4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）
教学目的：
1、知识与技能：
（1）利用单位圆中的三角函数线作出y =sin x , x ∈R 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系cos x =sin(x +π) ，作出y =cos x , x ∈R 的图象；
2
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 2、过程与方法
（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 3、情感、态度、价值观：
通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象，周期性； 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2. 正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）
P 与原点的距离r (r =则比值
x +y =x 2+y 2>0)
22
y y
叫做α的正弦 记作： sin α=
r r
x x
比值叫做α的余弦 记作： cos α=
r r
3. 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y) ，过P 作x 轴的垂
线，垂足为M ，则有
sin α=
y x
=MP ，cos α==OM r r
向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与
函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线
的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份. 把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份. （预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角0,
πππ
，，, „，2π的正弦线正弦线（等价于632
“列表” ）. 把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，
则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线. 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x ∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x ∈R 的图象.
把角x (x ∈R ) 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象
.
（2）余弦函数y=cosx的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过O 1作与x 轴的正半轴成
π
角的直线，又过余弦线O 1A 的终点A 作x 轴的垂4
线，它与前面所作的直线交于A ′，那么O 1A 与AA ′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O 1A “竖立”起来成为AA ′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖
π
到O 1M 1位置，则O 1M 1与O 1M 长度相等，方向2
ππ
相同. ）根据诱导公式cos x =sin(x +) , 还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单
22
立”（把角x 的余弦线O 1M 按逆时针方向旋转
位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
π3π,1) (π,0) (,-1) (2π,0) 22
余弦函数y=cosx x∈[0,2π]的五个点关键是 (0,0) (
π3π,0) (π,-1) (,0) (2π,1) 22
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
(0,1) (
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |， （3）y=sin |x | 例2 用五点法作函数y =2cos(x +
π
3
), x ∈[0,2π]的简图.
例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：
115π
(1)sinx ≥; (2)cosx ≤,(0
2 22
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象 2．分别在[-4π,4π]内作出y=sinx和y=cosx的图象 3．用五点法作出y=cosx,x∈[0,2π]的图象 六、板书设计： 七、教后记：
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）
教学目标： 1. 知识与技能：
（1）使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。 2过程与方法：
3情感态度与价值观：
（1） 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
（2） 通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。 1、 教学重点和难点：
2、 重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。 3、 难点：确定五个关键点。 4、 教学过程： 5、 思考探究 6、 复习
（1） 关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？
（2） 观察我们上一节课用几何法作出的函数ｙ＝sin ｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你
发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？为什么？ （用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）
2、“五点（画图）法”
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sin ｘ的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。 （1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sin ｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。 (用几何画板画出Y=sinx的图像，显示动画)
（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cos ｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。 解：按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。
1.5
f (x ) = cos(x )
1
0.5
O
-0.5-1
1
π2
234
π
32
5
6
π
2π
一、 自主学习
例1． 画出下列函数的简图：
（1） y ＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕 （2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
解：（1） 按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。
(2)按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。
二、 合作学习
●探究1
如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 ●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X 轴对称。 ●探究3
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x 轴对称的图形，得到 y＝-cosx 的图象， 再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。 ●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。 三、 归纳小结 1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。 （2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。 （3）关键点
横坐标：0 π/2 π 3π/2 2π 2、图形变换 平移、翻转等 四、 布置作业
P53：A 组1 P54：B 组1 五、教后记：
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识和技能：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
过程与方法：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周
期。
情感态度与价值观：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数
学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？„„
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2
– 1
-π - -2 - O
22
-1–
正弦函数f (x ) =sin x 性质如下：
π
π
x 5
（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2kπ+x)=sinx可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k ∈Z ）时，总f (x +2k π) =sin(x +2k π) =sin x =f (x ) ．
也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；
有
（2）对于定义域内的任意x ，sin(x +2k π) =sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x ) 那么函数f (x ) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数y =sin x ，x ∈R 有sin(
2ππ2π
能否说是它的周期？ ) =sin ，
6363
（2）正弦函数y =sin x ，x ∈R 是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k ∈Z 且k ≠0）
*
（3）若函数f (x ) 的周期为T ，则kT ，k ∈Z 也是f (x ) 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：f (x ) =f (x +T ) =f (x +2T ) = =f (x +kT ) ）
+
π
2、说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T∈M, 且若T>0则定义域无上界；T
2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x ) 就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0) ） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π, „,-2π,-4π, „都是周期）周期T 中最
小的正数叫做f (x ) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx的最小正周期为2π （一般称为周期）
从图象上可以看出y =sin x ，x ∈R ；y =cos x ，x ∈R 的最小正周期为2π；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （f (x ) =c 没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ①y =3cos x ②y =sin 2x （3）y =2sin(x -
1
2
π
6
) ，
x ∈R ．
解：（1）∵3cos(x +2π) =3cos x ，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +2π，函数y =3cos x ，x ∈R 的值才能重复出现，
所以，函数y =3cos x ，x ∈R 的周期是2π．
（2）∵sin(2x +2π) =sin 2(x +π) =sin 2x ，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +π，函数y =sin 2x ， x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y =sin 2x ，x ∈R 的周期是π． （3）∵2sin(x -
1π1π
+2π) =2sin[(x +π) -]=2sin(x -) ， 62626
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +π，函数y =sin 2x ，x ∈R 的值才能重复出
12
所以，函数y =sin 2x ，x ∈R 的周期是π．
π
现，
说明：（1）一般结论：函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ，x ∈R （其中
A , ω, ϕ 为常数，且A ≠0，ω>0）的周期T =
2π
ω
；
（2）若ω
1π
x -) ，x ∈R ． 26
2π
|ω|
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ，x ∈R 的周期T =例2先化简，再求函数的周期 ①y =sin x +cos x
②y =cos x +2cos x sin x -sin x ③证明函数f (x ) =|sin x |+|cos x |的一个周期为例3 求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+
x ππ
) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(+)
253
2
2
π
，并求函数的值域； 2
解：1︒ 令z= x+
π
而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z) 3
ππ
]=f (x+) ∴周期T=2π 33
f [(x+2) π+
2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]
即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π 3︒令z=
x πx π
+ 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(++2π) 2525
=3sin(
x +4ππ
+)=f (x +4π) ∴T=4π 25
2π
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω, φ为常数,A ≠0, x∈R) 周期T=
y=Acos(ωx+φ) 也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+
ω
ππ)+2cos(3x-)
64
2
2︒ y=|sinx| 3︒ y=2sinxcosx+2cosx-1 解：1︒ y1=sin(2x+ y2=2cos(3x-
π
) 最小正周期T 1=π 4
π2π) 最小正周期 T2= 63
∴T 为T 1 ,T2的最小公倍数2π ∴T=2π
2︒
注意小结这两种类型的解题规律
3︒ y=3sin2x+cos2x ∴T=π 三、巩固与练习
1． y=2cos(
πx π
+)-3sin(x -)
443
ππ
)+sin(4x-) 23π)| 6
2． y=-cos(3x+3． y=|sin(2x+4． y=cos
θθ2θsin +1-2sin 222
四、小 结：本节课学习了以下内容： 周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3 补充：
1．求下列函数的周期：
1︒y=sin(2x+
ππ
)+2cos(3x-) 2︒ y=|sinx| 3︒ y=2sinxcosx+2cos2x-1 46
π3-cos x
)-1 2︒ y=sin2x-4sinx+5 3︒ y= 43+cos x
2． 求下列函数的最值： 1︒ y=sin(3x+
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。
七、课后反思： 题选
求下列函数的周期：
3x x 3x x cos +sin sin ；
322222
x x 2
（3）y =sin x +cos x ； （4）y =cos 2-sin 2； （5）y =cos x ．
22
2π
解：（1）T ==4，∴周期为4；
|-|23x x 3x x 3x x
（2）y =cos cos +sin sin =cos(-) =cos x ，∴周期为2π；
222222
（1）y =sin(
π
-
π
x ) ； （2）y =cos
（3
）y =cos x -sin x =（4）y =sin 2
-x ) ∴周期为2π；
4
π
x x
-cos 2=-cos x ，∴周期为2π； 22
1112
（5）y =cos x =(1-cos 2x ) =-cos 2x +，∴周期为π．
222
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为y =A sin(ωx +ϕ) 的形式，再利用公式
2π
进行求解。 T =
ω
八、教后记：
4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识和技能：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
过程与方法：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 情感态度价值观：
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事
求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
二、讲解新课：
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：
f (-
π1π1ππ
)=, f ()= ,即f (-)=f () ；„„ 323233
由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx的图象上的任一点, 那么,
与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)= f(x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。
例如：函数f (x)=x+1, f(x)=x-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
2
4
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f (x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=
1
都是奇函数。 x
如果函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；
（2）f (-x)= f(x)或f (-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f (-x)，看是等于f (x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2. 单调性
从y ＝sin x ，x ∈［－当x ∈［－
π3π
22,
］的图象上可看出：
ππ
，］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 22π3π
当x ∈［，］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1.
