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模块八 中值定理证明
Ⅰ 教学规划
【教学目标】
1、理解各类中值定理的基本内容，掌握必要的定理证明
2、总结中值定理部分基本的命题方向和特点，训练针对性、系统化的证明思路
【主要内容】
1、基本定理：闭区间上连续函数的性质，微分中值定理、积分中值定理
2、对连续函数性质的考查
3、罗尔定理的使用
4、辅助函数的构造
5、双中值问题
【重难点】
1、各类中值定理证明题型的证明思路和技巧
Ⅱ 知识点回顾
一．连续函数的性质
1．最值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则f (x ) 在[a , b ]上能够取到最大值与最小值，即∃ξ, η∈[a , b ],使得f (ξ) =max{f (x )},f (η) =min{f (x )} a ≤x ≤b a ≤x ≤b
2．介值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，M 和m 分别为f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值，若c 满足m ≤c ≤M , 则∃ξ∈[a , b ],使得f (ξ) =c
3．零点存在定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) f (b )
二．微分中值定理
1．罗尔定理
如果函数f (x ) 满足：
（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间(a , b ) 上可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f (a ) =f (b ) ；那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
2．拉格朗日中值定理
如果函数f (x ) 满足（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间(a , b ) 上可导；那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
3．柯西中值定理
如果函数f (x ) 和g (x ) 满足（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间(a , b ) 上可导；
（3）对任意的x ∈(a , b ) ，g '(x ) ≠0；那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
三．积分中值定理：
设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则在积分区间[a , b ]上至少存在一点ξ使得下式成立：
⎰
Ⅲ 考点精讲 b a f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
一．对连续函数性质的考查
【例1】：f (x ) 在[0,1]上连续，满足对任意x ∈[0,1]有f (x ) ∈(0,1)，证明：∃ξ∈(0,1)使f (ξ) =ξ
【例2】：f (x ) 在[a , b ]上连续，a ≤x 1≤x 2≤ ≤x n ≤b ，证明：∀c 1, c 2 c n >0，∃ξ∈[x 1, x n ]，使f (ξ)=c 1f (x 1)+... +c n f (x n )
c 1+... +c n
ξ) =A ，●小结：本题的重要意义：（1）方法上，要证明∃ξ∈[a , b ],使得f (则首先设出f (x )
在[a , b ]上的最值m , M ，再证明A ∈[m , M ]即可
（2）结论上，本题的结论对∀c 1, c 2 c n >0都是成立的，特别的当c i =1时的结论，即f (x 1)+... +f (x n )=nf (ξ), ξ∈[x 1, x n ]，该结论要记住，在微分中值定理的相关证明中可以直接应用。
【例3】：f (x ), g (x ) 均在[a , b ]上连续，g (x ) >0, x ∈[a , b ]证明：∃ξ∈[a , b ]，使得
f (ξ)⎰g (x ) dx =⎰f (x ) g (x ) dx a a b b
二．罗尔定理的使用
【例4】：设函数f (x ) 在[0,3]上连续，在(0,3)上可导，且
f (0)+f (1)+f (2)=3, f (3)=1。试证明：必存在ξ∈(0,3)，使得f '(ξ) =0
【例5】：设函数f (x )在闭区间[0,3]上连续, 在开区间(0,3)内二阶可导, 且
2f (0) =⎰f (x ) dx =f (2)+f (3) 02
（1）证明存在η∈(0,2), 使得f (η) =f (0) （2）证明存在∃ξ∈(0,3)使得f '' (ξ)=0
【例6】：设f (x )在区间[a , b ]上具有二阶导数，且f (a )=f (b )=0, f ' (a )⋅f ' (b )>0试证明：存在ξ∈(a , b )和η∈(a , b )，使f (ξ)=0，及f '' (η)=0.
●小结：本题用到的理论知识有：1. 零点定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a ) 与f (b ) 异号(即f (a ) ⋅f (b )
2．函数极限的局部保号性定理：如果lim f (x ) =A , 且A >0(或A
x →x 0
3. 罗尔定理：如果函数f (x ) 满足(1) 在闭区间[a , b ]上连续；(2) 在开区间(a , b ) 内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等, 即f (a ) =f (b ) , 那么在(a , b ) 内至少有一点ξ(a
【例7】：设函数f (x ), g (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a ) =g (a ), f (b ) =g (b ) ，证明：存在ξ∈(a , b ) ，使得f ''(ξ) =g ''(ξ) .
