平面的基本性质

平面的基本性质

〖知识点分布〗1、平面；2、平面的基本性质；3、平面图形的直观图的画法。

〖考纲要求〗1、掌握平面的基本性质；2、会用斜二测画法画水平放置的直观图；3、熟悉各种符号

及其应用。〖复习要求〗掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放

置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.

〖双基回顾〗

公理1：________________________________ ____.用符号表示为：_____________________. 公理2：_________________________________ _________.用符号表示为：_____________________.公理3：_____________________._______________________________________________________ 推论1：_________________________________________________. 推论2：_________________________________________________.

推论3：___________________________________________________. 公理1是证明____________________________________的依据；公理2是证明___________________的依据；

公理3及其三个推论是证明__________________________________________.的依据。

2、斜二测画法的规则： ①②______________________________,

③___________________ ___,④_____________________________.

〖课前练习〗

1、下面几个命题：⑴两两相交的三条直线共面；⑵如果两个平面有公共点，则公共点有无数个；⑶一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；⑷有三个内角是直角的空间四边形一定是矩形；⑸顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

2、设E、F、G、H是空间四点.命题甲：E、F、G、H不共面；命题乙：直线EF、GH不相交，那么甲是乙的„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3、由空间四点中某些确定平面的元素，可以确定平面的个数为„„„„„„„„„„„„„（） (A)0个 (B)1个 (C)1个或者4个 (D)不存在

5、命题甲：空间中若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，它的逆命题记作乙，则（）（A）甲、乙都正确；（B）甲、乙都不正确；（C）甲不正确，乙正确；（D）甲正确、乙不正确。

〖典型例题〗

1、已知直线a∥b∥c，直线d与a、b、c分别交于A、B、C，

求证：四直线a、b、c、d共面.

2、已知△ABC在平面外，三边AB、BC、CA分别与平面交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线.

3、如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2

（1）求证：E、F、G、H四点共面。

（2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线。

4、三个平面两两相交，得到三条交线，求证：它们

或者互相平行或者交于一点.

〖课堂练习〗

1、一个平面把空间分为部分；两个平面把空间分为部分；三个平面把空间分

为部分. 1 2、一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） A1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3、正方体AC1中，O是BD中点，A1C与截面BDC1交于P，那么C1、P、O〖课堂小结〗

1、证明共面通常有方法：⑴先作一个平面，再证明有关的点在此平面内；⑵分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合. 2、公理2是证明直线共点的依据，应该这样理解：

⑴如果A、B是交点，那么AB是交线；

⑵如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；

⑶如果∩=l，点P是、的一个公共点，那么P∈l.

〖能力测试〗班级姓名

1、、两个不重合平面，上取3个点、上取4个点，则由这些点最多可以确定平面的个数为（） (A)30 (B)32 (C)35 (D)40

2、两条直线l、m都在平面内并且都不在内.命题甲：l、m中至少有一条与相交；命题乙：与、相交.那么甲是乙的„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3、给出下列命题：⑴梯形的四个顶点共面；⑵三条平行直线共面；⑶有三个公共点的两个平面重合；⑷每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中正确命题的个数为„„„„„（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4、下列各种四边形中，可能不是平面四边形的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)内接于圆的四边形 (B)四边相等的四边形

(C)仅有一组对边平行的四边形 (D)相邻两边成的角都是直角的四边形.

5、空间四点“无三点共线”是“四点共面”的„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 6、如图正方体中，E、F分别是AA1、CC1上的点并且AE=C1F，求证：B、E、D1、F共面.

7、正方体A—C1中，设A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、 Q、D1三点共线.

8、在三棱锥V—ABC中，D、E、F分别是VA、VB、VC上的点并且求证：直线DF、EG、AB共点.

ADAV

AEAC

VFVB

CGCB

A11 F C

E A11

空间两条直线

〖知识点分布〗1、空间的平行直线；2、异面直线及其夹角；3、异面直线的距离。

〖考纲要求〗

1、了解空间两条直线的位置关系；2、掌握异面直线所成的角与两条异面直线互相垂直的概念；能运用上述知识进行论证和解决有关问题。对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离。

〖双基回顾〗

1、公理4（平行线的传递性）：2、等角定理：_________________________________________________________________________. 3、空间两直线的位置关系：_____________________________________________________________. 4、异面直线：

（1）定义：______________________________________ __________________________. （2）判定定理：_____________________________________________________________________. （3）异面直线所成的角：①定义：____________________________________ _______________.

②取值范围：___________________.

③两条异面直线互相垂直：_____________________________________________.

④所成角的求法：法一：平移法：选点、平移、解三角形，注意取值范围；法二：向量法。

⑤异面直线的距离：

定义：__________________ ________.性质：两条异面直线的公垂线有且只有一条。〖课前训练〗

1、异面直线是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）同在某一个平面内的两条直线。（B）某平面内一条直线和这个平面外的一条直线。（C）分别位于两个不同平面内的两条直线。（D）无交点且不共面的两条直线。 2、（91全国）若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有„„（）（A）12对（B）24对（C）36对（D）48对

3、下列说法中，正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） ①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。 ②垂直于同一条直线的两条直线平行。

③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。

④若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线。 4、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1和CC1的中点，则AE与BF所成的角余弦为。 6、如图正方体的棱长为a，那么

⑴与BA1异面的棱分别有；⑵BA1与CC1成角大小为； ⑶BA1与AA1成角大小为；⑷直线BC与AA1的距离；〖典型例题分析〗

1、ABCD是边长为1的正方形，O是中心，OP⊥平面ABCD，OP=2，M是OP中点.⑴求证：PC与BM是异面直线；⑵求PC、BM所成角.

MAB

2、如图，在棱长都为a的四面体中，E、F分别为AD、BC的中点。（1）求证：EF是AD和BC的公垂线。（2）求EF的长。

（3）求异面直线AF与CE所成的角。

3、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为侧面ADD1A1的中心，求：（1）B1O与BD所成角的大小。（2）B1O与C1D1的距离。

A1B B1C1

4、如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线

，求BD与平面ADC所成的角。

AD与BE所成角的大小为arccos

〖课堂练习〗

1、已知直线a，如果直线b同时满足以下三个条件：⑴与a异面；⑵与a成角为定值；⑶与a的距离为定值.那么这样的直线b有条. 2、已知异面直线a、b分别在平面、内，∩=c，那么c与a、b的关系为„„„„„„„（） (A)与a、b都相交 (B)至少与a、b之一相交 (C)至多与a、b之一相交 (D)只能与a、b之一相交 3、（90年上海）设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是„„„„„„„„（）（A）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b。（B）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b。（C）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面。（D）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面。

4、（95年全国）如图，A1B1C1―ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，

1 若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是„„„„„„„（） B1

（A）

3010

（B）（C）

13015

（D）

〖能力测试〗班级 .姓名 1、甲：a、b异面；乙：a、b无公共点，那么甲是乙的„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2、a、b异面，那么下列结论正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)过不在a、b上的点P一定可以作直线与a、b都相交 (B)过不在a、b上的点P一定可以作平面与a、b都垂直

(C)过a一定可以作一个平面与b垂直 (D)过a一定可以作一个平面与b平行

4、设有三条直线a、b、c，其中b和c是一对异面直线，如果三条直线可确定的平面个数是n个，则n可能取的值是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）。（A）0，1 （B）1，2 （C）0，2 （D）0，1，2

5、已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，且BD=AC，则EF与BD所成的角等于________________.

6、正四棱锥P─ABCD的底面边长和侧棱长相等，E是PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的

DC 余弦值等于_______________。

7（96年全国）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面 B

成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是____________. FE 8、（2001年江西）在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。 ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

以上两个命题中，逆命题为真命题的是：___________________（把符合要求的命题序号都填上）。 9、如图，长方体AC1中，AB=BC=2，AA1=1，E、F分别是A1B1、BB1的中点，求： ⑴EF、AD1所成角； D ⑵A1D1、BC1的距离；

A1⑶AC、BC所成角.（提示：用空间向量知识）

1 BF

空间的平行

〖考纲要求〗掌握直线与平面的平行的概念、性质、判定；平面与平面的平行的概念、性质、判定. 〖复习要求〗能运用直线与平面平行的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题. 能运用平面

与平面平行的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题. 〖知识回顾〗

1、直线与平面平行的定义：

2、直线与平面平行的判定定理：

⑴线线平行线面平行；⑵平面∥，直线aa∥ 3、直线与平面平行的性质定理：线面平行线线平行

4、两个平面平行的判定定理：

⑴平行于同一平面的两个平面平行；⑵垂直于同一直线的两个平面平行.

