《大学物理简明教程》习题解答
习题一
1-1 |r|与r有无不同?和有无不同? 同?其不同在哪里?试举例说明.
rr2r1;
drdt
drdt
dvdt
和
dvdt
有无不
解:(1)r是位移的模,r是位矢的模的增量,即rr2r1,
drdt
drdsdtvdt
(2)
drdt
是速度的模,即.
只是速度在径向上的分量.
ˆdrdrdrˆrr
ˆdtdtdt ˆrrr∵有(式中r叫做单位矢),则dr
式中dt
就是速度径向上的分量,
∴
题1-1图
dvdt
drdr与
dtdt不同如题
1-1图所示
.
(3)量.
vv(表轨道节线方向单位矢)∵有,所以
dvdvdvdtdtdt
dva
dt表示加速度的模,即
dv
,dt是加速度a在切向上的分
dv
式中dt就是加速度的切向分量.
ˆdˆdr与
(dtdt的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度
和加速度时,有人先求出r=
而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结
dr
22
xy,然后根据v=dt
d2r
,及a=dt2
果,即
=及a=
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角
rxiyj, 坐标系中,有
drdxdyvij
dtdtdt
d2rd2xd2ya22i2j
dtdtdt
2
2
dxdy
dtdt
22
d2xd2ydt2dt2
22
故它们的模即为
dxdy
vvv
dtdt
2x
2y
2
而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作
drv
dt
drdr与2
其二,可能是将dtdtdr说明dt
2
d2xd2y22
aaxaydt2dt2
2
d2ra2
dt
误作速度与加速度的模。在1-1题中已
d2r
不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,dt2
也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分
2
d2rd
a径2r
dtdt。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r
在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r及速
v度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为
1
x=3t+5, y=2t2+3t-4.
式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点
的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
1
r(3t5)i(t23t4)j
2m 解:(1)
(2)将t1,t2代入上式即有
r18i0.5j m
r211j4jm
rr2r13j4.5jm
(3)∵ r05j4j,r417i16j
rr4r012i20j
3i5jms1
t404∴
drv3i(t3)jms1
(4) dt
v3i7j ms1 则 4v3i3j,v3i7j 4(5)∵ 0
vv4v041jms2
t44 dv
a1jms2
dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以v0(m·s1)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.
图1-4
解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成角,由图可知
l2
h2s2
将上式对时间t求导,得
2l
dlds
2sdtdt
题1-4图
根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的, ∴ 即
v船
v绳
dldsv0,v船dtdt
vdsldllv00dtsdtscos
lv0(h2s2)1/2v0v船
ss或
将v船再对t求导,即得船的加速度
dldsldvv0slv船
a船2v0v0
2
dtss
l22
(s)v02
h2v0s3
2ss
s
1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x2,a的
单位为ms2,x的单位为 m. 质点在x=0处,速度为10ms1,试求质点在任何坐标处的速度值. 解: ∵
2
dadx(26x)dx 分离变量:
12
v2x2x3c
两边积分得 2
a
dvdvdxdv
vdtdxdtdx
由题知,x0时,v010,∴c50
31
v2xx25ms∴
1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3tms2,开始
运动时,x=5 m,v=0,求该质点在t=10s 时的速度和位置. 解:∵
分离变量,得 dv(43t)dt
a
dv
43tdt
积分,得
由题知,t0,v00,∴c10
3
v4tt2c1
2
3v4tt2
2 故
又因为 分离变量,
dx(4t
32
t)dt2
v
dx3
4tt2dt2
1
x2t2t3c2
2积分得
由题知 t0,x05,∴c25 故
所以t10s时
x2t2
13
t52
v10410
3
102190ms121
x1021021035705m
2
1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 =2+3t3,
式中以弧度计,t以秒计,求:(1) t=2 s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少?
解:
dd9t2,18tdtdt
2
aR118236mst2s (1)时,
anR21(922)21296ms2
a
tan451
an
(2)当加速度方向与半径成45ο角时,有
222
即 RR 亦即 (9t)18t
则解得
t3
22
23t3232.67
9 于是角位移为9
rad
1-8
质点离圆周上某点的弧长,v0,b都是常量,求:(1)t时刻质点的加速度;(2) t为何值时,加速度在数值上等于b.
1v0tbt2
2质点沿半径为R的圆周按s=的规律运动,式中s为
解:(1)
v
ds
v0btdt
dv
bdt
v2(v0bt)2
an
RR
a
2
2n
2
(v0bt)4
aaab
R2则
加速度与半径的夹角为
aRb
an(v0bt)2
(2)由题意应有
(v0bt)4
abb
R2 4
(vbt)
b2b202,(v0bt)40
R即
2
∴当时,ab
1-9 以初速度v0=20ms1抛出一小球,抛出方向与水平面成幔60°的夹角,
求:(1)球轨道最高点的曲率半径R1;(2)落地处的曲率半径R2
. (提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解:设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.
t
v0b
题1-9图
(1)在最高点,
o
vvvcos601x0
an1g10ms2
又∵
an1
v12
1
v12(20cos60)2
1
an110
∴
(2)在落地点,
10m
v2v020ms1,
o
agcos60n而 2
2
v2(20)2
280m
an210cos60
∴
1-10飞轮半径为0.4 m,自静止启动,其角加速度为β=0.2 rad·s2,求t=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.
解:当t2s时,t0.220.4rads1 则vR0.40.40.16ms1
anR20.4(0.4)20.064ms2
aR0.40.20.08ms2
-1
1-11 一船以速率v1=30km·h沿直线向东行驶,另一小艇在其
-1
前方以速率v2=40km·h
沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
vv 解:(1)大船看小艇,则有212v1,依题意作速度矢量图如题
1-13图
(a)
2
aana2(0.064)2(0.08)20.102ms2
题1-11图
221
vvv50kmh2112由图可知
方向北偏西 vv(2)小船看大船,则有121v2,依题意作出速度矢量图如题1-13
图(b),同上法,得 方向南偏东36.87o
v1250kmh1
v13
36.87v24
习题二
2-1 一个质量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为)上以
v0的方向与斜面底边的水平线AB平行,初速度v0运动,如图所示,
求这质点的运动轨道.
vmg解: 物体置于斜面上受到重力,斜面支持力N.建立坐标:取0
方向为X轴,平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图
2-2.
题2-1图
X方向: Fx0 xv0t ①
方向: ②
Y
Fymgsinmay
t0时 y0 vy0
y
1
gsint22
由①、②式消去t,得
12gsinx2
2v0
16 kg 的质点在xOy平面内运动,受一恒力作用,力
y
-1
2-2 质量为
vy=0.求
的分量为fx=6 N,fy=-7 N,当t=0时,xy0,vx=-2 m·s,当t=2 s时质点的 (1)位矢;(2)速度. 解:
ay
fym
ax
fx63
ms2m168
(1)
235
vxvx0axdt22ms1
084277
vyvy0aydt2ms1
0168
7
ms216
于是质点在2s时的速度
57
vij
48
ms1
(2)
11
r(v0taxt2)iayt2j
22
1713
(224)i()4j
28216
137ijm
48
2-3 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力kv(k为常
数)作用,t=0时质点的速度为v0,证明(1) t时刻的速度为v=
v0e
k()tm
;(2) 由0到t的时间内经过的距离为 )[1-e
(k)tm
mv0
x=(kmv0()
];(3)停止运动前经过的距离为k;(4)
1
证明当tk时速度减至v0的e,式中
m为质点的质量.
kvdv
mdt
答: (1)∵
分离变量,得
dvkdtvm
a
tkdtdv
即 v0v0m
v
ln
vkt
lnemv0
kt
∴ vv0e
(2)
(3)质点停止运动时速度为零,即t→∞,
xvdtv0e
t
kt
kmv0t
dt(1e)
k
故有 (4)当
m
t=k
xv0e
kmt
dt
mv0
k
时,其速度为
vv0e
kmmk
v0e1
v0
e
1
即速度减至v0的e.
2-4
出,若忽略空气阻力,求质点落地时相对抛射时的动量的增量. 解: 依题意作出示意图如题2-6图
v一质量为m的质点以与地的仰角=30°的初速0从地面抛
题2-4图
在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同,与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对y轴对称性,故末速度与x轴夹角亦为30o,则动量的增量为
pmvmv0
mv由矢量图知,动量增量大小为0,方向竖直向下.
2-5 作用在质量为10 kg的物体上的力为F(102t)iN,式中t的
单位是s,(1)求4s后,这物体的动量和速度的变化,以及力给予物体的冲量.(2)为了使这力的冲量为200 N·s,该力应在这物体上作用多久,试就一原来静止的物体和一个具有初速度
6jm·s-1的物体,回答这两个问题. 解: (1)若物体原来静止,则
t41
p1Fdt(102t)idt56kgmsi
p1
v15.6ms1i
m
I1p156kgms1i
,沿x轴正向,
若物体原来具有6ms1初速,则
t
,
同理, v2v1,I2I1
这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大,那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理.
(2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即
tF
p0mv0,pm(v0dt)mv0Fdt
0m0
于是 t
p2pp0Fdtp1
I(102t)dt10tt2
t
亦即 t解得t10s,(t20s舍去) 2-6
2
10t2000
1
vms一颗子弹由枪口射出时速率为0,当子弹在枪筒内被加
速时,它所受的合力为 F =(abt)N(a,b为常数),其中t以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.
解: (1)由题意,子弹到枪口时,有
F(abt)0,得
t
ab
(2)子弹所受的冲量
ab
t1I(abt)dtatbt2
02
将
t
代入,得
a2
I
2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
2-7设F合7i6jN.(1) 当一质点从原点运动到r3i4j16km
F时,求所作的功.(2)如果质点到r处时需0.6s,试求平均功率.(3)如果质点的质量为1kg,试求动能的变化.
解: (1)由题知,F合为恒力,
AFr(7i6j)(3i4j16k) ∴ 合
Ia2
m
v02bv0
212445J
(2) (3)由动能定理,EkA45J
-1
2-8 如题2-18图所示,一物体质量为2kg,以初速度v0=3m·s从斜面A点处下滑,它与斜面的摩擦力为8N,到达B点后压缩弹簧20cm后停止,然后又被弹回,求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理,有
frs
1212kxmvmgssin3722
A45
75wt0.6
12
mvmgssin37frsk
12kx2
式中s4.80.25m,x0.2m,再代入有关数据,解得
k
1390Nm-1
题2-8图
再次运用功能原理,求木块弹回的高度h
frsmgssin37o
代入有关数据,得 s1.4m, 则木块弹回高度
12kx2
2-9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,
试证碰后两小球的运动方向互相垂直. 证: 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有
11122mv0mv12mv2222
hssin37o0.84m
即
①
22v0v12v2
题2-9图(a) 题2-9图(b) 又碰撞过程中,动量守恒,即有
mv0mv1mv2
亦即 ②
由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足
vvv0勾股定理,且以为斜边,故知1与2是互相垂直的. 2-10
受到一个沿x负方向的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量
vvivxyj, 质点一质量为m的质点位于(x1,y1)处,速度为
v0v1v2
以及作用于质点上的力的力矩. 解: 由题知,质点的位矢为 作用在质点上的力为
L0rmv
rx1iy1j ffi
所以,质点对原点的角动量为
(x1mvyy1mvx)k
(x1iy1i)m(vxivyj)
作用在质点上的力的力矩为
2-11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距
104-1
离为r1=8.75×10m 时的速率是v1=5.46×10m·s,它离太
2-1
阳最远时的速率是v2=9.08×10m·s这时它离太阳的距离r2
多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有
r1mv1r2mv2
r1v18.7510105.4610412
r25.2610m2
v9.08102∴
1vi6jmsr4imt2-12 物体质量为3kg,=0时位于, ,如一恒
力f5jN作用在物体上,求3秒后,(1)物体动量的变化;(2)相
M0rf(x1iy1j)(fi)y1fk
对z轴角动量的变化.