三．辅助函数的构造
【例8】：设函数f (x )在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1，证明存在ξ∈(0,1)，使f ' (ξ)=1。 ⎝2⎭
●小结：辅助函数F (x ) 的构造是中值定理证明题中的难点，一般来说，由于都是对F (x ) 运用罗尔定理，最后得到的都是F '(ξ) =0，所以我们希望由F '(ξ) =0能整理成所需证明的等式，这里一个自然的想法就是把需要证明的等式两边相减，再求出其原函数即为F (x ) 。
【例9】：证明柯西中值定理：若f (x ) , g (x ) 满足：1) 在闭区间[a , b ]上连续；2) 在开区间(a , b ) 内可导, 且g '(x ) ≠0，则在开区间(a , b ) 内至少存在一点ξ, 使得f (b ) -f (a ) f '(ξ) =. g (b ) -g (a ) g '(ξ)
●小结：对于形式较为复杂的中值定理的证明，可以先将要证明的等式化简，化为容易积分的形式，再求原函数。
【例10】：假设函数f (x )和g (x )在[a , b ]上存在二阶导数，并且g '' (x )≠0，f (a )=f (b )=g (a )=g (b )=0，试证：
（1）在开区间(a , b )内，g (x )≠0； （2）在开区间(a , b )内至少存在一点ξ，使f (ξ)f '' (ξ) =g ξg '' ξ【例11】：设函数f (x )在[a , b ]上连续，开区间(a , b )内可导，并且f (a )=f (b ) =0，证明存在ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) +λf (ξ) =0。 【例12】：设f (x )在区间[0,1]上可微，且满足条件f (1)=2⎰1
2
0xf (x )dx ，试证：存在
ξ∈(0,1)，使f (ξ)+ξf ' (ξ)=0.
●小结：如果要证明存在ξ∈(a , b )使f (n ) (ξ) +P (ξ) f (n -1)(ξ)=0，统一的求辅助函数的
则可构造辅助函数F (x ) =e ⎰
【例13】：f (1)=P (x ) dx f (n -1) (x )。 21, f (2)=2，证明存在ξ∈(1,2)使f '(ξ) =f (ξ). （为了书写的简便2ξ
以后都默认f (x )具有所需的可导性与连续性）
【例14】：f (0)=0, k >1，证明存在ξ∈(0,1)使ξf '(ξ) +kf (ξ) =f '(ξ) .
【例15】：f (0)=f (1)=0, ，证明存在ξ∈(0,1)使f "(ξ) =
【例16】：设函数f (x )在区间2f '(ξ). 1-ξ[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1. 试证： ⎝2⎭
（1）存在η∈ ⎛1⎫,1⎪，使f (η)=η； 2⎝⎭
（2）对任意实数λ，必存在ξ∈(0, η)，使得f ' (ξ)-λ⎡⎣f (ξ)-ξ⎤⎦=1.
四．双中值问题
1. ξ, η具有轮换对称性或题目中明确要求ξ, η互不相同时
【例17】：设函数f (x ) 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导, 且f (0)=0, f (1)=, 证明：存在ξ∈(0,) , η∈(,1) , 使得f '(ξ) +f '(η)=ξ2+η2. 【例18】：已知函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f (0)=0，f (1)=1，证明： （I ）存在ξ∈(0, 1), 使得f (ξ) =1-ξ；
（II ）存在两个不同的点η1, η2∈(0, 1) ，使得f '(η1) f '(η2) =1. 131212
2. ξ, η不具有轮换对称性，题目中也未要求ξ, η互不相同
【例19】：设函数f (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，且f ' (x )≠0. 试证存在
f ' (ξ)e b -e a
-η=⋅e . ξ, η∈(a , b )，使得f ' ηb -a
●小结：
看到要证明的等式后，先不要管其中的a , b ，把所有ξ, η分别挪到等式的两端，分别凑成
【例20】：0
【例21】：0
ab f '(η) 。
a +b sin η=f '(ξ) 。 2cos ξ【例22】：0
2，证明：∃ξ, η∈(a , b ) 使得f '(η) tan
Ⅳ 测试成绩
在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
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模块八 中值定理证明
Ⅰ 教学规划
【教学目标】
1、理解各类中值定理的基本内容，掌握必要的定理证明
2、总结中值定理部分基本的命题方向和特点，训练针对性、系统化的证明思路
【主要内容】
1、基本定理：闭区间上连续函数的性质，微分中值定理、积分中值定理
2、对连续函数性质的考查
3、罗尔定理的使用
4、辅助函数的构造
5、双中值问题
【重难点】
1、各类中值定理证明题型的证明思路和技巧
Ⅱ 知识点回顾
一．连续函数的性质
