2、一个质量为 m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。将弹簧原长位置记为原点，即 x = 0 。在任意一个时刻，可以记录物体的位移 x 和速度 v ，以 x
为横轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一
个点上。随着时间推移，这个点也会移动。以下说法正确
的是（ ）
A ．在A 点的时候质点受到的合外力为0
B ．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆
C ．这个点随着时间推移，会沿着 A →B →C →D →A 的顺序移动m
D ．图形中 BD 与 AC 的比值为m k
3、在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。初始时若各个
珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞
（ ）次。 A ．4 B
．5 C ．8 D ．10
4、如图一个倾斜角为θ=30︒的斜面上，有一个质量为m 半径为r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之间的摩擦系数为μ=3。一根长为r 的轻木棒一端铰接在距离圆心3
处的A 点，另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。
5、质量为M 、半径为R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为 m 的小青蛙(可处理成质点) ，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 v x ，竖直向上的分速度记为 v y ，合成的初始速度大小记为 v ，将圆盘后退的速度记为 u 。 (1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
(1.1)对给定的 v x ，可取不同的 v y ，试导出跳起过程中青蛙所做功 W 的取值范围，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 、g(重力加速度) 和 v x 。
(1.2)将(1.1)问所得 W 取值范围的下限记为 W 0，不同的 v x 对应不同的 W 0值，试导出其中最小者 W min ，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 和 g 。
(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，
青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为 W ’，试求 W ’与(1.2)问所得 W min 间的比值 γ=W‘/Wmin ，答案中可包含的参量为 M 和 m 。
6、如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。为使问题简化，作如下假设: a) 地球和月球组成1个封闭系统； b) 月球到地球的距离为l 个常量； c) 地球完全由海洋覆盖； d) 不计地球的自转。
l 、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为M ，地月中心间距离为r ，万有引力常量为G ，地球半径为R 。 2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ)
7、如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为30 ，斜向下。初始时刻有两个质量为m 的小圆AB 环套在杆上，距离O 均为l 。用根长度为l 的不可伸长的细线把A 和B 都系在一个质量为2m 的质点C 上。重力加速度竖直向下为g 。
（1） 初态三个ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。
（2） 初态三个物体静止，给C 一个向下的冲量J ，使得C 的速度变为v 0。求J ，并求此后
瞬间绳子拉力T 。
8、一个质量为m
/2。初始时刻风速和飞船速度相对惯性系S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小
u /2
的时候，飞船发动机推力恒定为F ，否则发动机推力恒定为2F 。飞船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态为：相对于太/θ=90︒
阳风，速度为2u ，方向垂直于风速向上。
（1） 以风速为参照系，v x 和v y 为坐标轴（原风速方向沿v x 方向），画出飞船初态、末态速度的位置，标记出飞船受力为F 的范围。 （2） 求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。
9、如图所示，在一个光滑的底面积为S =1dm 2
高为H =0.2m 的固定圆柱形容器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为m 0=1.0kg ，活塞下方用一根劲度系数为k =200N/m，原长为l 0=0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始时刻活塞位于距离底
面h =0.1m 高的位置，上方盛满方有密度为ρ=1⨯103kg/m3
的水，
用手拉住保持活塞静止然后释放。假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。 （1） 求释放活塞上升最大位移
（2） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
10、如图91a 所示, 均质角尺AB=BC= ，各段质量均为M ，平放于光滑的水平面上，一质量为m 的小球以v o 的速度沿水平面运动，且v o ⊥AB ，并与AB 的中点D 相碰，恢复系数e=0.5。试求质量比M/m为何值时，小球能恰好与角尺的C 端相碰。
如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为m 。在杆上钉一
个钉子，使得杆可以绕着钉子转动。钉子到两端距离分别为l 1和l 2。轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。你可能不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估计。以下四个答案中正确的是哪一个（）
一个质量为 m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。将弹簧原长位置记为原点，即 x = 0 。在任意一个时刻，可以记录物体的位移 x 和速度 v ，以 x 为横轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一个点上。随着时间推移，这个点也会移动。以下说法正确的是（）
