题目部分，(卷面共有100题,349.0分, 各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题, 共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] (A) [-1, 1] (B) [-1, 1) (C) (-1, 1) (D) (-1, 1]
答( )
(2分)[3] 设级数∑b n (x -2)n 在x =-2处收敛，则此级数在
n =0∞
x n
函数项级数∑
n =1n
∞
的收敛域是
x =4处
(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )
(3分)[4]设级数∑a n (x +3)n 在x =-1处是收敛的，则此级数在
n =0∞
x =1处
(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛；
(D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数∑a n (x -1)n 的收敛半径是1，则级数在x =3点
n =0∞
(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2
∞
a n +11
=, 则幂级数∑a n x 3n 分)[6]如果lim
n →∞a 8n =0n
(A)当x 1时, 发散； (D) 当
81
x >时, 发散； 2
答( ) (2分)[7]若幂级数∑a n x n 的收敛半径为R, 那么
n =0∞
a n +1
(A)lim =R , n →∞
a n
a n (B) lim =R , n →∞
a n +1
a n =R , (C)lim
n →∞
a n +1
(D)lim 不一定存在 . n →∞
a n
答( )
(3分)[8] 若幂级数∑a n x n 在x =2处收敛，在x =-3处发散，
n =0∞
则 该级数
(A)在x =3处发散； (B)在x =-2处收敛； (C)收敛区间为(-3, 2] ; (D)当x >时发散。
答( )
(2分)[9] 如果f (x )在x 0点的某个邻域内任意阶可导，那么
⎡f (n )(x 0)(x -x 0)n ⎤幂级数∑⎢⎥的和函数 n ! n =0⎣⎦
∞
(A) 必是f (x )， (B)不一定是f (x )， (C)不是f (x )， (D)可能处处不存在。
答( ) 。
(2分)[10]如果f (x )能展开成x 的幂级数，那么该幂级数 (A) 是f (x )的麦克劳林级数； (B)不一定是f (x )的麦克劳林级数；
(C)不是f (x )的麦克劳林级数； (D) 是f (x )在点x 0处的泰勒级数。 答( ) 。 二、填空 (54小题, 共166.0分) (2
分)[1]函数项级数
2x
a r 3∑2
x +n n =1
∞
的收敛域
是 。
(2分)[2]讨论x 值的取值范围，使当_____________时
(n +x ) n
∑n n =1
∞
收敛
(n +x ) n
当_____________时∑n n =1
∞
(3分)[3]
发散
x 2n -1
设级数∑u n (x )的部分和函数s n (x )=，
x +1n =1
∞
级数的通项u n (x )=(2
分
)[4]
级
数
πn
(-1)∑(2n )! 3n n =0
∞
n
。 的
和
是 。
(2分)[5] 级数∑[nxe -nx -(n -1)xe -(n -1)x ]在[0, 1]上的和
n =1∞
函数是 。
(3分)[6]设x 不是负整数，对p 的值讨论级数
n
()-1∑n =1∞
1
x +n p
(p >0)的收敛性
得 当 时，绝对收敛， 当
(2分)[7] 幂级数
∑(-1)
n =0
∞
n -1
1
(2x -3)n
2n -1
的收敛域
是 。
(-1)n -1x 2n -1
(3分)[8]幂级数∑的收敛半径是 ，和
2n -1! n =1
∞
函数是 。
(1分)[9] 如果幂级数∑a n (x -1)n 的收敛半径是1，则
n =0∞
级数在开区间 内收敛。 (2
∞a n
=2，则幂级数∑a n (x -1)n 在开区间 分)[10]如果lim
n →∞a n =0n +1
内收敛。
(2分)[11] 设幂级数∑a n x n 的收敛半径是R (0≤R
n =0∞
则幂级数∑a n x 2n 的收敛半径是
n =0
∞
(2分)[12]如果幂级数∑a n (x -1)n 在x =-1处收敛，在x =3处发
n =0
∞
散，则它的收
敛域是 . (5分)[13]
2222233244
幂级数x +x +x +x + 的通项
251017
是 ，收敛域是 。 (6分)[14]
⎛2n 3n ⎫n
幂级数∑ n +n ⎪⎪x 的收敛域是n =1⎝⎭
∞
。
(4分)[15] 幂级数∑n 4n +1x n 的收敛区间是
n =0
∞
(4分)[16] 幂级数∑n ! x n 的收敛域是。
n =0
∞
(4分)[17] 若幂级数∑a n x 和∑(n +1)a n x n +1的
n
n =0
n =0
∞∞
收敛半径分别为R 1、R 2，则R 1、R 2具有 关系 。 (3分)[18]
∞
a n
=3，则幂级数∑a n x 2n 设lim
n →∞a n =0n +1
的收敛半径是 。 (2分)[19]
x n
幂级数∑(-1)的收敛域是n n =1
∞
n
和函数是 。 (3分)[20]
2⋅3n x n
幂级数∑n ! n =0
∞
的和函数是 。
2⋅4⋅6
2⋅4⋅6⋅8
(3分)[21] 幂级数1+1x -1x 2+1⋅3x 3-1⋅3⋅5x 4+
2
2⋅4
的收敛域是和函数是
(2分)[22] 级数1+x +x +x +x +x + 的收敛域
2
3
2
52
是 ，和函数是 。 (2分)[23] 若幂级数∑a n x n 的收敛半径是R ，则其
n =0∞
和函数在开区间 上是连续的。 (2分)[24] 如果幂级数∑a n x 与∑b n x n 的收敛半径
n
n =0∞
∞
n =0
分别是R 1、R 2，则级数∑(a n +b n )x n 的收敛
n =0
∞
半径是
(3分)[25] 若幂级数∑a n x n 的收敛半径是R , 则
n =0∞
其和函数s (x )在开区间内是
可微的，且有逐项求导公式 (3分)[26] 设幂级数∑a n x n 的收敛半径是R , 则其和函数s (x )
n =0∞
在
开区间 上可积，且有逐项求积公式 。
⎛x +π⎫的麦克劳林展开成(4分)[27] 函数s i n ⎪
⎝
4⎭
为 ，其收敛域是 。 (3分)[28] 函数(1+x )α
(α∈R )的麦克劳林展开
式为，收敛区间是 。
(3分)[29] 函数y =a x (a >0, a ≠1)在x 0=0点的泰勒展开式为 ，收敛区间是 。
(3分)[30] 函数1的麦克劳林展开式
1_x
为 ，收敛域是 。 (3分)[31] 函数1的麦克劳林级数展开式
1+x
为，收敛域是 (5分)[32] 函数y =ln 1+x 的麦克劳林展开式
1-x
为 ，收敛域是 。 (6分)[33] 函数y =ln (1+x -2x 2)关于x 的幂级数为 ，收敛域是。
(4分)[34] 函数y =ln (2+x )的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。 (4分)[35] 函数cos (x +α)的麦克劳林展开式为 (3分)[36] 如果f (x )的麦克劳林展开式为
∑a x ，则a =。
2n n
∞
n
n =0
(2分)[37] 函数e x 在点x 0=0的泰勒级数为
(2分)[38] 函数sin x 的麦克劳林级数为 收敛区间为 。
(2分)[39] 函数ln (1+x )的麦克劳林级数为，收敛域为 。
(4分)[40] 函数ln (1-x )的麦克劳林展开式是d n ln (1-x )=n
dx x =0
(3分)[41] 函数c o x s 的麦克劳林展开式
为cos (n )(0)= (5
分)[42] 函数y =⎰0e -t dt 关于
x
x 的幂级数
是 ，
y (n )(0)=。
(4分)[43] 函数s i x n 的h 麦克劳林展开式
为
(sinh x )(n )x =o 。
(4
分)[44] 函数c o x s 的h 麦克劳林展开式
为 ，
(cosh x )(n )x =o =
(2分)[45] 函数f (x )=是1
a -x x =o
(a ≠0)关于x 的幂级数
。
d n f (x )dx
=(6分)[46] 函数sin 2x 的麦克劳林级数为，
(sin x )()
2
n
x =o
=。
∞
1
f (x )=展开成形如∑a n (x -1)n 的幂级
3+4x n =0
(3分)[47] 将函数
数时，收敛域是。
(3分)[48] 若函数f (x )在点x 0的某一邻域内任意阶可微，设
1
f (x )=∑f (k )(x 0)(x -x 0)k +R n (x )，那么f (x )在该
k =0k !
