平均值及有关的不等式

襄樊学院2010届本科生毕业论文 论文题目：院 系：专 业：班 级： 平均值及有关的不等式

数学与计算机科学学院

信息与计算科学

信息0711班

材

料 清 单

一、毕业论文

二、毕业设计任务书

三、毕业设计开题申请表

四、毕业设计开题报告正文

平均值及有关的不等式

摘 要：随着信息时代的发展，许多行业对于数学的要求也越来越高，而平均值及有关的不等式属于数学学习中一个不可或缺的环节，它也是贯穿整个数学脉络的重要分枝。不等式具有形式复杂，证明方法多样的特点，初等数学中学过比较法、分析法、反证法、数学归纳法等证明方法，而本文着重于研究和探讨在数学分析学习过程中遇到的一些常见的不等式类型，联系所学的定理和结论列举几种常见的不等式证明的方法，并结合典型例题重点分析解题思路和技巧，给出各类不等式证明方法所适用的条件，同时也综合分析了各类不等式证明方法的运用的广泛性、延展性和灵活性，旨在帮助同学们归纳和总结在数学分析的学习过程中遇到的一些不等式证明的解决思路和办法。

关键词：平均值；不等式；单调性；泰勒公式；中值定理

Inequalities In Several Ways

Abstract: Along with the development of information era, the requirements of mathematics are increasingly high in many industries, but the proof of inequality belongs to one of the indispensable mathematical learning, it also links throughout the mathematics is an important branch of the context. Inequality has form complex characteristics of various methods, and prove elementary mathematics, comparison and analysis, have learned as required, mathematical induction method, and this paper proved to research and explore the learning process in mathematical analysis of some common types of inequality, the theorem and conclusion enumerated learned several common inequality proof of typical examples, and problem solving skills and ideas on analysis of inequality proof, the applicable conditions, the method of comprehensive analysis is also a way of an inequation, ductility and flexibility of universality, aims to help students in mathematical analysis and summary of the learning process encountered some inequalities proved the solution and the solution.

Key words: Inequality ; Monotonicity ; Taylor’s formula ; Mean value theorem

目 录

1 引言 .......................................................................................................................................... 1 2 根据函数图形特征证明不等式 ........................................................................................ 2

2.1 利用函数单调性证明不等式 .................................................................................. 2 2.2 根据凸函数的性质证明不等式 ............................................................................. 3 2.3 利用函数的最值证明不等式 .................................................................................. 5 3 利用中值定理证明不等式 ................................................................................................. 7

)中值定理证明不等式 ................................................................ 7 3.1 微分(Lagrange

3.2 利用积分第二中值定理证明不等式 ............................................................................. 9 4 利用泰勒（Taylor）公式证明不等式......................................................................... 11

4.1 用Taylor公式证明不等式................................................................................... 11 4.2 用Taylor公式作导数的中值估计 .................................................................... 12 5 利用一些著名的不等式结论证明不等式 .................................................................... 14

5.1 利用柯西（Cauchy）-施瓦茨（Schwarz）不等式证明不等式 ................................ 14

5.2 利用Jensen(琴森)不等式证明不等式 ............................................................ 15 5.3 利用H ölder不等式证明不等式 ....................................................................... 17 6 小结 ........................................................................................................................................ 19 致 谢 ........................................................................................................................................... 21

1 引言

不等式作为一个重要的的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位，而它又是数学分析中经常遇到而又比较困难的问题之一，而且在数学分析中处理极限问题、积分极限等方面起着特殊的作用。由于不等式是讨论数量大小的，而这种数量或函数之间大小关系的比较能更广泛地显示出变量之间相互制约的关系，从而便于进一步研究、估计函数变化状态。

我们所学的数学分析主要是用极限概念来解决问题，而极限概念是用不等式定义的，它是描述某一序列或函数在变化的过程中“某一时刻”此后“无限接近”，“无限增加”或“摇摆不定”等情况。选用某些具体的量相等的关系是无法描述的只有用不等式才能反映出“某一时刻”以后函数的变化状态。恰当合理地应用一些不等式在数值估计方面会达到事半功倍的效果，从而让一些定理和结论的证明过程得到简化，且清晰明了地展现在读者面前[1]。

关于不等式证明的方法有很多，其中包括初等数学中学过的比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等证明方法，而在高等数学的学习过程中我们所接触到的多为形式复杂的不等式，这就需要我们应用高等数学中学到的微积分等知识来解决我们所遇到的问题。本文就着重于研究和探讨数学分析学习过程遇到的一些常见的不等式类型，并进行归纳和总结这些不等式证明的方法和步骤。

下文我将从几个大方法的类型框架出发，通过阐明证明方法的原理和列举典型例题，逐一地讨论各个证明方法。

2 根据函数图形特征证明不等式

在初等数学的函数值的大小比较中，我们常常用到函数图像来直观的比较两个或者多个函数值之间的大小，这一点在高等数学中也是适用的。尽管我们不能像初等数学中那样将初等函数的图像形象直观的绘画出来，但是通过函数图像在定义域内的某一个区间内具有的某一些特征，我们同样可以通过抽象的不等式的形式来表达两个函数值之间的大小比较。

对于这一类的不等式的证明，他们在形式上有很明显的特征性，也即是不等式两边是同一函数的不同函数值的表达式，或是不等式两边“形似”，但又不完全相同。

2.1 利用函数单调性证明不等式

定义1：设f(x)在（a, b）内有定义，任取x1,x2(a,b)且x1＜x2，如有f(x1)≤f(x2)则称f(x)在（a, b）单调增加，如有f(x1)≥f(x2)则称f(x)在（a, b）内单调减少.

判定单调性的方法[2]：如f(x)在（a, b）内的导数f(x)＞0，则f(x)在（a,

b）内单调增加；如导数f(x)＜0，则f(x)在（a, b）内单调减少. 从单调性的定义可以看出，若构造不成调性进行判定证明.

2.1.1 直接利用函数的单调性

f(b)f(a)

的形式，则可利用函数的单

ba

[例1] 证明

ab1ab



a1a



b1b

1xx

f(')x0f(x)证明：记f(x)，则 ， 严格单调递增。2

1()x1x1x

于是，由abab知

ab1ab



ab1ab



a1ab



b1ab



a1a



b1b

。

要点：若f'(x)0或（f'(x)0），则x1x2时，有f(x1)f(x2)（或

f(x1)f(x2)），由此可获得不等式。

2.1.2 利用函数单调极限证明不等式

tx

[例2] 证明x0，tx时，e(1)0

x

t

证明：当t

0或tx时，不等式自明。只须证明x0，tx 、tx的

tx

情况。为此，只须证明 当x单调递增趋于时，f(x)(1)单调递增趋

x

于et即可：事实上， 1）当x0，t

0，tx 时

txtt

[lnf(x)]'[ln(1)]'[xlnln(1)]'xln(xt)lnx(应用

xxxt

t

拉格朗日公式) （当0tx时，0xtx ；

xt

当t

t

0时，0xxt）

tt0 

xtxt

txtx

2）lim(1)lim[(1)t]tet

xxxx

tx

故 当x单调递增趋于时，(1)单调递增趋于et。

x

2.2 根据凸函数的性质证明不等式[3]

定义2：设f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：

x1,x2I，(0,1) ，有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)，

则函数称之为凸函数（若“”改成“”）则称之为凹函数（或严格凹函数）。

归结到一般的形式：f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2I，有f(数）即

x1x2f(x1x2))（或为“

1

时的特殊情况。 2

推广到多个点的情况[4]：f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2,,xnI，有

f(

x1x2xn

) f(x1)f(x2)f(xn)，式中“”改为“

nn

xy

2

是严格凸的定义。 [例3] 证明，当xy时，有e

1xy

＜(ee)。 2

证明：由于在所证明的不等式中有

e

xy2

的形式，因此可用函数的凹凸性证明，

为此，令f(t)et，则f(t)et＞0，于是函数f(t)et为凹函数，从而对任何x,y有

xy1f＜f(x)f(y)22

即 e

xy

2

(xy) .

1xy(ee) . ＜2

注：本例可以推广到如下的不等式，即

e

x1x2xn

n

1x1xnx2

eee＜n

 .

