第四讲 中值定理的证明技巧
一、 考试要求
1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定
理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值
定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、 内容提要
1、 介值定理（根的存在性定理）
（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值.
（2）零点定理
设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a、b) ，使得f(c)=0
2、 罗尔定理
若函数f (x ) 满足：
（1）f (x ) 在[a , b ]上连续
（2）f (x ) 在(a , b ) 内可导
（3）f (a ) =f (b )
则一定存在ξ∈(a , b ) 使得f ' (ξ) =0
3、 拉格朗日中值定理
若函数f (x ) 满足：
（1）f (x ) 在[a , b ]上连续
（2）f (x ) 在(a , b ) 内可导
则一定存在ξ∈(a , b ) ，使得f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a )
4、 柯西中值定理
若函数f (x ), g (x ) 满足:
（1）在[a , b ]上连续
（2）在(a , b ) 内可导
（3）g ' (x ) ≠0
f (b ) -f (a ) f ' (ξ) =g ' (ξ) 则至少有一点ξ∈(a , b ) 使得g (b ) -g (a )
5、 泰勒公式
x 如果函数f (x ) 在含有0的某个开区间(a , b ) 内具有直到n +1阶导数, 则当x 在
(a , b ) 内时, f (x ) 可以表示为x -x 的一个n 次多项式与一个余项R n (x ) 之和，即 0
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +1f ''(x 0)(x -x 0) 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +1f (n ) (x 0)(x -x 0) n +R n (x ) 2! n ! f (n +1) (ξ) R n (x ) =(x -x 0) n +1x (n +1)! 其中 (ξ介于0与x 之间) .
在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点；
2．展开的阶数；
3．余项的形式．
其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公
式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．
6、 积分中值定理
若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a、b]，使得
⎰b
a f(x)dx=f(c)(b-a)
三、 典型题型与例题
题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使f (ξ) =0或方程f(x)=0有根）
例1、设f (x ) 在[a,b]上连续，a 0(i =1, 2, , n ) ，证明存在ξ∈[a , b ] ，使得
f (ξ) =c 1f (x 1) +c 2f (x 2) + +c n f (x n ) c 1+c 2+ +c n
例2、设b >a >0, f (x ) 在[a,b]上连续、单调递增，且f (x ) >0，证明存在ξ∈(a , b )
使得 a 2f (b ) +b 2f (a ) =2ξ2f (ξ)
例3、设f (x ) 在[a,b]上连续且f (x ) >0，证明存在ξ∈(a , b ) 使得
⎰ξ
a f (x ) dx =⎰f (x ) dx =ξb 1b f (x ) dx 。 ⎰a 2
例4、设f (x ), g (x ) 在[a,b]上连续，证明存在ξ∈(a , b ) 使得
g (ξ) ⎰f (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx a ξb ξ
例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)
有一个实根。
例6、设实数a 1, a 2, , a n 满足关系式a 1-a n a 2+ +(-1) n -1=0，证明方程 32n -1
π a 1c o x s +a 2c o 3s x + +a n c o s 2(n -1) x =0，在(0, ) 内至少有一实根。 2
例7、（0234，6分）
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证
明存在一点ξ∈[a , b ]使得
⎰b
a f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx a b
题型二、 验证满足某中值定理
⎧3-x 2
, x ≤1⎪⎪2例8、验证函数f (x ) =⎨，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求1⎪, x >1⎪⎩x
满足定理的ξ
题型三、 证明存在ξ, 使f (n ) (ξ) =0(n=1,2,…)
例9、设f (x ) 在[a,b]上可导且f +'(a ) f -'(b )
ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) =0
例10、设f (x ) 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f (0) +f (1) +f (2) =3, f (3) =1，
证明存在一个ξ∈(0, 3) 使得f '(ξ) =0
例11、设f (x ) 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且
1f (x ) lim =0, 2⎰1f (x ) dx =f (2)，证明存在ξ∈(0, 2) 使得f ''(ξ) =0 1cos πx x →2
题型四、 证明存在ξ, 使G (ξ, f (ξ), f '(ξ)) =0
(1) 用罗尔定理
1) 原函数法:
例12、设f (x ), g (x ) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g '(x ) ≠0(x ∈(a , b )) ，求证
f (a ) -f (ξ) f '(ξ) =存在ξ∈(a , b ) 使得 g (ξ) -g (b ) g '(ξ)
例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且
f (1) =k ⎰xe 1-x f (x ) dx , k >1
证明：在(0,1)内至少存在一点ξ, 使 f '(ξ) =(1-ξ-1) f (ξ).
1k 0
例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅f (
在[a,b]上连续，试证对∃ξ∈(a , b ), 使得f '(ξ) =g (ξ) f (ξ). .
a +b )
*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰f (x ) dx =0, ⎰xf (x ) dx =0. 0011
试证：∃ξ∈(0, 1), 使得 f '(ξ) =(1+ξ-1) f (ξ) .