⑶如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 5、两个平面平行的性质定理：

⑴∥β，aa∥β； ⑵∥β，γ∩=a，γ∩β=ba∥b. ⑶∥β，a⊥a⊥β； ⑷夹在平行平面间的平行线段相等. ⑸过平面外一点，能并且只能作一个平面与已知平面平行. 〖课前练习〗

1、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)任意直线不相交 (D)无数直线不相交. 2、、表示平面，m、n表示直线，则m∥的一个充分条件是„„„„„„„„„„„„（） (A) ⊥并且m⊥ (B) ∩=n，m∥n (C) m∥n，n∥ (D) ∥，m.

3、过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面„„„„„„„„„„„„„„„（） (A) 不存在 (B) 只有一个 (C)有无数个 (D) 不能确定

4、如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系是„„„„（） (A)平行 (B)相交 (C)平行或者相交 (D)不能确定 5、下列命题正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)如果两个平面有三个公共点，那么它们重合

(B)过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 (C)在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 (D)如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

6、给出命题：⑴垂直于同一直线的两个平面平行；⑵平行于同一直线的两个平面平行；⑶垂直于同一平面的两个平面平行；⑷平行于同一平面的两个平面平行；其中正确命题个数有„（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

7、 ⑴过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个.

⑵过两条平行直线中的一条和另一条平行的平面有个. 〖典型例题〗

1、∩=l，a∥，a∥，求证：a∥l.

 a

2、正方体AC1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、 C1D1的中点. ⑴求证：E、F、B、D共面；⑵求证：平面AMN∥平面EFDB.

3、直三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1、B、C1的平面与平面ABC交于直线l. ⑴确定l与A1C1的位置关系； ⑵如果AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90度，求A1到l的距离.

4、如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形. ⑴求证：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角为，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH面积的最大值.

〖课堂练习〗

BA1

1、已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列命题：

⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥； ⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥.

其中正确的命题是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)⑴、⑷、 (B) ⑴、⑷、⑸ (C)⑴、⑵、⑶ (D)⑵、⑷、⑹

2、平面M上有不共线的三点到平面N的距离相等，那么平面M、N的关系为„„„„„„„„（） (A) 平行 (B)重合 (C)平行或者重合 (D)不能确定 3、a、b异面，a⊥平面M，b⊥平面N，那么平面M、N的位置关系是„„„„„„„„„„（） (A) 平行 (B)重合 (C)相交 (D)不能确定 4、直线a平面，那么平面M∥平面是直线a∥M的„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5、在空间，下列命题正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)如果两条直线a、b与直线c成等角，那么a∥b. (B)如果两条直线a、b与平面M成等角，那么a∥b.

(C)如果直线a平面M、N成等角，那么M∥N. (D)如果平面P与平面M、N成等角，那么M∥N.

6、直线a∥直线b，a∥平面，那么b与的关系为 .

〖能力测试〗姓名得分 . 1、设直线a平面，命题甲：平面∥；命题乙：直线a∥，那么甲是乙的„„„„„„（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

2、a、b是异面直线，P是a、b外任意一点，下列结论正确的是„„„„„„„„„„„„（） (A)过P可以作一个平面与a、b都平行 (B)过P可以作一个平面与a、b都垂直 (C)过P可以作一直线与a、b都平行 (D)过P可以作一直线与a、b成等角. 3、下列命题：

⑴直线上有两点到平面距离相等，那么直线与平面平行

⑵夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行与这两个平面 ⑶直线m⊥平面，直线n ⊥m，那么直线n∥

⑷a、b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a、b平行并且距离相等.

其中正确的命题是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)⑴与⑵ (B) ⑵与⑶ (C)⑶与⑷ (D)⑵与⑷

4、两个平面距离12cm，一条直线与它们成60，则该直线被夹在这两个平面间的线段长为 . 6、AC、BD是夹在两个平行平面M、N间的两条线段，AC=13，BD=15，AC与BD在平面M内的射影长度之和为14，那么平面M、N的距离为 .

7、如图，两个全等的正方形ABCD与ABEF，M∈AE，N∈BD，并且AM=DN，求证：MN∥平面BCE

空间的垂直关系

〖考纲要求〗掌握直线与平面的垂直的概念、性质、判定，掌握两个平面的位置关系，能运用两平面垂直的性质与判定进行论证和解决有关问题..

〖复习要求〗能运用直线与平面垂直的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题，熟练掌握两

个平面的位置关系及其有关概念，会用两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理进行计算和证明.

〖知识回顾〗

1、直线与平面垂直的定义： 2、直线与平面垂直的判定定理：

⑴定义； ⑵直线与平面内的两条相交直线垂直； ⑶a∥b，a⊥b⊥ 3、直线与平面垂直的性质定理：a⊥且b⊥a∥b

4、特殊结论：

过一点有并且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有并且只有一个平面与已知直线垂直. 5、两个平面垂直的判定：

⑴定义； ⑵判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ⑶如果一个平面和另一个平面的平行线垂直，那么这两个平面垂直. 6、两个平面垂直的性质：

⑴两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

⑵两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 〖课前练习〗 1、直线l与平面内的两条直线都垂直，那么l与关系是„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)垂直 (B)平行 (C)斜交 (D)不能确定. 2、“直线l与平面内的无数直线都垂直”是“l⊥”的„„„„„„„„„„„„„„„（） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5、过平面M 外的一条斜线a作平面N垂直于M，这样的平面N个数为„„„„„„„„（） (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 6、过平面M外A、B两点有无数个平面与平面M垂直，那么„„„„„„„„„„„„（） (A)AB∥M (B)AB与M成60度角 (C)AB⊥M (D)A、B到M等距离〖典型例题〗

1、已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、

PC中点，求证：AB⊥MN.

2、在四面体S—ABC中，如果SA=SB=SC=a，∠BSC=90，∠ASC=∠ASB=60º，求证：平面SBC⊥平面ABC

3、平行六面体A—C1中，各个面都是全等的菱形，求证：面ACC1A1⊥面BDD1B1.

AA1CS

4、如图，△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，并且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：⑴DE=DA；⑵平面BDM⊥平面ECA；⑶平面DEA⊥平面ECA.

〖课堂练习〗

1、如果直线l与平面的一条垂线垂直，那么l与的位置关系是„„„„„„„„„„„„（） (A) l (B)l⊥ (C) l∥ (D) l或者l∥ 3、三平面两两垂直，他们的三条交线交于点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP=„„（） (A) 53 (B)52 (C)35 (D) 25

4、平面M⊥平面N，直线nM，直线mN，并且m⊥n，则有„„„„„„„„„„„„（） (A) n⊥N (B)m⊥M (C)n⊥N并且m⊥M (D) n⊥N与m⊥M至少有一个成立.

〖能力测试〗姓名得分 . 1、在三棱锥A—BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么„„„„„„（） (A)平面ABD⊥平面ADC (B)平面ABD⊥平面ABC

(C)平面BCD⊥平面ADC (D)平面ABC⊥平面BCD 2、平面α⊥β，α∩β=a，点P∈α，Q∈a，那么PQ⊥a是PQ⊥β的„„„„„„„„„„„（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

3、在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、 EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，则有（） (A)SG⊥面EFG (B) EG⊥面SEF

5、空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别是CD、DA和AC的中点，则平面BEF与平面BGD的位置关系是 . 6、正方体A—C1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥面PAC.

7、如图ABC—A1B1C1是正三棱柱，底面边长为a，D、E分别为BB1、CC1上的点，BD=

G12

a，EC=a.⑴求证：平面ADE⊥平面ACC1A1；⑵

求截面△ADE的面积.