A ．在A 点的时候质点受到的合外力为0
B ．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆
C ．这个点随着时间推移，会沿着 A →B →C →D →A 的顺序移动
m
D ．图形中 BD 与 AC 的比值为
m k
在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞 次。
A ．4 B ．5 C ．8 D ．10
质量为 M 、半径为 R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为 m 的小青蛙(可处理成质点) ，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 v x ，竖直向上的分速度记为 v y ，合成的初始速度大小记为 v ，将圆盘后退的速度记为 u 。 (1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
(1.1)对给定的 v x ，可取不同的 v y ，试导出跳起过程中青蛙所做功 W 的取值范围，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 、g(重力加速度) 和 v x 。
(1.2)将(1.1)问所得 W 取值范围的下限记为 W 0，不同的 v x 对应不同的 W 0值，试导出其中最小者W min ，答案中可包含的参量为M 、R 、m 和g 。
(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为 W ’，试求 W ’与(1.2)问所得 W min 间的比 值 γ=W‘/Wmin ，答案中可包含的参量为 M 和 m 。
如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。为使问题简化，作如下假设: a) 地球和月球组成1个封闭系统； b) 月球到地球的距离为l 个常量； c) 地球完全由海洋覆盖； d) 不计地球的自转。
l 、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为M ，地月中心间距离为r ，万有引力常量为G ，地球半径为R 。 2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ
)
如图一个倾斜角为θ=30︒的斜面上，有一个质量为m 半径为r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之间
的摩擦系数为μ=3。一根长为r
的轻木棒一端铰接在距离圆心
3
r 处的A 点，另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。
（3） 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则OA 与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系
统静止。 （4） 若要求OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数μ' 至少为多少？
【解答】
(1)由于AB 是轻杆，只在两端点受力，所以AB 对球作用力沿杆方向。（1分）
由于球不滑动，所以斜坡对球的支持力和摩擦力的合力与法向（垂直于斜面方向）不大于
β=arctan μ=30︒ （2分）
由于球是力矩平衡的，所以支持力摩擦力合力、重力、杆对球的支持力三力交与一点。 这样AB 的于过O 点的重力所在的线的交点只能位于左图中红色阴影区域。（3分）
情景一 交点在下端点处。由平面几何可知这时候A 恰好位于重力线和支持力摩擦力合力所在直线的交点处（因为HOA 中恰好∠OHA =∠HOA =30︒
，这样使得OA =3
） 于是这个临界情景OA 与竖直夹角为γ=0︒ （3分）
情景二 交点在无穷远处，这时候三个力都沿竖直方向。由平面几何
r -
cos(γ+30︒) =
OA
；γ=46.6︒ （4分）
由此可知OA 与竖直夹角应位于γ∈[0,46.6︒] （3分）
(2)由前一问可知，AB 与法线最大夹角为60︒
因此B 点摩擦系数不应当小于μ' =tan 60︒= （4分）
题二、（24分）如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为30︒，斜向下。初始时刻有两个质量为m 的小圆AB 环套在杆上，距离O 均为l 。用根长度为l 的不可伸长的细线把A 和B 都系在一个质量为2m 的质点C 上。重力加速度竖直向下为g 。 （3） 初态三个ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。
（4） 初态三个物体静止，给C 一个向下的冲量J ，使得C 的速度变为v 0。
求J ，并求此后瞬间绳子拉力T 。
【解答】
（1）由几何关系，可知AOC , BOC 为等边三角形，各内
角均为60 （1分）
设C 加速度a ，由对称性，a 竖直向下
设A 加速度a '
，由对称性，两绳上张力相等，设其为T . 以A 为系
由静止释放时，A 、C 无相对速度，故C 无沿绳方
向加速度 a '
cos
π
π
'
3
-a cos
3
=0⇒a =a
（2
分）
以A 为参考系，对C 在垂直AC 方向根据牛顿第二定律 (
2mg +2ma -T )=⋅2m （3分）
地面系中，分析A 受力有
1
2
(T -mg )=ma （1分）
解得a =a ' =g 4
T =3
2
mg
（2分）
（2）设绳的冲量为I
由速度关联，A 、C 沿绳方向速度相等
V A cos θ=V 0cos θ⇒V A =V 0
（1分）
动量定理
J -2I cos θ=2mV 0
（1分）
I cos θ=mV 0 （1分） ⇒J =4mV 0
（2分）
设A 加速度a ' ，C 加速度a ，由对称性，a 竖直向下，沿绳向加速
度等于向心加速度，即
'
)
2
a cos θ-a cos θ=
0l
（2分）
牛顿第二定律
2mg
(
2mg +2ma '
-T )=2m ' ⎫ （3分）
⎝
⎪⎪⎭地面系中，分析A 受力 T cos θ-mg cos θ=ma '
（1分）
a =-3V 20g 解得l +
4
a ' =3V 2
0g l +
4
2
T =3
6mV 02mg +
l （3分）
一个质量为m
/2。初始时刻风速和飞船速度相对惯
性系S
的时候，飞船发动机推力恒定为F ，否则发动机推力恒定为2F 。分船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态为：相对于太阳风，速度为2u ，方向垂直于风速向上。
（3） 以风速为参照系，v x 和v y 为坐标轴（原风速方向沿v x 方向），画出飞船初态、末态速度的位置，标记出飞船受力为F 的范围。
（4） 求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。
u /2
/θ=90︒
【解答】
v y
（