0 解: (1)
(2)解(一) xx0v0xt437
3
pfdt5jdt15jkgms1
1215
at633225.5j232
即 r14i,r27i25.5j
yv0yt
5
vyv0yat6311
3
vxv0x1
即 v1i16j,v2i11j
Lrmv4i3(i6j)72k1∴ 11
L2r2mv2(7i25.5j)3(i11j)154.5k
21
∴ LL2L182.5kkgms
解(二) ∵
M
dzdt
tt
LMdt(rF)dt
∴
3
152
(4t)i(6t)t)j5jdt023
3
5(4t)kdt82.5kkgm2s1
题2-12图
2-13飞轮的质量m=60kg,半径R=0.25m,绕其水平中心轴O转
-1
动,转速为900rev·min.现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-25图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求:
(1)设F=100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?
(2)如果在2s内飞轮转速减少一半,需加多大的力F? 解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中N、N是正压力,Fr、Fr是摩擦力,Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支承力,R是轮的重力,P是轮在O轴处所受支承力.
题2-13图(a)
题2-13图(b) 杆处于静止状态,所以对A点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有
l1l2
Fl1
对飞轮,按转动定律有FrR/IF(l1l2)Nl10
N
,式中负号表示与角速度方
N
向相反.
∵ FrN N∴
FrN
I
l1l2
Fl1
又∵
1
mR2,2
∴
①
以F100N等代入上式,得
FrR2(l1l2)
FImRl1
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
t
20.40(0.500.75)40
100rads2
600.250.503
这段时间内飞轮的角位移为
1900291409
()2
2604234
53.12rad
可知在这段时间里,飞轮转了53.1转.
090023
7.06s6040
0tt2
(2)
0900
2
rads160,要求飞轮转速在t2s内减少一半,可知
0
0t
0
2t
用上面式(1)所示的关系,可求出所需的制动力为
F
mRl1
2(l1l2)
15
rads22
2-14固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称
600.250.5015
20.40(0.500.75)2177N
轴OO转动.设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和m.绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连,m1和m2则挂在圆柱体的两侧,如题2-26图所示.设R=0.20m, r=0.10m,m=4 kg,M=10 kg,m1=m2=2 kg,且开始时m1,m2离地均为h=2m.求:
(1)柱体转动时的角加速度; (2)两侧细绳的张力.
解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度,方向如图(如图b).
题2-14(a)图 题2-14(b)图 (1) m1,m2和柱体的运动方程如下:
T2m2gm2a2 ① m1gT1m1a1 ②
T1RT2rI ③
式中 T1T1,T2T2,a2r,a1R 而 由上式求得
Rm1rm2
g
Im1R2m2r2
0.220.12
9.8
I
11MR2mr222
11
100.20240.10220.20220.102226.13rads2
(2)由①式 由②式
T2m2rm2g20.106.1329.820.8N
2-15 如题
端O的水平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下.求: (1)初始时刻的角加速度; (2)杆转过角时的角速度. 解: (1)由转动定律,有
mg
11
(ml2)23
3g
2l
T1m1gm1R29.820.2.6.1317.1N
2-15图所示,一匀质细杆质量为m,长为l,可绕过一
∴ (2)由机械能守恒定律,有
mg
l11
sin(ml2)2223
3gsin
l
∴
题2-15图
习题三
3-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答:气体在平衡态时,系统与外界在宏观上无能量和物质的交换;系统的宏观性质不随时间变化.
力学平衡态与热力学平衡态不同.当系统处于热平衡态时,组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着,大量粒子运动的平均效果不变,这是一种动态平衡.而个别粒子所受合外力可以不为零.而力学平衡态时,物体保持静止或匀速直线运动,所受合外力为零.
3-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?
答:气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统.是从物
质的微观结构和分子运动论出发,运用力学规律,通过统计平均的办法,求出热运动的宏观结果,再由实验确认的方法.
从宏观看,在温度不太低,压强不大时,实际气体都可近似地当作理想气体来处理,压强越低,温度越高,这种近似的准确度越高.理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点. 3-3 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答:温度是大量分子无规则热运动的集体表现,是一个统计概念,对个别分子无意义.温度微观本质是分子平均平动动能的量度.
NV
N
iii
890
21.7 ms1 41
2110420630840250
214682
方均根速率
2
NVN
ii
2
i
211024202610384022502
214682
25.6 ms1
3-5 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度,N为系统总分子数).
(1)f(v)dv (2)nf(v)dv (3)Nf(v)dv
vv
(4)0f(v)dv (5)0f(v)dv (6)vNf(v)dv
21
解:f(v):表示一定质量的气体,在温度为T的平衡态时,分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比. (1) f(v)dv:表示分布在速率v附近,速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2) nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度.
(3) Nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数.
v
4()0f(v)dv:表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比.
(5)0f(v)dv:表示分布在0~的速率区间内所有分子,其与总分子数的比值是1.
v
6()vNf(v)dv:表示分布在v1~v2区间内的分子数.
21
3-6 题3-6图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条代表氢?题3-6图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条的温度较高?
答:图(a)中(1)表示氧,(2)表示氢;图(b)中(2)温度高.
题3-6图
3-7 试说明下列各量的物理意义.
13i
kT (2)kT (3)kT 222
i3
(4)MiRT (5)RT (6)RT
22Mmol2
(1)
解:(1)在平衡态下,分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为
1
kT. 2
3kT2
(2)在平衡态下,分子平均平动动能均为.
ikT2
(3)在平衡态下,自由度为i的分子平均总能量均为的内能为
Mi
RT. Mmol2
.
(4)由质量为M,摩尔质量为Mmol,自由度为i的分子组成的系统
i
RT. 23
(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT,或者说热力
23
学体系内,1摩尔分子的平均平动动能之总和为RT.
2
(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为
3-8 有一水银气压计,当水银柱为0.76m高时,管顶离水银柱
-42
液面0.12m,管的截面积为2.0×10m,当有少量氦(He)混入水银管内顶部,水银柱高下降为0.6m,此时温度为
27℃,试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为
-1
0.004kg·mol)?
解:由理想气体状态方程pV
M
RT 得 Mmol
Mmol
pVRT
M
汞的重度 dHg1.33105Nm3 氦气的压强 P(0.760.60)dHg
氦气的体积 V(0.880.60)2.0104m3
M0.004
(0.760.60)dHg(0.282.0104)R(27327)
(0.760.60)dHg(0.282.0104)
8.31(27327)
0.004
1.91106Kg
3-9设有N个粒子的系统,其速率分布如题6-18图所示.求 (1)分布函数f(v)的表达式; (2)a与v0之间的关系;
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数. (4)粒子的平均速率.
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率.
题3-9图
解:(1)从图上可得分布函数表达式
Nf(v)av/v0
Nf(v)aNf(v)0
av/Nv0f(v)a/N
0
(0vv0)(v0v2v0) (v2v0)
(0vv0)(v0v2v0) (v2v0)
f(v)满足归一化条件,但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下
的总面积为N,
(2)由归一化条件可得
v0
N
2v0av
dvNadvN
v0
v0
a
2N3v0
(3)可通过面积计算Na(2v01.5v0)1N
3
(4) N个粒子平均速率
0
2
v0av2v01
vf(v)dvvNf(v)dvvavdv 0v0
N0v01123211(av0av0)v0 N329
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
v0
0.5v0
vdN
N1
Nv0vdN
N10.5v0N
Nv0Nv0av2
0.5vvf(v)dv0.5vdv
00N1N1Nv0
332av01v0av21av017av0
v()
N10.5v0v0N13v024v0N124
0.5v0到1v0区间内粒子数 131N1(a0.5a)(v00.5v0)av0N
284
27av07v0
6N9
3-10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vpvp1001与vpvp1001之间的分子数占总分子数的百分比. 解:令u
vvP
,则麦克斯韦速率分布函数可表示为
dN42u2
uedu N因为u1,u0.02 由
N42u2
ueu 得 NN4
1e10.021.66% N3-11 1mol氢气,在温度为27℃时,它的平动动能、转动动能和内能各是多少?
解:理想气体分子的能量
E
iRT2
3
8.313003739.5J 22
转动动能 r2 Er8.313002493J
2
5
内能i5 Ei8.313006232.5 J
2
平动动能 t3 Et
-3 -5
3-12 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg),试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分
-10
子的有效直径d=3×10m). 解:由气体状态方程pnkT得
p1.38103
n3.331017 m3 23
kT1.3810300
1
由平均自由程公式 2
2dn
1
7.5 m 2017
29103.3310
3-13 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率;(2)若温度不变,
-4
气压降到1.33×10Pa,平均碰撞频率又为多少(设分子有效直
-10
径10 m)?
解:(1)碰撞频率公式2d2n 对于理想气体有pnkT,即
n
pkT
2d2p
所以有
kT
8.31273
而 1.RT 1.455.43 ms1
28Mmol
氮气在标准状态下的平均碰撞频率
21020455.431.01310581
s 5.44100
1.381027321020455.431.331041
0.714s
1.381023273
气压下降后的平均碰撞频率
3-14 1mol氧气从初态出发,经过等容升压过程,压强增大为原来的2倍,然后又经过等温膨胀过程,体积增大为原来的2倍,求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比; (2)分子平均自由程之比.
解:由气体状态方程
p1p2
T1T2
及 p2V2p3V3
Mmol
方均根速率公式 21.RT
2初2末
T1
T2p11p22
p
kT
对于理想气体,pnkT,即 n所以有
初T1p2
1 末p1T2
kT2dp
2
习题四
4-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正.
QEpdVQEA(1) (2)
(3) (4)
解:(1)不正确,QEA (2)不正确, (3)不正确,
QΔEpdV
1
Q2Q1
不可逆1
Q2Q1
1
Q2Q1
Q2Q1
(4)不正确,
4-2 用热力学第一定律和第二定律分别证明,在pV图上一绝热线与一等温线不能有两个交点.
不可逆1
题4-2图
解:1.由热力学第一定律有
QEA 若有两个交点a和b,则 经等温ab过程有
E1Q1A10 经绝热ab过程
E2A10 E2A20
从上得出E1E2,这与a,b两点的内能变化应该相同矛盾. 2.若两条曲线有两个交点,则组成闭合曲线而构成了一循环过程,这循环过程只有吸热,无放热,且对外做正功,热机效率为100%,违背了热力学第二定律.
4-3 一循环过程如题4-3图所示,试指出: (1)ab,bc,ca各是什么过程; (2)画出对应的pV图; (3)该循环是否是正循环?
(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积?
(5)用图中的热量Qab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数. 解:(1) ab是等体过程
bc过程:从图知有VKT,K为斜率 由pVvRT 得
vRK
故bc过程为等压过程 p
ca是等温过程
(2)pV图如题4-3’图
题4-3’图
(3)该循环是逆循环
(4)该循环作的功不等于直角三角形面积,因为直角三角形不是pV图中的图形.
(5)
e
Qab
QbcQcaQab
题4-3图 题4-4图
4-4 两个卡诺循环如题4-4图所示,它们的循环面积相等,试问: (1)它们吸热和放热的差值是否相同; (2)对外作的净功是否相等; (3)效率是否相同?
答:由于卡诺循环曲线所包围的面积相等,系统对外所作的净功相等,也就是吸热和放热的差值相等.但吸热和放热的多少不一定相等,效率也就不相同.
AT及4-5 根据,这是否说明可逆过
程的熵变大于不可逆过程熵变?为什么?说明理由.
答:这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变,熵是状态函数,熵变只与初末状态有关,如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同,具有相同的熵变.只能说在不可逆过程中,系统的热温比之和小于熵变. 4-6 如题4-6图所示,一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中,有350 J热量传入系统,而系统作功126 J.
(1)若沿adb时,系统作功42 J,问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时,外界对系统作功为84 J,试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少
?