[例4] 证明：当x1，x2，„，xn均匀正数时有

x1x2xn≥x1x2xn

n

证明：因为在不等式的左边出现了乘积x1，x2，„，xn，因此，我们两边取对

x1x2xn

数变成和的形式，即欲证

n

ln

≥x1x2xn

，只须证明

x1x2xn

≥lnx1x2xn ，

n

1x1x2xn

即证： ln≥lnx1lnx2lnxn

nn

于是，可令

f(t)lntt＞0，则有

1

＜0 （t＞0） t2

可见f(x)为凸函数，由凸函数的定义可知有

xx2xn1f1≥f(x1)f(xn)

nn f(t)

1x1xn

≥lnx1lnxn nn

x1xn或 ≥x1x2xn

n

即有 ln

xyf或要点：如在不等式的证明中出现了形如

2

xx2xnf1的形

n

式，可用函数凹凸性来证明。另外函数凹凸性的判定：如f(x)在（a, b）内的二阶导数f(x)＞0，则函数f(x)为凹函数，如f(x)＜0，则函数f(x)为凸函数

[5]

。

2.3 利用函数的最值证明不等式

定义3：令f(x)在区间[b,a]上连续，则f(x)在区间[b,a]存在最大值M和最小值m，那么：mf(x)M [例5] 设1x1, 证明

12

p1

xp(1x)p1,

(p1)

证明： 令f(x)xp(1p)p,

x[0,1]，

1

， 2

由f(x)pxp1p(1x)p10，得xp1(1x)p1，惟一的驻点x又因为f(0)f(1)1,f(2)最大值，所以，

12p1

，其中

12p1

和1是f(x)在[0，1]上的最小值和

12

p1

xp(1x)p1,

故得证。

要点：上例中的辅助函数在所讨论区间上不是单调函数，证明的基本方法是： (1)欲证当axb时，有f(x)0，则只需证明f(x)在区间(a,b)内的最小值

f(x0)0；

(2)欲证axb时，则只需证明在区间(a,b)内的最大值f(x0)0，从而可推出要证的不等式。

3 利用中值定理证明不等式

我们通常所说的中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分，而微分中值定理中又包括：罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、和柯西（Cauchy）中值定理等，其实这几个中值定理的原理大致相同，我就列举具有代表性和广泛地应用性的拉格朗日（Lagrange）中值定理进行阐述，当然另外两个定理也有它们的应用条件，我在这里就不一一列举。但是积分中值定理在不等式证明中不如微分中值定理运用得广泛，现列举积分第二中值定理的运用进行阐述。

)中值定理证明不等式 3.1 微分(Lagrange

拉格朗日中值定理[6]：若f(x)满足以下条件: (1) f(x)在闭区间[a,b]内连续；(2) f(x)在开区间(a,b)上可导。则 x1,x2[a,b] ，(x1,x2)，使得

f(x2)f(x1)

f'()

x2x1

[例6] 设f(x)在[a,b]上连续可导,且f(a)f(b)0,则

4

f(x)axb(ba)2

'

axb



b

a

f(x)

证明 ：设Mmaxf'(x)则由中值公式,当x(a,b)时,有

f(x)f(a)f(1)(xa)f(1)(xa) f(x)f(b)f(2)(xb)f(2)(xb)

其中1(a,x),2(x,b).由此可得

f(x)M(xa)f(x)M(bx)

所以

ab2aab2a



b

a

f(x)dxf(x)dxabf(x)dx

2

b

　　　　　M(xa)dxabM(bx)dx

2

b

M(ba)2　　　　　

4

即

M

4(ba)2



b

a

f(x)dx

所以 maxf(x)

axb

4(ba)2



b

a

f(x)

要点：对于不等式中含有f(b)f(a)的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理以下。 [例7][7] 设

f(x)

在(0,)上单调下降，可微，如果当x(0,)时，

0f(x)f'(成立，则当)0x1时，必有xf(x)

11

f(). xx

11

f()f()

分析: 目标在于证明(0,1)内 x2 或 ln2lnx

f(x)f(x)

事实上,因为

f(x)单调递减，f'(x)0 有 f'(x)f'(x) .

1

f()

1f'()1

lnlnf()lnf(x)(x) (此步根据拉格朗日中值定理得来) (1) f(x)xf()x

1

) 又由于当0x1时, 设g(x)x2lnx，则有g(1

x

12(x1)2

g'(x)120 2

xxx

即 g(x)单调递增. 因此当0

故得出结论x

x1时，g(x)0

1

2lnx。注意到0f(x)f'(x)f'(x), x

f'(x)1

1, x0(当0x1时) f(x)x

即可得知（1）式x

1

2lnx 。 x

要点:(1)若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在(a,b)，使得

f(x)f(a)f'()(xa)。故当f(x)0, (a,b)内f'(x)0时有

f(x)(0x[a,b])。

f(b)f(a)

f'(),其中ab。 因此,若(2)在上述条件下,有

ba

f'(x)单调递增时,有f'(a)

f(b)f(a)

f'(b)成立。

ba

3.2 利用积分第二中值定理证明不等式

积分第二中值定理[8]：设函数f在[a,b]上是可积函数， (1)若函数g在[a,b]上减，且g(x)

0，则存在[a,b],使得



b

a

f（x）g(x)dxg(a)f(x)dx；

a



(2)若函数g在[a,b]上增，且g(x)0，则存在

[a,b],使得



b

a

f（x）g(x)dxg(b)f(x)dx。



x1

b

[例8] 设f(x)

x

1

sintdt,则x0时 ,f(x)。

x

2

证明：令t,则由积分第二中值定理

f(x)

又因为



x1

x2

du1sinu22x2





x2

sinudu

f(x)2

x

(x1)2

sinu

du2

(x1)21(x1)2cosudu11

　　＝cosu2322x22ux111(x1)2cosudu22　　＝cosxcos(x1)2

2x2(x1)4xu2

于是,x0时，有

3

2

111

f(x)

2x2(x1)4　　＝



(x1)2

x2

udu



111111()2x2(x1)2x1xx

要点：由上可见利用中值定理证明不等式,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中值定理写出不等式,从而进行证明。

4 利用泰勒（Taylor）公式证明不等式

泰勒公式在不等式证明的运用中是十分广泛的，不论是在微分领域还是在积分领域。由于泰勒公式的表达式是某一函数在某一个点上的展开式，在有限项展开式中，函数值始终是大于或小于展开式的值的，这就涉及到不等式的运用。而且被展开的函数要求具备有n阶导数，即可n次求导，在这一点上可微和可积的性质就得到了很好的体现，也充分展现了它在微积分中的广泛运用。 4.1 用Taylor公式证明不等式

Taylor定理：若函数

f(x)在含有x0的某区间有定义,并且有直到(n1)阶

(n)

的各阶导数,又在点x0处有n阶的导数f

(x0),则有公式

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)Rn(x)

1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)0(或Rn(x)0),则可得

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2

f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)

1!2!n!

或

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2

f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)

1!2!n!

[例9] 设

f(x)在[a,b]上二次可微，f''(x)0。试证：

n

n

n

ax1x2xnbki0 ki1，有f(kixi)kif(xi)。

i1

i1

i1

证明 ：取x0

kixi，将f(xi)在xx0处展开。

i1

n

f(xi)f(x0)f'(x0)(xix0)

1

f''(i)(xix0)2 2

f(x0)f'(x0)(xix0) (i1,2,,n)

以ki乘以此式两端，然而n个不等式相加，注意

k

i1

n

i

1

k(xx)kxx

i

i

ii

i1

i1

nn

0

得

kf(x)f(x)f(kx)

i

i

ii

i1

i1

nn

[例10][9] 证明:

x2x3

ln(1x)x,　　(1x1).

23

1x)　（1x1) 证明： 设f(x)ln(

则，f(x)在x0处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式

x2x3x4

ln(1x)x　　　(11) 4

234(1)

x4

0 4

4(1)

x2x3

　ln(1x)x. 故得证.

23

要点：

(1)由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点

x0，并在x0处展开,然后判断余项Rn(x)的正负,从而证明不等式。

(2)若f(x)在[a,b]上有连续的n阶导数，且f(a)f'(a)f(n1)(a)0

f

(n)

f(n)()

(x)0（当x[a,b]时）则f(x)。 (xa)n0 （当x[a,b]时）

n!

