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第五章 不等式
一、知识导学
§5.1不等式的解法
1. 一元一次不等式ax>b(1)当a>0时，解为x >
b ； a b
(2)当a ＜0时，解为x
a
(3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ．
2. 一元二次不等式：(如下表) 其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax +bx+c=0的两实根，且
2
＞0f(x)·g(x)＞0g (x )
⎧f (x ) =0
或f (x ) ⋅g (x ) ＞0⎨f (x ) g (x ) ≠0 ≥0⇔⎩
g (x )
然后用“根轴法”或化为不等式组求解.
二、疑难知识导析
1. 不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路. 代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路. 为此，一要能熟练准确地解一元
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一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.
2. 不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.
3. 集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集. 解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类. 三、经典例题导讲
[例1] 如果kx +2kx－(k+2)
2
错解：由题意：⎨
⎧k
2
⎩(2k ) -4k ⋅[-(k +2)]
解得：－1
2
错因：将kx +2kx－(k+2)
当k ≠0
解得：－∴ -1
[例2] 命题B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是A. (4,+∞) 4]
错解：由｜x 又由（x ＋2） A 是B ∴{x|－2＜x ∴－故选D.
错因：忽略了a ＝－4时，{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜－a }，此时A 是B 的充要条件，不是充分不必要条件.
正解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4，又由（x ＋2）(x＋a)=0得x=－2或x ＝－a,
A 是B 的充分不必要条件,
∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a }∴－a>4故选C.
[例3]已知f(x) = a x + ，若-3≤
x b
f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围.
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⎧-3≤a +b ≤0①⎪
错解： 由条件得⎨ b
3≤2a +≤6⎪②2⎩
②×2－① 6≤a ≤15 ③①×2－②得 -
8b 2
≤≤- ④333
③+④得
10b 431043≤3a +≤, 即≤f (3) ≤. 33333
错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
x
f (x ) =ax +，其值是
b
同时受a 和b 制约的. 当a 取最大（小）值时，b 路是错误的.
⎧f (1) =a +b ⎪
正解： 由题意有
⎨b ,
f (2) =2a + 解得：a =
∴f (3) =31637
≤f (3) ≤. 33
[例4] 错解： （∴∴错因:.
2
正解）(x+3)(x－2) >0②，
解①得：x=－3或x ＝－2或x ＝2解②得：x ＜ －3或x ＞2
∴原不等式的解集为｛x| x≤ －3或x ≥2或x =-2｝[例5] 解关于x 的不等式a (x -ab ) >b (x +ab )
解：将原不等式展开，整理得：(a -b ) x >ab (a +b ) 讨论：当a >b 时，x >
ab (a +b ) a -b
当a =b 时，若a =b ≥0时x ∈φ；若a =b
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当a
ab (a +b ) a -b
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号. [例6]关于x 的不等式ax
2
1
+bx +c -2
求关于x 的不等式ax 解：由题设知 ∴-
2
-bx +c >0的解集．
2
a
b 5c =-， =1a 2a
2
从而 ax
b c
-bx +c >0可以变形为x 2-x +
a a
即：
x
2
5-x 2点评：这也体现了方程思想[例7]不等式
≤2解：∵log 2(x +6>0
⎧⎪x
反思：在数的比较大小过程中, 要遵循这样的规律, 异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分, 再去比较它们剩余部分, 就会很轻易啦. 一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法, 前者和零比较, 后者和1比较大小；(2)找中间量, 往往是1, 在这些数中, 有的比1大, 有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法, 画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练
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x 2-3x +2
x -2x -3
2. 解不等式 x
3
+3x 2>2x +6
3. 解不等式 (x 2-4x -5)(x 2+x +2)
4. 解不等式 (x +2) 2(x -1) 3(x +1)(x -2)
5. 解不等式
16
2x 2+2kx +k
4x +6x +3
7. 解不等式8. 解不等式
->0
1. 和ｙ 的 函数，称为目标函数．
2. 3. 整点4. 5. 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科. 主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
1. 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．
3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
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5. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.
三、经典例题导讲
⎧x +y -1>0⎪2x +3y -6≤0⎪
[例1] ．画出不等式组⎨表示的平面区域.
x -y -1≤0⎪⎪⎩x -2y +2>0
⎧x +y -1>0
⎪2x +3y -6≤0⎪
错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组⎨表示的平面区域.
⎪x -y -1≤0⎪⎩x -2y +2>0
错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.
⎧x +y -1>0⎪2x +3y -6≤0⎪
正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组⎨表示的平面区域.
x -y -1≤0⎪⎪⎩x -2y +2>0
[例2] 已知1≤x －y ≤2, 且2≤x+y≤4, 求4x －2y 的范围. 错解：由于 1≤x －y ≤2 ①,
2≤x+y≤4 ②,
①+② 得3≤2x ≤6 ③
①×(－1)+②
得：0≤2y ≤3 ④. ③×2+④×(－1) 得. 3≤4x －2y ≤12
错因：可行域范围扩大了.
⎧1≤x -y ≤2
正解：线性约束条件是：⎨
2≤x +y ≤4⎩
令z ＝4x －2y ，
画出可行域如右图所示， 由⎨5.
⎧x -y =1
得A 点坐标（1.5，0.5）此时z ＝4×1.5－2×0.5＝
x +y =2⎩
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⎧x -y =2
得B 点坐标（3，1）此时z ＝4×3－2×1＝10.
x +y =4⎩∴ 5≤4x －2y ≤10
由⎨
⎧7x -5y -23≤0
⎪22
[例3] 已知⎨x +7y -11≤0, 求x +y的最值.