n
邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 。 (3分)[49] 函数y =1在点x 0=3的泰勒展开式
x
是 ，
其收敛域是
(3分)[50] 函数y =x 2cos x 2的麦克劳林级数是
(3分)[51] 函数y =x 2sin x 2的麦克劳林级数是
3⎫
(3分)[52] 根据(1+x )α的幂级数展开式将=2⎛1+ ⎪表
⎝
125⎭
-1
8
示成一个数项级数，该数项级数的前三项(用分数表示) 是 (2分)[53] 级数是。
(2分)[54] 利用e x 的幂级数展开式将1表示成一个数项级
e
1∑n =1n
∞
发散时，k 的取值范围
数，该数项级数的第六项(用分数表示) 是。 三、计算 (36小题, 共161.0分)
(3分)[1]设x ≥0，求级数+-)+-)+ 的和函数。 (3分)[2] 设u 1(x )=x , u n (x )=x n -x n -1, n =2, 3, , 0≤x ≤1, 试求级数∑u n (x )的和函数。
n =1∞
(3分)[3] 求函数项级数∑x 2e -nx , (x ≥0)的和函数s(x)。
n =0
∞
(4分)[4] 求级数∑nx n +1在(-1，1) 内的和函数。
n =1
∞
(4分)[5] 设f (x )为(-∞, ∞)上的连续函数，级数
∑u (x )=∑[f (x )-f (x )]，
n
n
n -1
n =2
n =2
∞∞
其中
1n -1⎛k f n (x )=∑f x +⎫⎪
n k =0⎝n ⎭
∞
n =1, 2,
试确定∑u n (x )的收敛域及和函数。
n =2
(4分)[6] 试求幂级数∑(2n +1-1)x n 的和函数。
n =0
∞
(n +1)5x 2n
(5分)[7]试求幂级数∑的收敛域。
∞n =0
2n +1
(4
n 2
分)[8]试求级数∑n =1x
∞
的收敛域。
(3分)[9] 试求级数lg x +(lg x )2+(lg x )3+ 的收敛域。 (4分)[10] 试求幂级数∑
n =1∞
∞
(x -5)n 的收敛半径及收敛域。
n
(4分)[11]
n 3x n
试求幂级数∑的收敛域。
n =1n +16
∞
(-1)n (x -1)n
(5分)[12]求幂级数∑的收敛域。 n
3n -12n =1
(4分)[13]已知幂级数∑a n x n 的收敛半径R 0≠0，试求
n =0∞
a n x n
∑n n =0b
∞
(b ≠0)的收敛半径。
∞
(5
2n -1x 2n -1
分)[14]试求幂级数∑的收敛半径及收敛域。 2
n =04n -3∞
-13n
(5分)[15] 试求幂级数∑2n n x 的收敛域。
n =1
8
(5分)[16]试求幂级数∑3n x n 的收敛域。
2
2
∞
n =0
(5分)[17]
x n -1
试求幂级数∑的收敛域。
n ⋅3⋅ln n n =2
∞
(x +1)n
(5分)[18] 试求幂级数∑的收敛域。 2
n =1n +1ln n +1∞
(6分)[19] 试求幂级数∑(-1)(x -2)n 的收敛域。
n n =0∞
∞
n +1
(n ! )22n
(5分)[20] 试求幂级数∑x 的收敛半径。
! n =12n (x -3)2n
(6分)[21] 试求幂级数∑的收敛域。
n =1n +1ln n +1∞
(5
2+(-1)n n
分)[22]试求幂级数∑x 的收敛半径及收敛域。
2n =0
∞∞
(4分)[23] 试求幂级数∑n +1x n 在其收敛域上的和函数。
n =1∞
n
(5分)[24]
x 4n +1
试求幂级数∑在收敛域上的和函数。
n =14n +1
(2分)[25] 试求级数e x +e 2+x + +e nx + 的收敛域。
! n
x 的收敛半径。 (3分)[26]试求幂级数∑(2n )2
∞k =1
n ! ! n
x 的收敛半径。 (2分)[27] 试求幂级数∑(3n )2
∞k =1
n ! (6分)[28] 设f (x )=∑(-1)n nx n -1，确定f (x )的连续
n =1
∞
区间，
并求积分⎰f (x )dx 的值。 (6分)[29] 设
x n -1
f (x )=∑n ⋅，确定f (x )的连续区间
2n =0
∞
1
30
并计算⎰0f (x )dx 的值。 (6分)[30] 设f (x )=∑
n =0∞
1
(-1)n x n ，g (x )=
n !
∑x , x
n n =0
∞
试用幂级数表示f (x )⋅g '(x )。 (6分)[31] 设
x n
f (x )=∑
n =0n !
∞
g (x )=∑x n , x
n =0
∞
试用幂级数表示f '(x )⋅g (x )。
(6分)[32] 设f (x )=∑x n
n =0∞
(x
1⎫
g (x )=∑2n x n , ⎛ x
∞
试用幂级数表示F (x )=f (x )⋅g (x )。 (6分)[33] 设
3n x n
f (x )=∑
n =1n
∞
，试确定R , 使得f (x )在
(-R ,
1⎫
R )上可微，并计算f '⎛ ⎪的值。
⎝4⎭
x n
f (x )=∑
n =1n
∞
(6分)[34] 设，确定R , 使得f (x )在(-R , R )上可微，
1⎫
并计算f '⎛ ⎪的值。
⎝2⎭
(3分)[35] 设f (x )=5x 3-4x 2-3x +2，求f (x +h )关于 h 的麦克劳林级数。
(3分)[36] 试求函数f (x )=⎰0e -t dt 关于x 的幂级数.
2
x
====================答案==================== 答案部分，(卷面共有100题,349.0分, 各大题标有题量和总分)
一、选择 (10小题, 共22.0分) (2分)[1][答案] C
(2分)[2][答案] B
(2分)[3][答案]
B (3分)[4][答案]
D (2分)[5][答案]
A (2分)[6][答案]
A (2分)[7][答案]
( D ) (3分)[8][答案]
( D ) (2分)[9][答案]
(B)
(2分)[10][答案]
(A) 二、填空 (54小题, 共166.0分) (2分)[1][答案]
(-∞, +∞)
(2分)[2][答案]
________
x >1 x ≤1
________
(3分)[3][答案]
x 2n -2x 2-11+x 2n -21+x 2n
(
)
(2分)[4][答案]
cos 。
3
(2分)[5][答案] (3分)[6][答案]
p >10
(2分)[7][答案]
(1, 2]
(3分)[8][答案]
+∞
……
sin x
(1分)[9][答案]
(0, 2) (2分)[10][答案]
(-1, 3) (2分)[11][答案]
(2分)[12][答案]
(-1, 3) (5分)[13][答案]
2n n
x 2
n +1
11⎤ ⎡-⎢, ⎥ ⎣2
2⎦
(6分)[14][答案]
⎡-1, 1⎤ ⎢⎣33⎥⎦
(4分)[15][答案]
11⎫ ⎛ -, ⎪ ⎝4
4⎭
(4分)[16][答案] {0}
(4分)[17][答案] R 1=R 2 (3分)[18][答案]
(2分)[19][答案]
(-1, 1]， -ln (1+x )。 (3分)[20][答案] 2e 3x
(3分)[21][答案]
[-1, 1] (2分)[22][答案] [0, 1)
11-x
(2分)[23][答案]
(-R , R )
(2分)[24][答案]
min (R 1, R 2)
或为+∞(b n =-a n ) (3分)[25][答案]
(-R , R )
∞
s '(x )=∑na n x n -1
n =1
(3分)[26][答案]
(-R , R ) ⎰
x
s (x )dx =∑
a n n +1
x ∞
n =0n +1
(4分)[27][答案]
∑∞
(-1)
[n /2]
x n ⋅n =0
2⋅n !