利用空间向量处理几何问题

〖考试要求〗理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理；

理解直线的方向向量、共线向量、共面向量、向量在平面内的射影等概念：掌握空间向量的数量积的定义及其性质；会用向量解决问题。

〖双基回顾〗

1、向量和向量的加法、减法和数乘的定义以及向量相等的概念。 2、a∥b、a∥、共面向量、直线的方向向量的定义。

3、（1）共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理及其推论。

（2）空间直线的向量参数表示式：；线段AB的中点公式． 4、如果向量a、 b、 c ，则把叫空间的一个基底，叫基向量。 5、（1）向量a与b的夹角的定义：记作．（2）若，则称a、b与互相垂直，记作． 6、 a、b 的数量积：（1）定义： a•b=_____

（2）性质：① ② ③ 。（3）运算律：①________ ___②_________ ________③__________ _______. 7、AB在轴l 〖课前训练〗

a=(－3,2,5),b=(1,x,－1)且a·b=2，1、则x=„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

2、若a=（1，1，0），b=（－1，0，2）、ka＋b与2a－b垂直，则k=„„„„„„„„„„( ) (A) 1 (B)

(C)

(D)

3、ABCD是平行四边形，A(4,1,3),B(2,－5,1),C(3,7,－5)，则D坐标为„„„„„„„„„„（） (A) (

,4,－1) (B) (2,3,1) (C)(－3,1,5) (D)(5,13,－3)

4、若非零向量、满足 ||=||，则与所成的角的大小为＿＿＿＿。〖典型例题〗

1、已知向量a、b之间的夹角为30°且|a|=3，|b|=4，求（a＋2b）·（a－b）。

2、（2003辽宁高考题）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，

点E是CC1的中点，点F是BD1的中点.

(Ⅰ)求证：EF是BD1、CC1的公垂线； (Ⅱ)求点D1到平面BDE的距离.

3、（广州2004届天河试卷）正三棱柱A—C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是AC、A1C1的中点，建立如图所示空间直角坐标系。 ⑴求侧棱长； ⑵求异面直线AB1、BC所成角。

5、把长、宽分别为2、23的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角。（1）求顶点B和D的距离；（2）求AC与BD所成的角。

〖能力测试〗

1、a=(cosx,1,sinx),b=(sinx,1,cosx),则a＋b与a－b夹角为„„„„„„„„„„„„„„（）（A）90 （B）60 （C）30 （D）0

3、a=(1－t，1－t，t),b=(2，t，t),则|a－b|的最小值为„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）

（B）

555

（C）

355

（D）

115

4、空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OAa，OBb，OCc，

用a、b、c表示下列向量：OG= ，GH= ．

5、Rt△ABC中，∠B=90°中，P为面ABC外一点，且PA⊥面ABC，F为PB的中点，G为△PBC的重心，若FGxAByACzAP，则x=______.y=________.z=_______.

6、已知线段AB、BD在平面α内，BD⊥AB，线段AC⊥α，AB=a，BD=b，AC=c，则CD= 。

8、正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是a，D、E、F分别是AC1、BB1、A1B1的中点。（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线，并求DE的长（2）求证：平面ACC1A1⊥平面CDE （3）求异面直线AF与CE所成的角。

空间的角

〖考点分布〗 ①异面直线所成的角 ②直线和平面所成的角 ③二面角及其平面角。〖考试要求〗掌握空间两面异面直线所成的角、直线和平面所成的角：二面角及其平面角的概念、

作法及求法，并能运用上述概念进行论证和解决有关问题。〖双基回顾〗

1、异面直线所成的角（1）定义________ ______（2）范围。 2、直线与平面所成的角：（1）定义：规定：直线和平面平行或直线在平面内时，= ，直线和平面垂直时，= 。（2）范围______________.

3、二面角：（1）定义：（2）二面角的平面角：（3）范围：（4）面积射影公式：S=Scos 〖课前训练〗 1、线段AB在平面M内的射影长是其一半，那么AB与M成角大小为„„„„„„„„„„„（） (A)30º (B)45º (C)60º (D)120º 2、正方体A—C1中，对角线AC1与平面A1BD所成角是„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)30º (B)45º (C)60º (D)90º

3、二面角－l－为60°，异面直线a、b分别垂直于、则a与b所成的角为„„„„„（） ， (A)30° (B)60° (C)90° (D)120°

4、正方体A－C1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为„（） (A)2 (B)2 (C)1 (D)3

5、空间一点P到二面角的两个面的距离分别为12，到棱的距离为2，则此二面角的大小为. 6、把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A1－BD－C后，连结A1C，则二面角A1－BC－D的正切值是_______. 8、从一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两成60°角，则OA与平面OBC所成的角为______. 〖典型例题〗

1、正方体AC1中，F、E分别在棱D1C1上且B1E1=D1F1=

A1B14

，求BE1与DF1所成角的余弦。

2、在正四面体A—BCD中，E、F分别是AD、BC中点. ⑴求AF、CE所成角；⑵CE与面BCD所成角.

3、如图，△ABC⊥△DBC，并且AB=BC=BD，∠DBC=∠ABC=∠120º，求：⑴AD与平面BCD所成角；⑵AD、BC所成角；⑶二面角A—BD—C的余弦值.

〖课堂练习〗

1、把正三角形ABC沿高AD折成直二面角B—AD—C，折后，∠BAC的余弦值为„„„„„„（） (A)0 (B)

2、把正三角形ABC沿高AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，则二面角B—AD—C„„（）

(A)30º (B)45º (C)60º (D)90º

3、在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)

（B）3 （C）

（D）2

4、正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B－DC1－C的大小是__________。〖课堂小结〗

1、空间中的三种角都是转化成平面内的角来定义和度量的，步骤为：（1）找出或作出有关角的图形；（2）证明它符合定义；（3）计算，最后写解时注意角的范围。 2、求异面直线所成角的方法：（1）平移法；（2）向量法； 3、作二面角平面角的常用方法：（1）定义法，（2）三垂线定理或逆定理法。

〖能力测试〗姓名___________________得分________。 1、PA是平面的一条斜线，A∈，线段PA=2，AC，点P到平面的距离为1，设∠PAC=（0

26

），那么有„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

(A) = (B)cos

3

2、两条异面直线a、b所成角为(A)[

，一条直线l与a、b成角都等于，那么的取值范围是„„（）

52

,] (B) [,] (C) [,] ( D) [,] 32626633

3、正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为„„（） (A)

(B)

(C)

(D)

4、在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，AB=4，AD=4，AB⊥AD，M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角为________. 5、线段AB的两端分别在直二面角－CD－的两个面、内，且与这两个面都成30°角，则直线AB与CD所成的角等于________.

6、ABCD为正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD和面ECD所成的二面角为_______.

8、如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，又E是C1D1的中点；

（1）CE与BD1所成角的余弦值；（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；（3）求二面角B－DC1－C的平面角的大小

AB1

空间中的距离

〖考试内容〗 ①点到平面的距离 ② 直线到与它平行的平面的距离 ③平行平面的距离 ④异面直线的公垂线及距离

〖考试要求〗掌握空间中各种距离的概念及求法，并能运用上述概念进行认证和解决有关问题，对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离。

〖双基回顾〗

1、和两条异面直线都叫两异面直线的公垂线，条公垂线，两异面直线的公垂线叫异面直线的距离。 2、叫点到平面的距离。

3、

4、和两个平行平面___________叫做这个平行平面的公垂线，它夹在叫做两个平行平面的距离。〖课前训练〗

1、如图，ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD=AD=2，二面角P—AD—C为60º，则P到平面ABCD的距离为„„„（） (A)22 (B)3 (C)2 (D)7 2、（接上题）P到直线AB的距离为„„„„„„„„„„„„（） (A)22 (B)3 (C)2 (D)7 3、直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90º，平面

A1BC1与平面ABC交于直线l，那么l与A1C1的距离为„„（） (A)1 (B) (C) (D) 2.6 4、四面体SABC中，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC、AB的中点，那么EF=„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)1 (B)

2 (C)

(D)

5、长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1=5，AB=12，则直线B1C1和平面A1BCD1的距离为_________. 6、长方体A－C1中，若AB=BC=a，AA1=2a，那么点A到直线A1C的距离是„„„„„„„„（）（A）

263

a （B）

362

a (C)

233

a (D)

63a

〖典型例题〗

1、如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥ D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a。（1）求截面EAC的面积；（2）求异面直线A1B1与AC之间的距离。

A11 B1

2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在BD、B1C上并且BE=⑴求证：EF是BD、B1C的公垂线；⑵求BD、B1C的距离.

