往年许多同学在创新概念试题上几乎得不到分，究其原因是同学们尚未熟悉创新概念试题的解题模式． 本篇从全国各地2009年的模拟试题中精选若干精题供同学们揣摩与思考、练习与总结． 同学们在面对创新概念试题的时候，一定要保持一种接收新概念的心态． 每个创新概念试题之所以创新，因为其往往以陌生的知识点为背景，或以新颖而典型的分析技巧为手段制造创新之处． 要想应付这类试题，接收其中的创新之处并领悟其在题中蕴涵的条件是不可缺少的前提． ■ 专项模拟 A． 点Q在△GAB内 B． 点Q在△GBC内 C． 点Q在△GCA内 D． 点Q与点G重合 2． 已知数列an（n∈N+）满足an=logn+1（n+2）（n∈N+），定义使a1・a2・a3…ak为整数的数k（k∈N+）为企盼数，则区间［1，2005］内所有企盼数的和等于_______?摇． 3． 电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如表1． 则二进制数111 111表示十进制数_________. 4． 将自然数1，2，3，4，…排成数阵，在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，……，则第2005个转弯处的数为__________． 21 ― 22 ― 23 ― 24 ― 25 ― 26 ― ― 20 7 ―8―9 ―1027 ―― ―↓ ―――― 18 5 ―4―312 ― ― 17 ― 16 ― 15 ― 14 ― 13 5． 对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算． 现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m=_______． 6． 对于任意实数x，符号［x］表示x的整数部分，即［x］是不超过x的最大整数”． 在实数轴R（箭头向右）上［x］是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时［x］就是x． 这个函数［x］叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用． 那么［log21］+［log22］+［log23］+［log24］+…+［log21 024］=________． 8． 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N+）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．下列函数： 其中是一阶格点函数的有_____． 9. 如图1，在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值． 类比上述性质，请叙述在立体几何中相应的特性，并画出图形． 类比性质叙述如下：________． 10． 我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻． 2005年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”： 媒体A：“凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元．” 媒体B：“凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件．” 媒体C：“凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元．” 请根据表2中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体____（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些． 位，若所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_______. 12． 如图2，直线l1：y=kx（k>0）与直线l2：y=－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2． （Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2； （Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C． 13． 设M是由满足下列条件的函数 f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f ′（x）满足0 （Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意［m，n］?坳D，都存在x0∈［m，n］，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f ′（x0）成立”. 试用这一性质证明方程f（x）-x=0只有一个实数根. （Ⅲ）设x1是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当x2－x1 14． 表3给出一个“等差数阵”． 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数． （Ⅰ）写出a45的值； （Ⅱ）写出aij的计算公式； （Ⅲ）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． ■ 解题反思 本专题的试题难易交错，如果绝大多数试题都不会做，同学们应该尝试反思在面对这些试题的时候，是否以冷静的心态专注地阅读过试题中的每个角落． 如果面对此类试题依然害怕，问题就在同学们的心态上，此时应该让自己多浸泡在这类试题中，多多思考，直至不再害怕这类试题，而且能够很快地进入阅读分析条件的状态；如果面对这类试题条件均看得懂，却依然不会做题，问题就在同学们的关注点上，此时应该让自己的关注点转移到尝试分析技巧上，而不应该过度关注试题中的条件是什么意思了． 总之，面对这类试题同学们应该分两步去开展： 1. 分析试题中的陌生条件，做到理解其代表了什么，并尝试将陌生条件表达的内容迁移到熟悉的领域内； （Ⅱ） k2x2－y2－（k2+1）d2=0 13. （Ⅰ）f（x）是M中的元素 （Ⅱ）略，提示：反证法 （Ⅲ）略，提示：f（x）-x为减函数，且x3－x2=（x3－x1）-（x2－x1） 14. （Ⅰ）a45=49 （Ⅱ）aij=2ij+i+j （Ⅲ）略，提示：aij=i（2j+1）+j
