数学课时规划、总结
部门： _福安部_____ 教员： 高勤 _____ 日期： 12.10-12.11 _____
-科翰文化-福安部 - 第 １ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
考点一 二次函数的定义
一般地，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0) 的函数叫做x 的二次函数。其中，x 是自变量，y 是因变量。一般称y 是x 的函数。
注意：①二次函数的二次项系数不为0；②二次函数的自变量的最高次数为2；③二次函数的表达式必须为整式。 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y =x 2-4x +1； ⑤y =-2x -1；
②y =2x 2；
③y =2x 2+4x ；
⑦y =
④y =-3x ；
⑥y =mx 2+nx +p ；
4
； x
⑧y =-5x 。
2、若函数y =(m 2+2m -8) x 2+4x +5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y =(m +3) x m
2
-7
+1是二次函数，则m ＝
考点二 列式表示二次函数关系
1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．
2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．
3、 某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1
元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式。
4、如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．
考点三 二次函数y =ax 2(a ≠0) 的图像特征与性质
①开口方向：a >0时开口向上；a
⎧当a >0时：在y 轴左边，y 随x 的增大而____，也即为__函数；在y 轴右边，y 随x 的增大而____，也即为__函数。⎩当a
⑤当a >0时，函数有最低点O(0,0),也即是此时函数的最小值； 当a
-科翰文化-福安部 - 第 ２ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
1．函数y=x的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 ．2
2．若点A （3，m ）是抛物线y=－x 上一点，则m= ．
2
3．函数y=x的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
2
4．若二次函数y=ax（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ．
2
125．点A （，b ）是抛物线y=x上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它在函数 上；
2
点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上． 6、求出函数y=x＋2与函数y=x2
的图象的交点坐标．
7、已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2
2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x的图象上，则（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3
考点四 二次函数y =ax 2+c (a ≠0) 的图像特征与性质
【例1】 已知抛物线y=（m ＋1）x m 2+m
开口向下，求m 的值．
【例2】k 为何值时，y=（k ＋2）x k 2-2k -6
是关于x 的二次函数？
【例3】已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax2
相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．
（1）求a 、m 的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x 取何值时，二次函数y=ax2
中的y 随x 的增大而减小；
（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax2
的顶点构成的三角形的面积．
-科翰文化-福安部 - 第 ３ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门）89559103
电话：
【例4】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
【练习】
1．抛物线y=－4x －4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ．
2
2．当m= 时，y=（m －1）x
2
m 2+m
－3m 是关于x 的二次函数．
3．抛物线y=－3x 上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x
2
m 2+m
＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大
而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．
5．抛物线y=3x与直线y=kx＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 7．在同一坐标系中，图象与y=2x的图象关于x 轴对称的是（ ）
2
．
12A ．y=x
2
2
12
B ．y=－x
2
2
C ．y=－2x
2
D ．y=－x
2
8．抛物线，y=4x，y=－2x 的图象，开口最大的是（ ）
12
A ．y=x
4
B ．y=4x
2
C ．y=－2x
2
D ．无法确定
1212
9．对于抛物线y=x 和y=－x 在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ） 33
A ．两条抛物线关于x 轴对称 C ．两条抛物线关于y 轴对称
2
B ．两条抛物线关于原点对称 D ．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax与一次函数y=ax＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4
B ．2
2
1
C ．
21D ． 4
2
12．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．
-科翰文化-福安部 - 第 ４ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
考点五 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像和性质
【例】请你在同一直角坐标系内，画出函数并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
y =-(x +1) 2-1 的图像，2，
Ⅰ 抛物线的顶点
技法：把二次函数的解析式化成
2．抛物线y =x +bx +c 的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．已知抛物线y ＝x ＋(m－1)x －
2
2
2
的形式，那么抛物线的顶点为（h ，k ）。
2
1
的顶点的横坐标是2，则m 的值是 4
4．抛物线y ＝x ＋3x 的顶点在 ( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
-科翰文化-福安部 - 第 ５ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
技法：把二次函数的解析式化成
2
2
的形式，那么抛物线的对称轴为x=h。
1． 已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k －1）x －2（k －2）x ＋1上．求抛物线的对称轴；
2． 抛物线y =x +2x -3的对称轴是
3． 若二次函数y =3x 2+mx -3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ . 4．过点(1，0) ，B (3，0) ，C (－1，2) 三点的抛物线的顶点坐标是（ ）