(3)如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。

4.2 用Taylor公式作导数的中值估计

[例11] [10]若f(x)在[a,b]上有二阶导数. f'(a)f'(b)0 试证：(a,b)，使得，(a,b) f''()

4

f(b)f(a) 2

(ba)

证明：应用Taylor公式，将 f(

ab

) 分别在a、b点展开。 2

注意 f'(a)f'(b)0，,：a

ab

b 使得 2

f(

ab1ba2

)f(a)f''()() （1） 222 f(

ab2)f(b)12f''()(ba2

2

) （2）-（1）得

f(b)f(a)1

8

[f''()f''()](ba)20

故

4f(b)f(a)(ba)1

2

2

(f''()f''())f



当f''()f''()时



当f''()f''()时

（2）

5 利用一些著名的不等式结论证明不等式

在不等式证明中，我们还会常常用到一些著名不等式，这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法也是十分经典的。由于这些不等式都经过前人的证明，我们可以直接搬用这些不等式，当做定理或结论，直接运用于不等式的证明当中去，为我们的证明过程带来了方便。

5.1 利用柯西（Cauchy）-施瓦茨（Schwarz）不等式证明不等式

[11]

柯西不等式：设

ai,bi

2n,），则为任何实数（i1,

(aibi)ai

2

i1

i1

nn

2

2

bi i1

n

其中等号当且仅当ai和bi成比例时成立。

施瓦茨不等式[12]：若f(x),g(x)在[a,b]上可积，则

b

b

b



a

f(x)g(x)dx)2f(x)2dxag(x)2dx

a

a

ba

[例12] 已知f(x)0，在[a,b]上连续，f(x)dx1，k为任意实数，求证：

(



b

a

f(x)coskxdx)(f(x)sinkxdx)21 （3）

2

a

b

证明： （3）式左端第一项应用Schwarz不等式

(f(x)coskxdx)[

a

b

2

a

kxdx]2

b

f(x)dxf(x)cos2kxdx

a

a

ba

b

同理

f(x)cos2kxdx （4）

(f(x)sinkxdx)f(x)sin2kxdx （5）

a

a

b

2

b

由（4）+（5）即可得到（3），故得证。

柯西一施瓦不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，既方便又快捷。 5.2 利用Jensen(琴森)不等式证明不等式

Jensen(琴森)不等式[13]：若函数f(x)在(a,b)内是凸(或凹)函数时,对

x1,x2,,xn(a,b)及



i1

n

i

1,有

nnnn

fixiif(xi)　　或fixiif(xi)　 i1i1i1i1

等号当且仅当x1x2xn时成立。 [例13] 证明下列不等式

a1a2an

a1a2an　　(ai0,i1,2,n)

111na1a2an

n

n

分析：上式只要能证明

n

a1a2an

a1a2an　　(ai0,i1,2,n),

n

如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会复杂.而这里的ai可以看作是同一函数的多个不同函数值,设f(x)lnx，那么，可以用Jensen不等式来证明它.然后只要令f(x)ln

1

,同理可x

n

111a1a2an

a1a2an　。

(x0) 证明： 令f(x)lnx　　

因为 f(x)

1

0,所以f(x)在(0,)是凹函数。 2x

则对a1,a2,,an(0,)有

11

f(a1a2an)f(a1)f(a2)f(an) nn

11

即 ln(a1a2an)lna1lna2lnan

nn

又因为

1

lna1lna2lnanlna1a2an n

所以 a1a2an令 f(x)ln

1

, 则同理可得

1x

a1a2an

n

n

11a2an

a1a2an　

a1

所以

n

111

a1a2an

a1a2an

a1a2an

　　(ai0,i1,2,n)

n

[例14] [14] 设f(x)二次可微,且对一切x,有f(x)0,而u(t)在[0,a]上连续,则

1a1a

f[u(t)]dtf[0u(t)dt] 0

aa

分析：上述不等式在形式上很像Jensen不等式,且当t取不同的值时,f[u(t)]就是同一函数的不同函数值,则可以用琴森不等式进行证明. 证明：由f(x)及u(t)的连续性,保证了可积性.并且

1a1n1Ka1a1n1Ka

f[u(t)]dtlimf[u()]u(t)dtlimu() 0nnnnana0nK0K0

因f(x)0,故f(x)为凸函数,在Jensen不等式

f(q1x1q2x2qnxn)q1f(x1)qnf(xn) (q1,q2,,qn均为正，且q1q2qn1)

中,取

xiu(

i11

a),　　qi　　（i1,2,3,n） nn

即得

1n1Ka1n1Ka

f[u()]f[u()] nK0nnK0n

由f(x)的连续性,在上式取n即得所要证的结论。

由以上证明可知应用Jensen不等式证明不等式,首先是构造适当的函数并判断它的凹凸性,然后用Jensen不等式证明之。 5.3 利用H ölder不等式证明不等式

H ölder不等式

[15]

11

(i1,2,,n). k,k'1，：设ai,bi0，

kk'

则，当k1（从而k'1）时，

ab(a

iii1

i1n

iii1

nn

i

1kk

)(bi)

i1i1kk

n

n

1k'k'

1k'k'

当k1，k0（从而k'1）时，

ab(a

i1

n

)(bi)

i1

kk'

n,)]其中等号当且仅当ai与bi成比例[,不全为零使aibi(i1,2,时

成立。

H ölder不等式积分形式：设f(x),g(x)0，并使得所讨论的积分有意义，

k,k'0,1为共轭实数（

b

11

，则 1）

kk'

b

k

1k

b

k'

1k'

a

a

当k1时，



a

f(x)g(x)dx(f(x)dx)(g(x)dx)

当k1时，



b

a

f(x)g(x)dx(f(x)dx)(g(x)dx)

a

a

b

k

1k

b

k'

1k'

若f(x),g(x)连续，则其中的等号当且仅当

fk(x),gk'(x)成比例（即

使得fk(x)gk'(x),x[a,b]）时成立。 fk(x),gk'(x),不全为零，[例 15] 试证明



证明：令xt于是原式左端





xasinxdx2acosxdx

3

4

(a0) .



2

，







xasinxdx2acostdt,

o







cosx



cosx

xa

sinx

dx2a

0dx2a

odx2acosxdx（应用推论1）



[2a

cosxcosx

22

dx]

2

2

4



3

4

要点：对于这类利用H ölder不等式证明不等式的题目，最大的特点就是条件

11

1，如果发现了结论中幂级数的这一特点，证明起来也是非常容易的，kk'

只要我们牢牢掌握这些不等式的结论，熟悉他们的变形过程和步骤，运用起来时就会得心应手的。这为我们不等式证明降低了难度，并简化了证明过程。

6 小结

不等式作为数学领域的一个重要版块, 在数学的各个领域都起着十分重要的作用。不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位，因此不等式的证明及其应用在数学问题的学习和研究中显得尤为重要，不可轻视。

以上我列举了数学分析当中一些不等式证明的方法，具体通过列举根据函数图形、中值定理、泰勒公式、著名不等式证明不等式方法四个大的方向，并在这些方向的特征下，细化成一些具有代表性的子方法，通过给出它们的定义或定理为读者罗列出这些知识点的证明原理，并通过列举一些典型的具有代表性的例题为读者清晰地展现出各个方法的运用过程和步骤。

不等式的证明当然不仅仅局限于我所列举和归纳的这些，由于本人的水平有限，论证的过程难免会有不全面性和不完善性，还望批评指出。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系.《高等数学》[M].北京:高等教育出版社，2006:126-152 [2] 华罗庚.《高等数学引论》[M].北京:科学出版社,1981:128-137

[3] 陈文灯,黄先开.《考研数学复习指南》[M].北京:世界图书出版公司，2006：233-246 [4] 余元希,田万海,毛宏初等德.《代数研究》[M]. 北京:高等教育出版社.2003 [5] 周美秀,杨志杰.不等式的证明[J].伊犁:伊犁教育学院学报.2003，124-125.

[6] 刘玉琏等.《数学分析讲义学习指导书》[M]北京：中国矿业大学出版社，2005:143-151 [7] 裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》[M].北京：高等教育出版社，2008:349-358 [8] 华东师范大学数学系.《数学分析》[M].北京：高等教育出版社，2006：119-144 [9] 周兴建.不等式证明的若干方法[J].重庆：中国科教创新导刊，2007：211

[10]陈卫忠，陆卫丰.高等数学中若干不等式的证明及推广[J].苏州：苏州职业大学学报，2007,：78-81

[11]尚肖飞，贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法[J].太原：太原教育学院学报，2002：35-37

[12]蔡宇泽.微积分在不等式证明中的几种采用[J].沙洲：沙洲职业工学院，2009:63 [13].宣立新.《高等数学》[M].北京：高等教育出版社，1999:116-117

[14]吉米多维奇.《数学分析习题集》[M].山东：山东科技出版社，2004:206-243 [15]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M]北京：机械工业出版社，2006:91-122

致 谢

在论文落笔的毕业那一刻，内心百感交集，就像是一份酸甜苦辣俱全的大餐，味道独特令人回味。大学四年的光阴也将在论文答辩结束后落下帷幕，是充实、快乐，还是空虚、懊悔？无论怎样，大学生活都将是人生课堂里的重要一课，点点滴滴都值得去深刻体会。

从开始毕业论文题目的定题到最后整理初稿准备定稿历时半年，这其中离不开老师和同学们的悉心指导和热情帮助。

首先，我要感谢我的指导老师王娟，从开题报告指导开始，她就多次询问我论文撰写情况和进度，并给予我许多宝贵的意见和建议。每一次上交的论文初稿她都认真仔细的批阅和修改，其间倾注了她大量的时间和心血。王老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，不仅授我以文，而且教我做人，让我终生受益无穷。在此谨向王老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