22
结合上述周期性可知：
ππ
＋2k π，＋2k π］(k ∈Z ) 上都是增函数，其值从22
3ππ
－1增大到1；在每一个闭区间［＋2k π，＋2k π］(k ∈Z ) 上都是减函数，其值从1
22
正弦函数在每一个闭区间［－
减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1) π，2k π］(k ∈Z ) 上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1) π］(k ∈Z ) 上都是减函数，其值从1减小到－1.
3. 有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=k π+
π
2
k∈Z
y=cosx的对称轴为x=k π k∈Z （1）写出函数y =3sin 2x 的对称轴；
（2）y =sin(x +
π
4
) 的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线x =4. 例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x ) =
π
4
， (D) 直线x =-
π
4
1+sin x -cos x
;
1+sin x +cos x
4
4
(2)f(x)=sinx-cos x+cos2x;
(3)f (x ) =lg(sinx
lg(1-x 2)
（4）f (x ) =
|x -2|-2
2⎧⎪x +x (x
（5）f (x ) =⎨； 2
⎪⎩-x +x (x >0)
例2 (1)函数f (x ) ＝sin x 图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)
函数f (x ) =x +cos x 图象的对称轴是 ；对称中心是 . 例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a 、b 为常数) ，且f(5)=7, 求f(-5). 例4 已知已知f (x ) =log 1
1-sin x
.
1+sin x 2
(1) 求f(x)的定义域和值域；
(2) 判断它的奇偶性、周期性； (3) 判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ) 是偶函数，
求θ的值. (2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线x =-例6 已知f (x ) =log a (sin1. 有关奇偶性
（1）f (x ) =sin |x |+|sin x | （2）(x ) =
2
π
8
对称，求b 的值.
x x
-sin 4)(a >0, a ≠1) ，试确定函数的奇偶性、单调性. 22
1+sin x -cos x
1+sin x +cos x
有关单调性
（1）利用公式sin α-sin β=2cos
α+β
2
sin
α-β
2
，求证f (x ) =sin x 在[-
ππ
, ]上是
22
增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ①sin(-
) ；
18102317
②cos(-π) -cos(-π)
54
（3）比较sin 1, sin 2, sin 3大小；sin(π-3)
练习讲评
（1）化简：2-sin 2+cos 4
2
π
) -sin(-
π
π
4
) 的单调递增区间；
a sin
（2）已知非零常数a , b 满足
π
=tan 8π，求b 的值；
15a a cos -b sin
55
+b cos
π
（3）已知8sin α+10cos β=5, 8cos α+10sin β=5 求值：（1）sin(α+β) ；（2）sin(解：
（1）2-sin 2+cos 4
2
π
3
+α)
=2-sin 22+1-2sin 22=3(1-sin 22) =3cos 22=3|cos 2|=-cos 2
（2）
a ππ8π
sin +cos sin b 55=15a 8cos -sin cos b 5515
8ππ8ππ8ππsin cos -cos sin -) a 155155=155=tan π=3⇒=
888b 3cos cos +sin sin -)
155155155
2
（3）两式平方相加得164+160sin(α+β) =100⇒sin(α+β) =；
5
10cos β=5-8sin α10sin β=53-8cos α
两式平方相加得100=164-80sin α-80cos α
即
132π2sin α+cos α=, ∴sin(+α) = 22535
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1． 2． 3．
五、课后作业：见教材 六、板书设计： 七、教后记：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识与技能：1. 用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2. 用正切函数图象解决函数有关的性质；
过程与方法：1. 理解并掌握作正切函数图象的方法；
2. 理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
情感态度价值观：培养认真学习的精神； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课：
1．正切函数y =tan x 的定义域是什么？ ⎨x |x ≠2．正切函数是不是周期函数？ t a n (x +π)=
⎧
⎩
π
⎫
+k π, k ∈z ⎬ 2⎭
π⎛
t a x n x ∈R 且, ≠x πk +
2⎝
⎛
⎝
⎫∈, k ⎪，z
⎭
∴π是y =tan x x ∈R , 且x ≠k π+
π
⎫
, k ∈z ⎪的一个周期。 2⎭
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作y =tan x ，x ∈ -
⎛ππ⎫
, ⎪的图象
22⎭⎝
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y =tan x
x ∈R ，且x ≠
π
2
。
+k π(k ∈z )的图象，称“正切曲线”
的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎨x |x ≠
⎧⎩
π
⎫
+k π, k ∈z ⎬； 2⎭
（2）值域：R
观察：当x 从小于k π+ 当x 从大于
π
2
π→+∞ (k ∈z )，x −−→k π+时，tan x −−
2
π
2
（3）周期性：T =π；
−→+k π(k ∈z )，x −
π
2
−→-∞。 +k π时，tan x −
（4）奇偶性：由tan (-x )=-tan x 知，正切函数是奇函数；
ππ⎫（5）单调性：在开区间⎛ -+k π, +k π⎪k ∈z 内，函数单调递增。 2⎝2⎭
5. 余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
π⎫π⎛π⎫⎛
y =cot x =tan -x ⎪=-tan x -⎪——即将y =tan x 的图象，向左平移
2⎭2⎝2⎭⎝
个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得y =cot x
定义域：x ∈R 且x ≠k π, k ∈z 值域：R ， 当x ∈ k π, k π+
⎛
⎝
π⎫
π⎛⎫
k ∈z x ∈k π-, k π⎪k ∈z 时y 0⎪ 2⎭2⎝⎭
周期：T =π
奇偶性：奇函数
单调性：在区间(k π, (k +1)π)6. 讲解范例： 例1比较tan -
⎛13π⎫⎛17π⎫
⎪与tan -⎪⎝4⎭⎝5⎭
解： tan -
2ππ⎛13π⎫⎛17π⎫
， ⎪=-tan ，tan -⎪=-tan
4554⎝⎭⎝⎭
2π⎛π⎫
, y =tan x 在 0, ⎪内单调递增， 5⎝2⎭
2ππ2π⎛13⎫⎛17⎫, ∴-tan >-tan , 即tan -π⎪>tan -π⎪545⎝4⎭⎝5⎭
又：0
π
4
∴tan
π
4
例2讨论函数y =tan x +
⎛
⎝
π⎫
⎪4⎭
略解：定义域：⎨x |x ∈R 且x ≠k π+
⎧⎩
π
⎫, k ∈z ⎬ 4⎭
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在 k π-
⎛
⎝
3ππ⎫
, k π+⎪44⎭
图象：可看作是y =tan x 的图象向左平移例3求函数y ＝tan2x π
4
解：由2x ≠k π＋
π
，(k ∈Z ) 2k ππ得x ≠＋，(k ∈Z )
24
∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠
k ππ
＋，k ∈Z ｝ 24
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0 解：画出y ＝tan x 在(－围为：0＜x ＜
ππ
，) 上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范22
π 2
ππ
上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋)(k ∈Z ) 22
结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°解：∵90°＜135°＜138°＜270° 又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°) 上是增函数 ∴tan135°＜tan138°
三、巩固与练习
P ．71．练习2，3，6
求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π解：（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠即x ≠
π
＋ｋπ，ｋ∈Z 2
k ππ＋，ｋ∈Z
24
∴函数y ＝tan2x 的定义域为｛x ∈R ｜，x ≠（2）设ｔ＝2x ，由x ≠
π
4
+
k π
，ｋ∈Z ｝ 2
π
4
+
k ππ，ｋ∈Z ｝知ｔ≠＋22
ｋπ，ｋ∈Z
∴y ＝tan ｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）
π
）＝tan （2x ＋π）＝tan2x 2π
∴y ＝tan2x 的周期为．
2
（3）由tan2（x ＋
（4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1. 因为正切函数y =tan x 的定义域是{x |x ∈R , x ≠k π+
π
2
, k ∈Z }，所以它的图象被
x =±
π
3
, ±π,...... 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。 22