(A)(1，2) （B ）(1，
2
21) (C) (－1，5) (D)(2，-) 34
5．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y =
12
x -2x +1； （2）y =-3x 2+8x -2； 2
Ⅲ 二次函数的平移 技法：把二次函数的解析式化成
的形式，然后按照“上加下减，左加右减”
1. 抛物线y =x 2+2向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式为。 2．抛物线y=2x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 3．要得到二次函数y =-x 2+2x -2的图象，需将y =-x 2的图象（ ）．
A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 4．（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数y =2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A ．y =2x 2-2 B．y =2x 2+2 C．y =2(x -2) 2 D．y =2(x +2) 2
2
．
Ⅳ 二次函数的图像
技法：对于y =ax 2+bx +c 的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负；②对称轴位置
a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴；③与y 轴的交点由c 定，上正下负，c 为0时过原点。 1． 已知抛物线y =ax +bx +c 的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ）
Ａ. a >0, b >0, c >0 C. a >0, b
B. a >0, b >0, c =0 D. a >0, b
2
-科翰文化-福安部 - 第 ６ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
2. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．a +b +c >0 C ．a -b +c >0
B．b >-2a D ．c
Ⅴ 二次函数的解析式
★抛物线顶点在原点，对称轴是y 轴——→设二次函数解析式为y =ax 2。
【例】如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，水面离桥的最高点距离为50m 。求在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式。
★ 抛物线顶点为（h,k ）——→设二次函数解析式为y =a (x -h ) 2+k （顶点式）
【例】已知抛物线的顶点是（-3,4），并且经过点A （-2,3）。求这个抛物线的函数解析式。
【练习】已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，-2）且与y 轴交与（0，
（x 1，y ），(x 2，y ) ，则对称轴为x =h =★已知抛物线上两对称点坐标
5
），求函数的解析式。 2
x 1+x 2
→设二次函数解析式为y =a (x -h ) 2+k 2
【例】已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．求这条抛物线的表达式。
★已知抛物线上3个点的坐标——→设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c （三点式） 【例】已知抛物线经过A （0，1），B （－1，0），C （1，0），求二次函数的解析式。
★ 已知抛物线上与x 轴的交点（x 1，0）（x 2，0）——→设二次函数的解析式为y =a (x -x 1)(x -x 2) （交点式） 【例】已知抛物线经过A （0，1），B （－1，0），C （1，0），求二次函数的解析式。
-科翰文化-福安部 - 第 ７ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
【练习】
1．已知抛物线y =(m -1) x m
2
-m
的开口向下，则m 的值为。
2．抛物线y =2x 2+4x +m 2-m 经过坐标原点，则m 的值为 . 3. 已知抛物线y ＝x ＋(m－1)x －
2
1
的顶点的横坐标是2，则m 的值是 4
n
4. 当n ＝________，m ＝______时，函数y ＝(m＋n) x ＋(m－n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 5. 抛物线y =-
32
x 向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式为 2
2
6. 已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c(a≠0) 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( ) A.a>0，b>0 B.a>0，c>0 C.b>0，c>0 D.a、b 、c 都小于0
2
7. 已知二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线
y =ax +bc 不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
2
C 第三象限． D ．第四象限
b
8．在同一坐标系中，函数y=ax＋bx 与y=的图象大致是图中的（ ）
x
9. 抛物线y =－2(x －1) －3与y 轴的交点纵坐标为（ ）
（A ）－3 （B ）－4 （C ）－5 （Ｄ）－1
10．将抛物线y =3x 向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）
(A) y =3(x +2)+4 (B) y =3(x －2) +4 (C) y =3(x －2) －4 (D)y =3(x +2)－4
11. 如图1－2－16所示，要在底边BC =160cm，高AD =120cm的△ABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在
2
2
2
2
2
2
AM HG
AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时。
AD BC
(1)设矩形EFGH 的长HG =y ，宽HE =x ，确定y 与x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？
(3)以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备) 。
-科翰文化-福安部 - 第 ８ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
二次函数的图像专题练习（中考连接）
1. （2011山东德州）已知函数y =(x -a )(x -b ) （其中a >b ）的图象如下图所示，则函数y =ax +b 的图象可能正确的是（ ）
第1题图
2
2．（2011四川重庆）已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0) 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ． a >0 B． b ＜0 C． c ＜0 D． a ＋b ＋c >0
3. （2011台湾）如图为坐标平面上二次函数y =ax 2+bx +c 的图像，且此图像经过（－1 , 1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，正确的是（ ）
A ．y 的最大值小于0 B．当x ＝0时，y 的值大于1 C ．当x ＝1时，y 的值大于1 D．当x ＝3时，y 的值小于0
4. （2011四川凉山州）二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，反比列函数y =同一坐标系内的大致图像是（ ）
A
2
a
与正比列函数y =bx 在x
B
C
D
5. （2011安徽芜湖）二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y =一坐标系中的大致图象是（ ）.