SBSA
B
dQ可逆
SBSA
dQ不可逆AT
B
题4-6图
解:由abc过程可求出b态和a态的内能之差 QEA EQA350126224 J
过程,系统作功A42J
QEA22442266J 系统吸收热量 ba过程,外界对系统作功A84J QEA22484308J 系统放热
4-7 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K,问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变; (2)压力保持不变. 解:(1)等体过程
由热力学第一定律得QE
abd
吸热
QE
QECV(T2T1)
i
R(T2T1)2
对外作功 A0
(2)等压过程
i2
R(T2T1)2
5
Q8.31(350300)1038.75
2吸热 J QCP(T2T1)
3
8.31(350300)623.252 J
ECV(T2T1)
E
内能增加
对外作功 AQE1038.75623.5415.5J
3
4-8 0.01 m氮气在温度为300 K时,由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa.试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积;(2)温度;(3)各过程对外所作的功.
解:(1)等温压缩 T300K 由p1V1p2V2 求得体积 对外作功
V2
p1V11
0.011103p210 m3
V2p
p1Vln1V1p2
3
8.31(350300)623.252 J
11.0131050.01ln0.01 4.67103J
AVRTln
(2)绝热压缩
CV
57R
5 2
p1V11/
V()由绝热方程 pV
211p2V2
p2
V(p1
1V1p)1/(p
12)V1
2p2
1
(1
10)40.011.93103
m由绝热方程T1
1p1T2p2 得
1
T
T1p2p1
3001.4(10)0.4
2T2579K1
A
热力学第一定律QE,Q0 所以
A
M
MCV(T2T1)mol
pV
M
Ap1V15MRT
R(T2T1)mol,RT12
A1.0131050.00130052(579300)23.5103
J
4-9 1 mol的理想气体的T-V图如题4-9图所示,延长线通过原点O.求ab过程气体对外做的功.
题4-9图
解:设TKV由图可求得直线的斜率K为
K
T0
2V0 得过程方程
KT02VV
0 由状态方程 pVRT 得
p
RT
V
ab过程气体对外作功
A
2V0vpdV
ab为直线,
A
2V0V0
2V0
v0
2V0RTRT0
dVdV
V0VV2V0
4-10 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作,试计算 (1)热机效率;
(2)若低温热源不变,要使热机效率提高到80%,则高温热源温度需提高多少?
(3)若高温热源不变,要使热机效率提高到80%,则低温热源温度需降低多少? 解:(1)卡诺热机效率
1
300
70%1000
RT0RT
dV02V02
1
T2
T1
(2)低温热源温度不变时,若
要求 T11500K,高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时,若
11
300
80%T1
T2
80%1000
要求 T2200K,低温热源温度需降低100K
4-11 如题4-11图所示是一理想气体所经历的循环过程,其中AB和CD是等压过程,BC和DA为绝热过程,已知B点和C点的温度分别为T2和T3.求此循环效率.这是卡诺循环吗?
题4-11图
解: (1)热机效率
CP(T2T1) AB等压过程 Q1
吸热
vCP(T2T1) CD等压过程 Q2
Q1
M
CP(TBTA)Mmol
1
Q2Q1
放热
Q2Q2
M
CP(TCTD)Mmol
根据绝热过程方程得到
11
AD绝热过程 pATApDTD
111
BC绝热过程 pBTBpCTC
Q2TCTDTC(1TD/TC)
Q1TBTATB(1TA/TB)
TDTTCTB
又
pApBpCpD
(2)不是卡诺循环,因为不是工作在两个恒定的热源之间. 4-12 (1)用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源,需要多少功?从-173℃向27℃呢? (2)一可逆的卡诺机,作热机使用时,如果工作的两热源的温度差愈大,则对于作功就愈有利.当作致冷机使用时,如果两热源的温度差愈大,对于致冷是否也愈有利?为什么? 解:(1)卡诺循环的致冷机
7℃→27℃时,需作功
T1T2300280
Q2100071.4T2280 J 173℃→27℃时,需作功 A1A2
T1T2300100
Q210002000T2100J
1
T3
T2
e
Q2T2
A静T1T2
(2)从上面计算可看到,当高温热源温度一定时,低温热源温度越低,温度差愈大,提取同样的热量,则所需作功也越多,对致冷是不利的.
4-13 如题4-13图所示,1 mol双原子分子理想气体,从初态V120L,T1300K经历三种不同的过程到达末态V240L,T2300K. 图中1→2为等温线,1→4为绝热线,4→2为等压线,1→3为等压线,3→2为等体线.试分别沿这三种过程计算气体的熵变.
题4-13图
解:12熵变
等温过程 dQdA, dApdV
pVRT
dQ1V2RT1
S2S1dV
1TT1V1V V
S2S1Rln2Rln25.76
V!
JK1
123熵变
2
S2S1
3
1
2dQdQ
T3T
CVdTTT
Cpln3CVln2
T1T3
TTT1T3
V1V2
ppT3 13等压过程 13 T1
S2S1
T3
CpdT
T2
T3V2
T 1V1 p3p2
32等体过程 T3T2 T2p2T3p3
T2p
2
T3p1
V2pCVln2V1p1
在12等温过程中 p1V1p2V2
S2S1CPln
所以 142熵变
S2S1
41
2dQdQ
T4T
S2S1CPln
V2VV
CVln2Rln2Rln2V1V1V1
14绝热过程
S2S10
T2
CpdTT
T4
Cpln
T2TCpln1T4T4
T1V41
T1V1T4V4
T4V11 Vpp
p1V1p4V4,4(1)1/(1)1/
V1p4p2
1
1
在12等温过程中 p1V1p2V2
V4ppV(1)1/(1)1/(2)1/V1p4p2V1
T1V(2)T4V1
1
S2S1CPln
4-14 有两个相同体积的容器,分别装有1 mol的水,初始温度分别为T1和T2,T1>T2,令其进行接触,最后达到相同温度T.求熵的变化,(设水的摩尔热容为Cmol). 解:两个容器中的总熵变
SS0
TCCmoldTdTmol
T1T2
TTT
T11V2
CPlnRln2T4V1
TTT2
Cmol(lnln)Cmolln
T1T2T1T2
因为是两个相同体积的容器,故
Cmol(TT2)Cmol(T1T) 得
T
T2T1
2
(T2T1)2
SS0Cmolln
4T1T2
4-15 把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水,问:
(1)水的熵变如何?
(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体,那么热源的熵变化多大? (3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热
1
334Jg)
解:(1)水的熵变 (2)热源的熵变 (3)总熵变
Q0.5334103
S1612
T273 JK1 Q0.5334103
S2570
T293 JK1
熵增加
SS1S261257042 JK1
习题五
5-1 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q为负电荷
1q212cos304π0a24π0
q
qq(32
a)3
解得 (2)与三角形边长无关.
q3
题5-1图 题5-2图 5-2 两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2,如题5-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量. 解: 如题8-2图示
Tcosmg
q2TsinF1
e
4π0(2lsin)2
解得 q2lsin40mgtan
5-3 在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S
,其
带电量分别为+q和-q.则这两板之间有相互作用力f,有人说
q2
f
2
=40d,又有人说,因为,所以.试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个板的电场为,另一板受它的作用力,这是两板间相互
作用的电场力.
5-4 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度
=5.0x10-9C·m-1的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强. 解: 如题5-4-图所示
E
q20S
E
q0S
qE
0Sf=qE,
q2
f=0S
q2
fq
20S20S
q
题5-4图
(1)在带电直线上取线元dx,其上电量dq在P点产生场强为
dEP
1dx4π0(ax)2
EPdEP
π0(4a2l2)
用l15cm,5.0109Cm1, a12.5cm代入得
l
dx(ax)2
11[]
ll4π0
aa
22
4π0
l2l2
EP6.74102NC1 方向水平向右
(2)同理
dEQ
由于对称性l
dEQx
1dx4π0x2d22 方向如题8-6
0
,即EQ只有y分量, dEQy
1dx
4π0x2d22
d2x2d22
图所示
∵
dx
3
2
EQydEQy
l
d24π2
l2l2
(x2d22)
l
2π0l24d22
9
Ccm1, l15cm,d25cm代入得
以5.010
EQEQy14.96102NC1,方向沿y轴正向
5-5 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电
荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题5-5(3)图所示,在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平面轴线上的A点处,求:通过圆平面的电通量.(
arctan
R
x)
0 解: (1)由高斯定理s
立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等
qEdS
∴ 各面电通量.
(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的立方体中心,则边长2a的正方形上电通量
e
q60
e
q60
q240
对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则如果它包含q所在顶点则e0.
e
,
如题5-5(a)图所示.题5-5(3)图
题5-5(a)图 题5-5(b)图 题5-5(c)图 (3)∵通过半径为R
S2π(R2x2)[1
的圆平面的电通量等于通过半径为
的球冠面的电通量,球冠面积*
xRx
q0
2
2
R2x2
]
S
1
R2x2] ∴ [
*关于球冠面积的计算:见题8-9(c)图
q
04π(R2x2)20
x
S2πrsinrd
2πr2(1cos)
5-6 均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2
-3
×105C·m求距球心5cm,8cm ,12cm 各点的场强.
2πr
2
sind
解: 高斯定理
q
EdS
s
0,
E4πr2
q
0
q0r5cm时,当,E0
r8cm时,
qp
4π
3r3)(r内 3
∴
r12cm
E
4π32
rr内4π0r23.48104NC1, 方向沿半径向外.
时,
q
4π
33
r(r3外内)
∴
5-7 半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)r<R1;(2) R1<r<R2;(3) r>R2处各点的场强.
0 解: 高斯定理s
取同轴圆柱形高斯面,侧面积S2πrl
qEdS
E
4π33
r外r内
44.1010
4π0r2
NC1沿半径向外.
则
EdSE2πrl
S
对(1) rR1 q0,E0 (2) R1rR2 ql
2π0r 沿径向向外 ∴
(3) rR2 q0
E
∴ E
0
题5-8图
5-8 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1和2,试求空间各处场强.
解: 如题8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1与2,
1E(12)n
20
两面间, 1
E(12)n
201面外, 1E(12)n
202面外,
n:垂直于两平面由1面指为2面.
题5-9图
5-9 如题5-9图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点,求移动过程中电场力作的功. 解: 如题8-16图示
1qq
()04π0RR 1qqqUO()4π03RR6π0R UO
∴
5-10 如题5-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消,取dlRd
dqRdOdE则产生点如图,由于对称性,O点场强沿y轴负方向
Aq0(UOUC)
qoq
6π0R
题5-10图
EdEy2
Rd
cos
4πR2
02
sin()sin
4π0R[2] 2
2π0R
A
(2) AB电荷在O点产生电势,以U0
2Rdxdx
U1ln2
B4πxR4πx4π000
U2ln2
4π0
同理CD产生
半圆环产生
U3
πR
4π0R40
∴
2
5-11 三个平行金属板A,B和C的面积都是200cm,A和B相距4.0mm,A与C相距2.0 mm.B,C都接地,如题8-22图所示.如
-7
果使A板带正电3.0×10C,略去边缘效应,问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则A板的电势是多少?
解: 如题8-22图示,令A板左侧面电荷面密度为1,右侧面电荷面密度为2
UOU1U2U3
ln22π040
题5-11图
(1)∵ UACUAB,即 ∴ EACdACEABdAB
1EACdAB
2EdABAC∴ 2
且 1+2得
2
qA
S
qA2q,1A3S 3S
2
qC1SqA2107
C 3而
qB2S1107C (2)
1
dAC2.31030V
5-12 两个半径分别为R1和R2(R1<R2)的同心薄金属球壳,现
UAEACdAC
给内球壳带电+q,试计算:
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;
(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势; *(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.