⎪4x +y +10≥0⎩
⎧7x -5y -23≤0
错解：不等式组⎪⎨x +7y -11≤0表示的平面区
⎪4x +y +10≥0⎩
域如右图所示∆ABC 的内部（包括边界），
令z= x2+y2 由⎨
⎧7x -5y -23≤0
得A 点坐标（4，1），
⎩4x +y +10≥0
⎧7x -5y -23≤0
得B 点坐标（－1⎩4x +y +10≥0
此时z ＝x 2+y2＝42+12＝17， 由⎨
此时z ＝x 2+y2＝（－1）2+(－6) 2，⎧x +7y -11≤0由⎨得C
4x +y +10≥0⎩
此时z ＝x 2+y2＝（－32
⎧x =-3⎧x =-12222
∴ 当⎨时x +y，当⎨时x +y取得最小值13.
⎩y =2⎩y =-6
错因：A 、B 、C 到原点的距
离的平方的最值x -5y -23≤0⎨x +7y -11≤0表示的平面区域如图所示∆ABC 的内部
⎪4x +y +10≥0⎩
（包括边界），
令z= x2+y2, 则z 即为点（x ，y ）到原点的距离的平方. 由⎨
⎧7x -5y -23≤0
得A 点坐标（4，1），
4x +y +10≥0⎩
⎧7x -5y -23≤0
得B 点坐标（－1，－6），
⎩4x +y +10≥0
此时z ＝x 2+y2＝42+12＝17， 由⎨
此时z ＝x 2+y2＝（－1）2+(－6) 2＝37，
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由⎨
⎧x +7y -11≤0
得C 点坐标（－3，2），
4x +y +10≥0⎩
⎧x =0
，此时z ＝x 2+y2＝02+02＝0， ⎩y =0
此时z ＝x 2+y2＝（－3）2+22＝13， 而在原点处，⎨
⎧x =-1⎧x =02222
∴ 当⎨时x +y取得最大值37，当⎨时x +y取得最小值0.
⎩y =-6⎩y =0
[例4]某家具厂有方木料90m ，五合板600m ，准备加工成书桌和书橱出售. 已知生产每张
3232
书桌需要方木料0.1m ，五合板2m ，生产每个书橱需要方木料0.2m ，五合板1m ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？ 分析：
3
2
z max =80润为
z=80×润为z=120×450=54000（元） 答：略
[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：
2
每张钢板的面积，第一种为1m ，第二种为2 m，今需要A 、B 、C 三种规格的成品
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各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？
2
解：设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m，则
⎧x +y ≥12⎪2x +y ≥15⎪ ⎨目标函数z=x+2y
⎪x +3y ≥27⎪⎩x , y ∈N
作出可行域如图
作一组平行直线x+2y=t，
由⎨
⎛915⎫
可得交点 , ⎪，
⎝22⎭
⎛915⎫
但点 , ⎪不是可行域内的整点，其附近的整点
⎝22⎭
（4，8）或（6，7）可都使z 有最小值，
且z min =4+2×8=20 或z min =6+2×7=20
若只截第一种钢板，由上可知x ≥272
最少为z=27(m);
x+2y=0
若只截第二种钢板，则y ≥15z=2×
2
15=30(m).
它们都比z min 大，因此都不行. 答：略
⎧x +y =12
⎩x +3y =27
⎧x -4y ≤-3⎪
[例x +10y ，式中x , y 满足条件⎨3x +5y ≤25，求z 的
⎪x ≥1⎩
解：由引例可知：直线l 0与AC 所在直线平行，则由引例的
解题过程知，
当l 与AC 所在直线3x +5y -25=0重合时z 最大，此时满足条
件的最优解有无数多个，
当l 经过点B (1,1) 时，对应z 最小，∴z m a x =6x +10y =50，
z min =6⨯1+10⨯1=16．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多
个.
四、典型习题导练
1．画出不等式－x +2y －4＜0表示的平面区域.
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⎧x +y -6≥0⎪x -y ≥0⎪
2．画出不等式组⎨表示的平面区域
y ≤3⎪⎪⎩x
⎧5x +3y ≤15,
⎪
3. 求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎨y ≤x +1,
⎪x -5y ≥3. ⎩
4. 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？ 5. 某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 大？
⎧x ≥0, ⎪y ≥0, ⎪
6．在约束条件⎨下，当3≤s ≤5
y +x ≤s , ⎪⎪⎩y +2x ≤4.
z =3x +2y
A.[6,15] C.[6,8]
§5.3 基本不等式的证明
一、知识导学
1. 比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法) 和商值比较法(简称为求商法).
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0⇔ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论. 应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.
+
(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R ，ａ/ｂ≥1⇔ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1. 应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指
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数式时，一般使用商值比较法.
2. 综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式) 作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.
3. 分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有„，这只需证明Ｂ2为真，从而又有„，„„这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真. 这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.
4. 反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.
5. 换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，引入一个或多个变量进行代换，给证明带来新的启迪和方法. 主要有两种换元形式.(1)件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，将两个变量都有同一个参数表示. 题； (2)增量换元法：在对称式() 和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等) 的不等式，考虑用增量法进行换元，使问题化难为易，化繁为简. 如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元. 二、疑难知识导析
1. . 2. 前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，的思维习惯. . 而用综合法书. 因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的. . 还有的不等式证明难度较大，需一边. 这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系. 分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.
3. 分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件. 如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了. 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.
4. 反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾. 5. 在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果. 这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用. 三、经典例题导讲
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[例1] 已知a>b(ab≠0), 比较
11
与的大小. a b 11
错解： a>b(ab≠0) ，∴
a b
11b -a -=，又 a>b(ab≠0) ， a b ab
b -a 11
1111
>0,. a b a b
错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大. 正确的结论是：当两数同号
时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.