(-∞, +∞) (3分)[28][答案]
1+∑∞α(α-1) (α-n +1)x n n =1
n !
(-1, 1) (3分)[29][答案]
∑∞
ln 2a ⋅x n
n =0
n ! (-∞, +∞) (3分)[30][答案]
∑∞
x n n =0
(-1, 1) (3分)[31][答案]
∑∞
(-1)n x n
(-1, n =0(5分)[32][答案]
)
1
x 2n -1
2∑2n -1n =1
∞
(-1, 1)
(6分)[33][答案]
∑
n =1
∞
(-1)n +12n -1x n
n
⎛11⎤ -, ⎥
⎝22⎦
(4分)[34][答案]
+∑∞(-1)n +1ln 2x n
⋅2
n =1
n (-2, (4分)[35][答案]
∑∞
(-1)n ⎡n =0⎢cos ⎣
α2sin α2n +1⎤2n ! x n
-2n +1! x ⎥⎦(-∞, +∞) (3分)[36][答案]
1n !
f n (0) (2分)[37][答案]
∑∞
x n
n =0
n ! (-∞, +∞) (2分)[38][答案]
∑∞
(-1)n
x 2n +1m +1 n =0
! (-∞, +∞) (2分)[39][答案]
∑∞
(-1)
n -1
x n
n =1
n
2]
(-1, 1] (4分)[40][答案]
x n
-∑n =1n
∞
[-1, 1)
-(n -1)! (3分)[41][答案]
x 2n
(-1)∑2n ! n =0
∞
n
(-∞, +∞)
⎧0cos (n )(0)=⎨k
⎩(-1)
n =2k +1n =2k
, k =0, 1, 2 ,
(5分)[42][答案]
(-1)n x n +1
∑
n =0n ! n +1∞
(-∞,
n =1, 2,
+∞)
(-1)n -1
(4分)[43][答案]
x 2n +1
∑! n =02n +1∞
(-∞, +∞)
⎧1=⎨⎩0
n =2k +1
n =2k
(s i n x h )
(n )
x =o
k =0, 1, 2, (4分)[44][答案]
x 2n
∑2n ! n =0
∞
(-∞, +∞)
1
⎩0
n =2k
n =2k +1
(cosh x )(n )x =o =⎧⎨
k =0, 1, (2分)[45][答案]
x 2n ∑2n +2n =0a
∞
(-a , a )
n =2k +1,
⎧⎪0⎪
f (n )(0)=⎨
⎪(2k )! ⎪⎩a 2k +2
n =2k
,
k =0, 1, (6分)[46][答案]
(-1)n -122n -1x 2n
∑ (-∞,
2n ! n =1
∞
+∞)
(sin x )()
2
n
x =0
0⎧
⎪=⎨
⎪(-1)k -122k -1⎩
n =2k +1, n =2k
,
k =1, 2, (3分)[47][答案]
⎛-3, 11⎫ ⎪⎝44⎭
(3分)[48][答案]
对于该邻域内的任意x ，有
lim R n (x )=0
n →∞
(3分)[49][答案]
(x -3)n
∑(-1)
∞
n
n =0
3
(0, 6) (3分)[50][答案]
x 2n +2
(-1) ∑2n ! n =0
∞
n
x ∈(-∞, +∞) (3分)[51][答案]
x 4(n +1)(-1) ∑2n +1! n =0
∞
n
x ∈(-∞, +∞) (3分)[52][答案] 2-3+
81
5001000000(注：填 2-63+81也得10分) 6
1010
(2分)[53][答案] k ≤1； (2分)[54][答案]
-1
3840
(注：答案形式为-15也给分)
5! 2
三、计算 (36小题, 共161.0分) (3分)[1][答案]
s n (x )=+
=2n x
-+ +
)(
2n -2n )
⎧1, x >0
s (x )=lim s n =lim 2n x =⎨
n →∞n →∞
⎩0, x =0
(3分)[2][答案]
s n (x )=x +(x 2-x ) +(x 3-x 2) + +(x n -x n -1) =x n
于是，
⎧0, 0≤x
s (x )=lim s n (x )=lim x n =⎨
n →∞n →∞x =1⎩1,
(3分)[3][答案]
所给级数是以e -x 为公比的等比级数 因此，当x>0, 0
-x
n =0∞
x 2且和函数s (x )=
1-e -x
又x=0时，x 2e -nx =0 ，级数收敛 且s (x ) =0
⎧x 21-e ⎪⎨⎪0⎪⎩
, x ≠0
综上所述 s (x ) =
, x =0
(4分)[4][答案] 解法一
s (x )
=
∑nx
n =1
∞
n +1
=x ⋅∑nx n -1
2
n =1
∞
⋯
'∞
⎛⎫=x 2 ∑x n ⎪ ⎝n =1⎭
'x ⎫⎛x ⋅ ⎪ ⎝1-x ⎭
2
=⋯⋯
x 2
=2
1-x ⋯ 解法二
s (x ) =∑∞
nx n +1
n =1 =x 2+2x 3+3x 4+ +nx n +
=(x 2+x 3+x 4+ +x n + ) +
(x 3+x 4(+x 5+ ) + +
x
n
+x n +1+x n +2+ )+
x 21-x +x 31-x + +x n =1-x + x 2=1-x ⋅11-x
2
=⎛ x ⎫⎝1-x ⎪⎭
(4分)[5][答案]
设s ∞
n (x )为∑u n (x )的部分和，则
n =2s 1n -1⎛k
n (x )=f n (x )-f (x )=n ∑f x +⎫⎪-f (x )k =0⎝n ⎭x ∈(-∞, +∞)
…所求
和
s (x )=lim s (x )=⎰1n →∞
n 0
f (x +t )dt -f (x )
x ∈(-∞, +∞)收敛
域
(-∞, +∞)
…
函
数
所求
为
…
(4分)[6][答案]
11⎫
幂级数的收敛域是⎛- , ⎪，
⎝22⎭
11⎫所以当x ∈⎛ -, ⎪时，有
⎝22⎭
s (x )=∑∞
(2n +1-1)x n
n =0
=∑∞2n +1x n -∑∞
x n n =0
n =0
=21-2x -11-x
(5分)[7][答案]
设u (n +1)5x 2n n
(x )=2n +1
因为lim u n +1(x )n →∞
u =x 2 n x 所以当x
令1
=t , 原级数化为∑∞
n 2t n x , n =1
当且仅当t
n 2t n 收敛， n =1
所以原级数的收敛域是(-∞, -1)⋃(1, (3分)[9][答案]
令lg x =t , 级数化为∑∞
t n , n =1
+∞) 。
当且仅当t
10
∑t 收敛，
n n =1
∞
所以当1
1⎫收敛域为⎛ , 10⎪.