2) 常微分方程法:
例16、设f (x ) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f (a ) =f (b ) =λ，证明存在
ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) +f (ξ) =λ
例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λ, 必存在ξ∈（0，1) , 使得f '(ξ) -λ[f (ξ) -ξ]=1
(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，求证存在ξ∈(a , b ) ，使得
bf (b ) -af (a ) =f '(ξ) ξ+f (ξ) b -a
例19、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，求证存在ξ∈(a , b ) ，使得
b n 1
b -a f (a )
a n f (b ) =ξn -1[nf (ξ) +ξf '(ξ)],n ≥1
例20、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导(0
b 使得 f (b ) -f (a ) =ξln f '(ξ) a
例21、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导(0
f (b ) -f (a ) f '(ξ) 使得 =(a 2+ab +b 2) 2b -a 3ξ
题型5、 含有f ''(ξ) (或更高阶导数) 的介值问题
例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个ξ∈(0, 1) , 使
2f '(ξ) f ''(ξ) = 1-ξ
例23、（012，8分）设f (x ) 在[-a , a ](a >0) 上具有二阶连续导数，f(0)=0
(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2) 证明在[-a , a ]上至少存在一个η使得
a 3f ''(η) =3⎰f (x ) dx -a a
例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f'(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点ξ，使得f '''(ξ) =3.
题型6、 双介值问题F (ξ, η, ) =0
0
f '(η) 使得f '(ξ) =(a +b ) 2η
例26、（051，12分）已知函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
f (0) =0, f (1) =1
证明：（1）存在ξ∈(0, 1) ，使得f (ξ) =1-ξ
（2）存在两个不同的点η, ς∈(0, 1) 使得f '(η) f '(ς) =1
题型7、 综合题
例27、（011，7分）
设函数f (x ) 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且f ''(x ) ≠0，试证
（1） 对于(-1,1)内的任意x ≠0, 存在唯一的θ(x ) ∈(0, 1) 使得
'f +) x θ((x 成立) x f (x ) =f (0
1（2）lim θ(x ) = x →02
例28、试证明若f (x ) 在[a,b]上存在二阶导数，且f '(a ) =f '(b ) =0，则存在
4ξ∈(a , b ) 使得f ''(ξ) ≥f (b ) -f (a ) (b -a ) 2
*例29、设e
a e -a
e -b ln a ln b =0 1 b
1-e -ξ
ξ
第四讲 中值定理的证明技巧
一、 考试要求
1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定
理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值
定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、 内容提要
1、 介值定理（根的存在性定理）
（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值.
（2）零点定理
设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a、b) ，使得f(c)=0
2、 罗尔定理
若函数f (x ) 满足：
（1）f (x ) 在[a , b ]上连续
（2）f (x ) 在(a , b ) 内可导
（3）f (a ) =f (b )
则一定存在ξ∈(a , b ) 使得f ' (ξ) =0
3、 拉格朗日中值定理
若函数f (x ) 满足：
（1）f (x ) 在[a , b ]上连续
（2）f (x ) 在(a , b ) 内可导
则一定存在ξ∈(a , b ) ，使得f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a )
4、 柯西中值定理
若函数f (x ), g (x ) 满足:
（1）在[a , b ]上连续
（2）在(a , b ) 内可导
（3）g ' (x ) ≠0
f (b ) -f (a ) f ' (ξ) =g ' (ξ) 则至少有一点ξ∈(a , b ) 使得g (b ) -g (a )
5、 泰勒公式
x 如果函数f (x ) 在含有0的某个开区间(a , b ) 内具有直到n +1阶导数, 则当x 在
(a , b ) 内时, f (x ) 可以表示为x -x 的一个n 次多项式与一个余项R n (x ) 之和，即 0
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +1f ''(x 0)(x -x 0) 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +1f (n ) (x 0)(x -x 0) n +R n (x ) 2! n ! f (n +1) (ξ) R n (x ) =(x -x 0) n +1x (n +1)! 其中 (ξ介于0与x 之间) .