2. 作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y ＝tan(ωx ) ，
x ≠
k π
ω
+
ππ (k ∈Z ) 的周期T ＝2ωω
五、课后作业：
六、板书设计： 七、教后记：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（2）
教学目的：
知识与技能：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题； 过程与方法：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。 情感态度价值观：培养认真学习的精神； 教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题． 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。 二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
⎪ 答：T =π。 5⎭π⎫π⎛
（2）y =tan 3x -⎪ 答：T =。
6⎭3⎝
（1）y =3tan x +
说明：函数y =A tan (ωx +ϕ)(A ≠0, ω≠0)的周期T =例2：求函数y =tan 3x -
⎛⎝
π⎫
π． ω
⎛⎝
π⎫
⎪的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并3⎭
得x ≠
说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
k π5π
， +
32318
πk π5π⎧⎫
∴所求定义域为⎨x |x ∈R , 且x ≠+, k ∈z ⎬，值域为R ，周期T =，是非奇非
3183⎩⎭
⎛k ππk π5π⎫
-, +偶函数，在区间 ⎪(k ∈z )上是增函数。 318318⎝⎭
π⎫π⎛
将y =tan x 图象向右平移个单位，得到y =tan x -⎪的图象；再将
3⎭3⎝1π⎫⎛
y =tan x -⎪的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函
3⎭3⎝
解：由3x -
π
≠k π+
π
数y =tan 3x -
⎛⎝
π⎫
⎪的图象。 3⎭
的定义域。
例3
：用图象求函数y =
解：由tan x ≥0 得
tan x ≥利用图象知，所求定义域为⎢k π+
⎡⎣
π
3
, k π+
π⎫
⎪(k ∈Z )，
2⎭
三、巩固与练习 1．“a n t x 0>”是“x
>0”的
2．与函数y =tan 2x + (A )x =
⎛
⎝
π⎫
⎪的图象不相交的一条直线是（ D ） 4⎭
π
2
(B )x =-
π
2
(C )x =
π
4
(D )x =
π
8
3．函数y = k π-
⎛⎝
π
π⎤
, k π+⎥(k ∈Z )． 24⎦
⎡3⎫
, +∞⎪． ⎢4⎣⎭
4．函数y =tan x +tan x +1 x ≠k π+
2
⎛
⎝
π
⎫
, k ∈Z ⎪的值域是 2⎭
5．函数y =tan x -cot x 的奇偶性是四、小 结：本节课学习了以下内容：
正切函数的性质。 五、课后作业： 以下函数中，不是奇函数的是( ) ．．
π
． 2
A. y ＝sin x ＋tan x Ｂ．y ＝x tan x －1 Ｃ．y ＝
sin x -tan x -tan x
Ｄ．y ＝lg
1+cos x 1+tan x
3. 下列命题中正确的是( )
A ．y ＝cos x 在第二象限是减函数 Ｂ．y ＝tan x 在定义域内是增函数 Ｃ．y ＝｜cos （2x ＋π
）｜的周期是
π
Ｄ．y ＝sin ｜x ｜是周期为2π的偶函数 3
2
六、板书设计： 七、教后记：
4-1.5函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0的图象
教学目标：
知识与技能
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
过程与方法
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
情感态度与价值观 ：1 渗透数形结合思想
2 . 培养动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题和解决问题。 教学重点：
函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。 教学难点：
各种变换内在联系的揭示。
教学过程： 一、 复习旧知
1. “五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？ 2. 函数y = sin(x±k)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x ±k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向左(或右) 平移k 个单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k 个单
位，这种变换称为平移变换。
3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x 轴伸长(w1)到原来的
1
倍而得到，称为周期变换。 ω
演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到原来的4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像沿y 轴伸长(A>1)或缩短(x
演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | ) 或缩小(0
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x ±k) ，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数y = sinx图像的关系，那么函数y = Asin(wx+ϕ)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图像有何关系呢？三、尝试探究 1. 函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像。
π
例：作函数y = 3sin(2x+) 的简图。
3
1倍。 ω
z πz -ππππ 解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin Z，x==-，分别取z = 0，，
233226
π，
πππ7π5π3ππ
，2π，则得x 为-，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x-) 236123126
π5π
，]图象上起关键作用的点。 66
在一个周期[-
⑵列表
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+ϕ) 图像的。
π3 π归纳1：先把函数y = sinx 的图像上的所有点向左平行移动个单位，得到y = sin(x+) 33的图像，再把y = sin(x +得到y = sin(2x +
1π
) 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ，32
ππ
) 的图像，再把y = sin(2x +) 的图像上所有的点的纵坐标伸长到33
π
) 图像。 3
原来的3倍(横坐标不变) ，从而得到y = 3sin(2x +
归纳2：函数y = Asin(wx+ϕ) ，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(ϕ>0)或向右(ϕ>1)平移|ϕ|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0
1
倍(纵坐标不变) ，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
到原来的A 倍，(横坐标不变) 。即：平移变换→周期变换→振幅变换。三、尝试探究 1. 函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五
点法”作函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像。
π
例：作函数y = 3sin(2x+) 的简图。
3
z πz -πππ 解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sinZ，x==-，分别取z = 0，
23326πππ7π5ππ3ππ
，π，2π，则得x 为-，所对应的五点为函数y=3sin(x-)
2236123126
在一个周期[- ⑵列表
π5π
，]图象上起关键作用的点。 66
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+ϕ) 图像的。四、指导创新 上面我们学习了函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像可由y = sinx图像平移变换→周期变换→振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+ϕ) 的图象吗？ ⑴周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶平移变换→振幅变换→周期变换
教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律：若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像，振幅变换出现在前或后不会影响得到函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像。
教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数y = Asin(wx+ϕ) (A>0，w>0)图像的原因，并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数y = Asin(wx+ϕ) 图像的一般公式。
周期变换
平移变换
−−−−−−−→−−→ 原因：y = sinx y =Asinwx−−−−
1平移ϕ个单位
伸长或缩短倍
ω
振幅变换
y = sinw(x+ϕ) = sin(wx+wϕ) −−−−−−→y = Asin(wx+wϕ)
伸长或缩短A 倍 一般公式：将平移变换单位改为： 五、归纳小结
本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数y =Asin(wx+ϕ) 的图像由y = sinx图像的得到。 六、变式练习
1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx 的图像而得到的。 ⑴y = 5sin(