⎝10
⎭
(4分)[10][答案] 令(x -5)=t , 级数∑
∞
t n
n =1n
的收敛半径是1,
收敛域是[-1, 1) , 故原级数收敛半径是1, 收敛域是[4, 6) . (4分)[11][答案]
由于lim
a n +1
n →∞
a =1，所以R =1， n
当x =1时，级数发散； 当x =-1时，级数收敛； 故收敛域为[-1, 1). (5分)[12][答案]
令x -1, 原级数化为∑∞
(-1)n t n
t =, n =13n -12
n
此级数的收敛半径是2, 收敛域是(-2, 故原级数的收敛域是(-1, 3] . (4分)[13][答案]
利用两级数之间的关系，可得:
2] ,
当当
x
即
x ⎫
x
⎝b ⎭n =0
∞
n
∞
n
收敛，
x ⎫
x >b R o 时, 级数∑a n ⎛ ⎪
⎝b ⎭n =0
发散,
所以收敛半径是b R o . (5分)[14][答案]
设u 2n -1x 2n -1
n (x )=
4n -32
因为
lim
u n +1(x )→∞u n
x =2x 2n
所以收敛半径R =1， 而且x =1时, 级数收敛。
故收敛域为⎡⎢
1
1⎤
⎣
-, ⎥⎦
。 (5分)[15][答案]
设u n -1n (x )=28
n
x 3n
u 3
因为n +1(x )x n →∞u =,
n
x 8所以 R =2, 且x =2时，级数发散， 故收敛域是(-2, 2)。 (5分)[16][答案] 设u n (x )=3n 2
x n 2
,
因
为
u n +1(x )=(3x )2n +1 u n x
所以当x
3
当x =1时，级数发散，
3
故收敛域为
⎛ ⎝-13,
(5分)[17][答案] 设a 1
n =
n ⋅3n
⋅ln n
由于lim a n
n →∞
a =3，故R =3， n +1
且当x =3时，级数发散; 当x =-3时，级数收敛。 所以收敛域是[-3, 3)。
(5分)[18][答案]
因为lim a n n →∞
a =1，所以R =1， n +1
且当x +1=1 即x =0时，级数收敛； 当x +1=-1 即x =-2时，级数收敛, 所以收敛域是[-2, 0]。 (6分)[19][答案]
由于lim
a n +1
n →∞
a =1，所以R =1， n
1⎫3⎪⎭
。
且当x -2=1时，级数收敛， 当x -2=-1时，级数发散，
故收敛域是(1, 3]。 (5分)[20][答案]
u n +1(x )x 2
=因为n →∞u x 4n
，
所以当x
u n +1(x )=(x -3)2， 因为lim n →∞
u n x 所以当x -
1u x =x 因为lim n
n →∞
2
所以收敛半径R=2， 且当|x|=2时，级数发散。
故收敛域为(-2，2) 。 (4分)[23][答案]
幂级数的收敛域是(-1, 1)， 所以当x ∈(-1, 1)时，有
x n
s (x )=∑x +∑
n =1n =1n
∞
n
∞
=x -ln (1-x )
1-x
(5分)[24][答案]
幂级数的收敛域是(-1, 1)， 当x ∈(-1, 1)时，有
⎛∞4n ⎫
s (x )=⎰ ∑x ⎪dx
x 0
⎝n =1⎭
=-x +14
ln 1+x 1-x
+12
arctan x (2分)[25][答案]
这是以e x 为公比的等比级数 令e x
lim
a n +1n →∞a =lim 2(2n +1)=4 n
n →∞n +1∴
级数的收敛半径R =14
(2分)[27][答案]
lim
a n +1n →∞a =lim 3(3n +1)(3n +2)=n
n →∞n +1∞ ∴ 级数的收敛半径R =0。 (6分)[28][答案]
因为幂级数的收敛域是(-1, 1)，所以f (x )在(-1, 1)上的连续，
且可逐项积分。
⎰1
3
0f (x )=∑⎰(-1)n nx n -1dx n =1∞130
=∑(-1)n ⋅1
n =-1 n =1∞34
(6分)[29][答案]
由于幂级数的收敛域是(-2, 2)，所以
f (x )在(-2, 2)上连续，且可逐项积分。故
⎰0f (x )dx =∑⎰0n ⋅x n -1dx 11n =0∞2
=∑1
=2 n =0∞2
(6分)[30][答案]
由于∑x n 的收敛区域是(-1, 1)，当
n =0∞
x ∈(-1, 1)时，g (x )可微，而且
g '(x )=∑(x )=∑(n +1)x n ， n
n =0n =0∞'∞
所以
⎛∞(-1)n x n ⎫⎛∞n ⎫⎪()f (x )⋅g '(x )= n +1x ⎪， ∑ ∑⎪n ! ⎭⎝n =0⎭⎝n =0
⎛∞(-1)m -k ⎫⎪(k +1)=∑x 。 ∑ ⎪m -k ! ⎭m =0⎝k =0∞m
(6分)[31][答案]
因为x n
f (x )=∑n =0n ! ∞ 的收敛区域是(-∞, +∞)，
f (x )在任意点可微，且可逐项微分。
'∞n -1⎛∞x n ⎫x ⎪f '(x )= ==f (x )， ∑∑ n ! ⎪⎝n =0⎭n =1n -1!
⎛∞x n ⎫⎛∞k ⎫f '(x )⋅g (x )= ∑n ! ⎪⎪ ∑x ⎪ ⎝n =0⎭⎝k =0⎭ 故
⎛m 1⎫m =∑ ∑⎪x 。 m =0⎝k =0k ! ⎭∞
(6分)[32][答案]
由于∑x 、∑2n x n 的收敛半径分别为1, 1， n
n =0n =0∞∞2
所以两幂级数乘积的收敛半径是1， 2
11⎫故当x ∈⎛ -, ⎪时， 22⎝⎭
⎛∞n ⎫⎛∞n n ⎫F (x )= ∑x ⎪ ∑2x ⎪⎝n =0⎭⎝n =0⎭ ∞n ⎛⎫=∑ ∑2k ⎪x n
n =0⎝k =0⎭
=∑(2n +1-1)x n
n =0∞
(6分)[33][答案]
11⎫ 幂级数的收敛域是⎛ -, ⎪， ⎝33⎭
11⎫所以f (x )在⎛- , ⎪上可微，且可逐项微分， ⎝33⎭
'1⎫∞⎛3n x n ⎫⎛⎪f ' ⎪=∑ ⎪4n ⎝⎭n =1⎝⎭x =1
4
=12 1⎫=∑3n ⋅⎛ ⎪⎝4⎭n =1∞n -1
(6分)[34][答案]
因为幂级数的收敛半径R =1，所以f (x )，
在(-1, 1)内连续，可微， 且
n '∞⎛1x ⎫= ⎫f '⎛ ⎪∑ ⎪⎝2⎭n =1⎝n ⎪⎭x =1
21⎫=∑⎛ ⎪n =1⎝2⎭∞n -1=2
(3分)[35][答案]
由于
f (x +h )=5(x +h )3-4(x +h )2-3(x +h )+2
+(15x -4)h 2+5h 3=(5x 3-4x 2-3x +2)+(15x 2-8x -3)h
x ∈(-∞, +∞)
h ∈(-∞, +∞) 由级数表示的唯一性，即知上式就是所求级数。 (3分)[36][答案]
因为
f '(x )=e -x 2
x 2n =∑(-1)n ! n =0
x ∈(-∞, +∞)∞n
所以
x 2n +1
f (x )=∑(-1) 2n +1n ! n =0
x ∈(-∞, +∞)∞n
级数ln x +ln 2x + +ln n x + 的收敛域是
(A) x
(B) x >e (C) 1
e
e ≤x ≤e
答( )
题目部分，(卷面共有100题,349.0分, 各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题, 共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] (A) [-1, 1] (B) [-1, 1) (C) (-1, 1) (D) (-1, 1]
答( )
(2分)[3] 设级数∑b n (x -2)n 在x =-2处收敛，则此级数在
n =0∞
x n
函数项级数∑
n =1n
∞
的收敛域是
x =4处
(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )
(3分)[4]设级数∑a n (x +3)n 在x =-1处是收敛的，则此级数在
n =0∞
x =1处
(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛；