解: (1)内球带电q;球壳内表面带电则为q,外表面带电为q,且均匀分布,其电势
题5-12图
UEdr
R2
(2)外壳接地时,外表面电荷q入地,外表面不带电,内表面电
qdrq
R24πr24π0R 0
荷仍为q.所以球壳电势由内球q与内表面q产生:
(3)设此时内球壳带电量为q;则外壳内表面带电量为q,外壳外表面带电量为qq(电荷守恒),此时内球壳电势为零,且
UA
q'4π0R1
q'4π0R2
qq'
0
4π0R2
U
q4π0R2
q4π0R2
0
得 外球壳上电势
UB
q'4π0R2
q'
q
R1
qR2
5-13
介质球壳,介质相对介电常数为r,金属球带电Q.试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势. 解: 利用有介质时的高斯定理(1)介质内(R1rR2)场强
QrQr
D,E内3
4πr4π0rr3
4π0R2
在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电
qq'R1R2q
2
4π0R24π0R2
DdSq
S
;
介质外(rR2)场强
QrQr
D,E外3
4πr4π0r3 (2)介质外(rR2)电势 U
r
E外dr
Q4π0r
介质内(R1rR2)电势
UE内drE外dr rr
11Q
()
4π0rrR24π0R2Q11(r)4π0rrR2
q
(3)金属球的电势
R2UE内drE外dr
R1
R2
Qdr
R4πr2R24πr2
0r0
Q11(r)4π
0rR1R2
R2
Qdr
题5-14图
5-14 两个同轴的圆柱面,长度均为l,半径分别为R1和R2(R2>R1),且l>>R2-R1,两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时,求:(1)在半径r处/R1<r<R2/,厚度为dr,长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量; (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容.
解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当(R1rR2)时,qQ ∴
D
Q2πrl
DdS2πrlD
(S)
D2Q2
w222
28πrl(1)电场能量密度
Q2Q2dr
dWwd2222πrdrl
8πrl4πrl薄壳中
(2)电介质中总电场能量
WdW
V
R2R1
RQ2drQ2ln2
4πrl4πlR1
Q2
W
2C(3)电容:∵
Q22πl
C
2Wln(R2/R1) ∴
题5-15图
C3=0.20F .C1=0.25F,C1C2=0.15F,5-15 如题5-15图所示,
上电压为50V.求:UAB. 解: 电容C1上电量
Q1C1U1
电容C2与C3并联C23C2C3
其上电荷Q23Q1 ∴
UABU1U250(1
U2
Q23C1U12550
C23C2335
25
)8635 V
习题六
6-1 在同一磁感应线上,各点B的数值是否都相等?为何不把作
用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向?
解: 在同一磁感应线上,各点B的数值一般不相等.因为磁场作
用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关,而且与电荷速度方向有关,即磁力方向并不是唯一由磁场决定的,所
B以不把磁力方向定义为的方向.
6-2 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?
答: 不能,因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性,但不是稳恒电流,安培环路定理并不适用.
-2
6-3 已知磁感应强度B2.0Wb·m的均匀磁场,方向沿x轴正方向,如题9-6图所示.试求:(1)通过图中abcd面的磁通量;(2)通过图中befc面的磁通量;(3)通过图中aefd面的磁通量. 解: 如题9-6图所示
题6-3图
(1)通过abcd面积S1的磁通是 (2)通过befc面积S2的磁通量
1BS12.00.30.40.24Wb
2BS20
45
(3)通过aefd面积S3的磁通量
3BS320.30.5cos20.30.50.24Wb (或曰0.24Wb)
题6-4图
6-4 如题6-4图所示,AB、CD为长直导线,BC为圆心在O点的一段圆弧形导线,其半径为R.若通以电流I,求O点的磁感应强度.
O点磁场由AB、CD三部分电流产生.BC、解:如题9-7图所示,其
中
AB 产生 B10
CD 产生B2
0I
12R
,方向垂直向里
0II(sin90sin60)0(1),方向向里 2R242I
∴B0B1B2B30(1),方向向里.
2R26
6-5 在真空中,有两根互相平行的无限长直导线L1和L2,相距
CD 段产生 B3
A,I1=20A,I2=10A,0.1m,通有方向相反的电流,如题9-8图所示.B两点与导线在同一平面内.这两点与导线L2的距离均为
5.0cm.试求A,B两点处的磁感应强度,以及磁感应强度为零的点的位置.
题6-5图
解:如题6-5图所示,BA方向垂直纸面向里
BA
0I1
2(0.10.05)
0I2
1.2104T
20.050I
I2
0 2r
(2)设B0在L2外侧距离L2为r处 则
2(r0.1)
解得 r0.1 m
题6-6图
B两6-6 如题6-6图所示,两根导线沿半径方向引向铁环上的A,
点,并在很远处与电源相连.已知圆环的粗细均匀,求环中心O的磁感应强度.
解: 如题9-9图所示,圆心O点磁场由直电流A和B及两段圆弧上电流I1与I2所产生,但A和B在O点产生的磁场为零。且
I1电阻R2
.
I2电阻R12
I1产生B1方向纸面向外
I(2)B101,
2R2
I2产生B2方向纸面向里
0I2
2R2
BI(2)
∴ 111
B2I2
B2
有 B0B1B20
6-7 设题6-7图中两导线中的电流均为8A,对图示的三条闭合曲线a,b,c,分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和.并讨论:
(1)在各条闭合曲线上,各点的磁感应强度B的大小是否相等?
(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?
解: aBdl80
baBdl80 Bcdl0
(1)在各条闭合曲线上,各点B的大小不相等.
(2)在闭合曲线C上各点B不为零.只是B的环路积分为零而非每
点B0.
题6-7
图
6-8 一根很长的同轴电缆,由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别
为b,c)构成,如题6-8图所示.使用时,电流I从一导体流去,从另一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截面上,求:(1)导体圆柱内(r<a),(2)两导体之间(a<r<b),(3)导体圆筒内(b<r<c)以及(4)电缆外(r>c)各点处磁感应强度的大小
解: LBdl0I
Ir2
(1)ra B2r02
R
B
0Ir
2
2R0I
2r
(2) arb B2r0I
B
r2b2
(3)brc B2r0I220I
cb
0I(c2r2)
B22
2r(cb)
(4)rc B2r0
B0
题6-8图 题6-9图
6-9 在磁感应强度为B的均匀磁场中,垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线,电流为I,如题6-9图所示.求其所受的安培力.
解:在曲线上取dl
则 Fb
lB
abaId
∵ dl与B夹角dl,B
不变,B是均匀的.∴ Fbb
2
aba
IdlBI(a
dl)BIB
方向⊥向上,大小FabBIab
题6-10图
6-10 如题6-10图所示,在长直导线AB内通以电流I1=20A,在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A,AB与线圈共面,且CD,都与AB平行.已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm,求: (1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力; (2)矩形线圈所受合力和合力矩.
解:(1)F
CD方向垂直CD向左,大小
F0I1
CDI2b
2d
8.0104 N 同理F
FE方向垂直FE向右,大小
FI0I1
FE2b(da8.01052 N
F
)
CF方向垂直CF向上,大小为
Fda0I1I2
Id2rdr01I22lndaCFd
9.2105 N F
ED方向垂直ED向下,大小为
FEDFCF9.2105(2)合力FFF
CDFE
FN F
CFED方向向左,大小为
F7.2104N
合力矩MP
mB ∵ 线圈与导线共面
EF
∴ Pm//B
M0.
6-11 一正方形线圈,由细导线做成,边长为a,共有N匝,可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动.现在线圈中通有
电流I,并把线圈放在均匀的水平外磁场B中,线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T.
解:设微振动时线圈振动角度为 (Pm,B),则
MPmBsinNIa2Bsin
d2
由转动定律 J2NIa2BsinNIa2B
at
d2NIa2B
0 即 2Jdt
NIa2B
∴ 振动角频率
J
2J
周期 T2
Na2IB
6-12 一长直导线通有电流I1=20A,旁边放一导线ab,其中通有
电流I2=10A,且两者共面,如6-12图所示.求导线ab所受作用力对O点的力矩.
解:在ab上取dr,它受力
dFab向上,大小为
I
dFI2dr01
2r
dF对O点力矩dMrF
dM方向垂直纸面向外,大小为
dMrdF
MdM
ab
0I1I2
dr 2
0I1I22
b
a
dr3.6106 N
m
题6-12图
-4
6-13 电子在B=70×10T的匀强磁场中作圆周运动,圆周半
径r=3.0cm.已知B垂直于纸面向外,某时刻电子在A点,速度v向上,如题6-13图.
(1) 试画出这电子运动的轨道;
(2) 求这电子速度v的大小; (3)求这电子的动能Ek.
题6-13图
解:(1)轨迹如图
v2
(2)∵ evBm
r
eBr
3.7107ms1 ∴ vm1
(3) EKmv26.21016 J
2
题6-14图
6-14 题6-14图中的三条线表示三种不同磁介质的BH关系曲线,虚线是B=0H关系的曲线,试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质?
答: 曲线Ⅱ是顺磁质,曲线Ⅲ是抗磁质,曲线Ⅰ是铁磁质. 6-15 螺绕环中心周长L=10cm,环上线圈匝数N=200匝,线圈中通有电流I=100 mA.
(1)当管内是真空时,求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0;
(2)若环内充满相对磁导率r=4200的磁性物质,则管内的B和H各是多少?
*(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的B0和由磁化电流
产生的B′各是多少?
解: (1) lHdlI
HLNI
NIH200Am1
L
B00H2.5104T
(2)H200 Am1BHroH1.05 T
(3)由传导电流产生的B0即(1)中的B02.5104T ∴由磁化电流产生的BBB01.05T
习题七
7-1 一半径r=10cm的圆形回路放在B=0.8T的均匀磁场中.回
路平面与B垂直.当回路半径以恒定速率dr
dt
=80cm·s收缩时,
-1
求回路中感应电动势的大小.
解: 回路磁通 mBSBπr2 感应电动势大小
dmddr
(Bπr2)B2πr0.40 V dtdtdt
题7-2图
7-2 如题7-2图所示,载有电流I的长直导线附近,放一导体半圆环MeN与长直导线共面,且端点MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b,环心O与导线相距a.设半圆环以速度v平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 UMUN.
解: 作辅助线MN,则在MeNM回路中,沿v方向运动时dm0 ∴ MeNM0 即 MeNMN 又∵ MNabvBcosd所以MeN沿NeM方向,
大小为 0Ivlnab
2
ab
M
ab
l
0Ivab
ln0 2ab
点电势高于N点电势,即
0Ivab
ln 2ab
UMUN
题7-3图
7-3如题7-3所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以dI的
dt
变化率增大,求:
(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则
bada
ln] d2πr2πr2πbd
d0ldabadI
[lnln] (2) dt2πdbdt
7-4 如题7-4图所示,长直导线通以电流I=5A,在其右方放一长
(1) mb
ba
0I
ldr
da
0I
dr
0Il
[ln
方形线圈,两者共面.线圈长b=0.06m,宽a=0.04m,线圈以速
-1
度v=0.03m·s垂直于直线平移远离.求:d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向.
题7-4图
解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA产生电动势
I
1(vB)dlvBbvb0 D2dBC产生电动势
C0I
2(vB)dlvb B2π(ad)
A
∴回路中总感应电动势
12
0Ibv1
2π
1
()1.6108 V dda
方向沿顺时针.
7-5 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动.已
知导轨处于均匀磁场B中,B的方向与回路的法线成60°角(如
题7-5图所示),B的大小为B=kt(k为正常).设t=0时杆位于cd
处,求:任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向.
解: mBdSBlvtcos60kt2lv11klvt2
22d
∴ mklvt
dt
即沿abcd方向顺时针方向.
题7-5图
7-6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B的方向如题7-6图所示.取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t=0). 解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时
d
0,0; dt
题7-6图(a)图(b) 在磁场中时出场时
d
0,0; dt
题7-6
d
0,0,故It曲线如题dt
7-6图(b)所示.