ϕw
即可。
1π1π
x+) ；⑵y =sin(3x-) 2624
2. 完成下列填空
5π
个单位所得图像的函数表达式为 ？ 12
ππ
⑵函数y = 3cos(x+) 图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
43
⑴函数y = sin2x图像向右平移
⑶函数y = 2loga 2x 图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 ？ π
⑷函数y = 2tg(2x+) 图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为 ？
3
七、布置作业(略) 八、教后记：
4-1.6三角函数模型的简单应用
【知识与技能】
1. 掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2. 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 【过程与方法】
例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题. 问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式. 也就是利用函数模型来解决问题. 要特别注意自变量的变化范围.
例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法. 显然，函数y =sin x 与正弦函数有紧密的联系.
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。 补充例题
例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，
离开平衡位置的位移s(单位：cm) 与时间t(单位：s) 的函数关系是⎛g π⎫
（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，⎪, t ∈[0, +∞) ，s =3sin t + l 6⎪⎝⎭
要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？ 解：（1） ω=【情态与价值】
g 2π
∴T ==2πl ωl 1
, f =g 2π
g g ；（2）若T =1，即l =≈24. 8cm . 2
4πl
一、选择题
1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）
A. y =v 0t B. y =v 0⋅sin θ⋅t -
1
g ⋅t 2 C. y =v 0⋅sin θ⋅t D. y =v 0⋅cos θ⋅t 2
2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）
A ．
π2 B. 0 C. π D. π 23
3. 某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）
A ． B. 23 C. 23或 D. 3
二、填空题
4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为45，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______
5. 一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题
6. 三个力F 1. F 2. F 3同时作用于O 点且处于平衡，已知F 1与F 2的夹角为135 ，F 2与F 3的夹角为120 F 2=2牛顿，求F 1和F 3
7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少?
θ
2
三角函数小结和复习
【知识与技能】
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
【过程与方法】
三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。
例题
例1 判断下列函数的奇偶性
①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx
⑤y=1-cos(-3x-5π)
分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数
解：（过程略）①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数 例2 求函数y=-3cos(2x-
1
π) 的最大值，并求此时角x 的值。 3
12
π=2 kπ+ π得x= kπ+π, (k∈Z) 33
分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。 解：函数的最大值为：y max =|-3|=3,此时由2x-例3 求函数y =
1
的定义域。
1+tan x
1+tan x ≠0x ≠kx +
⎧
1
解：要使函数y =有意义，则有⎨
1+tan x ⎩
即x ≠k π-
π
2
(k ∈Z )
π
4
, 且x ≠k π+
π
2
, (k ∈Z )
所以，函数的定义域为{χ︱χ∈R 且x ≠k π-【情态与价值】 一、选择题
π
4
, x ≠k π+
π
2
, k ∈Z }
1．已知cos240约等于0.92 ,则sin660约等于（ ）
A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95
sin 2x +2cos 2x
的值是（ ）。
2cos 2x -3sin 2x -1
2122
A ． B ． C ．- D ．
151553
2．已知tanx=2，则
3．不等式tanx ≤-1的解集是（ ）。
ππ3π
, 2k π-]（k ∈Z ） B. [2k π-, 2k π+]（k ∈Z ） 2442πππ3π
C. (k π-, k π-]（k ∈Z ） D. [2k π+, 2k π+]（k ∈Z ）
2424
A ．(2k π-
4. 有以下四种变换方式：
π
11ππ，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移； 4228
1π1π
③将横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的。
2482
①向左平移
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+
π
）的图象的是（ ） 4
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 二、填空题
7π
）= . 6
2ππ
6．函数y=sinx（≤x ≤）的值域是 。
36
13
7．若函数y=a+bsinx的值域为[-，]，则此函数的解析式是。
22
5． tan （-8．对于函数y=Asin（ωx+ϕ）（A 、ω、ϕ均为不等于零的常数）有下列说法： ①最大值为A ； ②最小正周期为
π
；③在[0，2π]λο上至少存在一个x ，使y=0； |ω|
2
（k ∈Z ）解得x 的范围即为单调递增区间，
④由2k π-
π
2
≤ωx+ϕ≤2k π+
π
其中正确的结论的序号是 。 三、解答题
9．（1）已知sin θ－cos θ=
（2）求函数y=23cosx+2sin2x-3的值域及取得最值是时的x 的值。
10．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S （厘米）和时间t （秒）的函数关系为y= 6sin（2πt+
2π
(0＜θ＜) ，求sin θ+cosθ的值； 32
π
6
。 ) ）
（1） 作出它的图象；
（2） 单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？ （3） 单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ （4） 单摆来回摆动一次需要多少时间？
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）
教学目的：
1、知识与技能：
（1）利用单位圆中的三角函数线作出y =sin x , x ∈R 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系cos x =sin(x +π) ，作出y =cos x , x ∈R 的图象；
2
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 2、过程与方法
（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 3、情感、态度、价值观：
通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象，周期性； 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2. 正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）
P 与原点的距离r (r =则比值
x +y =x 2+y 2>0)
22
y y
叫做α的正弦 记作： sin α=
r r
x x
比值叫做α的余弦 记作： cos α=
r r
3. 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y) ，过P 作x 轴的垂
线，垂足为M ，则有
sin α=
y x
=MP ，cos α==OM r r
向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与
函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线
的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份. 把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份. （预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角0,
πππ
，，, „，2π的正弦线正弦线（等价于632
“列表” ）. 把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，
则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线. 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x ∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x ∈R 的图象.