a
与一次函数y =bx +c 在同x
1、与抛物线y=﹣x +3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ）
A 、C 、
2
2
B 、
D 、y=﹣x +3x﹣5
2
2、二次函数y=x+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此拋物线的对称轴是（ ） A 、直线x=4 B 、直线x=3 C、直线x=﹣5 D 、直线x=﹣1
22
3、抛物线y=x﹣mx ﹣m +1的图象过原点，则m 为（ ） A 、0 B 、1 C、﹣1 D 、±1
2
4、把二次函数y=x﹣2x ﹣1的解析式配成顶点式为（ ）
2222
A 、y=（x ﹣1） B 、y=（x ﹣1）﹣2 C、y=（x+1）+1 D 、y=（x+1）﹣2
2
5、直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x ﹣1）﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A 、（0，0） B 、（1，﹣2） C、（0，﹣1） D 、（﹣2，1）
2
6、（2008•长春）二次函数y=kx﹣6x+3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、k ＜3 B 、k ＜3且k ≠0 C、k ≤3 D 、k ≤3且k ≠0
22
7、二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则 abc，b ﹣4ac ，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（ ）
A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、（2008•长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx﹣x+k的图象大致为（ ）
2
2
2
（A ） （B ） (C) (D)
9、已知抛物线y=x+4x+3，请回答以下问题：
（1）它的开口向 _________ ，对称轴是直线 _________ ，顶点坐标为 _________ ； （2）图象与x 轴的交点为 _________ ，与y 轴的交点为 _________ ．
2
10、抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）过第二、三、四象限，则a _________ 0，b _________ 0，c _________ 0．
22
11、抛物线y=6（x+1）﹣2可由抛物线y=6x﹣2向 _________ 平移 _________ 个单位得到． 12、顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为 _________ ． 13、对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为 _________ ．
2
14、抛物线y=﹣2x +4x+1在x 轴上截得的线段长度是 _________ ．
22
15、抛物线y=x+（m ﹣2）x+（m ﹣4）的顶点在原点，则m= _________ ．
2
16、已知抛物线y=﹣x ﹣2x+m的顶点在x 轴上方，则m _________ ．
2
17、已知二次函数y=（m ﹣1）x +2mx+3m﹣2，则当m= _________ 时，其最大值为0．
22
18、二次函数y=ax+bx+c的值永远为负值的条件是a _________ 0，b ﹣4ac _________ 0．
22
20、已知二次函数y=x+4x+c－5c －3，当x ＝－4时，y=3，求c 的值。
-科翰文化-福安部 - 第 １０ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
星期____ 班级____________ 姓名____________
21、已知二次函数y=ax+bx+c，当x=0时，y=7，当x=1时y=0，当x=－2时y=9，求它的解析式。
22、已知某抛物线过点（0，1），它的顶点坐标是（2, －1），求这条抛物线的解析式。
23、当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7），求这个二次函数的解析式
224、已知抛物线y=ax+bx+c经过点（－1,5）、（1,1）及（2,2），求它的解析式。
225、已知抛物线y=ax+bx+c经过点（－2,9）、（－1，1）、（1, －3），求它的解析式。
226、已知抛物线y=ax+bx+c经过点（0,0），对称轴是直线x ＝6，最低点的纵坐标是－3，求它的解析式。
227、在体育测试时，初三（2）班的高个子张成同学推铅球，已知铅球所经过的路线是抛物线y=ax+bx+c的一部分
（如图所示），且知铅球出手处A 点的坐标为（0，2）（单位：m ，后同），铅球路线中最高处B 点的坐标为（6,5）
（1）求该抛物线的解析式；（2）张成同学把铅球推出多远？（精确到0.01m ）
228、已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线x=3，抛物线与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于C 点，OC ＝2，S △ABC
＝4，求抛物线的解析式。
-科翰文化-福安部 - 第 １１ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
2
数学课时规划、总结
部门： _福安部_____ 教员： 高勤 _____ 日期： 12.10-12.11 _____
-科翰文化-福安部 - 第 １ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
考点一 二次函数的定义
一般地，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0) 的函数叫做x 的二次函数。其中，x 是自变量，y 是因变量。一般称y 是x 的函数。
注意：①二次函数的二次项系数不为0；②二次函数的自变量的最高次数为2；③二次函数的表达式必须为整式。 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y =x 2-4x +1； ⑤y =-2x -1；
②y =2x 2；
③y =2x 2+4x ；
⑦y =
④y =-3x ；
⑥y =mx 2+nx +p ；
4
； x
⑧y =-5x 。
2、若函数y =(m 2+2m -8) x 2+4x +5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y =(m +3) x m
2
-7
+1是二次函数，则m ＝
考点二 列式表示二次函数关系
1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．
2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．
3、 某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1
元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式。
4、如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．
考点三 二次函数y =ax 2(a ≠0) 的图像特征与性质