往年许多同学在创新概念试题上几乎得不到分，究其原因是同学们尚未熟悉创新概念试题的解题模式． 本篇从全国各地2009年的模拟试题中精选若干精题供同学们揣摩与思考、练习与总结． 同学们在面对创新概念试题的时候，一定要保持一种接收新概念的心态． 每个创新概念试题之所以创新，因为其往往以陌生的知识点为背景，或以新颖而典型的分析技巧为手段制造创新之处． 要想应付这类试题，接收其中的创新之处并领悟其在题中蕴涵的条件是不可缺少的前提． ■ 专项模拟 A． 点Q在△GAB内 B． 点Q在△GBC内 C． 点Q在△GCA内 D． 点Q与点G重合 2． 已知数列an（n∈N+）满足an=logn+1（n+2）（n∈N+），定义使a1・a2・a3…ak为整数的数k（k∈N+）为企盼数，则区间［1，2005］内所有企盼数的和等于_______?摇． 3． 电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如表1． 则二进制数111 111表示十进制数_________. 4． 将自然数1，2，3，4，…排成数阵，在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，……，则第2005个转弯处的数为__________． 21 ― 22 ― 23 ― 24 ― 25 ― 26 ― ― 20 7 ―8―9 ―1027 ―― ―↓ ―――― 18 5 ―4―312 ― ― 17 ― 16 ― 15 ― 14 ― 13 5． 对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算． 现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m=_______． 6． 对于任意实数x，符号［x］表示x的整数部分，即［x］是不超过x的最大整数”． 在实数轴R（箭头向右）上［x］是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时［x］就是x． 这个函数［x］叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用． 那么［log21］+［log22］+［log23］+［log24］+…+［log21 024］=________． 8． 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N+）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．下列函数： 其中是一阶格点函数的有_____． 9. 如图1，在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值． 类比上述性质，请叙述在立体几何中相应的特性，并画出图形． 类比性质叙述如下：________． 10． 我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻． 2005年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”： 媒体A：“凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元．” 媒体B：“凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件．” 媒体C：“凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元．” 请根据表2中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体____（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些． 位，若所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_______. 12． 如图2，直线l1：y=kx（k>0）与直线l2：y=－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2． （Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2； （Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C． 13． 设M是由满足下列条件的函数 f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f ′（x）满足0 （Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意［m，n］?坳D，都存在x0∈［m，n］，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f ′（x0）成立”. 试用这一性质证明方程f（x）-x=0只有一个实数根. （Ⅲ）设x1是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当x2－x1 14． 表3给出一个“等差数阵”． 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数． （Ⅰ）写出a45的值； （Ⅱ）写出aij的计算公式； （Ⅲ）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． ■ 解题反思 本专题的试题难易交错，如果绝大多数试题都不会做，同学们应该尝试反思在面对这些试题的时候，是否以冷静的心态专注地阅读过试题中的每个角落． 如果面对此类试题依然害怕，问题就在同学们的心态上，此时应该让自己多浸泡在这类试题中，多多思考，直至不再害怕这类试题，而且能够很快地进入阅读分析条件的状态；如果面对这类试题条件均看得懂，却依然不会做题，问题就在同学们的关注点上，此时应该让自己的关注点转移到尝试分析技巧上，而不应该过度关注试题中的条件是什么意思了． 总之，面对这类试题同学们应该分两步去开展： 1. 分析试题中的陌生条件，做到理解其代表了什么，并尝试将陌生条件表达的内容迁移到熟悉的领域内； （Ⅱ） k2x2－y2－（k2+1）d2=0 13. （Ⅰ）f（x）是M中的元素 （Ⅱ）略，提示：反证法 （Ⅲ）略，提示：f（x）-x为减函数，且x3－x2=（x3－x1）-（x2－x1） 14. （Ⅰ）a45=49 （Ⅱ）aij=2ij+i+j （Ⅲ）略，提示：aij=i（2j+1）+j