正解：
(1)当a 、b 同号时，即a>b>0或b0,b－a0,b
[例2] 当a 、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）
B. 而事
不可
最小，而ab
a
b
22
[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ +(b+ )的最小值.
错解: (a+
121222112
) +(b+) =a+b+2+2+4≥2ab++4≥4ab ∙+4=8, a b ab ab a b
∴(a+
1212
) +(b+) 的最小值是8. a b
2
2
错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a +b≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=第二次等号成立的条件是ab=最小值.
1
, 2
1
，显然，这两个条件是不能同时成立的. 因此，8不是ab
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[1**********]
++4=( a +b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+) －]+4 2222
a b ab a b a b
1
= (1－2ab)(1+22)+4，
a b
a +b 211111
由ab ≤() = 得：1－2ab ≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，
2422a b a b 1251
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立) ，
222121225
∴(a + ) + (b + ) 2a b
[例4] 已知0
正解：原式= a +b+
2
2
解法一：|log a (1-x ) |2
- |log a (1+x ) |2=[log a (1-x ) +log a (1-x ) ][log a (1-x ) -log a (1+x ) ]
2
1-x
1+x
1-x 2
∴log a >0
∵0
) log a
11+x
1+x =log 1+x 2
1-x 1-x
x (1-x 2) >0
|log a (1+x ) | 2
∴左 - 右 = log a (1-x ) +log a (1+x ) =log a (1-x
2
)
∵0 0 ∴|log a (1-x ) |> |log a (1+x ) |
[例5]已知x = a + b ，y = c + d ，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd 证：证法一（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd
22
只需证：(xy ) ≥(ac + bd )
222222 22
即：(a + b )(c + d ) ≥a c + b d + 2abcd
22 22222222 22
展开得：a c + b d + a d + b c ≥a c + b d + 2abcd
2
2
2
2
2
2
即：a d + b c ≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd 证法二（综合法）xy = ≥
2222
a 2+b 2c 2+d 2=a 2c 2+b 2c 2+a 2d 2+b 2d 2 a 2c 2+2abcd +b 2d 2=(ac +bd ) 2=ac +bd
证法三（三角代换法）
222
∵x = a + b ，∴不妨设a = x sin α, b = x cos α
y 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β
∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β) ≤xy [例6] 已知x > 0，求证： x +
115+≥ x x +2
x
证：构造函数
11
f (x ) =x +(x >0) 则x +≥2， 设2≤α
x x
由
f (α) -f (β) =α+
11
-(β+) =(α-β) +αβ > 0 ∴上式 > 0 1. 比较（a +32. 已知a , b , c 3. 已知x 4. 若x
2
+y 25. 若x > 1，y > 1，求证：
xy ≥1+x -1)(y -1) 1-2≥a +-2
a a 2
§5.4不等式的应用
6．证明：若a > 0，则
a 2+
一、基础知识导学
1. 利用均值不等式求最值：如果a 1，a 2∈R ，那么
+
a +b
≥. 2
2. 求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等. 这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.
3. 涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析
不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.
2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数
b b
y =ax +, y =ax 2+, y
=k [(a +b ) x (c -ax )(d -bx )]”
x 三 [例1]求错解： ∴ y 错因.
由于当t ≥正解：令[例2]m 错解正根.
错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.
13⎧m ≥-⎪4⎧∆=(2m +1) 2-4(m 2-3) ≥0⎪
⎪1⎪
⇒⎨m
2⎪2⎪
⎩m -3>0⎪m 3
⎪⎩
⇒-
1313
≤m ≤-, 因此当-≤m ≤-时，原方程有两个正根. 44
[例3]若正数x ，y 满足6x +5y =36，求xy 的最大值． 解：由于x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以
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6x +5
≥6x ⋅5y =xy 2
当且仅当6x=5y时，取“=”号．
365454
因6x +5y =36，则xy ≤，即xy ≤，所以xy 的最大值为.
552
[例4] 已知：长方体的全面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体
积最大，求出这个最大值．
分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S 是定值．因此最大值一定要用S 来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y ，其长、宽、高分别为a ，b ，c ，则y=abc．由
2
于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y 的最大值，这样y 的最大值也就可以求出来了．
解：设长方体的体积为y ，长、宽、高分别是为a ，b ，c ，则 y=abc，2ab+2bc+2ac=S． 而 22
y =（abc ）=（ab ）（bc ）（ac ）
当且仅当
s . 36
说明的关健.
2
1. 3m ，如果池底每1m 的造价
为150少元？
2. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
3. 在四面体P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m ，求这个四面体体积的最大值．
4. 设函数f(x)=ax+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相 交，试证明对一切x ∈R 都有|ax 2+bx +c |>
2
1. 4|a |
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5．青工小李需制作一批容积为V 的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？
6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元) 和轮船速度(单位：海里／时) 的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何) 都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
5.5 推理与证明
一、基础知识导学
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.
2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的
结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 的思维方法.
3. 种性质的推理.
4. 推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
5. 类似的性质的推理.
6. . 7. .
8. .
9. . 10. . 11. 反证法：判定非q q 为真的方法.