①开口方向：a >0时开口向上；a
⎧当a >0时：在y 轴左边，y 随x 的增大而____，也即为__函数；在y 轴右边，y 随x 的增大而____，也即为__函数。⎩当a
⑤当a >0时，函数有最低点O(0,0),也即是此时函数的最小值； 当a
-科翰文化-福安部 - 第 ２ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
1．函数y=x的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 ．2
2．若点A （3，m ）是抛物线y=－x 上一点，则m= ．
2
3．函数y=x的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
2
4．若二次函数y=ax（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ．
2
125．点A （，b ）是抛物线y=x上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它在函数 上；
2
点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上． 6、求出函数y=x＋2与函数y=x2
的图象的交点坐标．
7、已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2
2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x的图象上，则（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3
考点四 二次函数y =ax 2+c (a ≠0) 的图像特征与性质
【例1】 已知抛物线y=（m ＋1）x m 2+m
开口向下，求m 的值．
【例2】k 为何值时，y=（k ＋2）x k 2-2k -6
是关于x 的二次函数？
【例3】已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax2
相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．
（1）求a 、m 的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x 取何值时，二次函数y=ax2
中的y 随x 的增大而减小；
（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax2
的顶点构成的三角形的面积．
-科翰文化-福安部 - 第 ３ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门）89559103
电话：
【例4】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
【练习】
1．抛物线y=－4x －4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ．
2
2．当m= 时，y=（m －1）x
2
m 2+m
－3m 是关于x 的二次函数．
3．抛物线y=－3x 上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x
2
m 2+m
＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大
而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．
5．抛物线y=3x与直线y=kx＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 7．在同一坐标系中，图象与y=2x的图象关于x 轴对称的是（ ）
2
．
12A ．y=x
2
2
12
B ．y=－x
2
2
C ．y=－2x
2
D ．y=－x
2
8．抛物线，y=4x，y=－2x 的图象，开口最大的是（ ）
12
A ．y=x
4
B ．y=4x
2
C ．y=－2x
2
D ．无法确定
1212
9．对于抛物线y=x 和y=－x 在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ） 33
A ．两条抛物线关于x 轴对称 C ．两条抛物线关于y 轴对称
2
B ．两条抛物线关于原点对称 D ．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax与一次函数y=ax＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4
B ．2
2
1
C ．
21D ． 4
2
12．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．
-科翰文化-福安部 - 第 ４ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
考点五 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像和性质
【例】请你在同一直角坐标系内，画出函数并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
y =-(x +1) 2-1 的图像，2，
Ⅰ 抛物线的顶点
技法：把二次函数的解析式化成
2．抛物线y =x +bx +c 的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．已知抛物线y ＝x ＋(m－1)x －
2
2
2
的形式，那么抛物线的顶点为（h ，k ）。
2
1
的顶点的横坐标是2，则m 的值是 4
4．抛物线y ＝x ＋3x 的顶点在 ( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
-科翰文化-福安部 - 第 ５ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
技法：把二次函数的解析式化成
2
2
的形式，那么抛物线的对称轴为x=h。
1． 已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k －1）x －2（k －2）x ＋1上．求抛物线的对称轴；
2． 抛物线y =x +2x -3的对称轴是
3． 若二次函数y =3x 2+mx -3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ . 4．过点(1，0) ，B (3，0) ，C (－1，2) 三点的抛物线的顶点坐标是（ ）
(A)(1，2) （B ）(1，
2
21) (C) (－1，5) (D)(2，-) 34
5．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y =
12
x -2x +1； （2）y =-3x 2+8x -2； 2
Ⅲ 二次函数的平移 技法：把二次函数的解析式化成
的形式，然后按照“上加下减，左加右减”
1. 抛物线y =x 2+2向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式为。 2．抛物线y=2x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 3．要得到二次函数y =-x 2+2x -2的图象，需将y =-x 2的图象（ ）．