把角x (x ∈R ) 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象
.
（2）余弦函数y=cosx的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过O 1作与x 轴的正半轴成
π
角的直线，又过余弦线O 1A 的终点A 作x 轴的垂4
线，它与前面所作的直线交于A ′，那么O 1A 与AA ′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O 1A “竖立”起来成为AA ′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖
π
到O 1M 1位置，则O 1M 1与O 1M 长度相等，方向2
ππ
相同. ）根据诱导公式cos x =sin(x +) , 还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单
22
立”（把角x 的余弦线O 1M 按逆时针方向旋转
位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
π3π,1) (π,0) (,-1) (2π,0) 22
余弦函数y=cosx x∈[0,2π]的五个点关键是 (0,0) (
π3π,0) (π,-1) (,0) (2π,1) 22
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
(0,1) (
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |， （3）y=sin |x | 例2 用五点法作函数y =2cos(x +
π
3
), x ∈[0,2π]的简图.
例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：
115π
(1)sinx ≥; (2)cosx ≤,(0
2 22
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象 2．分别在[-4π,4π]内作出y=sinx和y=cosx的图象 3．用五点法作出y=cosx,x∈[0,2π]的图象 六、板书设计： 七、教后记：
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）
教学目标： 1. 知识与技能：
（1）使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。 2过程与方法：
3情感态度与价值观：
（1） 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
（2） 通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。 1、 教学重点和难点：
2、 重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。 3、 难点：确定五个关键点。 4、 教学过程： 5、 思考探究 6、 复习
（1） 关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？
（2） 观察我们上一节课用几何法作出的函数ｙ＝sin ｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你
发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？为什么？ （用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）
2、“五点（画图）法”
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sin ｘ的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。 （1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sin ｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。 (用几何画板画出Y=sinx的图像，显示动画)
（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cos ｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。 解：按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。
1.5
f (x ) = cos(x )
1
0.5
O
-0.5-1
1
π2
234
π
32
5
6
π
2π
一、 自主学习
例1． 画出下列函数的简图：
（1） y ＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕 （2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
解：（1） 按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。
(2)按五个关键点列表、描点、连线，画出简图。
二、 合作学习
●探究1
如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 ●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X 轴对称。 ●探究3
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x 轴对称的图形，得到 y＝-cosx 的图象， 再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。 ●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。 三、 归纳小结 1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。 （2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。 （3）关键点
横坐标：0 π/2 π 3π/2 2π 2、图形变换 平移、翻转等 四、 布置作业
P53：A 组1 P54：B 组1 五、教后记：
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识和技能：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
过程与方法：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周
期。
情感态度与价值观：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数
学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？„„
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2
– 1
-π - -2 - O
22
-1–
正弦函数f (x ) =sin x 性质如下：
π
π
x 5
（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2kπ+x)=sinx可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k ∈Z ）时，总f (x +2k π) =sin(x +2k π) =sin x =f (x ) ．
也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；
有
（2）对于定义域内的任意x ，sin(x +2k π) =sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x ) 那么函数f (x ) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数y =sin x ，x ∈R 有sin(
2ππ2π
能否说是它的周期？ ) =sin ，
6363
（2）正弦函数y =sin x ，x ∈R 是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k ∈Z 且k ≠0）
*
（3）若函数f (x ) 的周期为T ，则kT ，k ∈Z 也是f (x ) 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：f (x ) =f (x +T ) =f (x +2T ) = =f (x +kT ) ）
+
π
2、说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T∈M, 且若T>0则定义域无上界；T
2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x ) 就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0) ） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π, „,-2π,-4π, „都是周期）周期T 中最
小的正数叫做f (x ) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx的最小正周期为2π （一般称为周期）
从图象上可以看出y =sin x ，x ∈R ；y =cos x ，x ∈R 的最小正周期为2π；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （f (x ) =c 没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ①y =3cos x ②y =sin 2x （3）y =2sin(x -
1
2
π
6
) ，
x ∈R ．
解：（1）∵3cos(x +2π) =3cos x ，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +2π，函数y =3cos x ，x ∈R 的值才能重复出现，
所以，函数y =3cos x ，x ∈R 的周期是2π．
（2）∵sin(2x +2π) =sin 2(x +π) =sin 2x ，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +π，函数y =sin 2x ， x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y =sin 2x ，x ∈R 的周期是π． （3）∵2sin(x -
1π1π
+2π) =2sin[(x +π) -]=2sin(x -) ， 62626
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +π，函数y =sin 2x ，x ∈R 的值才能重复出
12
所以，函数y =sin 2x ，x ∈R 的周期是π．
π
现，
说明：（1）一般结论：函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ，x ∈R （其中
A , ω, ϕ 为常数，且A ≠0，ω>0）的周期T =
2π
ω
；
（2）若ω
1π
x -) ，x ∈R ． 26
2π
|ω|
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ，x ∈R 的周期T =例2先化简，再求函数的周期 ①y =sin x +cos x
②y =cos x +2cos x sin x -sin x ③证明函数f (x ) =|sin x |+|cos x |的一个周期为例3 求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+
x ππ
) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(+)
253
2
2
π
，并求函数的值域； 2
解：1︒ 令z= x+
π
而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z) 3
ππ
]=f (x+) ∴周期T=2π 33
f [(x+2) π+
2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]
即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π 3︒令z=
x πx π
+ 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(++2π) 2525
=3sin(
x +4ππ
+)=f (x +4π) ∴T=4π 25
2π
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω, φ为常数,A ≠0, x∈R) 周期T=
y=Acos(ωx+φ) 也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+
ω
ππ)+2cos(3x-)
64
2
2︒ y=|sinx| 3︒ y=2sinxcosx+2cosx-1 解：1︒ y1=sin(2x+ y2=2cos(3x-
π
) 最小正周期T 1=π 4
π2π) 最小正周期 T2= 63
∴T 为T 1 ,T2的最小公倍数2π ∴T=2π
2︒
注意小结这两种类型的解题规律
3︒ y=3sin2x+cos2x ∴T=π 三、巩固与练习
1． y=2cos(
πx π
+)-3sin(x -)
443
ππ
)+sin(4x-) 23π)| 6
2． y=-cos(3x+3． y=|sin(2x+4． y=cos
θθ2θsin +1-2sin 222
四、小 结：本节课学习了以下内容： 周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3 补充：
1．求下列函数的周期：
1︒y=sin(2x+
ππ
)+2cos(3x-) 2︒ y=|sinx| 3︒ y=2sinxcosx+2cos2x-1 46
π3-cos x
)-1 2︒ y=sin2x-4sinx+5 3︒ y= 43+cos x
2． 求下列函数的最值： 1︒ y=sin(3x+
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。
七、课后反思： 题选
求下列函数的周期：
3x x 3x x cos +sin sin ；
322222
x x 2
（3）y =sin x +cos x ； （4）y =cos 2-sin 2； （5）y =cos x ．
22
2π
解：（1）T ==4，∴周期为4；
|-|23x x 3x x 3x x
（2）y =cos cos +sin sin =cos(-) =cos x ，∴周期为2π；
222222
（1）y =sin(
π
-
π
x ) ； （2）y =cos
（3
）y =cos x -sin x =（4）y =sin 2
-x ) ∴周期为2π；
4
π
x x
-cos 2=-cos x ，∴周期为2π； 22
1112
（5）y =cos x =(1-cos 2x ) =-cos 2x +，∴周期为π．
222
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为y =A sin(ωx +ϕ) 的形式，再利用公式
2π
进行求解。 T =
ω
八、教后记：
4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识和技能：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
过程与方法：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 情感态度价值观：
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事
求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
二、讲解新课：
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：
f (-
π1π1ππ
)=, f ()= ,即f (-)=f () ；„„ 323233
由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx的图象上的任一点, 那么,
与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)= f(x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。
例如：函数f (x)=x+1, f(x)=x-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
2
4
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f (x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=
1
都是奇函数。 x
如果函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；
（2）f (-x)= f(x)或f (-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f (-x)，看是等于f (x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2. 单调性
从y ＝sin x ，x ∈［－当x ∈［－
π3π
22,
］的图象上可看出：
ππ
，］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 22π3π
当x ∈［，］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1.