12. 的假定；应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真. 13. n p 1成立；
⑵在假设p k p k ＋1也成立，那么可以断定，｛p n ｝对一切正整数成立. 14. 数学归纳法的步骤：
（1）证明当 （如 或2等）时，结论正确；
（2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．
二、疑难知识导析
1. 归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
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2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果
3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法. 三、经典例题导讲
[例1] {a n }是正数组成的数列, 其前n 项和为s n , 并且对于所有的自然数n , a n 与2的等差中项等于s n 与2的等比中项. (1)写出数列{a n }的前3项;
(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程); 错解：由(1)猜想数列{a n }有通项公式a n =4n -2. 下面用数学归纳法证明数列{a n }的通项公式是
a n =4n -2. (n ∈N ).
①当n =1
.
②假设将a k =4k s k =2k 2由题意, 将s k
=222a k +1-4a k +1+4-16k =0
解得a k +1=2±4k . ∴a k +1=2+4k =4(k +1) -2
这就是说, 当n=k+1时, 上述结论成立.
根据①、②, 上述结论对所有的自然数n 成立. 错因在于解题过程中忽视了取值的取舍. 正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a n =4n-2. 猜想数列{a n }有通项公式a n =4n -2.
下面用数学归纳法证明数列{a n }的通项公式是
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a n =4n -2. (n ∈N ).
①当n =1时, 因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a 1=2,所以上述结论成立.
a
②假设n=k时结论成立, 即有a k =4k -2. 由题意, 有k
将a k =4k -2代入上式，得2k
+2
=2s k 2
=k ，解得
s k =2k 2 a +2
由题意, 有k +1
2
将s k
=k +1s k +1=s k +a k +1
=2k 2代入，化简得
22a k +1-4a k +1+4-16k =0
解得a k +1=2±4k . 由a k +1>0∴a k +1=2+4()
这就是说, 当n=k+1时, 上述结论成立.
根据①、②, 上述结论对所有的自然数n 成立[例2]
错解：证明：假设当 即
（k ∈N
，
时，
时，等式成立．
这就是说，当
可知等式对任意k ∈N 成立．
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错因在于推理不严密，没有证明当正解：证明：（1）当 （2）假设当 即 那么当
的情况 ．
，右式
）时，等式成立，
，
，所以等式成立．
时，左式（
时，
这就是说，当
由（1）、（2k ∈N 成立．
[例3] 是否存在自然数m ，
若存在，求出
对任意自然数，都能被
整除，
分析 解：
f (1) ，f (2) ，f (3) „再归纳、猜想、证明．
， ， ，
„„ 猜想，
（1）当
能被36整除，用数学归纳法证明如下： 时，
，能被36整除．
能被36整除．
（2）假设当n =k ，（k ∈N ）时， 那么，当
时，
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由归纳假设， 当为自然数时， ∴
这就是说当
时命题成立．
，
能被36整除， 为偶数，则
能被36整除．
能被36整除，
由（1）、（2）对任意 当
取大于36的自然数时，
f (n ) 都能被36整除．
f (1) =36不能被
[例4] 设点A 1是曲线C ：过A 1点作直线y =x xy =1(x >0, y >0) 与直线y =x 的垂线交轴于B 1，过B 1点作直线y =x A 2，再过A 2点作B 1A 2的垂线作交X 轴于B
2
的横坐标
的通项公式．
，„，
，„如图，试求
分析 本题并没有指明求通过寻求
与
通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以
的通项公式． ，， 令与
（
，
）联立，解得
，得
，所以点
（
），解得
的递推关系式求与
（
解：解法一
直线
直线
的方程为的方程为
， 所以点
联立，消元得
）．
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直线 令
的方程为，得
，所以点
， 同样可求得点
（
，0）
„„ 由此推测
（
，0），即
用数学归纳法证明 （1）当 即
时，由
点的坐标为（
，0），
，所以命题成立．
时命题成立， ，0），则当
的方程为（可得
，
时，
，
（
（2）假设当 即 由于直线 把它与 消去 ∴
于是
即点
令 即 ∴ 当 解法二 设点 建立 由数列
，与得，点的坐标为（
，
）．
，0）
的方程为
时，命题成立． 的坐标分别为（的递推关系是等差数列，且
，0）、（
，即，公差
，0），
，
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可求得（），．
用数学归纳法证明与自然数n 有关的几何命题，由k 过渡到k ＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．
[例5] 有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f(n)＝n -n ＋2个部分．
证明①当n ＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2 又n ＝1时，n -n ＋2＝2，∴命题成立
②假设n ＝k 时，命题成立，即k 个圆把平面分成f(k)＝k -k 部分，那么设第k ＋1个圆记⊙O ，由题意，它与k 2k 个点．把⊙O 分成2k 面的总区域增加2k 块，即f(k＋1) ＋2k=(k＋1) -(k＋1) ＋2 即n ＝k ＋1由①②可知对任何命题均成立．
说明: k 增加“1”时，研究第k ＋1个圆与其它k [例6] 已知n ≥2，n ∈
N
2
22
2
2
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②假设n=k时，原不等式成立．
四、1. 当n =12. 已知数列{a n }的前n 项和s n
(n N )”，
=2n -a n ，则{a n }的前四项依次为_______,猜想
a n =__________.
3. 已知数列{a n }的各项都是正数, 且满足:a 0证明a n
1
=1, a n +1=a n , (4-a n ), n ∈N .
2
1111
++ +>[log2n ],其中n 为大于2的整数，[log2n ]表示不超过23n 2
4. 已知不等式
log 2n 的最大整数. 设数列{a n }的各项为正，且满足
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a 1=b (b >0), a n ≤
2b na n -1
, n =3, 4, 5, . , n =2, 3, 4, 证明a n
2+b [log2n ]n +a n -1
5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能
*
力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N ，且x 1＞0.
2
不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 成正比， 这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （1）求x n+1与x n 的关系式；
（2）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
*
（3）设a ＝2，c ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N ，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论.