另外，我还要感谢那些帮助过我的同学，因为有了你们的关心和帮助，才使得我在撰写论文的过程中克服了困难和解决了难题，感谢你们对我的理解和支持，而你们也正是我生命中一笔宝贵的财富。

最后要感谢曾经给我授课的老师们，你们的每一句知识的传授都是构成我大学生活不可或缺的一部分，也正是这些充实了我知识的储备和积累。你们的每一句悉心教导，都让我在困境中学会成长，在逆风中学会飞翔。

大学生活即将结束，然而其中所学到的将会一辈子受用！

襄樊学院毕业论文（设计）任务书

毕业论文（设计）题目 平均值及有关的不等式 学生姓名 钟瑞淇 专业 信息与计算科学 班级 07125056 指导老师 池召艳

一、 毕业论文（设计）的主要内容：

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中有着举足轻重的地位。关于不等式证明的方法有很多，包括初等数学学过的比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、构造法等，该课题可以

从数学分析中的寻求证明不等式的若干方法。 二、 毕业论文（设计）应收集的资料及主要参考文献：

4. 王传荣，张云晓.不等式证明及应用[M].天津：天津科学技术出版社.1983. 5.李德本.微分中值定理的新证法[J].四平师范学院学报,1982,1

襄樊学院毕业论文（设计）开题申请表

内容1.研究目的和意义；2.阅读的主要文献、资料，分析国内外现状和发展趋势，提出本课题的主攻方向；3.主要研究内容、途径和技术路线；4.工作的主要阶段、进度及完成时间。

毕业论文开题报告 平均值及有关的不等式

专业：信息与计算科学0711班 学号：07125056 姓名：钟瑞淇

指导老师：池召艳

一、 研究目的和意义：

平均值及有关的不等式作为数学领域的一个重要版块, 在数学的各个领域都起着十分重要的作用。不等式证明方法作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位．如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何解决高等数学与中学数学脱节的现象，是高等院校在数学教学和学习中需要探讨解决的问题之一。如能在教学和学习中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓同学的视野，而且可使同学体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时，居高临下，驾轻驭熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系不等式的证明可分为推理性问题或探索性问题．推理性问题即是指在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有:1) 利用拉格朗日中值定理证明不等式; 2) 利用单调性,构造单调函数法证明不等式; 3)利用极值与最值证明不等式; 4) 利用泰勒中值定理证明不等式一般不等式或已知条件中含有一阶导数、二阶等高阶导数时可优先考虑使用此方法。许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题等等。

二、该领域的现状和发展趋势

随着信息时代的发展，在许多行业中对于数学的要求也越来越高，而不等式的证明属于数学学习中的一个不可或缺的环节，它也是贯穿整个数学脉络的重要分枝。不等式的证明和应用又是数学分析中经常遇到而又比较困难的问题之一，而且在数学分析中处理极限问题、积分极限等方面起着特殊的作用。由于不等式是讨论数量大小的，而这种数量或函数之间大小关系的比较能更广泛地显示出变量之间相互制约的关系，从而便于进一步研究、估计函数变化状态。

我们所学的数学分析主要是用极限概念来解决问题，而极限概念是用不等式定义的，它是描述某一序列或函数在变化的过程中“某一时刻”此后“无限接近”，

“无限增加”或“摇摆不定”等情况。选用某些具体的量相等的关系是无法描述的只有用不等式才能反映出“某一时刻”以后函数的变化状态。恰当合理地应用一些不等式在数值估计方面会达到事半功倍的效果，从而让一些定理和结论的证明过程得到简化，且清晰明了地展现在读者面前。 三、 主要研究内容及创新：

不等式的证明是数学分析中的一个常见问题, 其证明方法也多种多样,在各类考试中经常出现。但许多学生对此常常感到有些困难，现通过举例, 归纳了数学分析中常见的证明不等式的几种方法。

1 利用拉格朗日中值定理证明不等式该定理证明不等式的关键是构造适当的函数f(x)和闭区间[a,b]使得:

(1)要证不等式的一部分可写成

f(a)f(b)

或f(a)f(b);

ab

(2) f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,再把拉格朗日公式中f()的适当放大或缩小, 即可证出要证明的不等式。一般不等式为h(x)g(x)(x)或当不等式的某一部分能写成

f(a)f(b)

的形式时,可优先考虑使用此方法。

ab

2 利用单调性,构造单调函数法证明不等式如果证明不等式f(x)g(x) (在区间Ⅰ上),一般优先考虑使用此方法,其通常步骤为:

(1)构造函数F(x)f(x)g(x) (或F(x)

f(x)

); g(x)

(2)考察F(x)在区间上及其端点处的连续性;

(3)求出F(x)，由F(x)的符号判断F(x)；在相应区间上的单调性; 3 利用极值与最值证明不等式

对不等式f(x)A (或f(x)A ),(在区间Ⅰ上),这种方法关键是证明函数 在区间Ⅰ上有唯一的极小值且极小值大于等于A(或 有唯一的极大值且极大值小于等于A)。其步骤与单调函数法大致相同。

4 利用泰勒中值定理证明不等式一般不等式或已知条件中含有一阶导数、二阶等高阶导数时可优先考虑使用此方法。

若函数f(x)在含有x0的某区间有定义,并且有直到(n1)阶的各阶导数,又在点x0处有n阶的导数f(n)(x0),则有公式

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)Rn(x) 1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)0(或Rn(x)0),则可得

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n) 1!2!n!

或

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n) 1!2!n!

5 利用函数的凸性证明不等式。

凸函数是一类特殊函数，其定义为：

(1)设f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2I，(0,1) ，有f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)，则函数称之为凸函数（若“”改成“”）则称之为凹函数（或严格凹函数）。

（2）归结到一般的形式：f(x)在区间I上有定义，f

当且仅当：x1,x2I，有f(

数） 即(x)在I上称为是凸函数，x1x2f(x1x2))（或为“

由定义及数学归纳法可得下面结论：

f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2,,xnI，有

x1x2xnf() f(x1)f(x2)f(xn)，式中“”改为“

是严格凸的定义。

当然，不等式证明的这些方法不是完全独立的个体，它们之间既有联系又各具特点。许多不等式的证明过程可能会涉及到多种原理同时运用得以证明。由于不等式的证明具有很强的灵活性，因此该领域仍然具有很大的发展空间。

四、研究进度及完成时间

第4-6周 广泛查阅参考资料

在此期间通过学校图书馆和电子阅览室搜集一些与论文有关的书籍和期刊等参考资料，并进行整理和筛选。

第7周 撰写开题报告，包括文献综述、方案、计划进程等。

构建论文的大致框架和思路，撰写好开题报告，并整理文献综述，制定论文的撰写方案和计划进程，为论文做好初步准备。

第8-9周 撰写论文初稿

开始按照之前的论文的构架进行论文的撰写，并结合所收集的参考资料进行借鉴和引用论述，完成论文初稿。

第10-11周 修改论文初稿

将完成的论文初稿进行审阅，发现和修改初稿中所存在关于内容和论文格式的错误，并交给指导老师进行复查和批阅，对老师指出的不足和缺憾之处进行修改。

第12-13周 再次修改论文 再次对论文中的疏漏进行修改，并最终定稿。

第14周 打印、校对、装订论文

第15周 论文答辩

五、主要参考文献及资料

[1] 同济大学应用数学系.《高等数学》[M].北京:高等教育出版社，2006:126-152

[2] 华罗庚.《高等数学引论》[M].北京:科学出版社,1981:128-137

[3] 陈文灯,黄先开.《考研数学复习指南》[M].北京:世界图书出版公司，2006：233-246

[4] 余元希,田万海,毛宏初等德.《代数研究》[M]. 北京:高等教育出版社.2003

[5] 周美秀,杨志杰.不等式的证明[J].伊犁:伊犁教育学院学报.2003，124-125.