22
结合上述周期性可知：
ππ
＋2k π，＋2k π］(k ∈Z ) 上都是增函数，其值从22
3ππ
－1增大到1；在每一个闭区间［＋2k π，＋2k π］(k ∈Z ) 上都是减函数，其值从1
22
正弦函数在每一个闭区间［－
减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1) π，2k π］(k ∈Z ) 上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1) π］(k ∈Z ) 上都是减函数，其值从1减小到－1.
3. 有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=k π+
π
2
k∈Z
y=cosx的对称轴为x=k π k∈Z （1）写出函数y =3sin 2x 的对称轴；
（2）y =sin(x +
π
4
) 的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线x =4. 例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x ) =
π
4
， (D) 直线x =-
π
4
1+sin x -cos x
;
1+sin x +cos x
4
4
(2)f(x)=sinx-cos x+cos2x;
(3)f (x ) =lg(sinx
lg(1-x 2)
（4）f (x ) =
|x -2|-2
2⎧⎪x +x (x
（5）f (x ) =⎨； 2
⎪⎩-x +x (x >0)
例2 (1)函数f (x ) ＝sin x 图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)
函数f (x ) =x +cos x 图象的对称轴是 ；对称中心是 . 例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a 、b 为常数) ，且f(5)=7, 求f(-5). 例4 已知已知f (x ) =log 1
1-sin x
.
1+sin x 2
(1) 求f(x)的定义域和值域；
(2) 判断它的奇偶性、周期性； (3) 判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ) 是偶函数，
求θ的值. (2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线x =-例6 已知f (x ) =log a (sin1. 有关奇偶性
（1）f (x ) =sin |x |+|sin x | （2）(x ) =
2
π
8
对称，求b 的值.
x x
-sin 4)(a >0, a ≠1) ，试确定函数的奇偶性、单调性. 22
1+sin x -cos x
1+sin x +cos x
有关单调性
（1）利用公式sin α-sin β=2cos
α+β
2
sin
α-β
2
，求证f (x ) =sin x 在[-
ππ
, ]上是
22
增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ①sin(-
) ；
18102317
②cos(-π) -cos(-π)
54
（3）比较sin 1, sin 2, sin 3大小；sin(π-3)
练习讲评
（1）化简：2-sin 2+cos 4
2
π
) -sin(-
π
π
4
) 的单调递增区间；
a sin
（2）已知非零常数a , b 满足
π
=tan 8π，求b 的值；
15a a cos -b sin
55
+b cos
π
（3）已知8sin α+10cos β=5, 8cos α+10sin β=5 求值：（1）sin(α+β) ；（2）sin(解：
（1）2-sin 2+cos 4
2
π
3
+α)
=2-sin 22+1-2sin 22=3(1-sin 22) =3cos 22=3|cos 2|=-cos 2
（2）
a ππ8π
sin +cos sin b 55=15a 8cos -sin cos b 5515
8ππ8ππ8ππsin cos -cos sin -) a 155155=155=tan π=3⇒=
888b 3cos cos +sin sin -)
155155155
2
（3）两式平方相加得164+160sin(α+β) =100⇒sin(α+β) =；
5
10cos β=5-8sin α10sin β=53-8cos α
两式平方相加得100=164-80sin α-80cos α
即
132π2sin α+cos α=, ∴sin(+α) = 22535
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1． 2． 3．
五、课后作业：见教材 六、板书设计： 七、教后记：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识与技能：1. 用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2. 用正切函数图象解决函数有关的性质；
过程与方法：1. 理解并掌握作正切函数图象的方法；
2. 理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
情感态度价值观：培养认真学习的精神； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课：
1．正切函数y =tan x 的定义域是什么？ ⎨x |x ≠2．正切函数是不是周期函数？ t a n (x +π)=
⎧
⎩
π
⎫
+k π, k ∈z ⎬ 2⎭
π⎛
t a x n x ∈R 且, ≠x πk +
2⎝
⎛
⎝
⎫∈, k ⎪，z
⎭
∴π是y =tan x x ∈R , 且x ≠k π+
π
⎫
, k ∈z ⎪的一个周期。 2⎭
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作y =tan x ，x ∈ -
⎛ππ⎫
, ⎪的图象
22⎭⎝
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y =tan x
x ∈R ，且x ≠
π
2
。
+k π(k ∈z )的图象，称“正切曲线”
的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎨x |x ≠
⎧⎩
π
⎫
+k π, k ∈z ⎬； 2⎭
（2）值域：R
观察：当x 从小于k π+ 当x 从大于
π
2
π→+∞ (k ∈z )，x −−→k π+时，tan x −−
2
π
2
（3）周期性：T =π；
−→+k π(k ∈z )，x −
π
2
−→-∞。 +k π时，tan x −
（4）奇偶性：由tan (-x )=-tan x 知，正切函数是奇函数；
ππ⎫（5）单调性：在开区间⎛ -+k π, +k π⎪k ∈z 内，函数单调递增。 2⎝2⎭
5. 余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
π⎫π⎛π⎫⎛
y =cot x =tan -x ⎪=-tan x -⎪——即将y =tan x 的图象，向左平移
2⎭2⎝2⎭⎝
个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得y =cot x
定义域：x ∈R 且x ≠k π, k ∈z 值域：R ， 当x ∈ k π, k π+
⎛
⎝
π⎫
π⎛⎫
k ∈z x ∈k π-, k π⎪k ∈z 时y 0⎪ 2⎭2⎝⎭
周期：T =π
奇偶性：奇函数
单调性：在区间(k π, (k +1)π)6. 讲解范例： 例1比较tan -
⎛13π⎫⎛17π⎫
⎪与tan -⎪⎝4⎭⎝5⎭
解： tan -
2ππ⎛13π⎫⎛17π⎫
， ⎪=-tan ，tan -⎪=-tan
4554⎝⎭⎝⎭
2π⎛π⎫
, y =tan x 在 0, ⎪内单调递增， 5⎝2⎭
2ππ2π⎛13⎫⎛17⎫, ∴-tan >-tan , 即tan -π⎪>tan -π⎪545⎝4⎭⎝5⎭
又：0
π
4
∴tan
π
4
例2讨论函数y =tan x +
⎛
⎝
π⎫
⎪4⎭
略解：定义域：⎨x |x ∈R 且x ≠k π+
⎧⎩
π
⎫, k ∈z ⎬ 4⎭
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在 k π-
⎛
⎝
3ππ⎫
, k π+⎪44⎭
图象：可看作是y =tan x 的图象向左平移例3求函数y ＝tan2x π
4
解：由2x ≠k π＋
π
，(k ∈Z ) 2k ππ得x ≠＋，(k ∈Z )
24
∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠
k ππ
＋，k ∈Z ｝ 24
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0 解：画出y ＝tan x 在(－围为：0＜x ＜
ππ
，) 上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范22
π 2
ππ
上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋)(k ∈Z ) 22
结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°解：∵90°＜135°＜138°＜270° 又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°) 上是增函数 ∴tan135°＜tan138°
三、巩固与练习
P ．71．练习2，3，6
求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π解：（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠即x ≠
π
＋ｋπ，ｋ∈Z 2
k ππ＋，ｋ∈Z
24