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第五章 不等式
一、知识导学
§5.1不等式的解法
1. 一元一次不等式ax>b(1)当a>0时，解为x >
b ； a b
(2)当a ＜0时，解为x
a
(3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ．
2. 一元二次不等式：(如下表) 其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax +bx+c=0的两实根，且
2
＞0f(x)·g(x)＞0g (x )
⎧f (x ) =0
或f (x ) ⋅g (x ) ＞0⎨f (x ) g (x ) ≠0 ≥0⇔⎩
g (x )
然后用“根轴法”或化为不等式组求解.
二、疑难知识导析
1. 不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路. 代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路. 为此，一要能熟练准确地解一元
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一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.
2. 不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.
3. 集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集. 解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类. 三、经典例题导讲
[例1] 如果kx +2kx－(k+2)
2
错解：由题意：⎨
⎧k
2
⎩(2k ) -4k ⋅[-(k +2)]
解得：－1
2
错因：将kx +2kx－(k+2)
当k ≠0
解得：－∴ -1
[例2] 命题B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是A. (4,+∞) 4]
错解：由｜x 又由（x ＋2） A 是B ∴{x|－2＜x ∴－故选D.
错因：忽略了a ＝－4时，{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜－a }，此时A 是B 的充要条件，不是充分不必要条件.
正解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4，又由（x ＋2）(x＋a)=0得x=－2或x ＝－a,
A 是B 的充分不必要条件,
∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a }∴－a>4故选C.
[例3]已知f(x) = a x + ，若-3≤
x b
f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围.
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⎧-3≤a +b ≤0①⎪
错解： 由条件得⎨ b
3≤2a +≤6⎪②2⎩
②×2－① 6≤a ≤15 ③①×2－②得 -
8b 2
≤≤- ④333
③+④得
10b 431043≤3a +≤, 即≤f (3) ≤. 33333
错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
x
f (x ) =ax +，其值是
b
同时受a 和b 制约的. 当a 取最大（小）值时，b 路是错误的.
⎧f (1) =a +b ⎪
正解： 由题意有
⎨b ,
f (2) =2a + 解得：a =
∴f (3) =31637
≤f (3) ≤. 33
[例4] 错解： （∴∴错因:.
2
正解）(x+3)(x－2) >0②，
解①得：x=－3或x ＝－2或x ＝2解②得：x ＜ －3或x ＞2
∴原不等式的解集为｛x| x≤ －3或x ≥2或x =-2｝[例5] 解关于x 的不等式a (x -ab ) >b (x +ab )
解：将原不等式展开，整理得：(a -b ) x >ab (a +b ) 讨论：当a >b 时，x >
ab (a +b ) a -b
当a =b 时，若a =b ≥0时x ∈φ；若a =b
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当a
ab (a +b ) a -b
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号. [例6]关于x 的不等式ax
2
1
+bx +c -2
求关于x 的不等式ax 解：由题设知 ∴-
2
-bx +c >0的解集．
2
a
b 5c =-， =1a 2a
2
从而 ax
b c
-bx +c >0可以变形为x 2-x +
a a
即：
x
2
5-x 2点评：这也体现了方程思想[例7]不等式
≤2解：∵log 2(x +6>0
⎧⎪x
反思：在数的比较大小过程中, 要遵循这样的规律, 异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分, 再去比较它们剩余部分, 就会很轻易啦. 一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法, 前者和零比较, 后者和1比较大小；(2)找中间量, 往往是1, 在这些数中, 有的比1大, 有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法, 画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练
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x 2-3x +2
x -2x -3
2. 解不等式 x
3
+3x 2>2x +6
3. 解不等式 (x 2-4x -5)(x 2+x +2)
4. 解不等式 (x +2) 2(x -1) 3(x +1)(x -2)
5. 解不等式
16
2x 2+2kx +k
4x +6x +3
7. 解不等式8. 解不等式
->0
1. 和ｙ 的 函数，称为目标函数．
2. 3. 整点4. 5. 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科. 主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
1. 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．
3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
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5. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.
三、经典例题导讲
⎧x +y -1>0⎪2x +3y -6≤0⎪
[例1] ．画出不等式组⎨表示的平面区域.
x -y -1≤0⎪⎪⎩x -2y +2>0
⎧x +y -1>0
⎪2x +3y -6≤0⎪
错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组⎨表示的平面区域.
⎪x -y -1≤0⎪⎩x -2y +2>0
错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.
⎧x +y -1>0⎪2x +3y -6≤0⎪
正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组⎨表示的平面区域.
x -y -1≤0⎪⎪⎩x -2y +2>0
[例2] 已知1≤x －y ≤2, 且2≤x+y≤4, 求4x －2y 的范围. 错解：由于 1≤x －y ≤2 ①,
2≤x+y≤4 ②,
①+② 得3≤2x ≤6 ③
①×(－1)+②
得：0≤2y ≤3 ④. ③×2+④×(－1) 得. 3≤4x －2y ≤12
错因：可行域范围扩大了.
⎧1≤x -y ≤2
正解：线性约束条件是：⎨
2≤x +y ≤4⎩
令z ＝4x －2y ，
画出可行域如右图所示， 由⎨5.
⎧x -y =1
得A 点坐标（1.5，0.5）此时z ＝4×1.5－2×0.5＝
x +y =2⎩
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⎧x -y =2
得B 点坐标（3，1）此时z ＝4×3－2×1＝10.
x +y =4⎩∴ 5≤4x －2y ≤10
由⎨
⎧7x -5y -23≤0
⎪22
[例3] 已知⎨x +7y -11≤0, 求x +y的最值.