题7-7图
l3
aO=磁7-7 一导线ab长为l,绕过O点的垂直轴以匀角速转动,
感应强度B平行于转轴,如图10-10所示.试求:
(1)ab两端的电势差; (2)a,b两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob上取rrdr一小段 则 Ob
rBdr
2B2
l 9
l
1
3rBdrBl2 018
2l30
同理 Oa
《大学物理简明教程》习题解答
习题一
1-1 |r|与r有无不同?和有无不同? 同?其不同在哪里?试举例说明.
rr2r1;
drdt
drdt
dvdt
和
dvdt
有无不
解:(1)r是位移的模,r是位矢的模的增量,即rr2r1,
drdt
drdsdtvdt
(2)
drdt
是速度的模,即.
只是速度在径向上的分量.
ˆdrdrdrˆrr
ˆdtdtdt ˆrrr∵有(式中r叫做单位矢),则dr
式中dt
就是速度径向上的分量,
∴
题1-1图
dvdt
drdr与
dtdt不同如题
1-1图所示
.
(3)量.
vv(表轨道节线方向单位矢)∵有,所以
dvdvdvdtdtdt
dva
dt表示加速度的模,即
dv
,dt是加速度a在切向上的分
dv
式中dt就是加速度的切向分量.
ˆdˆdr与
(dtdt的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度
和加速度时,有人先求出r=
而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结
dr
22
xy,然后根据v=dt
d2r
,及a=dt2
果,即
=及a=
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角
rxiyj, 坐标系中,有
drdxdyvij
dtdtdt
d2rd2xd2ya22i2j
dtdtdt
2
2
dxdy
dtdt
22
d2xd2ydt2dt2
22
故它们的模即为
dxdy
vvv
dtdt
2x
2y
2
而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作
drv
dt
drdr与2
其二,可能是将dtdtdr说明dt
2
d2xd2y22
aaxaydt2dt2
2
d2ra2
dt
误作速度与加速度的模。在1-1题中已
d2r
不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,dt2
也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分
2
d2rd
a径2r
dtdt。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r
在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r及速
v度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为
1
x=3t+5, y=2t2+3t-4.
式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点
的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
1
r(3t5)i(t23t4)j
2m 解:(1)
(2)将t1,t2代入上式即有
r18i0.5j m
r211j4jm
rr2r13j4.5jm
(3)∵ r05j4j,r417i16j
rr4r012i20j
3i5jms1
t404∴
drv3i(t3)jms1
(4) dt
v3i7j ms1 则 4v3i3j,v3i7j 4(5)∵ 0
vv4v041jms2
t44 dv
a1jms2
dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以v0(m·s1)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.
图1-4
解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成角,由图可知
l2
h2s2
将上式对时间t求导,得
2l
dlds
2sdtdt
题1-4图
根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的, ∴ 即
v船
v绳
dldsv0,v船dtdt
vdsldllv00dtsdtscos
lv0(h2s2)1/2v0v船
ss或
将v船再对t求导,即得船的加速度
dldsldvv0slv船
a船2v0v0
2
dtss
l22
(s)v02
h2v0s3
2ss
s
1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x2,a的
单位为ms2,x的单位为 m. 质点在x=0处,速度为10ms1,试求质点在任何坐标处的速度值. 解: ∵
2
dadx(26x)dx 分离变量:
12
v2x2x3c
两边积分得 2
a
dvdvdxdv
vdtdxdtdx
由题知,x0时,v010,∴c50
31
v2xx25ms∴
1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3tms2,开始
运动时,x=5 m,v=0,求该质点在t=10s 时的速度和位置. 解:∵
分离变量,得 dv(43t)dt
a
dv
43tdt
积分,得
由题知,t0,v00,∴c10
3
v4tt2c1
2
3v4tt2
2 故
又因为 分离变量,
dx(4t
32
t)dt2
v
dx3
4tt2dt2
1
x2t2t3c2
2积分得
由题知 t0,x05,∴c25 故
所以t10s时
x2t2
13
t52
v10410
3
102190ms121
x1021021035705m
2
1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 =2+3t3,
式中以弧度计,t以秒计,求:(1) t=2 s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少?
解:
dd9t2,18tdtdt
2
aR118236mst2s (1)时,
anR21(922)21296ms2
a
tan451
an
(2)当加速度方向与半径成45ο角时,有
222
即 RR 亦即 (9t)18t
则解得
t3
22
23t3232.67
9 于是角位移为9
rad
1-8
质点离圆周上某点的弧长,v0,b都是常量,求:(1)t时刻质点的加速度;(2) t为何值时,加速度在数值上等于b.
1v0tbt2
2质点沿半径为R的圆周按s=的规律运动,式中s为
解:(1)
v
ds
v0btdt
dv
bdt
v2(v0bt)2
an
RR
a
2
2n
2
(v0bt)4
aaab
R2则
加速度与半径的夹角为
aRb
an(v0bt)2
(2)由题意应有
(v0bt)4
abb
R2 4
(vbt)
b2b202,(v0bt)40
R即
2
∴当时,ab
1-9 以初速度v0=20ms1抛出一小球,抛出方向与水平面成幔60°的夹角,
求:(1)球轨道最高点的曲率半径R1;(2)落地处的曲率半径R2
. (提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解:设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.
t
v0b
题1-9图
(1)在最高点,
o
vvvcos601x0
an1g10ms2
又∵
an1
v12
1
v12(20cos60)2
1
an110
∴
(2)在落地点,
10m
v2v020ms1,
o
agcos60n而 2
2
v2(20)2
280m
an210cos60
∴
1-10飞轮半径为0.4 m,自静止启动,其角加速度为β=0.2 rad·s2,求t=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.
解:当t2s时,t0.220.4rads1 则vR0.40.40.16ms1
anR20.4(0.4)20.064ms2
aR0.40.20.08ms2
-1
1-11 一船以速率v1=30km·h沿直线向东行驶,另一小艇在其
-1
前方以速率v2=40km·h
沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
vv 解:(1)大船看小艇,则有212v1,依题意作速度矢量图如题
1-13图
(a)
2
aana2(0.064)2(0.08)20.102ms2
题1-11图
221
vvv50kmh2112由图可知
方向北偏西 vv(2)小船看大船,则有121v2,依题意作出速度矢量图如题1-13
图(b),同上法,得 方向南偏东36.87o
v1250kmh1
v13
36.87v24
习题二
2-1 一个质量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为)上以
v0的方向与斜面底边的水平线AB平行,初速度v0运动,如图所示,
求这质点的运动轨道.
vmg解: 物体置于斜面上受到重力,斜面支持力N.建立坐标:取0
方向为X轴,平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图
2-2.
题2-1图
X方向: Fx0 xv0t ①
方向: ②
Y
Fymgsinmay
t0时 y0 vy0
y
1
gsint22
由①、②式消去t,得
12gsinx2
2v0
16 kg 的质点在xOy平面内运动,受一恒力作用,力
y
-1
2-2 质量为
vy=0.求
的分量为fx=6 N,fy=-7 N,当t=0时,xy0,vx=-2 m·s,当t=2 s时质点的 (1)位矢;(2)速度. 解:
ay
fym
ax
fx63
ms2m168
(1)
235
vxvx0axdt22ms1
084277
vyvy0aydt2ms1
0168
7
ms216
于是质点在2s时的速度
57
vij
48
ms1
(2)
11
r(v0taxt2)iayt2j
22
1713
(224)i()4j
28216
137ijm
48
2-3 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力kv(k为常
数)作用,t=0时质点的速度为v0,证明(1) t时刻的速度为v=
v0e
k()tm
;(2) 由0到t的时间内经过的距离为 )[1-e
(k)tm
mv0
x=(kmv0()
];(3)停止运动前经过的距离为k;(4)
1
证明当tk时速度减至v0的e,式中
m为质点的质量.
kvdv
mdt
答: (1)∵
分离变量,得
dvkdtvm
a
tkdtdv
即 v0v0m
v
ln
vkt
lnemv0
kt
∴ vv0e
(2)
(3)质点停止运动时速度为零,即t→∞,
xvdtv0e
t
kt
kmv0t
dt(1e)
k
故有 (4)当
m
t=k
xv0e
kmt
dt
mv0
k
时,其速度为
vv0e
kmmk
v0e1
v0
e
1
即速度减至v0的e.
2-4
出,若忽略空气阻力,求质点落地时相对抛射时的动量的增量. 解: 依题意作出示意图如题2-6图
v一质量为m的质点以与地的仰角=30°的初速0从地面抛
题2-4图
在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同,与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对y轴对称性,故末速度与x轴夹角亦为30o,则动量的增量为
pmvmv0
mv由矢量图知,动量增量大小为0,方向竖直向下.
2-5 作用在质量为10 kg的物体上的力为F(102t)iN,式中t的
单位是s,(1)求4s后,这物体的动量和速度的变化,以及力给予物体的冲量.(2)为了使这力的冲量为200 N·s,该力应在这物体上作用多久,试就一原来静止的物体和一个具有初速度
6jm·s-1的物体,回答这两个问题. 解: (1)若物体原来静止,则
t41
p1Fdt(102t)idt56kgmsi
p1
v15.6ms1i
m
I1p156kgms1i
,沿x轴正向,
若物体原来具有6ms1初速,则
t
,
同理, v2v1,I2I1
这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大,那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理.
(2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即
tF
p0mv0,pm(v0dt)mv0Fdt
0m0
于是 t
p2pp0Fdtp1
I(102t)dt10tt2
t
亦即 t解得t10s,(t20s舍去) 2-6
2
10t2000
1
vms一颗子弹由枪口射出时速率为0,当子弹在枪筒内被加
速时,它所受的合力为 F =(abt)N(a,b为常数),其中t以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.
解: (1)由题意,子弹到枪口时,有
F(abt)0,得
t
ab
(2)子弹所受的冲量
ab
t1I(abt)dtatbt2
02
将
t
代入,得
a2
I
2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
2-7设F合7i6jN.(1) 当一质点从原点运动到r3i4j16km
F时,求所作的功.(2)如果质点到r处时需0.6s,试求平均功率.(3)如果质点的质量为1kg,试求动能的变化.
解: (1)由题知,F合为恒力,
AFr(7i6j)(3i4j16k) ∴ 合
Ia2
m
v02bv0
212445J
(2) (3)由动能定理,EkA45J
-1
2-8 如题2-18图所示,一物体质量为2kg,以初速度v0=3m·s从斜面A点处下滑,它与斜面的摩擦力为8N,到达B点后压缩弹簧20cm后停止,然后又被弹回,求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理,有
frs
1212kxmvmgssin3722
A45
75wt0.6
12
mvmgssin37frsk
12kx2
式中s4.80.25m,x0.2m,再代入有关数据,解得
k
1390Nm-1
题2-8图
再次运用功能原理,求木块弹回的高度h
frsmgssin37o
代入有关数据,得 s1.4m, 则木块弹回高度
12kx2
2-9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,
试证碰后两小球的运动方向互相垂直. 证: 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有
11122mv0mv12mv2222
hssin37o0.84m
即
①
22v0v12v2
题2-9图(a) 题2-9图(b) 又碰撞过程中,动量守恒,即有
mv0mv1mv2
亦即 ②
由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足
vvv0勾股定理,且以为斜边,故知1与2是互相垂直的. 2-10
受到一个沿x负方向的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量
vvivxyj, 质点一质量为m的质点位于(x1,y1)处,速度为
v0v1v2
以及作用于质点上的力的力矩. 解: 由题知,质点的位矢为 作用在质点上的力为
L0rmv
rx1iy1j ffi
所以,质点对原点的角动量为
(x1mvyy1mvx)k
(x1iy1i)m(vxivyj)
作用在质点上的力的力矩为
2-11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距
104-1
离为r1=8.75×10m 时的速率是v1=5.46×10m·s,它离太
2-1
阳最远时的速率是v2=9.08×10m·s这时它离太阳的距离r2
多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有
r1mv1r2mv2
r1v18.7510105.4610412
r25.2610m2
v9.08102∴
1vi6jmsr4imt2-12 物体质量为3kg,=0时位于, ,如一恒
力f5jN作用在物体上,求3秒后,(1)物体动量的变化;(2)相
M0rf(x1iy1j)(fi)y1fk
对z轴角动量的变化.