(D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数∑a n (x -1)n 的收敛半径是1，则级数在x =3点
n =0∞
(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2
∞
a n +11
=, 则幂级数∑a n x 3n 分)[6]如果lim
n →∞a 8n =0n
(A)当x 1时, 发散； (D) 当
81
x >时, 发散； 2
答( ) (2分)[7]若幂级数∑a n x n 的收敛半径为R, 那么
n =0∞
a n +1
(A)lim =R , n →∞
a n
a n (B) lim =R , n →∞
a n +1
a n =R , (C)lim
n →∞
a n +1
(D)lim 不一定存在 . n →∞
a n
答( )
(3分)[8] 若幂级数∑a n x n 在x =2处收敛，在x =-3处发散，
n =0∞
则 该级数
(A)在x =3处发散； (B)在x =-2处收敛； (C)收敛区间为(-3, 2] ; (D)当x >时发散。
答( )
(2分)[9] 如果f (x )在x 0点的某个邻域内任意阶可导，那么
⎡f (n )(x 0)(x -x 0)n ⎤幂级数∑⎢⎥的和函数 n ! n =0⎣⎦
∞
(A) 必是f (x )， (B)不一定是f (x )， (C)不是f (x )， (D)可能处处不存在。
答( ) 。
(2分)[10]如果f (x )能展开成x 的幂级数，那么该幂级数 (A) 是f (x )的麦克劳林级数； (B)不一定是f (x )的麦克劳林级数；
(C)不是f (x )的麦克劳林级数； (D) 是f (x )在点x 0处的泰勒级数。 答( ) 。 二、填空 (54小题, 共166.0分) (2
分)[1]函数项级数
2x
a r 3∑2
x +n n =1
∞
的收敛域
是 。
(2分)[2]讨论x 值的取值范围，使当_____________时
(n +x ) n
∑n n =1
∞
收敛
(n +x ) n
当_____________时∑n n =1
∞
(3分)[3]
发散
x 2n -1
设级数∑u n (x )的部分和函数s n (x )=，
x +1n =1
∞
级数的通项u n (x )=(2
分
)[4]
级
数
πn
(-1)∑(2n )! 3n n =0
∞
n
。 的
和
是 。
(2分)[5] 级数∑[nxe -nx -(n -1)xe -(n -1)x ]在[0, 1]上的和
n =1∞
函数是 。
(3分)[6]设x 不是负整数，对p 的值讨论级数
n
()-1∑n =1∞
1
x +n p
(p >0)的收敛性
得 当 时，绝对收敛， 当
(2分)[7] 幂级数
∑(-1)
n =0
∞
n -1
1
(2x -3)n
2n -1
的收敛域
是 。
(-1)n -1x 2n -1
(3分)[8]幂级数∑的收敛半径是 ，和
2n -1! n =1
∞
函数是 。
(1分)[9] 如果幂级数∑a n (x -1)n 的收敛半径是1，则
n =0∞
级数在开区间 内收敛。 (2
∞a n
=2，则幂级数∑a n (x -1)n 在开区间 分)[10]如果lim
n →∞a n =0n +1
内收敛。
(2分)[11] 设幂级数∑a n x n 的收敛半径是R (0≤R
n =0∞
则幂级数∑a n x 2n 的收敛半径是
n =0
∞
(2分)[12]如果幂级数∑a n (x -1)n 在x =-1处收敛，在x =3处发
n =0
∞
散，则它的收
敛域是 . (5分)[13]
2222233244
幂级数x +x +x +x + 的通项
251017
是 ，收敛域是 。 (6分)[14]
⎛2n 3n ⎫n
幂级数∑ n +n ⎪⎪x 的收敛域是n =1⎝⎭
∞
。
(4分)[15] 幂级数∑n 4n +1x n 的收敛区间是
n =0
∞
(4分)[16] 幂级数∑n ! x n 的收敛域是。
n =0
∞
(4分)[17] 若幂级数∑a n x 和∑(n +1)a n x n +1的
n
n =0
n =0
∞∞
收敛半径分别为R 1、R 2，则R 1、R 2具有 关系 。 (3分)[18]
∞
a n
=3，则幂级数∑a n x 2n 设lim
n →∞a n =0n +1
的收敛半径是 。 (2分)[19]
x n
幂级数∑(-1)的收敛域是n n =1
∞
n
和函数是 。 (3分)[20]
2⋅3n x n
幂级数∑n ! n =0
∞
的和函数是 。
2⋅4⋅6
2⋅4⋅6⋅8
(3分)[21] 幂级数1+1x -1x 2+1⋅3x 3-1⋅3⋅5x 4+
2
2⋅4
的收敛域是和函数是
(2分)[22] 级数1+x +x +x +x +x + 的收敛域
2
3
2
52
是 ，和函数是 。 (2分)[23] 若幂级数∑a n x n 的收敛半径是R ，则其
n =0∞
和函数在开区间 上是连续的。 (2分)[24] 如果幂级数∑a n x 与∑b n x n 的收敛半径
n
n =0∞
∞
n =0
分别是R 1、R 2，则级数∑(a n +b n )x n 的收敛
n =0
∞
半径是
(3分)[25] 若幂级数∑a n x n 的收敛半径是R , 则
n =0∞
其和函数s (x )在开区间内是
可微的，且有逐项求导公式 (3分)[26] 设幂级数∑a n x n 的收敛半径是R , 则其和函数s (x )
n =0∞
在
开区间 上可积，且有逐项求积公式 。
⎛x +π⎫的麦克劳林展开成(4分)[27] 函数s i n ⎪
⎝
4⎭
为 ，其收敛域是 。 (3分)[28] 函数(1+x )α
(α∈R )的麦克劳林展开
式为，收敛区间是 。
(3分)[29] 函数y =a x (a >0, a ≠1)在x 0=0点的泰勒展开式为 ，收敛区间是 。
(3分)[30] 函数1的麦克劳林展开式
1_x
为 ，收敛域是 。 (3分)[31] 函数1的麦克劳林级数展开式
1+x
为，收敛域是 (5分)[32] 函数y =ln 1+x 的麦克劳林展开式
1-x
为 ，收敛域是 。 (6分)[33] 函数y =ln (1+x -2x 2)关于x 的幂级数为 ，收敛域是。
(4分)[34] 函数y =ln (2+x )的麦克劳林展开式为 ，收敛域是 。 (4分)[35] 函数cos (x +α)的麦克劳林展开式为 (3分)[36] 如果f (x )的麦克劳林展开式为
∑a x ，则a =。
2n n
∞
n
n =0
(2分)[37] 函数e x 在点x 0=0的泰勒级数为
(2分)[38] 函数sin x 的麦克劳林级数为 收敛区间为 。
(2分)[39] 函数ln (1+x )的麦克劳林级数为，收敛域为 。
(4分)[40] 函数ln (1-x )的麦克劳林展开式是d n ln (1-x )=n
dx x =0
(3分)[41] 函数c o x s 的麦克劳林展开式
为cos (n )(0)= (5
分)[42] 函数y =⎰0e -t dt 关于
x
x 的幂级数
是 ，
y (n )(0)=。
(4分)[43] 函数s i x n 的h 麦克劳林展开式
为
(sinh x )(n )x =o 。
(4
分)[44] 函数c o x s 的h 麦克劳林展开式
为 ，
(cosh x )(n )x =o =
(2分)[45] 函数f (x )=是1
a -x x =o
(a ≠0)关于x 的幂级数
。
d n f (x )dx
=(6分)[46] 函数sin 2x 的麦克劳林级数为，
(sin x )()
2
n
x =o
=。
∞
1
f (x )=展开成形如∑a n (x -1)n 的幂级
3+4x n =0
(3分)[47] 将函数
数时，收敛域是。
(3分)[48] 若函数f (x )在点x 0的某一邻域内任意阶可微，设
1
f (x )=∑f (k )(x 0)(x -x 0)k +R n (x )，那么f (x )在该
k =0k !