⎪4x +y +10≥0⎩
⎧7x -5y -23≤0
错解：不等式组⎪⎨x +7y -11≤0表示的平面区
⎪4x +y +10≥0⎩
域如右图所示∆ABC 的内部（包括边界），
令z= x2+y2 由⎨
⎧7x -5y -23≤0
得A 点坐标（4，1），
⎩4x +y +10≥0
⎧7x -5y -23≤0
得B 点坐标（－1⎩4x +y +10≥0
此时z ＝x 2+y2＝42+12＝17， 由⎨
此时z ＝x 2+y2＝（－1）2+(－6) 2，⎧x +7y -11≤0由⎨得C
4x +y +10≥0⎩
此时z ＝x 2+y2＝（－32
⎧x =-3⎧x =-12222
∴ 当⎨时x +y，当⎨时x +y取得最小值13.
⎩y =2⎩y =-6
错因：A 、B 、C 到原点的距
离的平方的最值x -5y -23≤0⎨x +7y -11≤0表示的平面区域如图所示∆ABC 的内部
⎪4x +y +10≥0⎩
（包括边界），
令z= x2+y2, 则z 即为点（x ，y ）到原点的距离的平方. 由⎨
⎧7x -5y -23≤0
得A 点坐标（4，1），
4x +y +10≥0⎩
⎧7x -5y -23≤0
得B 点坐标（－1，－6），
⎩4x +y +10≥0
此时z ＝x 2+y2＝42+12＝17， 由⎨
此时z ＝x 2+y2＝（－1）2+(－6) 2＝37，
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由⎨
⎧x +7y -11≤0
得C 点坐标（－3，2），
4x +y +10≥0⎩
⎧x =0
，此时z ＝x 2+y2＝02+02＝0， ⎩y =0
此时z ＝x 2+y2＝（－3）2+22＝13， 而在原点处，⎨
⎧x =-1⎧x =02222
∴ 当⎨时x +y取得最大值37，当⎨时x +y取得最小值0.
⎩y =-6⎩y =0
[例4]某家具厂有方木料90m ，五合板600m ，准备加工成书桌和书橱出售. 已知生产每张
3232
书桌需要方木料0.1m ，五合板2m ，生产每个书橱需要方木料0.2m ，五合板1m ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？ 分析：
3
2
z max =80润为
z=80×润为z=120×450=54000（元） 答：略
[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：
2
每张钢板的面积，第一种为1m ，第二种为2 m，今需要A 、B 、C 三种规格的成品
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各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？
2
解：设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m，则
⎧x +y ≥12⎪2x +y ≥15⎪ ⎨目标函数z=x+2y
⎪x +3y ≥27⎪⎩x , y ∈N
作出可行域如图
作一组平行直线x+2y=t，
由⎨
⎛915⎫
可得交点 , ⎪，
⎝22⎭
⎛915⎫
但点 , ⎪不是可行域内的整点，其附近的整点
⎝22⎭
（4，8）或（6，7）可都使z 有最小值，
且z min =4+2×8=20 或z min =6+2×7=20
若只截第一种钢板，由上可知x ≥272
最少为z=27(m);
x+2y=0
若只截第二种钢板，则y ≥15z=2×
2
15=30(m).
它们都比z min 大，因此都不行. 答：略
⎧x +y =12
⎩x +3y =27
⎧x -4y ≤-3⎪
[例x +10y ，式中x , y 满足条件⎨3x +5y ≤25，求z 的
⎪x ≥1⎩
解：由引例可知：直线l 0与AC 所在直线平行，则由引例的
解题过程知，
当l 与AC 所在直线3x +5y -25=0重合时z 最大，此时满足条
件的最优解有无数多个，
当l 经过点B (1,1) 时，对应z 最小，∴z m a x =6x +10y =50，
z min =6⨯1+10⨯1=16．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多
个.
四、典型习题导练
1．画出不等式－x +2y －4＜0表示的平面区域.
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⎧x +y -6≥0⎪x -y ≥0⎪
2．画出不等式组⎨表示的平面区域
y ≤3⎪⎪⎩x
⎧5x +3y ≤15,
⎪
3. 求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎨y ≤x +1,
⎪x -5y ≥3. ⎩
4. 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？ 5. 某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 大？
⎧x ≥0, ⎪y ≥0, ⎪
6．在约束条件⎨下，当3≤s ≤5
y +x ≤s , ⎪⎪⎩y +2x ≤4.
z =3x +2y
A.[6,15] C.[6,8]
§5.3 基本不等式的证明
一、知识导学
1. 比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法) 和商值比较法(简称为求商法).
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0⇔ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论. 应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.
+
(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R ，ａ/ｂ≥1⇔ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1. 应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指
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数式时，一般使用商值比较法.
2. 综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式) 作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.
3. 分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有„，这只需证明Ｂ2为真，从而又有„，„„这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真. 这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.
4. 反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.
5. 换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，引入一个或多个变量进行代换，给证明带来新的启迪和方法. 主要有两种换元形式.(1)件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，将两个变量都有同一个参数表示. 题； (2)增量换元法：在对称式() 和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等) 的不等式，考虑用增量法进行换元，使问题化难为易，化繁为简. 如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元. 二、疑难知识导析
1. . 2. 前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，的思维习惯. . 而用综合法书. 因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的. . 还有的不等式证明难度较大，需一边. 这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系. 分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.
3. 分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件. 如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了. 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.
4. 反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾. 5. 在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果. 这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用. 三、经典例题导讲
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[例1] 已知a>b(ab≠0), 比较
11
与的大小. a b 11
错解： a>b(ab≠0) ，∴
a b
11b -a -=，又 a>b(ab≠0) ， a b ab
b -a 11
1111
>0,. a b a b
错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大. 正确的结论是：当两数同号
时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.