BD，B1F=

B1C.

1 F DA13、A、B是直线l上两点，AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=3，BD=3，

AC、BD成角60度，求点C、D的距离。

C 4、（天津、江苏03题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，点D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G.

(Ⅰ)A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）； 1 (Ⅱ)求点A1到平面ADE的距离. AB1 D

〖课堂练习〗

1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=a，E、F分别是B1C1、B1B的中点，则

①点B到直线A1D的距离是_______.。 ② 直线A1D与BC1之间的距离是_______. ③EF直线到平面D1AC1的距离是_______. ④ 点B到平面A1B1CD的距离是_______. ⑤点A1到平面AB1D1的距离是_______.

2、已知四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，BD⊥AD，BD=23， PD⊥底面ABCD，二面角P－BC－A为60°，则直线AD到平面PBC的距离是__________.

3、在120°二面角的棱上，有两点分别是A、BAC、BD这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为_______.

4、AB是异面直线AC、BD的公垂线，AC=4BD=6，若CD=223，AC、BD所成的角为60°，则公垂线AB的长为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）4 （B）6或4 （C）8 （D） 4或8

〖能力测试〗

1、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是„„„„„（）（A）

a （B）

a （C）a （D）

324

2、把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的中线AD折成60°的二面角B－AD－C后，点D到平面ABC的距离为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）

（B）1 （C）

（D） 3

3、在60º的二面角α—l—β中，A∈α，AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，AC=BD=a，DC=2a，那么A、B的距离为 .

4、三棱锥P—ABC的侧棱长都为14，底面三角形ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120º，那么点P到底面ABC的距离为 . 5、把长、宽各为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则B、D两点间的距离是________. 6、直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90º，AB=BB1=1，B1C与平面ABC成角30º.

⑴求C1到平面AB1C的距离；⑵二面角B—B1C—A的大小.

7、四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD；PC=a,E是PA的中点。（1）求证：平面BED平面ABCD；（2）求点E到平面PBC的距离。

8、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC=2，求点B到平面GEF的距离.

棱柱和棱锥

〖考点分布〗多面体；棱柱和它性质；平行六面体与长方体；棱锥和它的性质；直棱柱和正棱柱的直观图的画法；正多面体.

〖考试要求〗了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥的概念，掌握棱柱和正棱锥的性质，会画直棱柱和正棱锥的直观图.

〖双基回顾〗 1、多面体： 2、棱柱：

⑴棱柱的有关概念：的多面体叫棱柱；的棱柱

叫直棱柱；的棱柱叫正棱柱；叫平行六面体；叫长方体；的叫正方体.

⑵棱柱的性质：①___________________②___________________③__________________. ⑶两个定理①______________________________；②_______________________________. 3、棱椎：

⑴棱锥：有一个面是_______（底面）②其余各面都是有___________(侧面). 正棱锥：底面____________② 顶点________________ 叫正棱锥 ⑵棱椎的截面性质定理：_________________________. ⑶正棱锥的性质：①________________________②___________________________. 4、正多面体的概念：____________________种类:_______________________________.

〖课前训练〗 1、在正三棱锥S—ABC中，与侧棱SA垂直的棱中一定有„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）SB （B）SC （C）BC （D）AC

2、六棱锥P—ABCDEF中，O是底面正六边形中心，则PAPBPCPDPEPF=（）（A）PO （B）3PO （C）6PO （D）0

3、一个正四棱锥的中截面面积为Q，则正四棱锥的底面边长为„„„„„„„„„„„„„（）（A）

（B）

（C）Q （D）2Q

4、棱柱成为直棱柱的一个必要而不充分条件是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ). （A）它的一条侧棱垂直于底面（B）它的一条侧棱与底面两条边垂直（C）它的一个侧面与底面都是矩形（D）它的一个侧面与底面的一条边垂直

〖典例分析〗 1、一个长方体的全面积是22，体积为8，则这样的长方体„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）有一个（B）有两个

（C）有无数多个（D）不存在

2、条件M：四棱锥P－ABCD的四个侧面都是全等的等腰三角形，条件N：棱锥P－ABCD是正四棱锥。则M是N的„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) (A)充要条件 (B)既不充分又不必要条件 (C)充分而不必要条件 (D)必要而不充分条件 3、棱锥的底面面积是150cm2，平行于底面的一个截面面积为54cm2，底面和这个截面的距离为12cm，则这个棱锥的高_________.

4、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点,在A1B1上,则直线PQ与直线AM所成的角为______. 5、正四棱锥P－ABCD的高为PO，AB＝2PO＝2cm，则AB与侧面PCD的距离为___________. 6、如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为6，B1C＝10，D为AC的中点E、F分别在侧棱A1A和BB1上,且AF＝2BE＝BC． 1 A(1)求证：AB1∥平面C1BD； (2)求异面直线AB1和BC1所成的角； F(3)求直线AB1到平面C1BD的距离

(4)求过F、E、C的平面与棱柱下底面所成二面角的大小．

7、如图.已知正四棱锥P－ABCD的侧棱长和底面边长都是13，M、N分别是PA和BD上的点，且满足PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8 P (1)求证: MN∥平面PBC；

(2)求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值.

〖课堂练习〗

1、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是„„„„„„„„„„„„„„（）（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥

2、设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体. 以上命题中真命题的个数为„„„„„„„„（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 3、设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面面积为„„„„„„„„„„„„„（） (A)4cm2 (B)22cm2 (C)2cm2 (D)

2cm2

M ANB

4、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2、36，这个长方体对角线的长是„（）（A）23 （B）32 （C）６（D）6

５、命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面的中心的三棱锥是正三棱锥．命题A的等价命题B可以是：底面是正三角形，且____________________的三棱椎为正三棱锥.

〖能力测试〗

1、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可以有„„„„„„„„„„„„„„„„（）. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

2、三棱锥侧棱两两垂直且侧棱与底面所成的角都相等是三棱锥为正三棱锥的„„„„„„( ). (A)充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 3、三棱椎S－ABC高SO=h，斜高SM=l，则经过SO中点平行于底面的截面A1B1C1的面积为。 4、棱长都是a的三棱锥，连结各侧面的中心作一个三角形，则此三角形的面积为． 5、正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值为 6、如图．已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC、D为AB的中点，平面ABC⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直．（1）求证：AB1⊥CD；

（2）求证：AB1⊥平面A1CD；

（3）若AB1＝５，求点A到平面A1CD的距离．

7、如图．四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；

（2）若SA＝２，AB＝４，求点A到平面SBD的距离；（3）当

SAAB

A11 1

的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？并给出证明．

欧拉定理(顶点数＋面数－棱数=2)与球

〖考点分布〗多面体欧拉定理、球

〖考试要求〗了解多面体的欧拉公式；了解球的概念，掌握球的性质．掌握球的表面积、体积公式．〖双基回顾〗

1、简单多面体的概念以及简单多面体与凸多面体的关系． 2、欧拉公式： .