[6] 刘玉琏等.《数学分析讲义学习指导书》[M]北京：中国矿业大学出版社，2005:143-151

[7] 裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》[M].北京：高等教育出版社，2008:349-358

[8] 华东师范大学数学系.《数学分析》[M].北京：高等教育出版社，2006：119-144

[9] 周兴建.不等式证明的若干方法[J].重庆：中国科教创新导刊，2007：211

[10]陈卫忠，陆卫丰.高等数学中若干不等式的证明及推广[J].苏州：苏州职业大学学报，2007,：78-81

[11]尚肖飞，贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法[J].太原：太原教育学院学报，2002：35-37

[12]蔡宇泽.微积分在不等式证明中的几种采用[J].沙洲：沙洲职业工学院，2009:63

[13].宣立新.《高等数学》[M].北京：高等教育出版社，1999:116-117

[14]吉米多维奇.《数学分析习题集》[M].山东：山东科技出版社，2004:206-243

[15]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M]北京：机械工业出版社，2006:91-1

襄樊学院2010届本科生毕业论文 论文题目：院 系：专 业：班 级： 平均值及有关的不等式

数学与计算机科学学院

信息与计算科学

信息0711班

材

料 清 单

一、毕业论文

二、毕业设计任务书

三、毕业设计开题申请表

四、毕业设计开题报告正文

平均值及有关的不等式

摘 要：随着信息时代的发展，许多行业对于数学的要求也越来越高，而平均值及有关的不等式属于数学学习中一个不可或缺的环节，它也是贯穿整个数学脉络的重要分枝。不等式具有形式复杂，证明方法多样的特点，初等数学中学过比较法、分析法、反证法、数学归纳法等证明方法，而本文着重于研究和探讨在数学分析学习过程中遇到的一些常见的不等式类型，联系所学的定理和结论列举几种常见的不等式证明的方法，并结合典型例题重点分析解题思路和技巧，给出各类不等式证明方法所适用的条件，同时也综合分析了各类不等式证明方法的运用的广泛性、延展性和灵活性，旨在帮助同学们归纳和总结在数学分析的学习过程中遇到的一些不等式证明的解决思路和办法。

关键词：平均值；不等式；单调性；泰勒公式；中值定理

Inequalities In Several Ways

Abstract: Along with the development of information era, the requirements of mathematics are increasingly high in many industries, but the proof of inequality belongs to one of the indispensable mathematical learning, it also links throughout the mathematics is an important branch of the context. Inequality has form complex characteristics of various methods, and prove elementary mathematics, comparison and analysis, have learned as required, mathematical induction method, and this paper proved to research and explore the learning process in mathematical analysis of some common types of inequality, the theorem and conclusion enumerated learned several common inequality proof of typical examples, and problem solving skills and ideas on analysis of inequality proof, the applicable conditions, the method of comprehensive analysis is also a way of an inequation, ductility and flexibility of universality, aims to help students in mathematical analysis and summary of the learning process encountered some inequalities proved the solution and the solution.

Key words: Inequality ; Monotonicity ; Taylor’s formula ; Mean value theorem

目 录

1 引言 .......................................................................................................................................... 1 2 根据函数图形特征证明不等式 ........................................................................................ 2

2.1 利用函数单调性证明不等式 .................................................................................. 2 2.2 根据凸函数的性质证明不等式 ............................................................................. 3 2.3 利用函数的最值证明不等式 .................................................................................. 5 3 利用中值定理证明不等式 ................................................................................................. 7

)中值定理证明不等式 ................................................................ 7 3.1 微分(Lagrange

3.2 利用积分第二中值定理证明不等式 ............................................................................. 9 4 利用泰勒（Taylor）公式证明不等式......................................................................... 11

4.1 用Taylor公式证明不等式................................................................................... 11 4.2 用Taylor公式作导数的中值估计 .................................................................... 12 5 利用一些著名的不等式结论证明不等式 .................................................................... 14

5.1 利用柯西（Cauchy）-施瓦茨（Schwarz）不等式证明不等式 ................................ 14

5.2 利用Jensen(琴森)不等式证明不等式 ............................................................ 15 5.3 利用H ölder不等式证明不等式 ....................................................................... 17 6 小结 ........................................................................................................................................ 19 致 谢 ........................................................................................................................................... 21

1 引言

不等式作为一个重要的的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位，而它又是数学分析中经常遇到而又比较困难的问题之一，而且在数学分析中处理极限问题、积分极限等方面起着特殊的作用。由于不等式是讨论数量大小的，而这种数量或函数之间大小关系的比较能更广泛地显示出变量之间相互制约的关系，从而便于进一步研究、估计函数变化状态。

我们所学的数学分析主要是用极限概念来解决问题，而极限概念是用不等式定义的，它是描述某一序列或函数在变化的过程中“某一时刻”此后“无限接近”，“无限增加”或“摇摆不定”等情况。选用某些具体的量相等的关系是无法描述的只有用不等式才能反映出“某一时刻”以后函数的变化状态。恰当合理地应用一些不等式在数值估计方面会达到事半功倍的效果，从而让一些定理和结论的证明过程得到简化，且清晰明了地展现在读者面前[1]。

关于不等式证明的方法有很多，其中包括初等数学中学过的比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等证明方法，而在高等数学的学习过程中我们所接触到的多为形式复杂的不等式，这就需要我们应用高等数学中学到的微积分等知识来解决我们所遇到的问题。本文就着重于研究和探讨数学分析学习过程遇到的一些常见的不等式类型，并进行归纳和总结这些不等式证明的方法和步骤。

下文我将从几个大方法的类型框架出发，通过阐明证明方法的原理和列举典型例题，逐一地讨论各个证明方法。

2 根据函数图形特征证明不等式

在初等数学的函数值的大小比较中，我们常常用到函数图像来直观的比较两个或者多个函数值之间的大小，这一点在高等数学中也是适用的。尽管我们不能像初等数学中那样将初等函数的图像形象直观的绘画出来，但是通过函数图像在定义域内的某一个区间内具有的某一些特征，我们同样可以通过抽象的不等式的形式来表达两个函数值之间的大小比较。

对于这一类的不等式的证明，他们在形式上有很明显的特征性，也即是不等式两边是同一函数的不同函数值的表达式，或是不等式两边“形似”，但又不完全相同。

2.1 利用函数单调性证明不等式

定义1：设f(x)在（a, b）内有定义，任取x1,x2(a,b)且x1＜x2，如有f(x1)≤f(x2)则称f(x)在（a, b）单调增加，如有f(x1)≥f(x2)则称f(x)在（a, b）内单调减少.

判定单调性的方法[2]：如f(x)在（a, b）内的导数f(x)＞0，则f(x)在（a,

b）内单调增加；如导数f(x)＜0，则f(x)在（a, b）内单调减少. 从单调性的定义可以看出，若构造不成调性进行判定证明.

2.1.1 直接利用函数的单调性

f(b)f(a)

的形式，则可利用函数的单

ba

[例1] 证明

ab1ab



a1a



b1b

1xx

f(')x0f(x)证明：记f(x)，则 ， 严格单调递增。2

1()x1x1x

于是，由abab知

ab1ab



ab1ab



a1ab



b1ab



a1a



b1b

。

要点：若f'(x)0或（f'(x)0），则x1x2时，有f(x1)f(x2)（或

f(x1)f(x2)），由此可获得不等式。

2.1.2 利用函数单调极限证明不等式

tx

[例2] 证明x0，tx时，e(1)0

x

t

证明：当t

0或tx时，不等式自明。只须证明x0，tx 、tx的

tx

情况。为此，只须证明 当x单调递增趋于时，f(x)(1)单调递增趋

x

于et即可：事实上， 1）当x0，t

0，tx 时

txtt

[lnf(x)]'[ln(1)]'[xlnln(1)]'xln(xt)lnx(应用

xxxt

t

拉格朗日公式) （当0tx时，0xtx ；

xt

当t

t

0时，0xxt）

tt0 

xtxt

txtx

2）lim(1)lim[(1)t]tet

xxxx

tx

故 当x单调递增趋于时，(1)单调递增趋于et。

x

2.2 根据凸函数的性质证明不等式[3]

定义2：设f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：

x1,x2I，(0,1) ，有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)，

则函数称之为凸函数（若“”改成“”）则称之为凹函数（或严格凹函数）。

归结到一般的形式：f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2I，有f(数）即

x1x2f(x1x2))（或为“

1

时的特殊情况。 2

推广到多个点的情况[4]：f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2,,xnI，有

f(

x1x2xn

) f(x1)f(x2)f(xn)，式中“”改为“

nn

xy

2

是严格凸的定义。 [例3] 证明，当xy时，有e

1xy

＜(ee)。 2

证明：由于在所证明的不等式中有

e

xy2

的形式，因此可用函数的凹凸性证明，

为此，令f(t)et，则f(t)et＞0，于是函数f(t)et为凹函数，从而对任何x,y有

xy1f＜f(x)f(y)22

即 e

xy

2

(xy) .

1xy(ee) . ＜2

注：本例可以推广到如下的不等式，即

e

x1x2xn

n

1x1xnx2

eee＜n

 .