n
邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 。 (3分)[49] 函数y =1在点x 0=3的泰勒展开式
x
是 ，
其收敛域是
(3分)[50] 函数y =x 2cos x 2的麦克劳林级数是
(3分)[51] 函数y =x 2sin x 2的麦克劳林级数是
3⎫
(3分)[52] 根据(1+x )α的幂级数展开式将=2⎛1+ ⎪表
⎝
125⎭
-1
8
示成一个数项级数，该数项级数的前三项(用分数表示) 是 (2分)[53] 级数是。
(2分)[54] 利用e x 的幂级数展开式将1表示成一个数项级
e
1∑n =1n
∞
发散时，k 的取值范围
数，该数项级数的第六项(用分数表示) 是。 三、计算 (36小题, 共161.0分)
(3分)[1]设x ≥0，求级数+-)+-)+ 的和函数。 (3分)[2] 设u 1(x )=x , u n (x )=x n -x n -1, n =2, 3, , 0≤x ≤1, 试求级数∑u n (x )的和函数。
n =1∞
(3分)[3] 求函数项级数∑x 2e -nx , (x ≥0)的和函数s(x)。
n =0
∞
(4分)[4] 求级数∑nx n +1在(-1，1) 内的和函数。
n =1
∞
(4分)[5] 设f (x )为(-∞, ∞)上的连续函数，级数
∑u (x )=∑[f (x )-f (x )]，
n
n
n -1
n =2
n =2
∞∞
其中
1n -1⎛k f n (x )=∑f x +⎫⎪
n k =0⎝n ⎭
∞
n =1, 2,
试确定∑u n (x )的收敛域及和函数。
n =2
(4分)[6] 试求幂级数∑(2n +1-1)x n 的和函数。
n =0
∞
(n +1)5x 2n
(5分)[7]试求幂级数∑的收敛域。
∞n =0
2n +1
(4
n 2
分)[8]试求级数∑n =1x
∞
的收敛域。
(3分)[9] 试求级数lg x +(lg x )2+(lg x )3+ 的收敛域。 (4分)[10] 试求幂级数∑
n =1∞
∞
(x -5)n 的收敛半径及收敛域。
n
(4分)[11]
n 3x n
试求幂级数∑的收敛域。
n =1n +16
∞
(-1)n (x -1)n
(5分)[12]求幂级数∑的收敛域。 n
3n -12n =1
(4分)[13]已知幂级数∑a n x n 的收敛半径R 0≠0，试求
n =0∞
a n x n
∑n n =0b
∞
(b ≠0)的收敛半径。
∞
(5
2n -1x 2n -1
分)[14]试求幂级数∑的收敛半径及收敛域。 2
n =04n -3∞
-13n
(5分)[15] 试求幂级数∑2n n x 的收敛域。
n =1
8
(5分)[16]试求幂级数∑3n x n 的收敛域。
2
2
∞
n =0
(5分)[17]
x n -1
试求幂级数∑的收敛域。
n ⋅3⋅ln n n =2
∞
(x +1)n
(5分)[18] 试求幂级数∑的收敛域。 2
n =1n +1ln n +1∞
(6分)[19] 试求幂级数∑(-1)(x -2)n 的收敛域。
n n =0∞
∞
n +1
(n ! )22n
(5分)[20] 试求幂级数∑x 的收敛半径。
! n =12n (x -3)2n
(6分)[21] 试求幂级数∑的收敛域。
n =1n +1ln n +1∞
(5
2+(-1)n n
分)[22]试求幂级数∑x 的收敛半径及收敛域。
2n =0
∞∞
(4分)[23] 试求幂级数∑n +1x n 在其收敛域上的和函数。
n =1∞
n
(5分)[24]
x 4n +1
试求幂级数∑在收敛域上的和函数。
n =14n +1
(2分)[25] 试求级数e x +e 2+x + +e nx + 的收敛域。
! n
x 的收敛半径。 (3分)[26]试求幂级数∑(2n )2
∞k =1
n ! ! n
x 的收敛半径。 (2分)[27] 试求幂级数∑(3n )2
∞k =1
n ! (6分)[28] 设f (x )=∑(-1)n nx n -1，确定f (x )的连续
n =1
∞
区间，
并求积分⎰f (x )dx 的值。 (6分)[29] 设
x n -1
f (x )=∑n ⋅，确定f (x )的连续区间
2n =0
∞
1
30
并计算⎰0f (x )dx 的值。 (6分)[30] 设f (x )=∑
n =0∞
1
(-1)n x n ，g (x )=
n !
∑x , x
n n =0
∞
试用幂级数表示f (x )⋅g '(x )。 (6分)[31] 设
x n
f (x )=∑
n =0n !
∞
g (x )=∑x n , x
n =0
∞
试用幂级数表示f '(x )⋅g (x )。
(6分)[32] 设f (x )=∑x n
n =0∞
(x
1⎫
g (x )=∑2n x n , ⎛ x
∞
试用幂级数表示F (x )=f (x )⋅g (x )。 (6分)[33] 设
3n x n
f (x )=∑
n =1n
∞
，试确定R , 使得f (x )在
(-R ,
1⎫
R )上可微，并计算f '⎛ ⎪的值。
⎝4⎭
x n
f (x )=∑
n =1n
∞
(6分)[34] 设，确定R , 使得f (x )在(-R , R )上可微，
1⎫
并计算f '⎛ ⎪的值。
⎝2⎭
(3分)[35] 设f (x )=5x 3-4x 2-3x +2，求f (x +h )关于 h 的麦克劳林级数。
(3分)[36] 试求函数f (x )=⎰0e -t dt 关于x 的幂级数.
2
x
====================答案==================== 答案部分，(卷面共有100题,349.0分, 各大题标有题量和总分)
一、选择 (10小题, 共22.0分) (2分)[1][答案] C
(2分)[2][答案] B
(2分)[3][答案]
B (3分)[4][答案]
D (2分)[5][答案]
A (2分)[6][答案]
A (2分)[7][答案]
( D ) (3分)[8][答案]
( D ) (2分)[9][答案]
(B)
(2分)[10][答案]
(A) 二、填空 (54小题, 共166.0分) (2分)[1][答案]
(-∞, +∞)
(2分)[2][答案]
________
x >1 x ≤1
________
(3分)[3][答案]
x 2n -2x 2-11+x 2n -21+x 2n
(
)
(2分)[4][答案]
cos 。
3
(2分)[5][答案] (3分)[6][答案]
p >10
(2分)[7][答案]
(1, 2]
(3分)[8][答案]
+∞
……
sin x
(1分)[9][答案]
(0, 2) (2分)[10][答案]
(-1, 3) (2分)[11][答案]
(2分)[12][答案]
(-1, 3) (5分)[13][答案]
2n n
x 2
n +1
11⎤ ⎡-⎢, ⎥ ⎣2
2⎦
(6分)[14][答案]
⎡-1, 1⎤ ⎢⎣33⎥⎦
(4分)[15][答案]
11⎫ ⎛ -, ⎪ ⎝4
4⎭
(4分)[16][答案] {0}
(4分)[17][答案] R 1=R 2 (3分)[18][答案]
(2分)[19][答案]
(-1, 1]， -ln (1+x )。 (3分)[20][答案] 2e 3x
(3分)[21][答案]
[-1, 1] (2分)[22][答案] [0, 1)
11-x
(2分)[23][答案]
(-R , R )
(2分)[24][答案]
min (R 1, R 2)
或为+∞(b n =-a n ) (3分)[25][答案]
(-R , R )
∞
s '(x )=∑na n x n -1
n =1
(3分)[26][答案]
(-R , R ) ⎰
x
s (x )dx =∑
a n n +1
x ∞
n =0n +1
(4分)[27][答案]
∑∞
(-1)
[n /2]
x n ⋅n =0
2⋅n !