3、欧拉示性数：洞的多面体的欧拉示性数为。 4、球的定义：叫球体（简称球），叫球面． 5、球的截面性质：用一个平面截一个球面，所得截线是以半径的一个圆，截面是一个． 6、大圆、小圆与球面距离：。 7、S球＝，V球。

〖课前训练〗

１、下列命题中为假命题的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）多面体的面数最少是４个（B）正多面体只有５种（C）凡凸多面体都是简单多面体（D）一个几何体的表面经过连续变形变为球面的就叫简单多面体

2、一个十二面体共有８个顶点，其中２个顶点处各有６条棱，其他顶点处都有相同数目的棱，则其他顶点各有„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）条棱（A）４（B）５（C）６（D）７ 3、球面上有A、B两点，经过A、B两点的球的大圆共有„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）一个（B）无数个（C）一个或无数个（D）一个或没有 4、一个正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，则此球的体积为„„„„„„„„（） (A)6cm (B)

323

cm (C)

cm (D)

cm

5、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为„„„„„„（）

(A) 3π (B) 4π (C) 33 (D) 6π

6、把表面积分别是36，64，100的三个锡球，熔成一个大锡球，则大锡球半径为 7、长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为３、４、５，且它的８个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）202 （B）252 （C）50 （D）200 〖典例分析〗

1、已知一个凸多面体的各个面都是正三角形，每个顶点处都有4条棱，试问这是几面体？

2、半球内有一内接正方体，正方体有一个面在半球大圆面内，若正方体的边长为6，求此半球的体积。

3、A、B、C是半径为１的球面上三点，B、C两点间球面距离为离为



，点A与B、C两点间的球面距

，球心为O．

⑴求∠BOC,∠AOB的大小； ⑵求球心到截面ABC的距离

4、如图球O的截面BCD把球面面积分为1∶3两部分，BC是截面圆的直径，D是此圆周上一点，AC是圆O的直径。

⑴求证：面ABD⊥面ADC；

⑵如果球半径为，D分BC弧为两部分，并且BD弧∶DC弧=1∶2，求AC、BD所成角； ⑶如果BC∶DC=3∶2，求二面角B—AC—D的大小。

〖课堂练习〗

１、球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

，经过这三点的小圆周长为４，

那么这个球的半径为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)43 (B) 23 (C)2 (D)

2、球面上A、B、C三点的截面和球心的距离为半径的一半， AB=BC=CA＝2，则球面面积为（）（A）

169

 （B） （C）4 （D）

8649



4、在北纬４５ °纬线圈上有甲、乙两地，甲在东经１２０ °，乙在西经１５０ °，设地球半径为Ｒ，则甲、乙两地间的纬线圈长为，球面距离为．

〖能力测试〗姓名_____________得分_____________

1、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V与面数F的关系为„„„„（）（A）2F＋V=4 （B）2F－V=4 （C）2F＋V=2 （D）2F－V=2

2、下列命题中正确的有„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） ①过球面上任意两点只能作一个球的大圆。 ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径． ③用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面． ④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合．

（A）①②② （B）②③④ （C）②③ （D）①④

3、已知A是球O上的一点,OA=R,OA与过A的球截面成60°角，则此截面面积为„„„„（）（A）R （B）3R （C）

R4

（D）

3R4

4、有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面相内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点,则这三个球的面积之比是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) （A）１∶２∶３（B）１∶2∶3 （C）１∶２2∶３3（D）１∶４∶９ 5、C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，每个顶点处有3条棱，各面是五边形或六边形，且五边形与六边形没有公共点，则C70分子中五边形和六边形的个数分别为_______，______.（请参考第二册下P68的研究）

6、已知甲烷的分子CH4结构是：中心为一个碳原子，外围有4个氢原子（这四个氢原子构成一个正四面体的四个顶点），设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为，则cos=______.

7、我国某远洋考察船位于北纬30°，东径125°处，则此时此船离南极的球面距离为． 8、球被两个平行平面截得的截面面积分别为36和64，球半径为１０，求这两截面间的距离。

9、A、B、C三点是球面上的三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的C三点的截面的距离为３，求球的表面积与体积。

，球心到过A、B、

空间图形的折叠与展开

〖复习要求〗掌握研究几何图形的折叠与展开的基本方法

〖课前练习〗 1、下面各图中，不是正方体表面展开的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（

）

D A B C 2、将正方体纸盒展开，

直线AB、CD在原正方体中的位置关系是„„„„„（）（A）平行（B）垂直（C）相交成60 （D）异面成60

3、如图长方体的三条棱长分别为3、4、5，那么沿长方体的表面从A到C1的最

D短距离为 .

〖典型例题〗

AA B

C1 1

1、长方体长AB是宽BC的23倍，把它折成一个正三棱柱的侧面（如图），使AD、BC重合，而长方体的对角线AC与折痕EF、GH分别交于M、N，求⑴折后，AM、MN的夹角；⑵平面AMN与棱柱底面所成角. C N

2、△ABC中，∠A=90º，D在BC上，把△ADC沿AD折起，使之与△ABC所在平面成60º的二面角，折起后的位置为△ ADC1，C1在平面ABC上的射影E在AB上.

⑴求∠BAD的大小；⑵BC与平面AC1E所成角的大小.

3、在△ABC中，M、N分别是AB、ACAMMB



ANNC



，

把△AMN沿MN折起到△A1MN，使二面角A1—MN—B为60º.⑴平面A1MN⊥平面A1BC；⑵当△ABC是边长为2的正三角形时，求A1B的长度.

〖课堂练习〗

1、以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高为折痕，将△ABC折成二面角C—AD—B，当折后的△ABC为正三角形时，二面角C—AD—B的大小为„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)30º (B)45º (C)60º (D)90º

2、二面角α—l—β为120º，在α内，AB⊥l于B，在β内，CD⊥l于D，AB=2，CD=3，BD=1，M是l上一个动点，那么AM+MC的最小值为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)25 (B)26 (C)26 (D)22

〖课堂小结〗

平面图形的翻折是一种常见的问题，解决之主要要注意折叠前、后的线线、线面、角、距离等关系是否改变并且进行加以比较，一般来说，在折痕同侧的所有元素的位置、数量关系不会发生变化，分别位于两个不同半平面内的元素相对位置关系和数量关系发生变化，而解决问题的突破口也就在此。同时要学会画出折叠前、后的图形，注意从中找出异同。

〖能力测试〗姓名得分 . 1、以边长为2的正△ABC沿AC上的高为折痕，将△ABC折成120º的二面角A1—BD—C后A1到 BC的距离为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)2 (B)3 (C)

(D)

394

2、ABCD是边长为4并且∠BAD=60º的菱形，沿BD折成120º的二面角A1—BD—C，连接A1C，则二面角A1—BC—D的正切值为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)

377

(B)3 (C)

233

(D)

3、在直角坐标系中，A(3,2)、B(－3,－2)，沿y轴把直角坐标系折成平面角为的二面角A—oy—B后，∠AOB1=90º，那么cos= .

4、E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D—PE—C的大小为 .

5、如图，AC⊥BD，∠DAC=30º，BC=3，AC=23，以AC为折痕将平面ADC折起，使二面角D—AC—B为直二面角.⑴求证：折叠后BC⊥平面ACD；⑵求二面角C—DA—B的大小.

6、如图是底面边长为843，侧棱长为2的正三棱锥P—ABC，过A作一个截面交PB、PC于D、E，求△ADE周长的最小值.

B B

直线、平面、简单几何体（B）综合能力检测

一、选择题（5分×12=60分）

1、在空间下列命题正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）分别在两个平面内的直线叫做异面直线

（B）和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线（C）过直线外一点只有一条直线和这条直线垂直

（D）一条直线与平面平行，则它与平面内的无数条直线平行

2、下列命题中，a、b、c表示不同的直线，α、β表示不同的平面，其真命题共有（） ①若a⊥b，b⊥α，则a∥α ②若a⊥α，b⊥α，则a∥b， ③a是α的斜线，b是a在α上的射线，cα，a⊥c，则b⊥c ④若aα，bα，c⊥a，c⊥b，则c⊥α

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3、在平行四边形ABCD所在平面外有一点P，使PA=PB=PC=PD，则平行四边形一定是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）菱形（B）矩形（C）菱形或矩形（D）正方形

4、在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个

正方体形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点为P，那么四面体A—EFP中必

有„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）AG⊥平面EFP （B）AP⊥平面EFP （C）PF⊥平面AEF （D）PC⊥平面AEF

5、A、B、C、D是空间不共面的四点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC的关系

是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）平行（B）相交（C）垂直（D）异面 6、一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，

由这线段两端向两平面的交线引垂线，则垂足间的离是„„„„„„„„„（）（A）

（B）

（C）

（D）

7、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角的正弦值

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）

（B）

（C）

223

（D）1

8、正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

9、等边△ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿高AD折成直二面角，则A到BC的距离

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）

2 （B）

（C）

（D）

10、棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，异面直线A1B和B1C的距离为„„„（

）

（A）

（B）

（C4

（D5

11、一个正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积比为6∶2，则其侧面与底面所成的角

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）15° （B）30° （C）45° （D）60°

12、A是直径为25的球面上的一点，在这个球面上有一圆，圆上所有的点到A的距离都12，那么这个

圆的半径是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）12 （B）10 （C）15 （D）8

二、填空题（4分×4=16分） 13、等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60°角，若AB=16cm，AC=17cm，

则CD=_______.

