高中数学函数基础经典例题
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1求函数y =x -2x -15
x +3-82的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
2⎧⎪x -2x -15≥0 ⎨⎪⎩x +3-8≠0
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求；另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知f (x ) 的定义域，求f [g (x ) ]的定义域。
其解法是：已知f (x ) 的定义域是[a , b ]求f [g (x ) ]的定义域是解a ≤g (x ) ≤b ，即为所求的定义域。
例3已知f (x ) 的定义域为[-2, 2]，求f (x 2-1) 的定义域。
（2）已知f [g (x ) ]的定义域，求f (x ) 的定义域。
其解法是：已知f [g (x ) ]的定义域是[a , b ]求f (x ) 的定义域的方法是：a ≤x ≤b ，求g (x ) 的值域，即所求f (x ) 的定义域。
例4已知f (2x +1) 的定义域为[1, 2]，求f (x ) 的定义域。
解：因为1≤x ≤2，2≤2x ≤4，3≤2x +1≤5。
即函数f (x ) 的定义域是{x |3≤x ≤5}。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R , 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y =mx 2-6mx +m +8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
2分析：函数的定义域为R ，表明mx 2-6mx +m +8≥0，使一切x ∈R 都成立，由x
项的系数是m ，所以应分m =0或m ≠0进行讨论。
解：当m =0时，函数的定义域为R ；
当m ≠0时，mx
件是 2-6mx +m +8≥0是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条
⎧m >0 ⇒0
综上可知0≤m ≤1。
评注：不少学生容易忽略m =0的情况，希望通过此例解决问题。
例6已知函数f (x ) =kx +7
kx 2+4kx +3的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须kx 2+4kx +3≠0恒成立，
因为f (x ) 的定义域为R ，即kx 2+4kx +3=0无实数解
①当k ≠0时，∆=16k 2-4⨯3k
②当k =0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k 的取值范围是0≤k
434； 。
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x ，则另一边长为
y =x ⋅1
2(a -2x ) =1
2ax -x 2212(a -2x ) 于是可得矩形面积。 1
2ax 。 =-x +
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
⎧x >0⎧x >0a ⎪⇒ ⇒00⎪(a -2x ) >0⎩2
故所求函数的解析式为y =-x +21
2ax ，定义域为(0, a
2) 。
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9已知f (x ) 的定义域为[0, 1]，求函数F (x ) =f (x +a ) +f (x -a ) 的定义域。 解：因为的定义域为[0, 1]，即0≤x ≤1。故函数F (x ) 的定义域为下列不等式组的解集： ⎧0≤x +a ≤1⎧-a ≤x ≤1-a ，即⎨ ⎨a ≤x ≤1+a 0≤x -a ≤1⎩⎩
即两个区间[-a , 1-a ]与[a , 1+a ]的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当-1
2≤a ≤0时，F (x ) 的定义域为{x |-a ≤x ≤1+a }；
12（2）当0≤a ≤
（3）当a > 12时，F (x ) 的定义域为{x |a ≤x ≤1-a }； 12或a
高中数学函数基础经典例题
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1求函数y =x -2x -15
x +3-82的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
2⎧⎪x -2x -15≥0 ⎨⎪⎩x +3-8≠0
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求；另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知f (x ) 的定义域，求f [g (x ) ]的定义域。
其解法是：已知f (x ) 的定义域是[a , b ]求f [g (x ) ]的定义域是解a ≤g (x ) ≤b ，即为所求的定义域。
例3已知f (x ) 的定义域为[-2, 2]，求f (x 2-1) 的定义域。
（2）已知f [g (x ) ]的定义域，求f (x ) 的定义域。
其解法是：已知f [g (x ) ]的定义域是[a , b ]求f (x ) 的定义域的方法是：a ≤x ≤b ，求g (x ) 的值域，即所求f (x ) 的定义域。
例4已知f (2x +1) 的定义域为[1, 2]，求f (x ) 的定义域。
解：因为1≤x ≤2，2≤2x ≤4，3≤2x +1≤5。
即函数f (x ) 的定义域是{x |3≤x ≤5}。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R , 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y =mx 2-6mx +m +8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
2分析：函数的定义域为R ，表明mx 2-6mx +m +8≥0，使一切x ∈R 都成立，由x
项的系数是m ，所以应分m =0或m ≠0进行讨论。
解：当m =0时，函数的定义域为R ；
当m ≠0时，mx
件是 2-6mx +m +8≥0是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条
⎧m >0 ⇒0
综上可知0≤m ≤1。
评注：不少学生容易忽略m =0的情况，希望通过此例解决问题。
例6已知函数f (x ) =kx +7
kx 2+4kx +3的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须kx 2+4kx +3≠0恒成立，
因为f (x ) 的定义域为R ，即kx 2+4kx +3=0无实数解
①当k ≠0时，∆=16k 2-4⨯3k
②当k =0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k 的取值范围是0≤k
434； 。
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x ，则另一边长为
y =x ⋅1
2(a -2x ) =1
2ax -x 2212(a -2x ) 于是可得矩形面积。 1
2ax 。 =-x +
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
⎧x >0⎧x >0a ⎪⇒ ⇒00⎪(a -2x ) >0⎩2
故所求函数的解析式为y =-x +21
2ax ，定义域为(0, a
2) 。
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9已知f (x ) 的定义域为[0, 1]，求函数F (x ) =f (x +a ) +f (x -a ) 的定义域。 解：因为的定义域为[0, 1]，即0≤x ≤1。故函数F (x ) 的定义域为下列不等式组的解集： ⎧0≤x +a ≤1⎧-a ≤x ≤1-a ，即⎨ ⎨a ≤x ≤1+a 0≤x -a ≤1⎩⎩
即两个区间[-a , 1-a ]与[a , 1+a ]的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当-1
2≤a ≤0时，F (x ) 的定义域为{x |-a ≤x ≤1+a }；
12（2）当0≤a ≤
（3）当a > 12时，F (x ) 的定义域为{x |a ≤x ≤1-a }； 12或a