(-∞, +∞) (3分)[28][答案]
1+∑∞α(α-1) (α-n +1)x n n =1
n !
(-1, 1) (3分)[29][答案]
∑∞
ln 2a ⋅x n
n =0
n ! (-∞, +∞) (3分)[30][答案]
∑∞
x n n =0
(-1, 1) (3分)[31][答案]
∑∞
(-1)n x n
(-1, n =0(5分)[32][答案]
)
1
x 2n -1
2∑2n -1n =1
∞
(-1, 1)
(6分)[33][答案]
∑
n =1
∞
(-1)n +12n -1x n
n
⎛11⎤ -, ⎥
⎝22⎦
(4分)[34][答案]
+∑∞(-1)n +1ln 2x n
⋅2
n =1
n (-2, (4分)[35][答案]
∑∞
(-1)n ⎡n =0⎢cos ⎣
α2sin α2n +1⎤2n ! x n
-2n +1! x ⎥⎦(-∞, +∞) (3分)[36][答案]
1n !
f n (0) (2分)[37][答案]
∑∞
x n
n =0
n ! (-∞, +∞) (2分)[38][答案]
∑∞
(-1)n
x 2n +1m +1 n =0
! (-∞, +∞) (2分)[39][答案]
∑∞
(-1)
n -1
x n
n =1
n
2]
(-1, 1] (4分)[40][答案]
x n
-∑n =1n
∞
[-1, 1)
-(n -1)! (3分)[41][答案]
x 2n
(-1)∑2n ! n =0
∞
n
(-∞, +∞)
⎧0cos (n )(0)=⎨k
⎩(-1)
n =2k +1n =2k
, k =0, 1, 2 ,
(5分)[42][答案]
(-1)n x n +1
∑
n =0n ! n +1∞
(-∞,
n =1, 2,
+∞)
(-1)n -1
(4分)[43][答案]
x 2n +1
∑! n =02n +1∞
(-∞, +∞)
⎧1=⎨⎩0
n =2k +1
n =2k
(s i n x h )
(n )
x =o
k =0, 1, 2, (4分)[44][答案]
x 2n
∑2n ! n =0
∞
(-∞, +∞)
1
⎩0
n =2k
n =2k +1
(cosh x )(n )x =o =⎧⎨
k =0, 1, (2分)[45][答案]
x 2n ∑2n +2n =0a
∞
(-a , a )
n =2k +1,
⎧⎪0⎪
f (n )(0)=⎨
⎪(2k )! ⎪⎩a 2k +2
n =2k
,
k =0, 1, (6分)[46][答案]
(-1)n -122n -1x 2n
∑ (-∞,
2n ! n =1
∞
+∞)
(sin x )()
2
n
x =0
0⎧
⎪=⎨
⎪(-1)k -122k -1⎩
n =2k +1, n =2k
,
k =1, 2, (3分)[47][答案]
⎛-3, 11⎫ ⎪⎝44⎭
(3分)[48][答案]
对于该邻域内的任意x ，有
lim R n (x )=0
n →∞
(3分)[49][答案]
(x -3)n
∑(-1)
∞
n
n =0
3
(0, 6) (3分)[50][答案]
x 2n +2
(-1) ∑2n ! n =0
∞
n
x ∈(-∞, +∞) (3分)[51][答案]
x 4(n +1)(-1) ∑2n +1! n =0
∞
n
x ∈(-∞, +∞) (3分)[52][答案] 2-3+
81
5001000000(注：填 2-63+81也得10分) 6
1010
(2分)[53][答案] k ≤1； (2分)[54][答案]
-1
3840
(注：答案形式为-15也给分)
5! 2
三、计算 (36小题, 共161.0分) (3分)[1][答案]
s n (x )=+
=2n x
-+ +
)(
2n -2n )
⎧1, x >0
s (x )=lim s n =lim 2n x =⎨
n →∞n →∞
⎩0, x =0
(3分)[2][答案]
s n (x )=x +(x 2-x ) +(x 3-x 2) + +(x n -x n -1) =x n
于是，
⎧0, 0≤x
s (x )=lim s n (x )=lim x n =⎨
n →∞n →∞x =1⎩1,
(3分)[3][答案]
所给级数是以e -x 为公比的等比级数 因此，当x>0, 0
-x
n =0∞
x 2且和函数s (x )=
1-e -x
又x=0时，x 2e -nx =0 ，级数收敛 且s (x ) =0
⎧x 21-e ⎪⎨⎪0⎪⎩
, x ≠0
综上所述 s (x ) =
, x =0
(4分)[4][答案] 解法一
s (x )
=
∑nx
n =1
∞
n +1
=x ⋅∑nx n -1
2
n =1
∞
⋯
'∞
⎛⎫=x 2 ∑x n ⎪ ⎝n =1⎭
'x ⎫⎛x ⋅ ⎪ ⎝1-x ⎭
2
=⋯⋯
x 2
=2
1-x ⋯ 解法二
s (x ) =∑∞
nx n +1
n =1 =x 2+2x 3+3x 4+ +nx n +
=(x 2+x 3+x 4+ +x n + ) +
(x 3+x 4(+x 5+ ) + +
x
n
+x n +1+x n +2+ )+
x 21-x +x 31-x + +x n =1-x + x 2=1-x ⋅11-x
2
=⎛ x ⎫⎝1-x ⎪⎭
(4分)[5][答案]
设s ∞
n (x )为∑u n (x )的部分和，则
n =2s 1n -1⎛k
n (x )=f n (x )-f (x )=n ∑f x +⎫⎪-f (x )k =0⎝n ⎭x ∈(-∞, +∞)
…所求
和
s (x )=lim s (x )=⎰1n →∞
n 0
f (x +t )dt -f (x )
x ∈(-∞, +∞)收敛
域
(-∞, +∞)
…
函
数
所求
为
…
(4分)[6][答案]
11⎫
幂级数的收敛域是⎛- , ⎪，
⎝22⎭
11⎫所以当x ∈⎛ -, ⎪时，有
⎝22⎭
s (x )=∑∞
(2n +1-1)x n
n =0
=∑∞2n +1x n -∑∞
x n n =0
n =0
=21-2x -11-x
(5分)[7][答案]
设u (n +1)5x 2n n
(x )=2n +1
因为lim u n +1(x )n →∞
u =x 2 n x 所以当x
令1
=t , 原级数化为∑∞
n 2t n x , n =1
当且仅当t
n 2t n 收敛， n =1
所以原级数的收敛域是(-∞, -1)⋃(1, (3分)[9][答案]
令lg x =t , 级数化为∑∞
t n , n =1
+∞) 。
当且仅当t
10
∑t 收敛，
n n =1
∞
所以当1
1⎫收敛域为⎛ , 10⎪.