正解：
(1)当a 、b 同号时，即a>b>0或b0,b－a0,b
[例2] 当a 、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）
B. 而事
不可
最小，而ab
a
b
22
[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ +(b+ )的最小值.
错解: (a+
121222112
) +(b+) =a+b+2+2+4≥2ab++4≥4ab ∙+4=8, a b ab ab a b
∴(a+
1212
) +(b+) 的最小值是8. a b
2
2
错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a +b≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=第二次等号成立的条件是ab=最小值.
1
, 2
1
，显然，这两个条件是不能同时成立的. 因此，8不是ab
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[1**********]
++4=( a +b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+) －]+4 2222
a b ab a b a b
1
= (1－2ab)(1+22)+4，
a b
a +b 211111
由ab ≤() = 得：1－2ab ≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，
2422a b a b 1251
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立) ，
222121225
∴(a + ) + (b + ) 2a b
[例4] 已知0
正解：原式= a +b+
2
2
解法一：|log a (1-x ) |2
- |log a (1+x ) |2=[log a (1-x ) +log a (1-x ) ][log a (1-x ) -log a (1+x ) ]
2
1-x
1+x
1-x 2
∴log a >0
∵0
) log a
11+x
1+x =log 1+x 2
1-x 1-x
x (1-x 2) >0
|log a (1+x ) | 2
∴左 - 右 = log a (1-x ) +log a (1+x ) =log a (1-x
2
)
∵0 0 ∴|log a (1-x ) |> |log a (1+x ) |
[例5]已知x = a + b ，y = c + d ，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd 证：证法一（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd
22
只需证：(xy ) ≥(ac + bd )
222222 22
即：(a + b )(c + d ) ≥a c + b d + 2abcd
22 22222222 22
展开得：a c + b d + a d + b c ≥a c + b d + 2abcd
2
2
2
2
2
2
即：a d + b c ≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd 证法二（综合法）xy = ≥
2222
a 2+b 2c 2+d 2=a 2c 2+b 2c 2+a 2d 2+b 2d 2 a 2c 2+2abcd +b 2d 2=(ac +bd ) 2=ac +bd
证法三（三角代换法）
222
∵x = a + b ，∴不妨设a = x sin α, b = x cos α
y 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β
∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β) ≤xy [例6] 已知x > 0，求证： x +
115+≥ x x +2
x
证：构造函数
11
f (x ) =x +(x >0) 则x +≥2， 设2≤α
x x
由
f (α) -f (β) =α+
11
-(β+) =(α-β) +αβ > 0 ∴上式 > 0 1. 比较（a +32. 已知a , b , c 3. 已知x 4. 若x
2
+y 25. 若x > 1，y > 1，求证：
xy ≥1+x -1)(y -1) 1-2≥a +-2
a a 2
§5.4不等式的应用
6．证明：若a > 0，则
a 2+
一、基础知识导学
1. 利用均值不等式求最值：如果a 1，a 2∈R ，那么
+
a +b
≥. 2
2. 求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等. 这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.
3. 涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析
不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.
2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数
b b
y =ax +, y =ax 2+, y
=k [(a +b ) x (c -ax )(d -bx )]”
x 三 [例1]求错解： ∴ y 错因.
由于当t ≥正解：令[例2]m 错解正根.
错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.
13⎧m ≥-⎪4⎧∆=(2m +1) 2-4(m 2-3) ≥0⎪
⎪1⎪
⇒⎨m
2⎪2⎪
⎩m -3>0⎪m 3
⎪⎩
⇒-
1313
≤m ≤-, 因此当-≤m ≤-时，原方程有两个正根. 44
[例3]若正数x ，y 满足6x +5y =36，求xy 的最大值． 解：由于x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以
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6x +5
≥6x ⋅5y =xy 2
当且仅当6x=5y时，取“=”号．
365454
因6x +5y =36，则xy ≤，即xy ≤，所以xy 的最大值为.
552
[例4] 已知：长方体的全面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体
积最大，求出这个最大值．
分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S 是定值．因此最大值一定要用S 来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y ，其长、宽、高分别为a ，b ，c ，则y=abc．由
2
于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y 的最大值，这样y 的最大值也就可以求出来了．
解：设长方体的体积为y ，长、宽、高分别是为a ，b ，c ，则 y=abc，2ab+2bc+2ac=S． 而 22
y =（abc ）=（ab ）（bc ）（ac ）
当且仅当
s . 36
说明的关健.
2
1. 3m ，如果池底每1m 的造价
为150少元？
2. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
3. 在四面体P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m ，求这个四面体体积的最大值．
4. 设函数f(x)=ax+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相 交，试证明对一切x ∈R 都有|ax 2+bx +c |>
2
1. 4|a |
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5．青工小李需制作一批容积为V 的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？
6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元) 和轮船速度(单位：海里／时) 的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何) 都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
5.5 推理与证明
一、基础知识导学
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.
2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的
结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 的思维方法.
3. 种性质的推理.
4. 推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
5. 类似的性质的推理.
6. . 7. .
8. .
9. . 10. . 11. 反证法：判定非q q 为真的方法.