1．最值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则f (x ) 在[a , b ]上能够取到最大值与最小值，即∃ξ, η∈[a , b ],使得f (ξ) =max{f (x )},f (η) =min{f (x )} a ≤x ≤b a ≤x ≤b
2．介值定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，M 和m 分别为f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值，若c 满足m ≤c ≤M , 则∃ξ∈[a , b ],使得f (ξ) =c
3．零点存在定理
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) f (b )
二．微分中值定理
1．罗尔定理
如果函数f (x ) 满足：
（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间(a , b ) 上可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f (a ) =f (b ) ；那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
2．拉格朗日中值定理
如果函数f (x ) 满足（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间(a , b ) 上可导；那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
3．柯西中值定理
如果函数f (x ) 和g (x ) 满足（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间(a , b ) 上可导；
（3）对任意的x ∈(a , b ) ，g '(x ) ≠0；那么在(a , b ) 内至少存在一点ξ(a
三．积分中值定理：
设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则在积分区间[a , b ]上至少存在一点ξ使得下式成立：
⎰
Ⅲ 考点精讲 b a f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
一．对连续函数性质的考查
【例1】：f (x ) 在[0,1]上连续，满足对任意x ∈[0,1]有f (x ) ∈(0,1)，证明：∃ξ∈(0,1)使f (ξ) =ξ
【例2】：f (x ) 在[a , b ]上连续，a ≤x 1≤x 2≤ ≤x n ≤b ，证明：∀c 1, c 2 c n >0，∃ξ∈[x 1, x n ]，使f (ξ)=c 1f (x 1)+... +c n f (x n )
c 1+... +c n
ξ) =A ，●小结：本题的重要意义：（1）方法上，要证明∃ξ∈[a , b ],使得f (则首先设出f (x )
在[a , b ]上的最值m , M ，再证明A ∈[m , M ]即可
（2）结论上，本题的结论对∀c 1, c 2 c n >0都是成立的，特别的当c i =1时的结论，即f (x 1)+... +f (x n )=nf (ξ), ξ∈[x 1, x n ]，该结论要记住，在微分中值定理的相关证明中可以直接应用。
【例3】：f (x ), g (x ) 均在[a , b ]上连续，g (x ) >0, x ∈[a , b ]证明：∃ξ∈[a , b ]，使得
f (ξ)⎰g (x ) dx =⎰f (x ) g (x ) dx a a b b
二．罗尔定理的使用
【例4】：设函数f (x ) 在[0,3]上连续，在(0,3)上可导，且
f (0)+f (1)+f (2)=3, f (3)=1。试证明：必存在ξ∈(0,3)，使得f '(ξ) =0
【例5】：设函数f (x )在闭区间[0,3]上连续, 在开区间(0,3)内二阶可导, 且
2f (0) =⎰f (x ) dx =f (2)+f (3) 02
（1）证明存在η∈(0,2), 使得f (η) =f (0) （2）证明存在∃ξ∈(0,3)使得f '' (ξ)=0
【例6】：设f (x )在区间[a , b ]上具有二阶导数，且f (a )=f (b )=0, f ' (a )⋅f ' (b )>0试证明：存在ξ∈(a , b )和η∈(a , b )，使f (ξ)=0，及f '' (η)=0.
●小结：本题用到的理论知识有：1. 零点定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a ) 与f (b ) 异号(即f (a ) ⋅f (b )
2．函数极限的局部保号性定理：如果lim f (x ) =A , 且A >0(或A
x →x 0
3. 罗尔定理：如果函数f (x ) 满足(1) 在闭区间[a , b ]上连续；(2) 在开区间(a , b ) 内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等, 即f (a ) =f (b ) , 那么在(a , b ) 内至少有一点ξ(a
【例7】：设函数f (x ), g (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a ) =g (a ), f (b ) =g (b ) ，证明：存在ξ∈(a , b ) ，使得f ''(ξ) =g ''(ξ) .
