幂函数性质的研究
阳春市第二中学
执教教师：王华山
上课时间：2006年10月18日 星期三 上午第三节 教学班级：高一（1）班
教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后，研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。
幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时应结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数
1y =x , y =x 2, y =x 3, y =x -1, y =x
2
。并组织学生画出它们的图
象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握
1y =x , y =x 2, y =x 3, y =x
-1
, y =x
2
这五个函数的图象和性质。
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。由于前面已有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。 教学目标：
（一）知识和技能：
1．了解幂函数的概念，会画幂函数
y =x , y =x 2, y =x 3，y =x -1，
1y =x 2
的图象，
并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。 2．了解几个常见的幂函数的性质。
（二）过程与方法：
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。 2．使学生进一步体会数形结合的思想。
（三）情感、态度与价值观：
1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点：
常见幂函数的概念和性质
教学难点：
幂函数的单调性与幂指数的关系
教学过程：
一、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元）和购买的
水果量w （千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p 是w 的函数）
问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数。 问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3
, 这里V 是a 的函数。 1问题4：如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a =S
2
, 这里a 是S 的函数
问题5：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度V =t -1km /s ，这里v 是t 的函
数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度） 二、新课讲解 （一）幂函数的概念
幂函数的定义：一般地，我们把形如y =x α的函数称为幂函数（power function），其中x 是自
变量，α是常数。
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数。 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数。
试一试：判断下列函数那些是幂函数
1
（1）y =0. 2x
（2）y =x 5
（3）y =x
-3
（4）y =x
-2
（二）几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数y =x , y =x -1, y =x 2的图象和性质，请同学们在同一坐1标系中画出它们的图象。根据你的学习经历，你还能在同一坐标系内画出函数y =x 3, y =x 2
的图象吗？
1
【探究二】观察函数y =x , y =x 2, y =x 3, y =x 2
, y =x -1的图象，将你发现的结论写在下表内。
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：y =x , y =x 2, y =x 3, y =x 2
的共同性质。
1
（1）函数y =x , y =x 2, y =x 3, y =x 2
的图象都过点(1, 1), (0, 0)
1（2）函数y =x , y =x 2, y =x 3, y =x
2在
[0, +∞)上单调递增；
归纳：幂函数y =x α图象的基本特征是，当α>0是，图象过点(1, 1), (0, 0) ，且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[
0, +∞)上是单调增函数。请同学们模仿我们探究幂函数y =x α图象的基本特征α>0的情况探讨α
归纳：α
33【例1】画出幂函数
f (x ) =x 5
, f (x ) =x -5
的大致图象
【例2】幂函数f (x ) =xa , f (x ) =xb , f (x ) =xc , f (x ) =xd ，在第一象限的图像如图所示，则
a , b , c , d 的大小关系是（ ）
A)a>b>c>d B)d>b>c>a C)d>c>b>a D)b>c>d>a
3【例3】
试比较(-0.96), (-0.95)355
, (0.95)-
35
, (0.96)-
35
的大小。
（分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小）
【思考】 如(m +4)-
12
12
, 则求m 的取值范围.
【例4】
幂函数f (x ) ），点（-21
4
g (x ) 的图象上，
（）求1 f (x ), g (x ) 的解析式，
（2）x 为何值时f (x ) >g (x )? x 为何值时f (x )
三、课堂小结
1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、常见幂函数的图象和幂函数的性质。 四、课后作业
课本第87页习题2.3第1、2题，第91页第10题
幂函数性质的研究
阳春市第二中学
执教教师：王华山
上课时间：2006年10月18日 星期三 上午第三节 教学班级：高一（1）班
教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后，研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。
幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时应结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数
1y =x , y =x 2, y =x 3, y =x -1, y =x
2
。并组织学生画出它们的图
象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握
1y =x , y =x 2, y =x 3, y =x
-1
, y =x
2
这五个函数的图象和性质。
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。由于前面已有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。 教学目标：
（一）知识和技能：
1．了解幂函数的概念，会画幂函数
y =x , y =x 2, y =x 3，y =x -1，
1y =x 2
的图象，
并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。 2．了解几个常见的幂函数的性质。
（二）过程与方法：
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。 2．使学生进一步体会数形结合的思想。
（三）情感、态度与价值观：
1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点：
常见幂函数的概念和性质
教学难点：
幂函数的单调性与幂指数的关系
教学过程：
一、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元）和购买的
水果量w （千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p 是w 的函数）
问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数。 问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3
, 这里V 是a 的函数。 1问题4：如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a =S
2
, 这里a 是S 的函数
问题5：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度V =t -1km /s ，这里v 是t 的函
数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度） 二、新课讲解 （一）幂函数的概念
幂函数的定义：一般地，我们把形如y =x α的函数称为幂函数（power function），其中x 是自
变量，α是常数。
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数。 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数。
试一试：判断下列函数那些是幂函数
1
（1）y =0. 2x
（2）y =x 5
（3）y =x
-3
（4）y =x
-2
（二）几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数y =x , y =x -1, y =x 2的图象和性质，请同学们在同一坐1标系中画出它们的图象。根据你的学习经历，你还能在同一坐标系内画出函数y =x 3, y =x 2
的图象吗？
1
【探究二】观察函数y =x , y =x 2, y =x 3, y =x 2
, y =x -1的图象，将你发现的结论写在下表内。
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：y =x , y =x 2, y =x 3, y =x 2
的共同性质。
1
（1）函数y =x , y =x 2, y =x 3, y =x 2
的图象都过点(1, 1), (0, 0)
1（2）函数y =x , y =x 2, y =x 3, y =x
2在
[0, +∞)上单调递增；
归纳：幂函数y =x α图象的基本特征是，当α>0是，图象过点(1, 1), (0, 0) ，且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[
0, +∞)上是单调增函数。请同学们模仿我们探究幂函数y =x α图象的基本特征α>0的情况探讨α
归纳：α
33【例1】画出幂函数
f (x ) =x 5
, f (x ) =x -5
的大致图象
【例2】幂函数f (x ) =xa , f (x ) =xb , f (x ) =xc , f (x ) =xd ，在第一象限的图像如图所示，则
a , b , c , d 的大小关系是（ ）
A)a>b>c>d B)d>b>c>a C)d>c>b>a D)b>c>d>a
3【例3】
试比较(-0.96), (-0.95)355
, (0.95)-
35
, (0.96)-
35
的大小。
（分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小）
【思考】 如(m +4)-
12
12
, 则求m 的取值范围.
【例4】
幂函数f (x ) ），点（-21
4
g (x ) 的图象上，
（）求1 f (x ), g (x ) 的解析式，
（2）x 为何值时f (x ) >g (x )? x 为何值时f (x )
三、课堂小结
1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、常见幂函数的图象和幂函数的性质。 四、课后作业
课本第87页习题2.3第1、2题，第91页第10题