0 解: (1)
(2)解(一) xx0v0xt437
3
pfdt5jdt15jkgms1
1215
at633225.5j232
即 r14i,r27i25.5j
yv0yt
5
vyv0yat6311
3
vxv0x1
即 v1i16j,v2i11j
Lrmv4i3(i6j)72k1∴ 11
L2r2mv2(7i25.5j)3(i11j)154.5k
21
∴ LL2L182.5kkgms
解(二) ∵
M
dzdt
tt
LMdt(rF)dt
∴
3
152
(4t)i(6t)t)j5jdt023
3
5(4t)kdt82.5kkgm2s1
题2-12图
2-13飞轮的质量m=60kg,半径R=0.25m,绕其水平中心轴O转
-1
动,转速为900rev·min.现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-25图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求:
(1)设F=100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?
(2)如果在2s内飞轮转速减少一半,需加多大的力F? 解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中N、N是正压力,Fr、Fr是摩擦力,Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支承力,R是轮的重力,P是轮在O轴处所受支承力.
题2-13图(a)
题2-13图(b) 杆处于静止状态,所以对A点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有
l1l2
Fl1
对飞轮,按转动定律有FrR/IF(l1l2)Nl10
N
,式中负号表示与角速度方
N
向相反.
∵ FrN N∴
FrN
I
l1l2
Fl1
又∵
1
mR2,2
∴
①
以F100N等代入上式,得
FrR2(l1l2)
FImRl1
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
t
20.40(0.500.75)40
100rads2
600.250.503
这段时间内飞轮的角位移为
1900291409
()2
2604234
53.12rad
可知在这段时间里,飞轮转了53.1转.
090023
7.06s6040
0tt2
(2)
0900
2
rads160,要求飞轮转速在t2s内减少一半,可知
0
0t
0
2t
用上面式(1)所示的关系,可求出所需的制动力为
F
mRl1
2(l1l2)
15
rads22
2-14固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称
600.250.5015
20.40(0.500.75)2177N
轴OO转动.设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和m.绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连,m1和m2则挂在圆柱体的两侧,如题2-26图所示.设R=0.20m, r=0.10m,m=4 kg,M=10 kg,m1=m2=2 kg,且开始时m1,m2离地均为h=2m.求:
(1)柱体转动时的角加速度; (2)两侧细绳的张力.
解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度,方向如图(如图b).
题2-14(a)图 题2-14(b)图 (1) m1,m2和柱体的运动方程如下:
T2m2gm2a2 ① m1gT1m1a1 ②
T1RT2rI ③
式中 T1T1,T2T2,a2r,a1R 而 由上式求得
Rm1rm2
g
Im1R2m2r2
0.220.12
9.8
I
11MR2mr222
11
100.20240.10220.20220.102226.13rads2
(2)由①式 由②式
T2m2rm2g20.106.1329.820.8N
2-15 如题
端O的水平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下.求: (1)初始时刻的角加速度; (2)杆转过角时的角速度. 解: (1)由转动定律,有
mg
11
(ml2)23
3g
2l
T1m1gm1R29.820.2.6.1317.1N
2-15图所示,一匀质细杆质量为m,长为l,可绕过一
∴ (2)由机械能守恒定律,有
mg
l11
sin(ml2)2223
3gsin
l
∴
题2-15图
习题三
3-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答:气体在平衡态时,系统与外界在宏观上无能量和物质的交换;系统的宏观性质不随时间变化.
力学平衡态与热力学平衡态不同.当系统处于热平衡态时,组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着,大量粒子运动的平均效果不变,这是一种动态平衡.而个别粒子所受合外力可以不为零.而力学平衡态时,物体保持静止或匀速直线运动,所受合外力为零.
3-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?
答:气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统.是从物
质的微观结构和分子运动论出发,运用力学规律,通过统计平均的办法,求出热运动的宏观结果,再由实验确认的方法.
从宏观看,在温度不太低,压强不大时,实际气体都可近似地当作理想气体来处理,压强越低,温度越高,这种近似的准确度越高.理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点. 3-3 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答:温度是大量分子无规则热运动的集体表现,是一个统计概念,对个别分子无意义.温度微观本质是分子平均平动动能的量度.
NV
N
iii
890
21.7 ms1 41
2110420630840250
214682
方均根速率
2
NVN
ii
2
i
211024202610384022502
214682
25.6 ms1
3-5 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度,N为系统总分子数).
(1)f(v)dv (2)nf(v)dv (3)Nf(v)dv
vv
(4)0f(v)dv (5)0f(v)dv (6)vNf(v)dv
21
解:f(v):表示一定质量的气体,在温度为T的平衡态时,分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比. (1) f(v)dv:表示分布在速率v附近,速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2) nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度.
(3) Nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数.
v
4()0f(v)dv:表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比.
(5)0f(v)dv:表示分布在0~的速率区间内所有分子,其与总分子数的比值是1.
v
6()vNf(v)dv:表示分布在v1~v2区间内的分子数.
21
3-6 题3-6图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条代表氢?题3-6图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条的温度较高?
答:图(a)中(1)表示氧,(2)表示氢;图(b)中(2)温度高.
题3-6图
3-7 试说明下列各量的物理意义.
13i
kT (2)kT (3)kT 222
i3
(4)MiRT (5)RT (6)RT
22Mmol2
(1)
解:(1)在平衡态下,分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为
1
kT. 2
3kT2
(2)在平衡态下,分子平均平动动能均为.
ikT2
(3)在平衡态下,自由度为i的分子平均总能量均为的内能为
Mi
RT. Mmol2
.
(4)由质量为M,摩尔质量为Mmol,自由度为i的分子组成的系统
i
RT. 23
(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT,或者说热力
23
学体系内,1摩尔分子的平均平动动能之总和为RT.
2
(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为
3-8 有一水银气压计,当水银柱为0.76m高时,管顶离水银柱
-42
液面0.12m,管的截面积为2.0×10m,当有少量氦(He)混入水银管内顶部,水银柱高下降为0.6m,此时温度为
27℃,试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为
-1
0.004kg·mol)?
解:由理想气体状态方程pV
M
RT 得 Mmol
Mmol
pVRT
M
汞的重度 dHg1.33105Nm3 氦气的压强 P(0.760.60)dHg
氦气的体积 V(0.880.60)2.0104m3
M0.004
(0.760.60)dHg(0.282.0104)R(27327)
(0.760.60)dHg(0.282.0104)
8.31(27327)
0.004
1.91106Kg
3-9设有N个粒子的系统,其速率分布如题6-18图所示.求 (1)分布函数f(v)的表达式; (2)a与v0之间的关系;
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数. (4)粒子的平均速率.
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率.
题3-9图
解:(1)从图上可得分布函数表达式
Nf(v)av/v0
Nf(v)aNf(v)0
av/Nv0f(v)a/N
0
(0vv0)(v0v2v0) (v2v0)
(0vv0)(v0v2v0) (v2v0)
f(v)满足归一化条件,但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下
的总面积为N,
(2)由归一化条件可得
v0
N
2v0av
dvNadvN
v0
v0
a
2N3v0
(3)可通过面积计算Na(2v01.5v0)1N
3
(4) N个粒子平均速率
0
2
v0av2v01
vf(v)dvvNf(v)dvvavdv 0v0
N0v01123211(av0av0)v0 N329
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
v0
0.5v0
vdN
N1
Nv0vdN
N10.5v0N
Nv0Nv0av2
0.5vvf(v)dv0.5vdv
00N1N1Nv0
332av01v0av21av017av0
v()
N10.5v0v0N13v024v0N124
0.5v0到1v0区间内粒子数 131N1(a0.5a)(v00.5v0)av0N
284
27av07v0
6N9
3-10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vpvp1001与vpvp1001之间的分子数占总分子数的百分比. 解:令u
vvP
,则麦克斯韦速率分布函数可表示为
dN42u2
uedu N因为u1,u0.02 由
N42u2
ueu 得 NN4
1e10.021.66% N3-11 1mol氢气,在温度为27℃时,它的平动动能、转动动能和内能各是多少?
解:理想气体分子的能量
E
iRT2
3
8.313003739.5J 22
转动动能 r2 Er8.313002493J
2
5
内能i5 Ei8.313006232.5 J
2
平动动能 t3 Et
-3 -5
3-12 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg),试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分
-10
子的有效直径d=3×10m). 解:由气体状态方程pnkT得
p1.38103
n3.331017 m3 23
kT1.3810300
1
由平均自由程公式 2
2dn
1
7.5 m 2017
29103.3310
3-13 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率;(2)若温度不变,
-4
气压降到1.33×10Pa,平均碰撞频率又为多少(设分子有效直
-10
径10 m)?
解:(1)碰撞频率公式2d2n 对于理想气体有pnkT,即
n
pkT
2d2p
所以有
kT
8.31273
而 1.RT 1.455.43 ms1
28Mmol
氮气在标准状态下的平均碰撞频率
21020455.431.01310581
s 5.44100
1.381027321020455.431.331041
0.714s
1.381023273
气压下降后的平均碰撞频率
3-14 1mol氧气从初态出发,经过等容升压过程,压强增大为原来的2倍,然后又经过等温膨胀过程,体积增大为原来的2倍,求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比; (2)分子平均自由程之比.
解:由气体状态方程
p1p2
T1T2
及 p2V2p3V3
Mmol
方均根速率公式 21.RT
2初2末
T1
T2p11p22
p
kT
对于理想气体,pnkT,即 n所以有
初T1p2
1 末p1T2
kT2dp
2
习题四
4-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正.
QEpdVQEA(1) (2)
(3) (4)
解:(1)不正确,QEA (2)不正确, (3)不正确,
QΔEpdV
1
Q2Q1
不可逆1
Q2Q1
1
Q2Q1
Q2Q1
(4)不正确,
4-2 用热力学第一定律和第二定律分别证明,在pV图上一绝热线与一等温线不能有两个交点.
不可逆1
题4-2图
解:1.由热力学第一定律有
QEA 若有两个交点a和b,则 经等温ab过程有
E1Q1A10 经绝热ab过程
E2A10 E2A20
从上得出E1E2,这与a,b两点的内能变化应该相同矛盾. 2.若两条曲线有两个交点,则组成闭合曲线而构成了一循环过程,这循环过程只有吸热,无放热,且对外做正功,热机效率为100%,违背了热力学第二定律.
4-3 一循环过程如题4-3图所示,试指出: (1)ab,bc,ca各是什么过程; (2)画出对应的pV图; (3)该循环是否是正循环?
(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积?
(5)用图中的热量Qab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数. 解:(1) ab是等体过程
bc过程:从图知有VKT,K为斜率 由pVvRT 得
vRK
故bc过程为等压过程 p
ca是等温过程
(2)pV图如题4-3’图
题4-3’图
(3)该循环是逆循环
(4)该循环作的功不等于直角三角形面积,因为直角三角形不是pV图中的图形.
(5)
e
Qab
QbcQcaQab
题4-3图 题4-4图
4-4 两个卡诺循环如题4-4图所示,它们的循环面积相等,试问: (1)它们吸热和放热的差值是否相同; (2)对外作的净功是否相等; (3)效率是否相同?
答:由于卡诺循环曲线所包围的面积相等,系统对外所作的净功相等,也就是吸热和放热的差值相等.但吸热和放热的多少不一定相等,效率也就不相同.
AT及4-5 根据,这是否说明可逆过
程的熵变大于不可逆过程熵变?为什么?说明理由.
答:这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变,熵是状态函数,熵变只与初末状态有关,如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同,具有相同的熵变.只能说在不可逆过程中,系统的热温比之和小于熵变. 4-6 如题4-6图所示,一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中,有350 J热量传入系统,而系统作功126 J.
(1)若沿adb时,系统作功42 J,问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时,外界对系统作功为84 J,试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少
?