[例4] 证明：当x1，x2，„，xn均匀正数时有

x1x2xn≥x1x2xn

n

证明：因为在不等式的左边出现了乘积x1，x2，„，xn，因此，我们两边取对

x1x2xn

数变成和的形式，即欲证

n

ln

≥x1x2xn

，只须证明

x1x2xn

≥lnx1x2xn ，

n

1x1x2xn

即证： ln≥lnx1lnx2lnxn

nn

于是，可令

f(t)lntt＞0，则有

1

＜0 （t＞0） t2

可见f(x)为凸函数，由凸函数的定义可知有

xx2xn1f1≥f(x1)f(xn)

nn f(t)

1x1xn

≥lnx1lnxn nn

x1xn或 ≥x1x2xn

n

即有 ln

xyf或要点：如在不等式的证明中出现了形如

2

xx2xnf1的形

n

式，可用函数凹凸性来证明。另外函数凹凸性的判定：如f(x)在（a, b）内的二阶导数f(x)＞0，则函数f(x)为凹函数，如f(x)＜0，则函数f(x)为凸函数

[5]

。

2.3 利用函数的最值证明不等式

定义3：令f(x)在区间[b,a]上连续，则f(x)在区间[b,a]存在最大值M和最小值m，那么：mf(x)M [例5] 设1x1, 证明

12

p1

xp(1x)p1,

(p1)

证明： 令f(x)xp(1p)p,

x[0,1]，

1

， 2

由f(x)pxp1p(1x)p10，得xp1(1x)p1，惟一的驻点x又因为f(0)f(1)1,f(2)最大值，所以，

12p1

，其中

12p1

和1是f(x)在[0，1]上的最小值和

12

p1

xp(1x)p1,

故得证。

要点：上例中的辅助函数在所讨论区间上不是单调函数，证明的基本方法是： (1)欲证当axb时，有f(x)0，则只需证明f(x)在区间(a,b)内的最小值

f(x0)0；

(2)欲证axb时，则只需证明在区间(a,b)内的最大值f(x0)0，从而可推出要证的不等式。

3 利用中值定理证明不等式

我们通常所说的中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分，而微分中值定理中又包括：罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、和柯西（Cauchy）中值定理等，其实这几个中值定理的原理大致相同，我就列举具有代表性和广泛地应用性的拉格朗日（Lagrange）中值定理进行阐述，当然另外两个定理也有它们的应用条件，我在这里就不一一列举。但是积分中值定理在不等式证明中不如微分中值定理运用得广泛，现列举积分第二中值定理的运用进行阐述。

)中值定理证明不等式 3.1 微分(Lagrange

拉格朗日中值定理[6]：若f(x)满足以下条件: (1) f(x)在闭区间[a,b]内连续；(2) f(x)在开区间(a,b)上可导。则 x1,x2[a,b] ，(x1,x2)，使得

f(x2)f(x1)

f'()

x2x1

[例6] 设f(x)在[a,b]上连续可导,且f(a)f(b)0,则

4

f(x)axb(ba)2

'

axb



b

a

f(x)

证明 ：设Mmaxf'(x)则由中值公式,当x(a,b)时,有

f(x)f(a)f(1)(xa)f(1)(xa) f(x)f(b)f(2)(xb)f(2)(xb)

其中1(a,x),2(x,b).由此可得

f(x)M(xa)f(x)M(bx)

所以

ab2aab2a



b

a

f(x)dxf(x)dxabf(x)dx

2

b

　　　　　M(xa)dxabM(bx)dx

2

b

M(ba)2　　　　　

4

即

M

4(ba)2



b

a

f(x)dx

所以 maxf(x)

axb

4(ba)2



b

a

f(x)

要点：对于不等式中含有f(b)f(a)的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理以下。 [例7][7] 设

f(x)

在(0,)上单调下降，可微，如果当x(0,)时，

0f(x)f'(成立，则当)0x1时，必有xf(x)

11

f(). xx

11

f()f()

分析: 目标在于证明(0,1)内 x2 或 ln2lnx

f(x)f(x)

事实上,因为

f(x)单调递减，f'(x)0 有 f'(x)f'(x) .

1

f()

1f'()1

lnlnf()lnf(x)(x) (此步根据拉格朗日中值定理得来) (1) f(x)xf()x

1

) 又由于当0x1时, 设g(x)x2lnx，则有g(1

x

12(x1)2

g'(x)120 2

xxx

即 g(x)单调递增. 因此当0

故得出结论x

x1时，g(x)0

1

2lnx。注意到0f(x)f'(x)f'(x), x

f'(x)1

1, x0(当0x1时) f(x)x

即可得知（1）式x

1

2lnx 。 x

要点:(1)若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在(a,b)，使得

f(x)f(a)f'()(xa)。故当f(x)0, (a,b)内f'(x)0时有

f(x)(0x[a,b])。

f(b)f(a)

f'(),其中ab。 因此,若(2)在上述条件下,有

ba

f'(x)单调递增时,有f'(a)

f(b)f(a)

f'(b)成立。

ba

3.2 利用积分第二中值定理证明不等式

积分第二中值定理[8]：设函数f在[a,b]上是可积函数， (1)若函数g在[a,b]上减，且g(x)

0，则存在[a,b],使得



b

a

f（x）g(x)dxg(a)f(x)dx；

a



(2)若函数g在[a,b]上增，且g(x)0，则存在

[a,b],使得



b

a

f（x）g(x)dxg(b)f(x)dx。



x1

b

[例8] 设f(x)

x

1

sintdt,则x0时 ,f(x)。

x

2

证明：令t,则由积分第二中值定理

f(x)

又因为



x1

x2

du1sinu22x2





x2

sinudu

f(x)2

x

(x1)2

sinu

du2

(x1)21(x1)2cosudu11

　　＝cosu2322x22ux111(x1)2cosudu22　　＝cosxcos(x1)2

2x2(x1)4xu2

于是,x0时，有

3

2

111

f(x)

2x2(x1)4　　＝



(x1)2

x2

udu



111111()2x2(x1)2x1xx

要点：由上可见利用中值定理证明不等式,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中值定理写出不等式,从而进行证明。

4 利用泰勒（Taylor）公式证明不等式

泰勒公式在不等式证明的运用中是十分广泛的，不论是在微分领域还是在积分领域。由于泰勒公式的表达式是某一函数在某一个点上的展开式，在有限项展开式中，函数值始终是大于或小于展开式的值的，这就涉及到不等式的运用。而且被展开的函数要求具备有n阶导数，即可n次求导，在这一点上可微和可积的性质就得到了很好的体现，也充分展现了它在微积分中的广泛运用。 4.1 用Taylor公式证明不等式

Taylor定理：若函数

f(x)在含有x0的某区间有定义,并且有直到(n1)阶

(n)

的各阶导数,又在点x0处有n阶的导数f

(x0),则有公式

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)Rn(x)

1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)0(或Rn(x)0),则可得

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2

f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)

1!2!n!

或

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2

f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)

1!2!n!

[例9] 设

f(x)在[a,b]上二次可微，f''(x)0。试证：

n

n

n

ax1x2xnbki0 ki1，有f(kixi)kif(xi)。

i1

i1

i1

证明 ：取x0

kixi，将f(xi)在xx0处展开。

i1

n

f(xi)f(x0)f'(x0)(xix0)

1

f''(i)(xix0)2 2

f(x0)f'(x0)(xix0) (i1,2,,n)

以ki乘以此式两端，然而n个不等式相加，注意

k

i1

n

i

1

k(xx)kxx

i

i

ii

i1

i1

nn

0

得

kf(x)f(x)f(kx)

i

i

ii

i1

i1

nn

[例10][9] 证明:

x2x3

ln(1x)x,　　(1x1).

23

1x)　（1x1) 证明： 设f(x)ln(

则，f(x)在x0处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式

x2x3x4

ln(1x)x　　　(11) 4

234(1)

x4

0 4

4(1)

x2x3

　ln(1x)x. 故得证.

23

要点：

(1)由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点

x0，并在x0处展开,然后判断余项Rn(x)的正负,从而证明不等式。

(2)若f(x)在[a,b]上有连续的n阶导数，且f(a)f'(a)f(n1)(a)0

f

(n)

f(n)()

(x)0（当x[a,b]时）则f(x)。 (xa)n0 （当x[a,b]时）

n!