三．辅助函数的构造
【例8】：设函数f (x )在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1，证明存在ξ∈(0,1)，使f ' (ξ)=1。 ⎝2⎭
●小结：辅助函数F (x ) 的构造是中值定理证明题中的难点，一般来说，由于都是对F (x ) 运用罗尔定理，最后得到的都是F '(ξ) =0，所以我们希望由F '(ξ) =0能整理成所需证明的等式，这里一个自然的想法就是把需要证明的等式两边相减，再求出其原函数即为F (x ) 。
【例9】：证明柯西中值定理：若f (x ) , g (x ) 满足：1) 在闭区间[a , b ]上连续；2) 在开区间(a , b ) 内可导, 且g '(x ) ≠0，则在开区间(a , b ) 内至少存在一点ξ, 使得f (b ) -f (a ) f '(ξ) =. g (b ) -g (a ) g '(ξ)
●小结：对于形式较为复杂的中值定理的证明，可以先将要证明的等式化简，化为容易积分的形式，再求原函数。
【例10】：假设函数f (x )和g (x )在[a , b ]上存在二阶导数，并且g '' (x )≠0，f (a )=f (b )=g (a )=g (b )=0，试证：
（1）在开区间(a , b )内，g (x )≠0； （2）在开区间(a , b )内至少存在一点ξ，使f (ξ)f '' (ξ) =g ξg '' ξ【例11】：设函数f (x )在[a , b ]上连续，开区间(a , b )内可导，并且f (a )=f (b ) =0，证明存在ξ∈(a , b ) 使得f '(ξ) +λf (ξ) =0。 【例12】：设f (x )在区间[0,1]上可微，且满足条件f (1)=2⎰1
2
0xf (x )dx ，试证：存在
ξ∈(0,1)，使f (ξ)+ξf ' (ξ)=0.
●小结：如果要证明存在ξ∈(a , b )使f (n ) (ξ) +P (ξ) f (n -1)(ξ)=0，统一的求辅助函数的
则可构造辅助函数F (x ) =e ⎰
【例13】：f (1)=P (x ) dx f (n -1) (x )。 21, f (2)=2，证明存在ξ∈(1,2)使f '(ξ) =f (ξ). （为了书写的简便2ξ
以后都默认f (x )具有所需的可导性与连续性）
【例14】：f (0)=0, k >1，证明存在ξ∈(0,1)使ξf '(ξ) +kf (ξ) =f '(ξ) .
【例15】：f (0)=f (1)=0, ，证明存在ξ∈(0,1)使f "(ξ) =
【例16】：设函数f (x )在区间2f '(ξ). 1-ξ[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1. 试证： ⎝2⎭
（1）存在η∈ ⎛1⎫,1⎪，使f (η)=η； 2⎝⎭
（2）对任意实数λ，必存在ξ∈(0, η)，使得f ' (ξ)-λ⎡⎣f (ξ)-ξ⎤⎦=1.
四．双中值问题
1. ξ, η具有轮换对称性或题目中明确要求ξ, η互不相同时
【例17】：设函数f (x ) 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导, 且f (0)=0, f (1)=, 证明：存在ξ∈(0,) , η∈(,1) , 使得f '(ξ) +f '(η)=ξ2+η2. 【例18】：已知函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f (0)=0，f (1)=1，证明： （I ）存在ξ∈(0, 1), 使得f (ξ) =1-ξ；
（II ）存在两个不同的点η1, η2∈(0, 1) ，使得f '(η1) f '(η2) =1. 131212
2. ξ, η不具有轮换对称性，题目中也未要求ξ, η互不相同
【例19】：设函数f (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，且f ' (x )≠0. 试证存在
f ' (ξ)e b -e a
-η=⋅e . ξ, η∈(a , b )，使得f ' ηb -a
●小结：
看到要证明的等式后，先不要管其中的a , b ，把所有ξ, η分别挪到等式的两端，分别凑成
【例20】：0
【例21】：0
ab f '(η) 。
a +b sin η=f '(ξ) 。 2cos ξ【例22】：0
2，证明：∃ξ, η∈(a , b ) 使得f '(η) tan
Ⅳ 测试成绩
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