SBSA
B
dQ可逆
SBSA
dQ不可逆AT
B
题4-6图
解:由abc过程可求出b态和a态的内能之差 QEA EQA350126224 J
过程,系统作功A42J
QEA22442266J 系统吸收热量 ba过程,外界对系统作功A84J QEA22484308J 系统放热
4-7 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K,问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变; (2)压力保持不变. 解:(1)等体过程
由热力学第一定律得QE
abd
吸热
QE
QECV(T2T1)
i
R(T2T1)2
对外作功 A0
(2)等压过程
i2
R(T2T1)2
5
Q8.31(350300)1038.75
2吸热 J QCP(T2T1)
3
8.31(350300)623.252 J
ECV(T2T1)
E
内能增加
对外作功 AQE1038.75623.5415.5J
3
4-8 0.01 m氮气在温度为300 K时,由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa.试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积;(2)温度;(3)各过程对外所作的功.
解:(1)等温压缩 T300K 由p1V1p2V2 求得体积 对外作功
V2
p1V11
0.011103p210 m3
V2p
p1Vln1V1p2
3
8.31(350300)623.252 J
11.0131050.01ln0.01 4.67103J
AVRTln
(2)绝热压缩
CV
57R
5 2
p1V11/
V()由绝热方程 pV
211p2V2
p2
V(p1
1V1p)1/(p
12)V1
2p2
1
(1
10)40.011.93103
m由绝热方程T1
1p1T2p2 得
1
T
T1p2p1
3001.4(10)0.4
2T2579K1
A
热力学第一定律QE,Q0 所以
A
M
MCV(T2T1)mol
pV
M
Ap1V15MRT
R(T2T1)mol,RT12
A1.0131050.00130052(579300)23.5103
J
4-9 1 mol的理想气体的T-V图如题4-9图所示,延长线通过原点O.求ab过程气体对外做的功.
题4-9图
解:设TKV由图可求得直线的斜率K为
K
T0
2V0 得过程方程
KT02VV
0 由状态方程 pVRT 得
p
RT
V
ab过程气体对外作功
A
2V0vpdV
ab为直线,
A
2V0V0
2V0
v0
2V0RTRT0
dVdV
V0VV2V0
4-10 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作,试计算 (1)热机效率;
(2)若低温热源不变,要使热机效率提高到80%,则高温热源温度需提高多少?
(3)若高温热源不变,要使热机效率提高到80%,则低温热源温度需降低多少? 解:(1)卡诺热机效率
1
300
70%1000
RT0RT
dV02V02
1
T2
T1
(2)低温热源温度不变时,若
要求 T11500K,高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时,若
11
300
80%T1
T2
80%1000
要求 T2200K,低温热源温度需降低100K
4-11 如题4-11图所示是一理想气体所经历的循环过程,其中AB和CD是等压过程,BC和DA为绝热过程,已知B点和C点的温度分别为T2和T3.求此循环效率.这是卡诺循环吗?
题4-11图
解: (1)热机效率
CP(T2T1) AB等压过程 Q1
吸热
vCP(T2T1) CD等压过程 Q2
Q1
M
CP(TBTA)Mmol
1
Q2Q1
放热
Q2Q2
M
CP(TCTD)Mmol
根据绝热过程方程得到
11
AD绝热过程 pATApDTD
111
BC绝热过程 pBTBpCTC
Q2TCTDTC(1TD/TC)
Q1TBTATB(1TA/TB)
TDTTCTB
又
pApBpCpD
(2)不是卡诺循环,因为不是工作在两个恒定的热源之间. 4-12 (1)用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源,需要多少功?从-173℃向27℃呢? (2)一可逆的卡诺机,作热机使用时,如果工作的两热源的温度差愈大,则对于作功就愈有利.当作致冷机使用时,如果两热源的温度差愈大,对于致冷是否也愈有利?为什么? 解:(1)卡诺循环的致冷机
7℃→27℃时,需作功
T1T2300280
Q2100071.4T2280 J 173℃→27℃时,需作功 A1A2
T1T2300100
Q210002000T2100J
1
T3
T2
e
Q2T2
A静T1T2
(2)从上面计算可看到,当高温热源温度一定时,低温热源温度越低,温度差愈大,提取同样的热量,则所需作功也越多,对致冷是不利的.
4-13 如题4-13图所示,1 mol双原子分子理想气体,从初态V120L,T1300K经历三种不同的过程到达末态V240L,T2300K. 图中1→2为等温线,1→4为绝热线,4→2为等压线,1→3为等压线,3→2为等体线.试分别沿这三种过程计算气体的熵变.
题4-13图
解:12熵变
等温过程 dQdA, dApdV
pVRT
dQ1V2RT1
S2S1dV
1TT1V1V V
S2S1Rln2Rln25.76
V!
JK1
123熵变
2
S2S1
3
1
2dQdQ
T3T
CVdTTT
Cpln3CVln2
T1T3
TTT1T3
V1V2
ppT3 13等压过程 13 T1
S2S1
T3
CpdT
T2
T3V2
T 1V1 p3p2
32等体过程 T3T2 T2p2T3p3
T2p
2
T3p1
V2pCVln2V1p1
在12等温过程中 p1V1p2V2
S2S1CPln
所以 142熵变
S2S1
41
2dQdQ
T4T
S2S1CPln
V2VV
CVln2Rln2Rln2V1V1V1
14绝热过程
S2S10
T2
CpdTT
T4
Cpln
T2TCpln1T4T4
T1V41
T1V1T4V4
T4V11 Vpp
p1V1p4V4,4(1)1/(1)1/
V1p4p2
1
1
在12等温过程中 p1V1p2V2
V4ppV(1)1/(1)1/(2)1/V1p4p2V1
T1V(2)T4V1
1
S2S1CPln
4-14 有两个相同体积的容器,分别装有1 mol的水,初始温度分别为T1和T2,T1>T2,令其进行接触,最后达到相同温度T.求熵的变化,(设水的摩尔热容为Cmol). 解:两个容器中的总熵变
SS0
TCCmoldTdTmol
T1T2
TTT
T11V2
CPlnRln2T4V1
TTT2
Cmol(lnln)Cmolln
T1T2T1T2
因为是两个相同体积的容器,故
Cmol(TT2)Cmol(T1T) 得
T
T2T1
2
(T2T1)2
SS0Cmolln
4T1T2
4-15 把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水,问:
(1)水的熵变如何?
(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体,那么热源的熵变化多大? (3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热
1
334Jg)
解:(1)水的熵变 (2)热源的熵变 (3)总熵变
Q0.5334103
S1612
T273 JK1 Q0.5334103
S2570
T293 JK1
熵增加
SS1S261257042 JK1
习题五
5-1 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q为负电荷
1q212cos304π0a24π0
q
qq(32
a)3
解得 (2)与三角形边长无关.
q3
题5-1图 题5-2图 5-2 两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2,如题5-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量. 解: 如题8-2图示
Tcosmg
q2TsinF1
e
4π0(2lsin)2
解得 q2lsin40mgtan
5-3 在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S
,其
带电量分别为+q和-q.则这两板之间有相互作用力f,有人说
q2
f
2
=40d,又有人说,因为,所以.试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个板的电场为,另一板受它的作用力,这是两板间相互
作用的电场力.
5-4 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度
=5.0x10-9C·m-1的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强. 解: 如题5-4-图所示
E
q20S
E
q0S
qE
0Sf=qE,
q2
f=0S
q2
fq
20S20S
q
题5-4图
(1)在带电直线上取线元dx,其上电量dq在P点产生场强为
dEP
1dx4π0(ax)2
EPdEP
π0(4a2l2)
用l15cm,5.0109Cm1, a12.5cm代入得
l
dx(ax)2
11[]
ll4π0
aa
22
4π0
l2l2
EP6.74102NC1 方向水平向右
(2)同理
dEQ
由于对称性l
dEQx
1dx4π0x2d22 方向如题8-6
0
,即EQ只有y分量, dEQy
1dx
4π0x2d22
d2x2d22
图所示
∵
dx
3
2
EQydEQy
l
d24π2
l2l2
(x2d22)
l
2π0l24d22
9
Ccm1, l15cm,d25cm代入得
以5.010
EQEQy14.96102NC1,方向沿y轴正向
5-5 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电
荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题5-5(3)图所示,在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平面轴线上的A点处,求:通过圆平面的电通量.(
arctan
R
x)
0 解: (1)由高斯定理s
立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等
qEdS
∴ 各面电通量.
(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的立方体中心,则边长2a的正方形上电通量
e
q60
e
q60
q240
对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则如果它包含q所在顶点则e0.
e
,
如题5-5(a)图所示.题5-5(3)图
题5-5(a)图 题5-5(b)图 题5-5(c)图 (3)∵通过半径为R
S2π(R2x2)[1
的圆平面的电通量等于通过半径为
的球冠面的电通量,球冠面积*
xRx
q0
2
2
R2x2
]
S
1
R2x2] ∴ [
*关于球冠面积的计算:见题8-9(c)图
q
04π(R2x2)20
x
S2πrsinrd
2πr2(1cos)
5-6 均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2
-3
×105C·m求距球心5cm,8cm ,12cm 各点的场强.
2πr
2
sind
解: 高斯定理
q
EdS
s
0,
E4πr2
q
0
q0r5cm时,当,E0
r8cm时,
qp
4π
3r3)(r内 3
∴
r12cm
E
4π32
rr内4π0r23.48104NC1, 方向沿半径向外.
时,
q
4π
33
r(r3外内)
∴
5-7 半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)r<R1;(2) R1<r<R2;(3) r>R2处各点的场强.
0 解: 高斯定理s
取同轴圆柱形高斯面,侧面积S2πrl
qEdS
E
4π33
r外r内
44.1010
4π0r2
NC1沿半径向外.
则
EdSE2πrl
S
对(1) rR1 q0,E0 (2) R1rR2 ql
2π0r 沿径向向外 ∴
(3) rR2 q0
E
∴ E
0
题5-8图
5-8 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1和2,试求空间各处场强.
解: 如题8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1与2,
1E(12)n
20
两面间, 1
E(12)n
201面外, 1E(12)n
202面外,
n:垂直于两平面由1面指为2面.
题5-9图
5-9 如题5-9图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点,求移动过程中电场力作的功. 解: 如题8-16图示
1qq
()04π0RR 1qqqUO()4π03RR6π0R UO
∴
5-10 如题5-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消,取dlRd
dqRdOdE则产生点如图,由于对称性,O点场强沿y轴负方向
Aq0(UOUC)
qoq
6π0R
题5-10图
EdEy2
Rd
cos
4πR2
02
sin()sin
4π0R[2] 2
2π0R
A
(2) AB电荷在O点产生电势,以U0
2Rdxdx
U1ln2
B4πxR4πx4π000
U2ln2
4π0
同理CD产生
半圆环产生
U3
πR
4π0R40
∴
2
5-11 三个平行金属板A,B和C的面积都是200cm,A和B相距4.0mm,A与C相距2.0 mm.B,C都接地,如题8-22图所示.如
-7
果使A板带正电3.0×10C,略去边缘效应,问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则A板的电势是多少?
解: 如题8-22图示,令A板左侧面电荷面密度为1,右侧面电荷面密度为2
UOU1U2U3
ln22π040
题5-11图
(1)∵ UACUAB,即 ∴ EACdACEABdAB
1EACdAB
2EdABAC∴ 2
且 1+2得
2
qA
S
qA2q,1A3S 3S
2
qC1SqA2107
C 3而
qB2S1107C (2)
1
dAC2.31030V
5-12 两个半径分别为R1和R2(R1<R2)的同心薄金属球壳,现
UAEACdAC
给内球壳带电+q,试计算:
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;
(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势; *(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.