A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 4．（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数y =2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A ．y =2x 2-2 B．y =2x 2+2 C．y =2(x -2) 2 D．y =2(x +2) 2
2
．
Ⅳ 二次函数的图像
技法：对于y =ax 2+bx +c 的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负；②对称轴位置
a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴；③与y 轴的交点由c 定，上正下负，c 为0时过原点。 1． 已知抛物线y =ax +bx +c 的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ）
Ａ. a >0, b >0, c >0 C. a >0, b
B. a >0, b >0, c =0 D. a >0, b
2
-科翰文化-福安部 - 第 ６ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
2. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．a +b +c >0 C ．a -b +c >0
B．b >-2a D ．c
Ⅴ 二次函数的解析式
★抛物线顶点在原点，对称轴是y 轴——→设二次函数解析式为y =ax 2。
【例】如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，水面离桥的最高点距离为50m 。求在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式。
★ 抛物线顶点为（h,k ）——→设二次函数解析式为y =a (x -h ) 2+k （顶点式）
【例】已知抛物线的顶点是（-3,4），并且经过点A （-2,3）。求这个抛物线的函数解析式。
【练习】已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，-2）且与y 轴交与（0，
（x 1，y ），(x 2，y ) ，则对称轴为x =h =★已知抛物线上两对称点坐标
5
），求函数的解析式。 2
x 1+x 2
→设二次函数解析式为y =a (x -h ) 2+k 2
【例】已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．求这条抛物线的表达式。
★已知抛物线上3个点的坐标——→设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c （三点式） 【例】已知抛物线经过A （0，1），B （－1，0），C （1，0），求二次函数的解析式。
★ 已知抛物线上与x 轴的交点（x 1，0）（x 2，0）——→设二次函数的解析式为y =a (x -x 1)(x -x 2) （交点式） 【例】已知抛物线经过A （0，1），B （－1，0），C （1，0），求二次函数的解析式。
-科翰文化-福安部 - 第 ７ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
【练习】
1．已知抛物线y =(m -1) x m
2
-m
的开口向下，则m 的值为。
2．抛物线y =2x 2+4x +m 2-m 经过坐标原点，则m 的值为 . 3. 已知抛物线y ＝x ＋(m－1)x －
2
1
的顶点的横坐标是2，则m 的值是 4
n
4. 当n ＝________，m ＝______时，函数y ＝(m＋n) x ＋(m－n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 5. 抛物线y =-
32
x 向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式为 2
2
6. 已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c(a≠0) 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( ) A.a>0，b>0 B.a>0，c>0 C.b>0，c>0 D.a、b 、c 都小于0
2
7. 已知二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线
y =ax +bc 不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
2
C 第三象限． D ．第四象限
b
8．在同一坐标系中，函数y=ax＋bx 与y=的图象大致是图中的（ ）
x
9. 抛物线y =－2(x －1) －3与y 轴的交点纵坐标为（ ）
（A ）－3 （B ）－4 （C ）－5 （Ｄ）－1
10．将抛物线y =3x 向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）
(A) y =3(x +2)+4 (B) y =3(x －2) +4 (C) y =3(x －2) －4 (D)y =3(x +2)－4
11. 如图1－2－16所示，要在底边BC =160cm，高AD =120cm的△ABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在
2
2
2
2
2
2
AM HG
AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时。
AD BC
(1)设矩形EFGH 的长HG =y ，宽HE =x ，确定y 与x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？
(3)以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备) 。
-科翰文化-福安部 - 第 ８ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
二次函数的图像专题练习（中考连接）
1. （2011山东德州）已知函数y =(x -a )(x -b ) （其中a >b ）的图象如下图所示，则函数y =ax +b 的图象可能正确的是（ ）
第1题图
2
2．（2011四川重庆）已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0) 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ． a >0 B． b ＜0 C． c ＜0 D． a ＋b ＋c >0
3. （2011台湾）如图为坐标平面上二次函数y =ax 2+bx +c 的图像，且此图像经过（－1 , 1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，正确的是（ ）
A ．y 的最大值小于0 B．当x ＝0时，y 的值大于1 C ．当x ＝1时，y 的值大于1 D．当x ＝3时，y 的值小于0
4. （2011四川凉山州）二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，反比列函数y =同一坐标系内的大致图像是（ ）
A
2
a
与正比列函数y =bx 在x
B
C
D
5. （2011安徽芜湖）二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y =一坐标系中的大致图象是（ ）.