在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点；
2．展开的阶数；
3．余项的形式．
其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公
式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．
6、 积分中值定理
若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a、b]，使得
⎰b
a f(x)dx=f(c)(b-a)
三、 典型题型与例题
题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使f (ξ) =0或方程f(x)=0有根）
例1、设f (x ) 在[a,b]上连续，a 0(i =1, 2, , n ) ，证明存在ξ∈[a , b ] ，使得
f (ξ) =c 1f (x 1) +c 2f (x 2) + +c n f (x n ) c 1+c 2+ +c n
例2、设b >a >0, f (x ) 在[a,b]上连续、单调递增，且f (x ) >0，证明存在ξ∈(a , b )
使得 a 2f (b ) +b 2f (a ) =2ξ2f (ξ)
例3、设f (x ) 在[a,b]上连续且f (x ) >0，证明存在ξ∈(a , b ) 使得
⎰ξ
a f (x ) dx =⎰f (x ) dx =ξb 1b f (x ) dx 。 ⎰a 2
例4、设f (x ), g (x ) 在[a,b]上连续，证明存在ξ∈(a , b ) 使得
g (ξ) ⎰f (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx a ξb ξ
例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)
有一个实根。
例6、设实数a 1, a 2, , a n 满足关系式a 1-a n a 2+ +(-1) n -1=0，证明方程 32n -1
π a 1c o x s +a 2c o 3s x + +a n c o s 2(n -1) x =0，在(0, ) 内至少有一实根。 2
例7、（0234，6分）
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证
明存在一点ξ∈[a , b ]使得
⎰b
a f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx a b
题型二、 验证满足某中值定理
⎧3-x 2
, x ≤1⎪⎪2例8、验证函数f (x ) =⎨，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求1⎪, x >1⎪⎩x
满足定理的ξ
题型三、 证明存在ξ, 使f (n ) (ξ) =0(n=1,2,…)
例9、设f (x ) 在[a,b]上可导且f +'(a ) f -'(b )
ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) =0
例10、设f (x ) 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f (0) +f (1) +f (2) =3, f (3) =1，
证明存在一个ξ∈(0, 3) 使得f '(ξ) =0
例11、设f (x ) 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且
1f (x ) lim =0, 2⎰1f (x ) dx =f (2)，证明存在ξ∈(0, 2) 使得f ''(ξ) =0 1cos πx x →2
题型四、 证明存在ξ, 使G (ξ, f (ξ), f '(ξ)) =0
(1) 用罗尔定理
1) 原函数法:
例12、设f (x ), g (x ) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g '(x ) ≠0(x ∈(a , b )) ，求证
f (a ) -f (ξ) f '(ξ) =存在ξ∈(a , b ) 使得 g (ξ) -g (b ) g '(ξ)
例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且
f (1) =k ⎰xe 1-x f (x ) dx , k >1
证明：在(0,1)内至少存在一点ξ, 使 f '(ξ) =(1-ξ-1) f (ξ).
1k 0
例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅f (
在[a,b]上连续，试证对∃ξ∈(a , b ), 使得f '(ξ) =g (ξ) f (ξ). .
a +b )
*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰f (x ) dx =0, ⎰xf (x ) dx =0. 0011
试证：∃ξ∈(0, 1), 使得 f '(ξ) =(1+ξ-1) f (ξ) .
2) 常微分方程法:
例16、设f (x ) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f (a ) =f (b ) =λ，证明存在
ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) +f (ξ) =λ
例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λ, 必存在ξ∈（0，1) , 使得f '(ξ) -λ[f (ξ) -ξ]=1
(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，求证存在ξ∈(a , b ) ，使得
bf (b ) -af (a ) =f '(ξ) ξ+f (ξ) b -a
例19、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，求证存在ξ∈(a , b ) ，使得
b n 1
b -a f (a )
a n f (b ) =ξn -1[nf (ξ) +ξf '(ξ)],n ≥1
例20、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导(0
b 使得 f (b ) -f (a ) =ξln f '(ξ) a
例21、设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导(0
f (b ) -f (a ) f '(ξ) 使得 =(a 2+ab +b 2) 2b -a 3ξ
题型5、 含有f ''(ξ) (或更高阶导数) 的介值问题
例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个ξ∈(0, 1) , 使
2f '(ξ) f ''(ξ) = 1-ξ
例23、（012，8分）设f (x ) 在[-a , a ](a >0) 上具有二阶连续导数，f(0)=0
(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2) 证明在[-a , a ]上至少存在一个η使得
a 3f ''(η) =3⎰f (x ) dx -a a
例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f'(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点ξ，使得f '''(ξ) =3.
题型6、 双介值问题F (ξ, η, ) =0
0
f '(η) 使得f '(ξ) =(a +b ) 2η
例26、（051，12分）已知函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
f (0) =0, f (1) =1
证明：（1）存在ξ∈(0, 1) ，使得f (ξ) =1-ξ
（2）存在两个不同的点η, ς∈(0, 1) 使得f '(η) f '(ς) =1
题型7、 综合题
例27、（011，7分）
设函数f (x ) 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且f ''(x ) ≠0，试证
（1） 对于(-1,1)内的任意x ≠0, 存在唯一的θ(x ) ∈(0, 1) 使得
'f +) x θ((x 成立) x f (x ) =f (0
1（2）lim θ(x ) = x →02
例28、试证明若f (x ) 在[a,b]上存在二阶导数，且f '(a ) =f '(b ) =0，则存在
4ξ∈(a , b ) 使得f ''(ξ) ≥f (b ) -f (a ) (b -a ) 2
*例29、设e
a e -a
e -b ln a ln b =0 1 b
1-e -ξ
ξ