⎝10
⎭
(4分)[10][答案] 令(x -5)=t , 级数∑
∞
t n
n =1n
的收敛半径是1,
收敛域是[-1, 1) , 故原级数收敛半径是1, 收敛域是[4, 6) . (4分)[11][答案]
由于lim
a n +1
n →∞
a =1，所以R =1， n
当x =1时，级数发散； 当x =-1时，级数收敛； 故收敛域为[-1, 1). (5分)[12][答案]
令x -1, 原级数化为∑∞
(-1)n t n
t =, n =13n -12
n
此级数的收敛半径是2, 收敛域是(-2, 故原级数的收敛域是(-1, 3] . (4分)[13][答案]
利用两级数之间的关系，可得:
2] ,
当当
x
即
x ⎫
x
⎝b ⎭n =0
∞
n
∞
n
收敛，
x ⎫
x >b R o 时, 级数∑a n ⎛ ⎪
⎝b ⎭n =0
发散,
所以收敛半径是b R o . (5分)[14][答案]
设u 2n -1x 2n -1
n (x )=
4n -32
因为
lim
u n +1(x )→∞u n
x =2x 2n
所以收敛半径R =1， 而且x =1时, 级数收敛。
故收敛域为⎡⎢
1
1⎤
⎣
-, ⎥⎦
。 (5分)[15][答案]
设u n -1n (x )=28
n
x 3n
u 3
因为n +1(x )x n →∞u =,
n
x 8所以 R =2, 且x =2时，级数发散， 故收敛域是(-2, 2)。 (5分)[16][答案] 设u n (x )=3n 2
x n 2
,
因
为
u n +1(x )=(3x )2n +1 u n x
所以当x
3
当x =1时，级数发散，
3
故收敛域为
⎛ ⎝-13,
(5分)[17][答案] 设a 1
n =
n ⋅3n
⋅ln n
由于lim a n
n →∞
a =3，故R =3， n +1
且当x =3时，级数发散; 当x =-3时，级数收敛。 所以收敛域是[-3, 3)。
(5分)[18][答案]
因为lim a n n →∞
a =1，所以R =1， n +1
且当x +1=1 即x =0时，级数收敛； 当x +1=-1 即x =-2时，级数收敛, 所以收敛域是[-2, 0]。 (6分)[19][答案]
由于lim
a n +1
n →∞
a =1，所以R =1， n
1⎫3⎪⎭
。
且当x -2=1时，级数收敛， 当x -2=-1时，级数发散，
故收敛域是(1, 3]。 (5分)[20][答案]
u n +1(x )x 2
=因为n →∞u x 4n
，
所以当x
u n +1(x )=(x -3)2， 因为lim n →∞
u n x 所以当x -
1u x =x 因为lim n
n →∞
2
所以收敛半径R=2， 且当|x|=2时，级数发散。
故收敛域为(-2，2) 。 (4分)[23][答案]
幂级数的收敛域是(-1, 1)， 所以当x ∈(-1, 1)时，有
x n
s (x )=∑x +∑
n =1n =1n
∞
n
∞
=x -ln (1-x )
1-x
(5分)[24][答案]
幂级数的收敛域是(-1, 1)， 当x ∈(-1, 1)时，有
⎛∞4n ⎫
s (x )=⎰ ∑x ⎪dx
x 0
⎝n =1⎭
=-x +14
ln 1+x 1-x
+12
arctan x (2分)[25][答案]
这是以e x 为公比的等比级数 令e x
lim
a n +1n →∞a =lim 2(2n +1)=4 n
n →∞n +1∴
级数的收敛半径R =14
(2分)[27][答案]
lim
a n +1n →∞a =lim 3(3n +1)(3n +2)=n
n →∞n +1∞ ∴ 级数的收敛半径R =0。 (6分)[28][答案]
因为幂级数的收敛域是(-1, 1)，所以f (x )在(-1, 1)上的连续，
且可逐项积分。
⎰1
3
0f (x )=∑⎰(-1)n nx n -1dx n =1∞130
=∑(-1)n ⋅1
n =-1 n =1∞34
(6分)[29][答案]
由于幂级数的收敛域是(-2, 2)，所以
f (x )在(-2, 2)上连续，且可逐项积分。故
⎰0f (x )dx =∑⎰0n ⋅x n -1dx 11n =0∞2
=∑1
=2 n =0∞2
(6分)[30][答案]
由于∑x n 的收敛区域是(-1, 1)，当
n =0∞
x ∈(-1, 1)时，g (x )可微，而且
g '(x )=∑(x )=∑(n +1)x n ， n
n =0n =0∞'∞
所以
⎛∞(-1)n x n ⎫⎛∞n ⎫⎪()f (x )⋅g '(x )= n +1x ⎪， ∑ ∑⎪n ! ⎭⎝n =0⎭⎝n =0
⎛∞(-1)m -k ⎫⎪(k +1)=∑x 。 ∑ ⎪m -k ! ⎭m =0⎝k =0∞m
(6分)[31][答案]
因为x n
f (x )=∑n =0n ! ∞ 的收敛区域是(-∞, +∞)，
f (x )在任意点可微，且可逐项微分。
'∞n -1⎛∞x n ⎫x ⎪f '(x )= ==f (x )， ∑∑ n ! ⎪⎝n =0⎭n =1n -1!
⎛∞x n ⎫⎛∞k ⎫f '(x )⋅g (x )= ∑n ! ⎪⎪ ∑x ⎪ ⎝n =0⎭⎝k =0⎭ 故
⎛m 1⎫m =∑ ∑⎪x 。 m =0⎝k =0k ! ⎭∞
(6分)[32][答案]
由于∑x 、∑2n x n 的收敛半径分别为1, 1， n
n =0n =0∞∞2
所以两幂级数乘积的收敛半径是1， 2
11⎫故当x ∈⎛ -, ⎪时， 22⎝⎭
⎛∞n ⎫⎛∞n n ⎫F (x )= ∑x ⎪ ∑2x ⎪⎝n =0⎭⎝n =0⎭ ∞n ⎛⎫=∑ ∑2k ⎪x n
n =0⎝k =0⎭
=∑(2n +1-1)x n
n =0∞
(6分)[33][答案]
11⎫ 幂级数的收敛域是⎛ -, ⎪， ⎝33⎭
11⎫所以f (x )在⎛- , ⎪上可微，且可逐项微分， ⎝33⎭
'1⎫∞⎛3n x n ⎫⎛⎪f ' ⎪=∑ ⎪4n ⎝⎭n =1⎝⎭x =1
4
=12 1⎫=∑3n ⋅⎛ ⎪⎝4⎭n =1∞n -1
(6分)[34][答案]
因为幂级数的收敛半径R =1，所以f (x )，
在(-1, 1)内连续，可微， 且
n '∞⎛1x ⎫= ⎫f '⎛ ⎪∑ ⎪⎝2⎭n =1⎝n ⎪⎭x =1
21⎫=∑⎛ ⎪n =1⎝2⎭∞n -1=2
(3分)[35][答案]
由于
f (x +h )=5(x +h )3-4(x +h )2-3(x +h )+2
+(15x -4)h 2+5h 3=(5x 3-4x 2-3x +2)+(15x 2-8x -3)h
x ∈(-∞, +∞)
h ∈(-∞, +∞) 由级数表示的唯一性，即知上式就是所求级数。 (3分)[36][答案]
因为
f '(x )=e -x 2
x 2n =∑(-1)n ! n =0
x ∈(-∞, +∞)∞n
所以
x 2n +1
f (x )=∑(-1) 2n +1n ! n =0
x ∈(-∞, +∞)∞n
级数ln x +ln 2x + +ln n x + 的收敛域是
(A) x
(B) x >e (C) 1
e
e ≤x ≤e
答( )