解: (1)内球带电q;球壳内表面带电则为q,外表面带电为q,且均匀分布,其电势
题5-12图
UEdr
R2
(2)外壳接地时,外表面电荷q入地,外表面不带电,内表面电
qdrq
R24πr24π0R 0
荷仍为q.所以球壳电势由内球q与内表面q产生:
(3)设此时内球壳带电量为q;则外壳内表面带电量为q,外壳外表面带电量为qq(电荷守恒),此时内球壳电势为零,且
UA
q'4π0R1
q'4π0R2
qq'
0
4π0R2
U
q4π0R2
q4π0R2
0
得 外球壳上电势
UB
q'4π0R2
q'
q
R1
qR2
5-13
介质球壳,介质相对介电常数为r,金属球带电Q.试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势. 解: 利用有介质时的高斯定理(1)介质内(R1rR2)场强
QrQr
D,E内3
4πr4π0rr3
4π0R2
在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电
qq'R1R2q
2
4π0R24π0R2
DdSq
S
;
介质外(rR2)场强
QrQr
D,E外3
4πr4π0r3 (2)介质外(rR2)电势 U
r
E外dr
Q4π0r
介质内(R1rR2)电势
UE内drE外dr rr
11Q
()
4π0rrR24π0R2Q11(r)4π0rrR2
q
(3)金属球的电势
R2UE内drE外dr
R1
R2
Qdr
R4πr2R24πr2
0r0
Q11(r)4π
0rR1R2
R2
Qdr
题5-14图
5-14 两个同轴的圆柱面,长度均为l,半径分别为R1和R2(R2>R1),且l>>R2-R1,两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时,求:(1)在半径r处/R1<r<R2/,厚度为dr,长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量; (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容.
解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当(R1rR2)时,qQ ∴
D
Q2πrl
DdS2πrlD
(S)
D2Q2
w222
28πrl(1)电场能量密度
Q2Q2dr
dWwd2222πrdrl
8πrl4πrl薄壳中
(2)电介质中总电场能量
WdW
V
R2R1
RQ2drQ2ln2
4πrl4πlR1
Q2
W
2C(3)电容:∵
Q22πl
C
2Wln(R2/R1) ∴
题5-15图
C3=0.20F .C1=0.25F,C1C2=0.15F,5-15 如题5-15图所示,
上电压为50V.求:UAB. 解: 电容C1上电量
Q1C1U1
电容C2与C3并联C23C2C3
其上电荷Q23Q1 ∴
UABU1U250(1
U2
Q23C1U12550
C23C2335
25
)8635 V
习题六
6-1 在同一磁感应线上,各点B的数值是否都相等?为何不把作
用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向?
解: 在同一磁感应线上,各点B的数值一般不相等.因为磁场作
用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关,而且与电荷速度方向有关,即磁力方向并不是唯一由磁场决定的,所
B以不把磁力方向定义为的方向.
6-2 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?
答: 不能,因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性,但不是稳恒电流,安培环路定理并不适用.
-2
6-3 已知磁感应强度B2.0Wb·m的均匀磁场,方向沿x轴正方向,如题9-6图所示.试求:(1)通过图中abcd面的磁通量;(2)通过图中befc面的磁通量;(3)通过图中aefd面的磁通量. 解: 如题9-6图所示
题6-3图
(1)通过abcd面积S1的磁通是 (2)通过befc面积S2的磁通量
1BS12.00.30.40.24Wb
2BS20
45
(3)通过aefd面积S3的磁通量
3BS320.30.5cos20.30.50.24Wb (或曰0.24Wb)
题6-4图
6-4 如题6-4图所示,AB、CD为长直导线,BC为圆心在O点的一段圆弧形导线,其半径为R.若通以电流I,求O点的磁感应强度.
O点磁场由AB、CD三部分电流产生.BC、解:如题9-7图所示,其
中
AB 产生 B10
CD 产生B2
0I
12R
,方向垂直向里
0II(sin90sin60)0(1),方向向里 2R242I
∴B0B1B2B30(1),方向向里.
2R26
6-5 在真空中,有两根互相平行的无限长直导线L1和L2,相距
CD 段产生 B3
A,I1=20A,I2=10A,0.1m,通有方向相反的电流,如题9-8图所示.B两点与导线在同一平面内.这两点与导线L2的距离均为
5.0cm.试求A,B两点处的磁感应强度,以及磁感应强度为零的点的位置.
题6-5图
解:如题6-5图所示,BA方向垂直纸面向里
BA
0I1
2(0.10.05)
0I2
1.2104T
20.050I
I2
0 2r
(2)设B0在L2外侧距离L2为r处 则
2(r0.1)
解得 r0.1 m
题6-6图
B两6-6 如题6-6图所示,两根导线沿半径方向引向铁环上的A,
点,并在很远处与电源相连.已知圆环的粗细均匀,求环中心O的磁感应强度.
解: 如题9-9图所示,圆心O点磁场由直电流A和B及两段圆弧上电流I1与I2所产生,但A和B在O点产生的磁场为零。且
I1电阻R2
.
I2电阻R12
I1产生B1方向纸面向外
I(2)B101,
2R2
I2产生B2方向纸面向里
0I2
2R2
BI(2)
∴ 111
B2I2
B2
有 B0B1B20
6-7 设题6-7图中两导线中的电流均为8A,对图示的三条闭合曲线a,b,c,分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和.并讨论:
(1)在各条闭合曲线上,各点的磁感应强度B的大小是否相等?
(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?
解: aBdl80
baBdl80 Bcdl0
(1)在各条闭合曲线上,各点B的大小不相等.
(2)在闭合曲线C上各点B不为零.只是B的环路积分为零而非每
点B0.
题6-7
图
6-8 一根很长的同轴电缆,由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别
为b,c)构成,如题6-8图所示.使用时,电流I从一导体流去,从另一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截面上,求:(1)导体圆柱内(r<a),(2)两导体之间(a<r<b),(3)导体圆筒内(b<r<c)以及(4)电缆外(r>c)各点处磁感应强度的大小
解: LBdl0I
Ir2
(1)ra B2r02
R
B
0Ir
2
2R0I
2r
(2) arb B2r0I
B
r2b2
(3)brc B2r0I220I
cb
0I(c2r2)
B22
2r(cb)
(4)rc B2r0
B0
题6-8图 题6-9图
6-9 在磁感应强度为B的均匀磁场中,垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线,电流为I,如题6-9图所示.求其所受的安培力.
解:在曲线上取dl
则 Fb
lB
abaId
∵ dl与B夹角dl,B
不变,B是均匀的.∴ Fbb
2
aba
IdlBI(a
dl)BIB
方向⊥向上,大小FabBIab
题6-10图
6-10 如题6-10图所示,在长直导线AB内通以电流I1=20A,在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A,AB与线圈共面,且CD,都与AB平行.已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm,求: (1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力; (2)矩形线圈所受合力和合力矩.
解:(1)F
CD方向垂直CD向左,大小
F0I1
CDI2b
2d
8.0104 N 同理F
FE方向垂直FE向右,大小
FI0I1
FE2b(da8.01052 N
F
)
CF方向垂直CF向上,大小为
Fda0I1I2
Id2rdr01I22lndaCFd
9.2105 N F
ED方向垂直ED向下,大小为
FEDFCF9.2105(2)合力FFF
CDFE
FN F
CFED方向向左,大小为
F7.2104N
合力矩MP
mB ∵ 线圈与导线共面
EF
∴ Pm//B
M0.
6-11 一正方形线圈,由细导线做成,边长为a,共有N匝,可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动.现在线圈中通有
电流I,并把线圈放在均匀的水平外磁场B中,线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T.
解:设微振动时线圈振动角度为 (Pm,B),则
MPmBsinNIa2Bsin
d2
由转动定律 J2NIa2BsinNIa2B
at
d2NIa2B
0 即 2Jdt
NIa2B
∴ 振动角频率
J
2J
周期 T2
Na2IB
6-12 一长直导线通有电流I1=20A,旁边放一导线ab,其中通有
电流I2=10A,且两者共面,如6-12图所示.求导线ab所受作用力对O点的力矩.
解:在ab上取dr,它受力
dFab向上,大小为
I
dFI2dr01
2r
dF对O点力矩dMrF
dM方向垂直纸面向外,大小为
dMrdF
MdM
ab
0I1I2
dr 2
0I1I22
b
a
dr3.6106 N
m
题6-12图
-4
6-13 电子在B=70×10T的匀强磁场中作圆周运动,圆周半
径r=3.0cm.已知B垂直于纸面向外,某时刻电子在A点,速度v向上,如题6-13图.
(1) 试画出这电子运动的轨道;
(2) 求这电子速度v的大小; (3)求这电子的动能Ek.
题6-13图
解:(1)轨迹如图
v2
(2)∵ evBm
r
eBr
3.7107ms1 ∴ vm1
(3) EKmv26.21016 J
2
题6-14图
6-14 题6-14图中的三条线表示三种不同磁介质的BH关系曲线,虚线是B=0H关系的曲线,试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质?
答: 曲线Ⅱ是顺磁质,曲线Ⅲ是抗磁质,曲线Ⅰ是铁磁质. 6-15 螺绕环中心周长L=10cm,环上线圈匝数N=200匝,线圈中通有电流I=100 mA.
(1)当管内是真空时,求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0;
(2)若环内充满相对磁导率r=4200的磁性物质,则管内的B和H各是多少?
*(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的B0和由磁化电流
产生的B′各是多少?
解: (1) lHdlI
HLNI
NIH200Am1
L
B00H2.5104T
(2)H200 Am1BHroH1.05 T
(3)由传导电流产生的B0即(1)中的B02.5104T ∴由磁化电流产生的BBB01.05T
习题七
7-1 一半径r=10cm的圆形回路放在B=0.8T的均匀磁场中.回
路平面与B垂直.当回路半径以恒定速率dr
dt
=80cm·s收缩时,
-1
求回路中感应电动势的大小.
解: 回路磁通 mBSBπr2 感应电动势大小
dmddr
(Bπr2)B2πr0.40 V dtdtdt
题7-2图
7-2 如题7-2图所示,载有电流I的长直导线附近,放一导体半圆环MeN与长直导线共面,且端点MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b,环心O与导线相距a.设半圆环以速度v平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 UMUN.
解: 作辅助线MN,则在MeNM回路中,沿v方向运动时dm0 ∴ MeNM0 即 MeNMN 又∵ MNabvBcosd所以MeN沿NeM方向,
大小为 0Ivlnab
2
ab
M
ab
l
0Ivab
ln0 2ab
点电势高于N点电势,即
0Ivab
ln 2ab
UMUN
题7-3图
7-3如题7-3所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以dI的
dt
变化率增大,求:
(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则
bada
ln] d2πr2πr2πbd
d0ldabadI
[lnln] (2) dt2πdbdt
7-4 如题7-4图所示,长直导线通以电流I=5A,在其右方放一长
(1) mb
ba
0I
ldr
da
0I
dr
0Il
[ln
方形线圈,两者共面.线圈长b=0.06m,宽a=0.04m,线圈以速
-1
度v=0.03m·s垂直于直线平移远离.求:d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向.
题7-4图
解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA产生电动势
I
1(vB)dlvBbvb0 D2dBC产生电动势
C0I
2(vB)dlvb B2π(ad)
A
∴回路中总感应电动势
12
0Ibv1
2π
1
()1.6108 V dda
方向沿顺时针.
7-5 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动.已
知导轨处于均匀磁场B中,B的方向与回路的法线成60°角(如
题7-5图所示),B的大小为B=kt(k为正常).设t=0时杆位于cd
处,求:任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向.
解: mBdSBlvtcos60kt2lv11klvt2
22d
∴ mklvt
dt
即沿abcd方向顺时针方向.
题7-5图
7-6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B的方向如题7-6图所示.取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t=0). 解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时
d
0,0; dt
题7-6图(a)图(b) 在磁场中时出场时
d
0,0; dt
题7-6
d
0,0,故It曲线如题dt
7-6图(b)所示.
题7-7图
l3
aO=磁7-7 一导线ab长为l,绕过O点的垂直轴以匀角速转动,
感应强度B平行于转轴,如图10-10所示.试求:
(1)ab两端的电势差; (2)a,b两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob上取rrdr一小段 则 Ob
rBdr
2B2
l 9
l
1
3rBdrBl2 018
2l30
同理 Oa