∴函数y ＝tan2x 的定义域为｛x ∈R ｜，x ≠（2）设ｔ＝2x ，由x ≠
π
4
+
k π
，ｋ∈Z ｝ 2
π
4
+
k ππ，ｋ∈Z ｝知ｔ≠＋22
ｋπ，ｋ∈Z
∴y ＝tan ｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）
π
）＝tan （2x ＋π）＝tan2x 2π
∴y ＝tan2x 的周期为．
2
（3）由tan2（x ＋
（4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1. 因为正切函数y =tan x 的定义域是{x |x ∈R , x ≠k π+
π
2
, k ∈Z }，所以它的图象被
x =±
π
3
, ±π,...... 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。 22
2. 作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y ＝tan(ωx ) ，
x ≠
k π
ω
+
ππ (k ∈Z ) 的周期T ＝2ωω
五、课后作业：
六、板书设计： 七、教后记：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（2）
教学目的：
知识与技能：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题； 过程与方法：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。 情感态度价值观：培养认真学习的精神； 教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题． 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。 二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
⎪ 答：T =π。 5⎭π⎫π⎛
（2）y =tan 3x -⎪ 答：T =。
6⎭3⎝
（1）y =3tan x +
说明：函数y =A tan (ωx +ϕ)(A ≠0, ω≠0)的周期T =例2：求函数y =tan 3x -
⎛⎝
π⎫
π． ω
⎛⎝
π⎫
⎪的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并3⎭
得x ≠
说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
k π5π
， +
32318
πk π5π⎧⎫
∴所求定义域为⎨x |x ∈R , 且x ≠+, k ∈z ⎬，值域为R ，周期T =，是非奇非
3183⎩⎭
⎛k ππk π5π⎫
-, +偶函数，在区间 ⎪(k ∈z )上是增函数。 318318⎝⎭
π⎫π⎛
将y =tan x 图象向右平移个单位，得到y =tan x -⎪的图象；再将
3⎭3⎝1π⎫⎛
y =tan x -⎪的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函
3⎭3⎝
解：由3x -
π
≠k π+
π
数y =tan 3x -
⎛⎝
π⎫
⎪的图象。 3⎭
的定义域。
例3
：用图象求函数y =
解：由tan x ≥0 得
tan x ≥利用图象知，所求定义域为⎢k π+
⎡⎣
π
3
, k π+
π⎫
⎪(k ∈Z )，
2⎭
三、巩固与练习 1．“a n t x 0>”是“x
>0”的
2．与函数y =tan 2x + (A )x =
⎛
⎝
π⎫
⎪的图象不相交的一条直线是（ D ） 4⎭
π
2
(B )x =-
π
2
(C )x =
π
4
(D )x =
π
8
3．函数y = k π-
⎛⎝
π
π⎤
, k π+⎥(k ∈Z )． 24⎦
⎡3⎫
, +∞⎪． ⎢4⎣⎭
4．函数y =tan x +tan x +1 x ≠k π+
2
⎛
⎝
π
⎫
, k ∈Z ⎪的值域是 2⎭
5．函数y =tan x -cot x 的奇偶性是四、小 结：本节课学习了以下内容：
正切函数的性质。 五、课后作业： 以下函数中，不是奇函数的是( ) ．．
π
． 2
A. y ＝sin x ＋tan x Ｂ．y ＝x tan x －1 Ｃ．y ＝
sin x -tan x -tan x
Ｄ．y ＝lg
1+cos x 1+tan x
3. 下列命题中正确的是( )
A ．y ＝cos x 在第二象限是减函数 Ｂ．y ＝tan x 在定义域内是增函数 Ｃ．y ＝｜cos （2x ＋π
）｜的周期是
π
Ｄ．y ＝sin ｜x ｜是周期为2π的偶函数 3
2
六、板书设计： 七、教后记：
4-1.5函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0的图象
教学目标：
知识与技能
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
过程与方法
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
情感态度与价值观 ：1 渗透数形结合思想
2 . 培养动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题和解决问题。 教学重点：
函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。 教学难点：
各种变换内在联系的揭示。
教学过程： 一、 复习旧知
1. “五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？ 2. 函数y = sin(x±k)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x ±k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向左(或右) 平移k 个单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k 个单
位，这种变换称为平移变换。
3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x 轴伸长(w1)到原来的
1
倍而得到，称为周期变换。 ω
演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到原来的4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像沿y 轴伸长(A>1)或缩短(x
演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | ) 或缩小(0
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x ±k) ，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数y = sinx图像的关系，那么函数y = Asin(wx+ϕ)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图像有何关系呢？三、尝试探究 1. 函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像。
π
例：作函数y = 3sin(2x+) 的简图。
3
1倍。 ω
z πz -ππππ 解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin Z，x==-，分别取z = 0，，
233226
π，
πππ7π5π3ππ
，2π，则得x 为-，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x-) 236123126
π5π
，]图象上起关键作用的点。 66
在一个周期[-
⑵列表
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+ϕ) 图像的。
π3 π归纳1：先把函数y = sinx 的图像上的所有点向左平行移动个单位，得到y = sin(x+) 33的图像，再把y = sin(x +得到y = sin(2x +
1π
) 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ，32
ππ
) 的图像，再把y = sin(2x +) 的图像上所有的点的纵坐标伸长到33
π
) 图像。 3
原来的3倍(横坐标不变) ，从而得到y = 3sin(2x +
归纳2：函数y = Asin(wx+ϕ) ，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(ϕ>0)或向右(ϕ>1)平移|ϕ|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0
1
倍(纵坐标不变) ，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
到原来的A 倍，(横坐标不变) 。即：平移变换→周期变换→振幅变换。三、尝试探究 1. 函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五
点法”作函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像。
π
例：作函数y = 3sin(2x+) 的简图。
3
z πz -πππ 解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sinZ，x==-，分别取z = 0，
23326πππ7π5ππ3ππ
，π，2π，则得x 为-，所对应的五点为函数y=3sin(x-)
2236123126
在一个周期[- ⑵列表
π5π
，]图象上起关键作用的点。 66