14、空间三条射线PA、PB、PC，∠BPC=90°，则二面角B－PA－C的余弦值为________.

15、Rt△ABC在平面α内，M,M到点A、B、C的距离均为b，斜边AC长为a，则点M到平面α

的距离为_______.

16、长方体全面积为24cm2，各棱长总和为24cm，则其对角线长为_______.

三、解答题（74分） 17、（12分）如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC

=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC

18（12分）已知：SA⊥正方形ABCD所成的平面α，SC⊥截面AEFG（如图），

求证：（1）AE⊥SB，AG⊥SD （2）AF⊥GE

19（12分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，（1）证明AD⊥D1F

D（2）求AE与D1F所成的角. C1

20（12分）如图正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱均相等，D是BC上的一点，AD⊥C1D （1）求证：面ADC1⊥侧面BCC1B1

A1（2）求二面角C－AC1－D的大小（用反正弦表示）；（3）若AB=2，求直线A1B与截面ADC1之间的距离

A1B1 E B

21（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD=2a, △PDC

是正三角形，BC⊥PD （1）求证：平面PBD⊥平面ABC；（2）求二面角C－PD－B的正切值；（3）求点B到平面PAD的距离.。

22（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离.

C B

平面的基本性质

〖知识点分布〗1、平面；2、平面的基本性质；3、平面图形的直观图的画法。

〖考纲要求〗1、掌握平面的基本性质；2、会用斜二测画法画水平放置的直观图；3、熟悉各种符号

及其应用。〖复习要求〗掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放

置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.

〖双基回顾〗

推论3：___________________________________________________. 公理1是证明____________________________________的依据；公理2是证明___________________的依据；

公理3及其三个推论是证明__________________________________________.的依据。

2、斜二测画法的规则： ①②______________________________,

③___________________ ___,④_____________________________.

〖课前练习〗

〖典型例题〗

1、已知直线a∥b∥c，直线d与a、b、c分别交于A、B、C，

求证：四直线a、b、c、d共面.

2、已知△ABC在平面外，三边AB、BC、CA分别与平面交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线.

3、如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2

（1）求证：E、F、G、H四点共面。

（2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线。

4、三个平面两两相交，得到三条交线，求证：它们

或者互相平行或者交于一点.

〖课堂练习〗

1、一个平面把空间分为部分；两个平面把空间分为部分；三个平面把空间分

为部分. 1 2、一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） A1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3、正方体AC1中，O是BD中点，A1C与截面BDC1交于P，那么C1、P、O〖课堂小结〗

⑴如果A、B是交点，那么AB是交线；

⑵如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；

⑶如果∩=l，点P是、的一个公共点，那么P∈l.

〖能力测试〗班级姓名

1、、两个不重合平面，上取3个点、上取4个点，则由这些点最多可以确定平面的个数为（） (A)30 (B)32 (C)35 (D)40

(C)仅有一组对边平行的四边形 (D)相邻两边成的角都是直角的四边形.

7、正方体A—C1中，设A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、 Q、D1三点共线.

8、在三棱锥V—ABC中，D、E、F分别是VA、VB、VC上的点并且求证：直线DF、EG、AB共点.

ADAV

AEAC

VFVB

CGCB

A11 F C

E A11

空间两条直线

〖知识点分布〗1、空间的平行直线；2、异面直线及其夹角；3、异面直线的距离。

〖考纲要求〗

〖双基回顾〗

②取值范围：___________________.

③两条异面直线互相垂直：_____________________________________________.

④所成角的求法：法一：平移法：选点、平移、解三角形，注意取值范围；法二：向量法。

⑤异面直线的距离：

定义：__________________ ________.性质：两条异面直线的公垂线有且只有一条。〖课前训练〗

③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。

⑴与BA1异面的棱分别有；⑵BA1与CC1成角大小为； ⑶BA1与AA1成角大小为；⑷直线BC与AA1的距离；〖典型例题分析〗

1、ABCD是边长为1的正方形，O是中心，OP⊥平面ABCD，OP=2，M是OP中点.⑴求证：PC与BM是异面直线；⑵求PC、BM所成角.

MAB

2、如图，在棱长都为a的四面体中，E、F分别为AD、BC的中点。（1）求证：EF是AD和BC的公垂线。（2）求EF的长。

（3）求异面直线AF与CE所成的角。

3、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为侧面ADD1A1的中心，求：（1）B1O与BD所成角的大小。（2）B1O与C1D1的距离。

A1B B1C1

4、如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线

，求BD与平面ADC所成的角。

AD与BE所成角的大小为arccos

〖课堂练习〗

4、（95年全国）如图，A1B1C1―ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，

1 若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是„„„„„„„（） B1

（A）

3010

（B）（C）

13015

（D）

(C)过a一定可以作一个平面与b垂直 (D)过a一定可以作一个平面与b平行

5、已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，且BD=AC，则EF与BD所成的角等于________________.

6、正四棱锥P─ABCD的底面边长和侧棱长相等，E是PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的

DC 余弦值等于_______________。

7（96年全国）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面 B

成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是____________. FE 8、（2001年江西）在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。 ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

A1⑶AC、BC所成角.（提示：用空间向量知识）

1 BF

空间的平行

与平面平行的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题. 〖知识回顾〗

1、直线与平面平行的定义：

2、直线与平面平行的判定定理：

⑴线线平行线面平行；⑵平面∥，直线aa∥ 3、直线与平面平行的性质定理：线面平行线线平行

4、两个平面平行的判定定理：

⑴平行于同一平面的两个平面平行；⑵垂直于同一直线的两个平面平行.

⑶如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 5、两个平面平行的性质定理：

3、过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面„„„„„„„„„„„„„„„（） (A) 不存在 (B) 只有一个 (C)有无数个 (D) 不能确定

7、 ⑴过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个.

⑵过两条平行直线中的一条和另一条平行的平面有个. 〖典型例题〗

1、∩=l，a∥，a∥，求证：a∥l.

 a

2、正方体AC1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、 C1D1的中点. ⑴求证：E、F、B、D共面；⑵求证：平面AMN∥平面EFDB.

3、直三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1、B、C1的平面与平面ABC交于直线l. ⑴确定l与A1C1的位置关系； ⑵如果AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90度，求A1到l的距离.

4、如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形. ⑴求证：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角为，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH面积的最大值.

〖课堂练习〗

BA1

1、已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列命题：

⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥； ⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥.

其中正确的命题是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)⑴、⑷、 (B) ⑴、⑷、⑸ (C)⑴、⑵、⑶ (D)⑵、⑷、⑹

(C)如果直线a平面M、N成等角，那么M∥N. (D)如果平面P与平面M、N成等角，那么M∥N.

6、直线a∥直线b，a∥平面，那么b与的关系为 .

⑴直线上有两点到平面距离相等，那么直线与平面平行

⑵夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行与这两个平面 ⑶直线m⊥平面，直线n ⊥m，那么直线n∥

⑷a、b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a、b平行并且距离相等.

其中正确的命题是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)⑴与⑵ (B) ⑵与⑶ (C)⑶与⑷ (D)⑵与⑷

7、如图，两个全等的正方形ABCD与ABEF，M∈AE，N∈BD，并且AM=DN，求证：MN∥平面BCE

空间的垂直关系

〖考纲要求〗掌握直线与平面的垂直的概念、性质、判定，掌握两个平面的位置关系，能运用两平面垂直的性质与判定进行论证和解决有关问题..

〖复习要求〗能运用直线与平面垂直的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题，熟练掌握两

个平面的位置关系及其有关概念，会用两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理进行计算和证明.

〖知识回顾〗

1、直线与平面垂直的定义： 2、直线与平面垂直的判定定理：

⑴定义； ⑵直线与平面内的两条相交直线垂直； ⑶a∥b，a⊥b⊥ 3、直线与平面垂直的性质定理：a⊥且b⊥a∥b

4、特殊结论：

过一点有并且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有并且只有一个平面与已知直线垂直. 5、两个平面垂直的判定：

⑴两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

1、已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、

PC中点，求证：AB⊥MN.