(3)如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。

4.2 用Taylor公式作导数的中值估计

[例11] [10]若f(x)在[a,b]上有二阶导数. f'(a)f'(b)0 试证：(a,b)，使得，(a,b) f''()

4

f(b)f(a) 2

(ba)

证明：应用Taylor公式，将 f(

ab

) 分别在a、b点展开。 2

注意 f'(a)f'(b)0，,：a

ab

b 使得 2

f(

ab1ba2

)f(a)f''()() （1） 222 f(

ab2)f(b)12f''()(ba2

2

) （2）-（1）得

f(b)f(a)1

8

[f''()f''()](ba)20

故

4f(b)f(a)(ba)1

2

2

(f''()f''())f



当f''()f''()时



当f''()f''()时

（2）

5 利用一些著名的不等式结论证明不等式

在不等式证明中，我们还会常常用到一些著名不等式，这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法也是十分经典的。由于这些不等式都经过前人的证明，我们可以直接搬用这些不等式，当做定理或结论，直接运用于不等式的证明当中去，为我们的证明过程带来了方便。

5.1 利用柯西（Cauchy）-施瓦茨（Schwarz）不等式证明不等式

[11]

柯西不等式：设

ai,bi

2n,），则为任何实数（i1,

(aibi)ai

2

i1

i1

nn

2

2

bi i1

n

其中等号当且仅当ai和bi成比例时成立。

施瓦茨不等式[12]：若f(x),g(x)在[a,b]上可积，则

b

b

b



a

f(x)g(x)dx)2f(x)2dxag(x)2dx

a

a

ba

[例12] 已知f(x)0，在[a,b]上连续，f(x)dx1，k为任意实数，求证：

(



b

a

f(x)coskxdx)(f(x)sinkxdx)21 （3）

2

a

b

证明： （3）式左端第一项应用Schwarz不等式

(f(x)coskxdx)[

a

b

2

a

kxdx]2

b

f(x)dxf(x)cos2kxdx

a

a

ba

b

同理

f(x)cos2kxdx （4）

(f(x)sinkxdx)f(x)sin2kxdx （5）

a

a

b

2

b

由（4）+（5）即可得到（3），故得证。

柯西一施瓦不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，既方便又快捷。 5.2 利用Jensen(琴森)不等式证明不等式

Jensen(琴森)不等式[13]：若函数f(x)在(a,b)内是凸(或凹)函数时,对

x1,x2,,xn(a,b)及



i1

n

i

1,有

nnnn

fixiif(xi)　　或fixiif(xi)　 i1i1i1i1

等号当且仅当x1x2xn时成立。 [例13] 证明下列不等式

a1a2an

a1a2an　　(ai0,i1,2,n)

111na1a2an

n

n

分析：上式只要能证明

n

a1a2an

a1a2an　　(ai0,i1,2,n),

n

如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会复杂.而这里的ai可以看作是同一函数的多个不同函数值,设f(x)lnx，那么，可以用Jensen不等式来证明它.然后只要令f(x)ln

1

,同理可x

n

111a1a2an

a1a2an　。

(x0) 证明： 令f(x)lnx　　

因为 f(x)

1

0,所以f(x)在(0,)是凹函数。 2x

则对a1,a2,,an(0,)有

11

f(a1a2an)f(a1)f(a2)f(an) nn

11

即 ln(a1a2an)lna1lna2lnan

nn

又因为

1

lna1lna2lnanlna1a2an n

所以 a1a2an令 f(x)ln

1

, 则同理可得

1x

a1a2an

n

n

11a2an

a1a2an　

a1

所以

n

111

a1a2an

a1a2an

a1a2an

　　(ai0,i1,2,n)

n

[例14] [14] 设f(x)二次可微,且对一切x,有f(x)0,而u(t)在[0,a]上连续,则

1a1a

f[u(t)]dtf[0u(t)dt] 0

aa

分析：上述不等式在形式上很像Jensen不等式,且当t取不同的值时,f[u(t)]就是同一函数的不同函数值,则可以用琴森不等式进行证明. 证明：由f(x)及u(t)的连续性,保证了可积性.并且

1a1n1Ka1a1n1Ka

f[u(t)]dtlimf[u()]u(t)dtlimu() 0nnnnana0nK0K0

因f(x)0,故f(x)为凸函数,在Jensen不等式

f(q1x1q2x2qnxn)q1f(x1)qnf(xn) (q1,q2,,qn均为正，且q1q2qn1)

中,取

xiu(

i11

a),　　qi　　（i1,2,3,n） nn

即得

1n1Ka1n1Ka

f[u()]f[u()] nK0nnK0n

由f(x)的连续性,在上式取n即得所要证的结论。

由以上证明可知应用Jensen不等式证明不等式,首先是构造适当的函数并判断它的凹凸性,然后用Jensen不等式证明之。 5.3 利用H ölder不等式证明不等式

H ölder不等式

[15]

11

(i1,2,,n). k,k'1，：设ai,bi0，

kk'

则，当k1（从而k'1）时，

ab(a

iii1

i1n

iii1

nn

i

1kk

)(bi)

i1i1kk

n

n

1k'k'

1k'k'

当k1，k0（从而k'1）时，

ab(a

i1

n

)(bi)

i1

kk'

n,)]其中等号当且仅当ai与bi成比例[,不全为零使aibi(i1,2,时

成立。

H ölder不等式积分形式：设f(x),g(x)0，并使得所讨论的积分有意义，

k,k'0,1为共轭实数（

b

11

，则 1）

kk'

b

k

1k

b

k'

1k'

a

a

当k1时，



a

f(x)g(x)dx(f(x)dx)(g(x)dx)

当k1时，



b

a

f(x)g(x)dx(f(x)dx)(g(x)dx)

a

a

b

k

1k

b

k'

1k'

若f(x),g(x)连续，则其中的等号当且仅当

fk(x),gk'(x)成比例（即

使得fk(x)gk'(x),x[a,b]）时成立。 fk(x),gk'(x),不全为零，[例 15] 试证明



证明：令xt于是原式左端





xasinxdx2acosxdx

3

4

(a0) .



2

，







xasinxdx2acostdt,

o







cosx



cosx

xa

sinx

dx2a

0dx2a

odx2acosxdx（应用推论1）



[2a

cosxcosx

22

dx]

2

2

4



3

4

要点：对于这类利用H ölder不等式证明不等式的题目，最大的特点就是条件

11

1，如果发现了结论中幂级数的这一特点，证明起来也是非常容易的，kk'

只要我们牢牢掌握这些不等式的结论，熟悉他们的变形过程和步骤，运用起来时就会得心应手的。这为我们不等式证明降低了难度，并简化了证明过程。

6 小结

不等式作为数学领域的一个重要版块, 在数学的各个领域都起着十分重要的作用。不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位，因此不等式的证明及其应用在数学问题的学习和研究中显得尤为重要，不可轻视。

以上我列举了数学分析当中一些不等式证明的方法，具体通过列举根据函数图形、中值定理、泰勒公式、著名不等式证明不等式方法四个大的方向，并在这些方向的特征下，细化成一些具有代表性的子方法，通过给出它们的定义或定理为读者罗列出这些知识点的证明原理，并通过列举一些典型的具有代表性的例题为读者清晰地展现出各个方法的运用过程和步骤。

不等式的证明当然不仅仅局限于我所列举和归纳的这些，由于本人的水平有限，论证的过程难免会有不全面性和不完善性，还望批评指出。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系.《高等数学》[M].北京:高等教育出版社，2006:126-152 [2] 华罗庚.《高等数学引论》[M].北京:科学出版社,1981:128-137

[3] 陈文灯,黄先开.《考研数学复习指南》[M].北京:世界图书出版公司，2006：233-246 [4] 余元希,田万海,毛宏初等德.《代数研究》[M]. 北京:高等教育出版社.2003 [5] 周美秀,杨志杰.不等式的证明[J].伊犁:伊犁教育学院学报.2003，124-125.

[6] 刘玉琏等.《数学分析讲义学习指导书》[M]北京：中国矿业大学出版社，2005:143-151 [7] 裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》[M].北京：高等教育出版社，2008:349-358 [8] 华东师范大学数学系.《数学分析》[M].北京：高等教育出版社，2006：119-144 [9] 周兴建.不等式证明的若干方法[J].重庆：中国科教创新导刊，2007：211

[10]陈卫忠，陆卫丰.高等数学中若干不等式的证明及推广[J].苏州：苏州职业大学学报，2007,：78-81

[11]尚肖飞，贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法[J].太原：太原教育学院学报，2002：35-37

[12]蔡宇泽.微积分在不等式证明中的几种采用[J].沙洲：沙洲职业工学院，2009:63 [13].宣立新.《高等数学》[M].北京：高等教育出版社，1999:116-117

[14]吉米多维奇.《数学分析习题集》[M].山东：山东科技出版社，2004:206-243 [15]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M]北京：机械工业出版社，2006:91-122

致 谢

在论文落笔的毕业那一刻，内心百感交集，就像是一份酸甜苦辣俱全的大餐，味道独特令人回味。大学四年的光阴也将在论文答辩结束后落下帷幕，是充实、快乐，还是空虚、懊悔？无论怎样，大学生活都将是人生课堂里的重要一课，点点滴滴都值得去深刻体会。

从开始毕业论文题目的定题到最后整理初稿准备定稿历时半年，这其中离不开老师和同学们的悉心指导和热情帮助。

首先，我要感谢我的指导老师王娟，从开题报告指导开始，她就多次询问我论文撰写情况和进度，并给予我许多宝贵的意见和建议。每一次上交的论文初稿她都认真仔细的批阅和修改，其间倾注了她大量的时间和心血。王老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，不仅授我以文，而且教我做人，让我终生受益无穷。在此谨向王老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