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+ϕ) 图像的。四、指导创新 上面我们学习了函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像可由y = sinx图像平移变换→周期变换→振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+ϕ) 的图象吗？ ⑴周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶平移变换→振幅变换→周期变换
教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律：若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像，振幅变换出现在前或后不会影响得到函数y = Asin(wx+ϕ) 的图像。
教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数y = Asin(wx+ϕ) (A>0，w>0)图像的原因，并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数y = Asin(wx+ϕ) 图像的一般公式。
周期变换
平移变换
−−−−−−−→−−→ 原因：y = sinx y =Asinwx−−−−
1平移ϕ个单位
伸长或缩短倍
ω
振幅变换
y = sinw(x+ϕ) = sin(wx+wϕ) −−−−−−→y = Asin(wx+wϕ)
伸长或缩短A 倍 一般公式：将平移变换单位改为： 五、归纳小结
本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数y =Asin(wx+ϕ) 的图像由y = sinx图像的得到。 六、变式练习
1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx 的图像而得到的。 ⑴y = 5sin(
ϕw
即可。
1π1π
x+) ；⑵y =sin(3x-) 2624
2. 完成下列填空
5π
个单位所得图像的函数表达式为 ？ 12
ππ
⑵函数y = 3cos(x+) 图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
43
⑴函数y = sin2x图像向右平移
⑶函数y = 2loga 2x 图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 ？ π
⑷函数y = 2tg(2x+) 图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为 ？
3
七、布置作业(略) 八、教后记：
4-1.6三角函数模型的简单应用
【知识与技能】
1. 掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2. 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 【过程与方法】
例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题. 问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式. 也就是利用函数模型来解决问题. 要特别注意自变量的变化范围.
例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法. 显然，函数y =sin x 与正弦函数有紧密的联系.
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。 补充例题
例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，
离开平衡位置的位移s(单位：cm) 与时间t(单位：s) 的函数关系是⎛g π⎫
（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，⎪, t ∈[0, +∞) ，s =3sin t + l 6⎪⎝⎭
要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？ 解：（1） ω=【情态与价值】
g 2π
∴T ==2πl ωl 1
, f =g 2π
g g ；（2）若T =1，即l =≈24. 8cm . 2
4πl
一、选择题
1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）
A. y =v 0t B. y =v 0⋅sin θ⋅t -
1
g ⋅t 2 C. y =v 0⋅sin θ⋅t D. y =v 0⋅cos θ⋅t 2
2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）
A ．
π2 B. 0 C. π D. π 23
3. 某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）
A ． B. 23 C. 23或 D. 3
二、填空题
4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为45，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______
5. 一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题
6. 三个力F 1. F 2. F 3同时作用于O 点且处于平衡，已知F 1与F 2的夹角为135 ，F 2与F 3的夹角为120 F 2=2牛顿，求F 1和F 3
7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少?
θ
2
三角函数小结和复习
【知识与技能】
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
【过程与方法】
三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。
例题
例1 判断下列函数的奇偶性
①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx
⑤y=1-cos(-3x-5π)
分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数
解：（过程略）①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数 例2 求函数y=-3cos(2x-
1
π) 的最大值，并求此时角x 的值。 3
12
π=2 kπ+ π得x= kπ+π, (k∈Z) 33
分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。 解：函数的最大值为：y max =|-3|=3,此时由2x-例3 求函数y =
1
的定义域。
1+tan x
1+tan x ≠0x ≠kx +
⎧
1
解：要使函数y =有意义，则有⎨
1+tan x ⎩
即x ≠k π-
π
2
(k ∈Z )
π
4
, 且x ≠k π+
π
2
, (k ∈Z )
所以，函数的定义域为{χ︱χ∈R 且x ≠k π-【情态与价值】 一、选择题
π
4
, x ≠k π+
π
2
, k ∈Z }
1．已知cos240约等于0.92 ,则sin660约等于（ ）
A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95
sin 2x +2cos 2x
的值是（ ）。
2cos 2x -3sin 2x -1
2122
A ． B ． C ．- D ．
151553
2．已知tanx=2，则
3．不等式tanx ≤-1的解集是（ ）。
ππ3π
, 2k π-]（k ∈Z ） B. [2k π-, 2k π+]（k ∈Z ） 2442πππ3π
C. (k π-, k π-]（k ∈Z ） D. [2k π+, 2k π+]（k ∈Z ）
2424
A ．(2k π-
4. 有以下四种变换方式：
π
11ππ，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移； 4228
1π1π
③将横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的。
2482
①向左平移
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+
π
）的图象的是（ ） 4
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 二、填空题
7π
）= . 6
2ππ
6．函数y=sinx（≤x ≤）的值域是 。
36
13
7．若函数y=a+bsinx的值域为[-，]，则此函数的解析式是。
22
5． tan （-8．对于函数y=Asin（ωx+ϕ）（A 、ω、ϕ均为不等于零的常数）有下列说法： ①最大值为A ； ②最小正周期为
π
；③在[0，2π]λο上至少存在一个x ，使y=0； |ω|
2
（k ∈Z ）解得x 的范围即为单调递增区间，
④由2k π-
π
2
≤ωx+ϕ≤2k π+
π
其中正确的结论的序号是 。 三、解答题
9．（1）已知sin θ－cos θ=
（2）求函数y=23cosx+2sin2x-3的值域及取得最值是时的x 的值。
10．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S （厘米）和时间t （秒）的函数关系为y= 6sin（2πt+
2π
(0＜θ＜) ，求sin θ+cosθ的值； 32
π
6
。 ) ）
（1） 作出它的图象；
（2） 单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？ （3） 单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ （4） 单摆来回摆动一次需要多少时间？