
m m -11--2ln x =mx --2ln x . （Ⅱ） y =mx -x x x
m 2∴y '=m +2-≥0在[1，+∞）上恒成立， x x
2x 即m ≥2在x ∈[1, +∞) 上恒成立. x +1
又2x =2x +121x +x ≤1，所以m ≥1.
所以，实数m 的取值范围为[1, +∞) . …………………………………………（14分）
22. （本小题满分14分）
已知抛物线y 2=2px (p >0) , 焦点为F, 一直线l 与抛物线交于A 、B
两
点,AB 的中点是M(x 0, y 0) 且 AF +BF =8,AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
（1）求抛物线方程;
（2）求∆ABF 面积的最大值.
22. （1）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , AB中点 M (x 0, y 0) 由AF +BF =8得x 1+x 2+p =8, ∴x 0=4-p 2
2⎧p ⎪y 1=2px 12=2p (x 1-x 2), ∴y 0= 又⎨2 得y 12-y 2k ⎪⎩y 2=2px 2
p
p p 所以 M (4-, ) 依题意⋅k =-1, ∴p =4 p 2k 4--62
抛物线方程为 y 2=8x ------------------7分
（2）由M (2, y 0) 及k l =令y =0得x K =2-44, l AB :y -y 0=(x -2) y 0y 012y 0 4
又由y 2=8x 和l AB :y -y 0=
∴S ∆ABF =42(x -2) 得: y 2-2y 0y +2y 0-16=0 y 0111222⋅KF ⋅y 2-y 1=(y 0) 4y 0-4(2y 0-16) 224
121246-y 0y 0-y 0=y 0= 44
46令h (y 0) =16y 0-y 0, (y 0>0)
353h ' (y 0) =64y 0-6y 0=6y 0(322-y 0) 3
当h ' (y 0) >0, 0
32 3 当h ' (y 0)
所以y 0=32是极大值点，并且是唯一的 3
32时, (S ∆ABF ) max =-----------------14分 93
所以y 0=