另外，我还要感谢那些帮助过我的同学，因为有了你们的关心和帮助，才使得我在撰写论文的过程中克服了困难和解决了难题，感谢你们对我的理解和支持，而你们也正是我生命中一笔宝贵的财富。

最后要感谢曾经给我授课的老师们，你们的每一句知识的传授都是构成我大学生活不可或缺的一部分，也正是这些充实了我知识的储备和积累。你们的每一句悉心教导，都让我在困境中学会成长，在逆风中学会飞翔。

大学生活即将结束，然而其中所学到的将会一辈子受用！

襄樊学院毕业论文（设计）任务书

毕业论文（设计）题目 平均值及有关的不等式 学生姓名 钟瑞淇 专业 信息与计算科学 班级 07125056 指导老师 池召艳

一、 毕业论文（设计）的主要内容：

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中有着举足轻重的地位。关于不等式证明的方法有很多，包括初等数学学过的比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、构造法等，该课题可以

从数学分析中的寻求证明不等式的若干方法。 二、 毕业论文（设计）应收集的资料及主要参考文献：

4. 王传荣，张云晓.不等式证明及应用[M].天津：天津科学技术出版社.1983. 5.李德本.微分中值定理的新证法[J].四平师范学院学报,1982,1

襄樊学院毕业论文（设计）开题申请表

内容1.研究目的和意义；2.阅读的主要文献、资料，分析国内外现状和发展趋势，提出本课题的主攻方向；3.主要研究内容、途径和技术路线；4.工作的主要阶段、进度及完成时间。

毕业论文开题报告 平均值及有关的不等式

专业：信息与计算科学0711班 学号：07125056 姓名：钟瑞淇

指导老师：池召艳

一、 研究目的和意义：

平均值及有关的不等式作为数学领域的一个重要版块, 在数学的各个领域都起着十分重要的作用。不等式证明方法作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位．如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何解决高等数学与中学数学脱节的现象，是高等院校在数学教学和学习中需要探讨解决的问题之一。如能在教学和学习中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓同学的视野，而且可使同学体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时，居高临下，驾轻驭熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系不等式的证明可分为推理性问题或探索性问题．推理性问题即是指在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有:1) 利用拉格朗日中值定理证明不等式; 2) 利用单调性,构造单调函数法证明不等式; 3)利用极值与最值证明不等式; 4) 利用泰勒中值定理证明不等式一般不等式或已知条件中含有一阶导数、二阶等高阶导数时可优先考虑使用此方法。许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题等等。

二、该领域的现状和发展趋势

随着信息时代的发展，在许多行业中对于数学的要求也越来越高，而不等式的证明属于数学学习中的一个不可或缺的环节，它也是贯穿整个数学脉络的重要分枝。不等式的证明和应用又是数学分析中经常遇到而又比较困难的问题之一，而且在数学分析中处理极限问题、积分极限等方面起着特殊的作用。由于不等式是讨论数量大小的，而这种数量或函数之间大小关系的比较能更广泛地显示出变量之间相互制约的关系，从而便于进一步研究、估计函数变化状态。

我们所学的数学分析主要是用极限概念来解决问题，而极限概念是用不等式定义的，它是描述某一序列或函数在变化的过程中“某一时刻”此后“无限接近”，

“无限增加”或“摇摆不定”等情况。选用某些具体的量相等的关系是无法描述的只有用不等式才能反映出“某一时刻”以后函数的变化状态。恰当合理地应用一些不等式在数值估计方面会达到事半功倍的效果，从而让一些定理和结论的证明过程得到简化，且清晰明了地展现在读者面前。 三、 主要研究内容及创新：

不等式的证明是数学分析中的一个常见问题, 其证明方法也多种多样,在各类考试中经常出现。但许多学生对此常常感到有些困难，现通过举例, 归纳了数学分析中常见的证明不等式的几种方法。

1 利用拉格朗日中值定理证明不等式该定理证明不等式的关键是构造适当的函数f(x)和闭区间[a,b]使得:

(1)要证不等式的一部分可写成

f(a)f(b)

或f(a)f(b);

ab

(2) f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,再把拉格朗日公式中f()的适当放大或缩小, 即可证出要证明的不等式。一般不等式为h(x)g(x)(x)或当不等式的某一部分能写成

f(a)f(b)

的形式时,可优先考虑使用此方法。

ab

2 利用单调性,构造单调函数法证明不等式如果证明不等式f(x)g(x) (在区间Ⅰ上),一般优先考虑使用此方法,其通常步骤为:

(1)构造函数F(x)f(x)g(x) (或F(x)

f(x)

); g(x)

(2)考察F(x)在区间上及其端点处的连续性;

(3)求出F(x)，由F(x)的符号判断F(x)；在相应区间上的单调性; 3 利用极值与最值证明不等式

对不等式f(x)A (或f(x)A ),(在区间Ⅰ上),这种方法关键是证明函数 在区间Ⅰ上有唯一的极小值且极小值大于等于A(或 有唯一的极大值且极大值小于等于A)。其步骤与单调函数法大致相同。

4 利用泰勒中值定理证明不等式一般不等式或已知条件中含有一阶导数、二阶等高阶导数时可优先考虑使用此方法。

若函数f(x)在含有x0的某区间有定义,并且有直到(n1)阶的各阶导数,又在点x0处有n阶的导数f(n)(x0),则有公式

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n)Rn(x) 1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)0(或Rn(x)0),则可得

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n) 1!2!n!

或

f(x0)f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(n) 1!2!n!

5 利用函数的凸性证明不等式。

凸函数是一类特殊函数，其定义为：

(1)设f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2I，(0,1) ，有f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)，则函数称之为凸函数（若“”改成“”）则称之为凹函数（或严格凹函数）。

（2）归结到一般的形式：f(x)在区间I上有定义，f

当且仅当：x1,x2I，有f(

数） 即(x)在I上称为是凸函数，x1x2f(x1x2))（或为“

由定义及数学归纳法可得下面结论：

f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸函数，当且仅当：x1,x2,,xnI，有

x1x2xnf() f(x1)f(x2)f(xn)，式中“”改为“

是严格凸的定义。

当然，不等式证明的这些方法不是完全独立的个体，它们之间既有联系又各具特点。许多不等式的证明过程可能会涉及到多种原理同时运用得以证明。由于不等式的证明具有很强的灵活性，因此该领域仍然具有很大的发展空间。

四、研究进度及完成时间

第4-6周 广泛查阅参考资料

在此期间通过学校图书馆和电子阅览室搜集一些与论文有关的书籍和期刊等参考资料，并进行整理和筛选。

第7周 撰写开题报告，包括文献综述、方案、计划进程等。

构建论文的大致框架和思路，撰写好开题报告，并整理文献综述，制定论文的撰写方案和计划进程，为论文做好初步准备。

第8-9周 撰写论文初稿

开始按照之前的论文的构架进行论文的撰写，并结合所收集的参考资料进行借鉴和引用论述，完成论文初稿。

第10-11周 修改论文初稿

将完成的论文初稿进行审阅，发现和修改初稿中所存在关于内容和论文格式的错误，并交给指导老师进行复查和批阅，对老师指出的不足和缺憾之处进行修改。

第12-13周 再次修改论文 再次对论文中的疏漏进行修改，并最终定稿。

第14周 打印、校对、装订论文

第15周 论文答辩

五、主要参考文献及资料

[1] 同济大学应用数学系.《高等数学》[M].北京:高等教育出版社，2006:126-152

[2] 华罗庚.《高等数学引论》[M].北京:科学出版社,1981:128-137

[3] 陈文灯,黄先开.《考研数学复习指南》[M].北京:世界图书出版公司，2006：233-246

[4] 余元希,田万海,毛宏初等德.《代数研究》[M]. 北京:高等教育出版社.2003

[5] 周美秀,杨志杰.不等式的证明[J].伊犁:伊犁教育学院学报.2003，124-125.

[6] 刘玉琏等.《数学分析讲义学习指导书》[M]北京：中国矿业大学出版社，2005:143-151

[7] 裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》[M].北京：高等教育出版社，2008:349-358

[8] 华东师范大学数学系.《数学分析》[M].北京：高等教育出版社，2006：119-144

[9] 周兴建.不等式证明的若干方法[J].重庆：中国科教创新导刊，2007：211

[10]陈卫忠，陆卫丰.高等数学中若干不等式的证明及推广[J].苏州：苏州职业大学学报，2007,：78-81

[11]尚肖飞，贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法[J].太原：太原教育学院学报，2002：35-37

[12]蔡宇泽.微积分在不等式证明中的几种采用[J].沙洲：沙洲职业工学院，2009:63

[13].宣立新.《高等数学》[M].北京：高等教育出版社，1999:116-117

[14]吉米多维奇.《数学分析习题集》[M].山东：山东科技出版社，2004:206-243

[15]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M]北京：机械工业出版社，2006:91-1