2、在四面体S—ABC中，如果SA=SB=SC=a，∠BSC=90，∠ASC=∠ASB=60º，求证：平面SBC⊥平面ABC

3、平行六面体A—C1中，各个面都是全等的菱形，求证：面ACC1A1⊥面BDD1B1.

AA1CS

4、如图，△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，并且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：⑴DE=DA；⑵平面BDM⊥平面ECA；⑶平面DEA⊥平面ECA.

〖课堂练习〗

4、平面M⊥平面N，直线nM，直线mN，并且m⊥n，则有„„„„„„„„„„„„（） (A) n⊥N (B)m⊥M (C)n⊥N并且m⊥M (D) n⊥N与m⊥M至少有一个成立.

〖能力测试〗姓名得分 . 1、在三棱锥A—BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么„„„„„„（） (A)平面ABD⊥平面ADC (B)平面ABD⊥平面ABC

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

7、如图ABC—A1B1C1是正三棱柱，底面边长为a，D、E分别为BB1、CC1上的点，BD=

G12

a，EC=a.⑴求证：平面ADE⊥平面ACC1A1；⑵

求截面△ADE的面积.

利用空间向量处理几何问题

〖考试要求〗理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理；

理解直线的方向向量、共线向量、共面向量、向量在平面内的射影等概念：掌握空间向量的数量积的定义及其性质；会用向量解决问题。

〖双基回顾〗

1、向量和向量的加法、减法和数乘的定义以及向量相等的概念。 2、a∥b、a∥、共面向量、直线的方向向量的定义。

3、（1）共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理及其推论。

（2）性质：① ② ③ 。（3）运算律：①________ ___②_________ ________③__________ _______. 7、AB在轴l 〖课前训练〗

a=(－3,2,5),b=(1,x,－1)且a·b=2，1、则x=„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

2、若a=（1，1，0），b=（－1，0，2）、ka＋b与2a－b垂直，则k=„„„„„„„„„„( ) (A) 1 (B)

(C)

(D)

3、ABCD是平行四边形，A(4,1,3),B(2,－5,1),C(3,7,－5)，则D坐标为„„„„„„„„„„（） (A) (

,4,－1) (B) (2,3,1) (C)(－3,1,5) (D)(5,13,－3)

4、若非零向量、满足 ||=||，则与所成的角的大小为＿＿＿＿。〖典型例题〗

1、已知向量a、b之间的夹角为30°且|a|=3，|b|=4，求（a＋2b）·（a－b）。

2、（2003辽宁高考题）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，

点E是CC1的中点，点F是BD1的中点.

(Ⅰ)求证：EF是BD1、CC1的公垂线； (Ⅱ)求点D1到平面BDE的距离.

5、把长、宽分别为2、23的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角。（1）求顶点B和D的距离；（2）求AC与BD所成的角。

〖能力测试〗

1、a=(cosx,1,sinx),b=(sinx,1,cosx),则a＋b与a－b夹角为„„„„„„„„„„„„„„（）（A）90 （B）60 （C）30 （D）0

3、a=(1－t，1－t，t),b=(2，t，t),则|a－b|的最小值为„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）

（B）

555

（C）

355

（D）

115

4、空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OAa，OBb，OCc，

用a、b、c表示下列向量：OG= ，GH= ．

5、Rt△ABC中，∠B=90°中，P为面ABC外一点，且PA⊥面ABC，F为PB的中点，G为△PBC的重心，若FGxAByACzAP，则x=______.y=________.z=_______.

6、已知线段AB、BD在平面α内，BD⊥AB，线段AC⊥α，AB=a，BD=b，AC=c，则CD= 。

空间的角

作法及求法，并能运用上述概念进行论证和解决有关问题。〖双基回顾〗

3、二面角－l－为60°，异面直线a、b分别垂直于、则a与b所成的角为„„„„„（） ， (A)30° (B)60° (C)90° (D)120°

4、正方体A－C1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为„（） (A)2 (B)2 (C)1 (D)3

1、正方体AC1中，F、E分别在棱D1C1上且B1E1=D1F1=

A1B14

，求BE1与DF1所成角的余弦。

2、在正四面体A—BCD中，E、F分别是AD、BC中点. ⑴求AF、CE所成角；⑵CE与面BCD所成角.

3、如图，△ABC⊥△DBC，并且AB=BC=BD，∠DBC=∠ABC=∠120º，求：⑴AD与平面BCD所成角；⑵AD、BC所成角；⑶二面角A—BD—C的余弦值.

〖课堂练习〗

1、把正三角形ABC沿高AD折成直二面角B—AD—C，折后，∠BAC的余弦值为„„„„„„（） (A)0 (B)

2、把正三角形ABC沿高AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，则二面角B—AD—C„„（）

(A)30º (B)45º (C)60º (D)90º

3、在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)

（B）3 （C）

（D）2

4、正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B－DC1－C的大小是__________。〖课堂小结〗

〖能力测试〗姓名___________________得分________。 1、PA是平面的一条斜线，A∈，线段PA=2，AC，点P到平面的距离为1，设∠PAC=（0

26

），那么有„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

(A) = (B)cos

3

2、两条异面直线a、b所成角为(A)[

，一条直线l与a、b成角都等于，那么的取值范围是„„（）

52

,] (B) [,] (C) [,] ( D) [,] 32626633

3、正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为„„（） (A)

(B)

(C)

(D)

6、ABCD为正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD和面ECD所成的二面角为_______.

8、如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，又E是C1D1的中点；

（1）CE与BD1所成角的余弦值；（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；（3）求二面角B－DC1－C的平面角的大小

AB1

空间中的距离

〖考试内容〗 ①点到平面的距离 ② 直线到与它平行的平面的距离 ③平行平面的距离 ④异面直线的公垂线及距离

〖双基回顾〗

1、和两条异面直线都叫两异面直线的公垂线，条公垂线，两异面直线的公垂线叫异面直线的距离。 2、叫点到平面的距离。

3、

4、和两个平行平面___________叫做这个平行平面的公垂线，它夹在叫做两个平行平面的距离。〖课前训练〗

2 (C)

(D)

263

a （B）

362

a (C)

233

a (D)

63a

〖典型例题〗

A11 B1

2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在BD、B1C上并且BE=⑴求证：EF是BD、B1C的公垂线；⑵求BD、B1C的距离.

BD，B1F=

B1C.

1 F DA13、A、B是直线l上两点，AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=3，BD=3，

AC、BD成角60度，求点C、D的距离。

(Ⅰ)A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）； 1 (Ⅱ)求点A1到平面ADE的距离. AB1 D

〖课堂练习〗

1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=a，E、F分别是B1C1、B1B的中点，则

2、已知四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，BD⊥AD，BD=23， PD⊥底面ABCD，二面角P－BC－A为60°，则直线AD到平面PBC的距离是__________.

3、在120°二面角的棱上，有两点分别是A、BAC、BD这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为_______.

〖能力测试〗

1、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是„„„„„（）（A）

a （B）

a （C）a （D）

324

（B）1 （C）

（D） 3

3、在60º的二面角α—l—β中，A∈α，AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，AC=BD=a，DC=2a，那么A、B的距离为 .

⑴求C1到平面AB1C的距离；⑵二面角B—B1C—A的大小.

7、四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD；PC=a,E是PA的中点。（1）求证：平面BED平面ABCD；（2）求点E到平面PBC的距离。

8、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC=2，求点B到平面GEF的距离.

棱柱和棱锥

〖考点分布〗多面体；棱柱和它性质；平行六面体与长方体；棱锥和它的性质；直棱柱和正棱柱的直观图的画法；正多面体.

〖考试要求〗了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥的概念，掌握棱柱和正棱锥的性质，会画直棱柱和正棱锥的直观图.

〖双基回顾〗 1、多面体： 2、棱柱：

⑴棱柱的有关概念：的多面体叫棱柱；的棱柱

叫直棱柱；的棱柱叫正棱柱；叫平行六面体；叫长方体；的叫正方体.