a
与一次函数y =bx +c 在同x
1、与抛物线y=﹣x +3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ）
A 、C 、
2
2
B 、
D 、y=﹣x +3x﹣5
2
2、二次函数y=x+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此拋物线的对称轴是（ ） A 、直线x=4 B 、直线x=3 C、直线x=﹣5 D 、直线x=﹣1
22
3、抛物线y=x﹣mx ﹣m +1的图象过原点，则m 为（ ） A 、0 B 、1 C、﹣1 D 、±1
2
4、把二次函数y=x﹣2x ﹣1的解析式配成顶点式为（ ）
2222
A 、y=（x ﹣1） B 、y=（x ﹣1）﹣2 C、y=（x+1）+1 D 、y=（x+1）﹣2
2
5、直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x ﹣1）﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A 、（0，0） B 、（1，﹣2） C、（0，﹣1） D 、（﹣2，1）
2
6、（2008•长春）二次函数y=kx﹣6x+3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、k ＜3 B 、k ＜3且k ≠0 C、k ≤3 D 、k ≤3且k ≠0
22
7、二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则 abc，b ﹣4ac ，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（ ）
A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、（2008•长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx﹣x+k的图象大致为（ ）
2
2
2
（A ） （B ） (C) (D)
9、已知抛物线y=x+4x+3，请回答以下问题：
（1）它的开口向 _________ ，对称轴是直线 _________ ，顶点坐标为 _________ ； （2）图象与x 轴的交点为 _________ ，与y 轴的交点为 _________ ．
2
10、抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）过第二、三、四象限，则a _________ 0，b _________ 0，c _________ 0．
22
11、抛物线y=6（x+1）﹣2可由抛物线y=6x﹣2向 _________ 平移 _________ 个单位得到． 12、顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为 _________ ． 13、对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为 _________ ．
2
14、抛物线y=﹣2x +4x+1在x 轴上截得的线段长度是 _________ ．
22
15、抛物线y=x+（m ﹣2）x+（m ﹣4）的顶点在原点，则m= _________ ．
2
16、已知抛物线y=﹣x ﹣2x+m的顶点在x 轴上方，则m _________ ．
2
17、已知二次函数y=（m ﹣1）x +2mx+3m﹣2，则当m= _________ 时，其最大值为0．
22
18、二次函数y=ax+bx+c的值永远为负值的条件是a _________ 0，b ﹣4ac _________ 0．
22
20、已知二次函数y=x+4x+c－5c －3，当x ＝－4时，y=3，求c 的值。
-科翰文化-福安部 - 第 １０ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
星期____ 班级____________ 姓名____________
21、已知二次函数y=ax+bx+c，当x=0时，y=7，当x=1时y=0，当x=－2时y=9，求它的解析式。
22、已知某抛物线过点（0，1），它的顶点坐标是（2, －1），求这条抛物线的解析式。
23、当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7），求这个二次函数的解析式
224、已知抛物线y=ax+bx+c经过点（－1,5）、（1,1）及（2,2），求它的解析式。
225、已知抛物线y=ax+bx+c经过点（－2,9）、（－1，1）、（1, －3），求它的解析式。
226、已知抛物线y=ax+bx+c经过点（0,0），对称轴是直线x ＝6，最低点的纵坐标是－3，求它的解析式。
227、在体育测试时，初三（2）班的高个子张成同学推铅球，已知铅球所经过的路线是抛物线y=ax+bx+c的一部分
（如图所示），且知铅球出手处A 点的坐标为（0，2）（单位：m ，后同），铅球路线中最高处B 点的坐标为（6,5）
（1）求该抛物线的解析式；（2）张成同学把铅球推出多远？（精确到0.01m ）
228、已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线x=3，抛物线与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于C 点，OC ＝2，S △ABC
＝4，求抛物线的解析式。
-科翰文化-福安部 - 第 １１ 页 共 11 页 黄阁翠苑12栋3单元105（福安学校后门） 电话：89559103
2