12. 的假定；应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真. 13. n p 1成立；
⑵在假设p k p k ＋1也成立，那么可以断定，｛p n ｝对一切正整数成立. 14. 数学归纳法的步骤：
（1）证明当 （如 或2等）时，结论正确；
（2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．
二、疑难知识导析
1. 归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
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2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果
3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法. 三、经典例题导讲
[例1] {a n }是正数组成的数列, 其前n 项和为s n , 并且对于所有的自然数n , a n 与2的等差中项等于s n 与2的等比中项. (1)写出数列{a n }的前3项;
(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程); 错解：由(1)猜想数列{a n }有通项公式a n =4n -2. 下面用数学归纳法证明数列{a n }的通项公式是
a n =4n -2. (n ∈N ).
①当n =1
.
②假设将a k =4k s k =2k 2由题意, 将s k
=222a k +1-4a k +1+4-16k =0
解得a k +1=2±4k . ∴a k +1=2+4k =4(k +1) -2
这就是说, 当n=k+1时, 上述结论成立.
根据①、②, 上述结论对所有的自然数n 成立. 错因在于解题过程中忽视了取值的取舍. 正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a n =4n-2. 猜想数列{a n }有通项公式a n =4n -2.
下面用数学归纳法证明数列{a n }的通项公式是
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a n =4n -2. (n ∈N ).
①当n =1时, 因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a 1=2,所以上述结论成立.
a
②假设n=k时结论成立, 即有a k =4k -2. 由题意, 有k
将a k =4k -2代入上式，得2k
+2
=2s k 2
=k ，解得
s k =2k 2 a +2
由题意, 有k +1
2
将s k
=k +1s k +1=s k +a k +1
=2k 2代入，化简得
22a k +1-4a k +1+4-16k =0
解得a k +1=2±4k . 由a k +1>0∴a k +1=2+4()
这就是说, 当n=k+1时, 上述结论成立.
根据①、②, 上述结论对所有的自然数n 成立[例2]
错解：证明：假设当 即
（k ∈N
，
时，
时，等式成立．
这就是说，当
可知等式对任意k ∈N 成立．
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错因在于推理不严密，没有证明当正解：证明：（1）当 （2）假设当 即 那么当
的情况 ．
，右式
）时，等式成立，
，
，所以等式成立．
时，左式（
时，
这就是说，当
由（1）、（2k ∈N 成立．
[例3] 是否存在自然数m ，
若存在，求出
对任意自然数，都能被
整除，
分析 解：
f (1) ，f (2) ，f (3) „再归纳、猜想、证明．
， ， ，
„„ 猜想，
（1）当
能被36整除，用数学归纳法证明如下： 时，
，能被36整除．
能被36整除．
（2）假设当n =k ，（k ∈N ）时， 那么，当
时，
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由归纳假设， 当为自然数时， ∴
这就是说当
时命题成立．
，
能被36整除， 为偶数，则
能被36整除．
能被36整除，
由（1）、（2）对任意 当
取大于36的自然数时，
f (n ) 都能被36整除．
f (1) =36不能被
[例4] 设点A 1是曲线C ：过A 1点作直线y =x xy =1(x >0, y >0) 与直线y =x 的垂线交轴于B 1，过B 1点作直线y =x A 2，再过A 2点作B 1A 2的垂线作交X 轴于B
2
的横坐标
的通项公式．
，„，
，„如图，试求
分析 本题并没有指明求通过寻求
与
通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以
的通项公式． ，， 令与
（
，
）联立，解得
，得
，所以点
（
），解得
的递推关系式求与
（
解：解法一
直线
直线
的方程为的方程为
， 所以点
联立，消元得
）．
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直线 令
的方程为，得
，所以点
， 同样可求得点
（
，0）
„„ 由此推测
（
，0），即
用数学归纳法证明 （1）当 即
时，由
点的坐标为（
，0），
，所以命题成立．
时命题成立， ，0），则当
的方程为（可得
，
时，
，
（
（2）假设当 即 由于直线 把它与 消去 ∴
于是
即点
令 即 ∴ 当 解法二 设点 建立 由数列
，与得，点的坐标为（
，
）．
，0）
的方程为
时，命题成立． 的坐标分别为（的递推关系是等差数列，且
，0）、（
，即，公差
，0），
，
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可求得（），．
用数学归纳法证明与自然数n 有关的几何命题，由k 过渡到k ＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．
[例5] 有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f(n)＝n -n ＋2个部分．
证明①当n ＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2 又n ＝1时，n -n ＋2＝2，∴命题成立
②假设n ＝k 时，命题成立，即k 个圆把平面分成f(k)＝k -k 部分，那么设第k ＋1个圆记⊙O ，由题意，它与k 2k 个点．把⊙O 分成2k 面的总区域增加2k 块，即f(k＋1) ＋2k=(k＋1) -(k＋1) ＋2 即n ＝k ＋1由①②可知对任何命题均成立．
说明: k 增加“1”时，研究第k ＋1个圆与其它k [例6] 已知n ≥2，n ∈
N
2
22
2
2
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②假设n=k时，原不等式成立．
四、1. 当n =12. 已知数列{a n }的前n 项和s n
(n N )”，
=2n -a n ，则{a n }的前四项依次为_______,猜想
a n =__________.
3. 已知数列{a n }的各项都是正数, 且满足:a 0证明a n
1
=1, a n +1=a n , (4-a n ), n ∈N .
2
1111
++ +>[log2n ],其中n 为大于2的整数，[log2n ]表示不超过23n 2
4. 已知不等式
log 2n 的最大整数. 设数列{a n }的各项为正，且满足
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a 1=b (b >0), a n ≤
2b na n -1
, n =3, 4, 5, . , n =2, 3, 4, 证明a n
2+b [log2n ]n +a n -1
5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能
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力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N ，且x 1＞0.
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不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 成正比， 这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （1）求x n+1与x n 的关系式；
（2）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
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（3）设a ＝2，c ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N ，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论.