⑵棱柱的性质：①___________________②___________________③__________________. ⑶两个定理①______________________________；②_______________________________. 3、棱椎：

〖课前训练〗 1、在正三棱锥S—ABC中，与侧棱SA垂直的棱中一定有„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）SB （B）SC （C）BC （D）AC

2、六棱锥P—ABCDEF中，O是底面正六边形中心，则PAPBPCPDPEPF=（）（A）PO （B）3PO （C）6PO （D）0

3、一个正四棱锥的中截面面积为Q，则正四棱锥的底面边长为„„„„„„„„„„„„„（）（A）

（B）

（C）Q （D）2Q

〖典例分析〗 1、一个长方体的全面积是22，体积为8，则这样的长方体„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）有一个（B）有两个

（C）有无数多个（D）不存在

(4)求过F、E、C的平面与棱柱下底面所成二面角的大小．

7、如图.已知正四棱锥P－ABCD的侧棱长和底面边长都是13，M、N分别是PA和BD上的点，且满足PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8 P (1)求证: MN∥平面PBC；

(2)求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值.

〖课堂练习〗

1、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是„„„„„„„„„„„„„„（）（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥

2cm2

M ANB

4、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2、36，这个长方体对角线的长是„（）（A）23 （B）32 （C）６（D）6

〖能力测试〗

1、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可以有„„„„„„„„„„„„„„„„（）. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

（2）求证：AB1⊥平面A1CD；

（3）若AB1＝５，求点A到平面A1CD的距离．

7、如图．四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；

（2）若SA＝２，AB＝４，求点A到平面SBD的距离；（3）当

SAAB

A11 1

的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？并给出证明．

欧拉定理(顶点数＋面数－棱数=2)与球

〖考点分布〗多面体欧拉定理、球

〖考试要求〗了解多面体的欧拉公式；了解球的概念，掌握球的性质．掌握球的表面积、体积公式．〖双基回顾〗

1、简单多面体的概念以及简单多面体与凸多面体的关系． 2、欧拉公式： .

〖课前训练〗

323

cm (C)

cm (D)

cm

5、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为„„„„„„（）

(A) 3π (B) 4π (C) 33 (D) 6π

1、已知一个凸多面体的各个面都是正三角形，每个顶点处都有4条棱，试问这是几面体？

2、半球内有一内接正方体，正方体有一个面在半球大圆面内，若正方体的边长为6，求此半球的体积。

3、A、B、C是半径为１的球面上三点，B、C两点间球面距离为离为



，点A与B、C两点间的球面距

，球心为O．

⑴求∠BOC,∠AOB的大小； ⑵求球心到截面ABC的距离

4、如图球O的截面BCD把球面面积分为1∶3两部分，BC是截面圆的直径，D是此圆周上一点，AC是圆O的直径。

⑴求证：面ABD⊥面ADC；

⑵如果球半径为，D分BC弧为两部分，并且BD弧∶DC弧=1∶2，求AC、BD所成角； ⑶如果BC∶DC=3∶2，求二面角B—AC—D的大小。

〖课堂练习〗

１、球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

，经过这三点的小圆周长为４，

那么这个球的半径为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（） (A)43 (B) 23 (C)2 (D)

2、球面上A、B、C三点的截面和球心的距离为半径的一半， AB=BC=CA＝2，则球面面积为（）（A）

169

 （B） （C）4 （D）

8649



4、在北纬４５ °纬线圈上有甲、乙两地，甲在东经１２０ °，乙在西经１５０ °，设地球半径为Ｒ，则甲、乙两地间的纬线圈长为，球面距离为．

〖能力测试〗姓名_____________得分_____________

1、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V与面数F的关系为„„„„（）（A）2F＋V=4 （B）2F－V=4 （C）2F＋V=2 （D）2F－V=2

（A）①②② （B）②③④ （C）②③ （D）①④

3、已知A是球O上的一点,OA=R,OA与过A的球截面成60°角，则此截面面积为„„„„（）（A）R （B）3R （C）

R4

（D）

3R4

9、A、B、C三点是球面上的三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的C三点的截面的距离为３，求球的表面积与体积。

，球心到过A、B、

空间图形的折叠与展开

〖复习要求〗掌握研究几何图形的折叠与展开的基本方法

〖课前练习〗 1、下面各图中，不是正方体表面展开的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（

）

D A B C 2、将正方体纸盒展开，

直线AB、CD在原正方体中的位置关系是„„„„„（）（A）平行（B）垂直（C）相交成60 （D）异面成60

3、如图长方体的三条棱长分别为3、4、5，那么沿长方体的表面从A到C1的最

D短距离为 .

〖典型例题〗

AA B

C1 1

2、△ABC中，∠A=90º，D在BC上，把△ADC沿AD折起，使之与△ABC所在平面成60º的二面角，折起后的位置为△ ADC1，C1在平面ABC上的射影E在AB上.

⑴求∠BAD的大小；⑵BC与平面AC1E所成角的大小.

3、在△ABC中，M、N分别是AB、ACAMMB



ANNC



，

把△AMN沿MN折起到△A1MN，使二面角A1—MN—B为60º.⑴平面A1MN⊥平面A1BC；⑵当△ABC是边长为2的正三角形时，求A1B的长度.

〖课堂练习〗

〖课堂小结〗

(D)

394

377

(B)3 (C)

233

(D)

3、在直角坐标系中，A(3,2)、B(－3,－2)，沿y轴把直角坐标系折成平面角为的二面角A—oy—B后，∠AOB1=90º，那么cos= .

4、E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D—PE—C的大小为 .

5、如图，AC⊥BD，∠DAC=30º，BC=3，AC=23，以AC为折痕将平面ADC折起，使二面角D—AC—B为直二面角.⑴求证：折叠后BC⊥平面ACD；⑵求二面角C—DA—B的大小.

6、如图是底面边长为843，侧棱长为2的正三棱锥P—ABC，过A作一个截面交PB、PC于D、E，求△ADE周长的最小值.

B B

直线、平面、简单几何体（B）综合能力检测

一、选择题（5分×12=60分）

1、在空间下列命题正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）分别在两个平面内的直线叫做异面直线

（B）和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线（C）过直线外一点只有一条直线和这条直线垂直

（D）一条直线与平面平行，则它与平面内的无数条直线平行

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

4、在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个

正方体形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点为P，那么四面体A—EFP中必

有„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）AG⊥平面EFP （B）AP⊥平面EFP （C）PF⊥平面AEF （D）PC⊥平面AEF

5、A、B、C、D是空间不共面的四点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC的关系

由这线段两端向两平面的交线引垂线，则垂足间的离是„„„„„„„„„（）（A）

（B）

（C）

（D）

7、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角的正弦值

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）

（B）

（C）

223

（D）1

8、正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

9、等边△ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿高AD折成直二面角，则A到BC的距离

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）

2 （B）

（C）

（D）

10、棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，异面直线A1B和B1C的距离为„„„（

）

（A）

（B）

（C4

（D5

11、一个正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积比为6∶2，则其侧面与底面所成的角

为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）15° （B）30° （C）45° （D）60°

12、A是直径为25的球面上的一点，在这个球面上有一圆，圆上所有的点到A的距离都12，那么这个

圆的半径是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）（A）12 （B）10 （C）15 （D）8

二、填空题（4分×4=16分） 13、等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60°角，若AB=16cm，AC=17cm，

则CD=_______.

14、空间三条射线PA、PB、PC，∠BPC=90°，则二面角B－PA－C的余弦值为________.

15、Rt△ABC在平面α内，M,M到点A、B、C的距离均为b，斜边AC长为a，则点M到平面α

的距离为_______.

16、长方体全面积为24cm2，各棱长总和为24cm，则其对角线长为_______.

三、解答题（74分） 17、（12分）如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC

=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC

18（12分）已知：SA⊥正方形ABCD所成的平面α，SC⊥截面AEFG（如图），

求证：（1）AE⊥SB，AG⊥SD （2）AF⊥GE

19（12分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，（1）证明AD⊥D1F

D（2）求AE与D1F所成的角. C1

20（12分）如图正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱均相等，D是BC上的一点，AD⊥C1D （1）求证：面ADC1⊥侧面BCC1B1

A1（2）求二面角C－AC1－D的大小（用反正弦表示）；（3）若AB=2，求直线A1B与截面ADC1之间的距离

A1B1 E B

21（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD=2a, △PDC

是正三角形，BC⊥PD （1）求证：平面PBD⊥平面ABC；（2）求二面角C－PD－B的正切值；（3）求点B到平面PAD的距离.。

C B

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