1）虚线圆内受力为F ）
（5分）
v 末=2u
（2）设速度变化量在圆内部分长：v 1 v 初=u
设速度变化量在圆外部分长：v v x
2 则初速至末速历时t =
m v 1m v 2
F +
2F
（3分）
若时间类比光学中的光程，v 类比光线路径长，m f 类比
折射率，由于费马原理则原问题可等效为：
如图，求A 点发出的光线中可到达B
点的光线的光程及轨迹 （5分） 考察A 正上方点P ，由几何关系∠OPA =30，∠BPO =90
（2分）
sin ∠BPO ⋅n 11
外=1⋅2=2
⋅1=sin∠OPA ⋅n 内
（2分）
满足折射定律故折线APB 即为所求轨迹 带回原问题，得到v 1=u , v 2=u （2分） 故最短用时：t =3mu
2F
（1
分）
如图所示，在一个光滑的底面积为S =1dm 2
高为H =0.2m 的固定圆柱形容器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为m 0=1.0kg ，活塞下方用一根劲度系
数为k =200N/m，原长为l 0=0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始时刻活塞位于距离底面
h =0.1m 高的位置，上方盛满方有密度为ρ=1⨯103kg/m3的水，用手拉住保持活塞静止然后
释放。假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。 （3） 求释放活塞上升最大位移
（4） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
【解答】
以地面为原点，向上为x 坐标，描述活塞运动在水未完全溢出前，活塞及水有牛顿第二定律 注意：水也在加速！
⎡⎣m 0+ρ⋅s (H -x )⎤⎦⋅a =k (l 0-x )-m 0g -ρ⋅s (H -x )g （3分） 带入数据得到
a =10s 2. 为匀加速运动。
（2分） 到达瓶口时，活塞速度为 v 1=s （2分）
经历时间为
t 1=s
（2分） 后活塞作简谐运动，平衡位置在容器口上h ' =0.05m 处
（2分）
由能量守恒求得其振幅
1mv 21' 21
21+2kh =2kA 2
得
A =
（3分）
从瓶口上升至最大振幅处，参考圆转过角度
ϕ=+
π
2
（3分）
故
t ⎛
π⎫2= ⎝
+2⎪⎭0.14s
（1分）
综上：（1）上升最大位移
S =(H -h )+h ' +A =
=0.26m （2分）
（2）经历时间
T =t 1+t 2=0.29s
（2分）
如图91a 所示, 均质角尺AB=BC= ，各段质量均为M ，平放于光滑的水平面上，一质量为m 的小球以v o 的速度沿水平面运动，且v o ⊥AB ，并与AB 的中点D 相碰，恢复系数e=0.5。试求质量
比M/m为何值时，小球能恰好与角尺的C 端相碰。
2、一个质量为 m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。将弹簧原长位置记为原点，即 x = 0 。在任意一个时刻，可以记录物体的位移 x 和速度 v ，以 x
为横轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一
个点上。随着时间推移，这个点也会移动。以下说法正确
的是（ ）
A ．在A 点的时候质点受到的合外力为0
B ．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆
C ．这个点随着时间推移，会沿着 A →B →C →D →A 的顺序移动m
D ．图形中 BD 与 AC 的比值为m k
3、在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。初始时若各个
珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞
（ ）次。 A ．4 B
．5 C ．8 D ．10
4、如图一个倾斜角为θ=30︒的斜面上，有一个质量为m 半径为r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之间的摩擦系数为μ=3。一根长为r 的轻木棒一端铰接在距离圆心3
处的A 点，另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。
5、质量为M 、半径为R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为 m 的小青蛙(可处理成质点) ，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 v x ，竖直向上的分速度记为 v y ，合成的初始速度大小记为 v ，将圆盘后退的速度记为 u 。 (1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
(1.1)对给定的 v x ，可取不同的 v y ，试导出跳起过程中青蛙所做功 W 的取值范围，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 、g(重力加速度) 和 v x 。
(1.2)将(1.1)问所得 W 取值范围的下限记为 W 0，不同的 v x 对应不同的 W 0值，试导出其中最小者 W min ，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 和 g 。
(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，
青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为 W ’，试求 W ’与(1.2)问所得 W min 间的比值 γ=W‘/Wmin ，答案中可包含的参量为 M 和 m 。
6、如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。为使问题简化，作如下假设: a) 地球和月球组成1个封闭系统； b) 月球到地球的距离为l 个常量； c) 地球完全由海洋覆盖； d) 不计地球的自转。
l 、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为M ，地月中心间距离为r ，万有引力常量为G ，地球半径为R 。 2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ)
7、如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为30 ，斜向下。初始时刻有两个质量为m 的小圆AB 环套在杆上，距离O 均为l 。用根长度为l 的不可伸长的细线把A 和B 都系在一个质量为2m 的质点C 上。重力加速度竖直向下为g 。
（1） 初态三个ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。
（2） 初态三个物体静止，给C 一个向下的冲量J ，使得C 的速度变为v 0。求J ，并求此后
瞬间绳子拉力T 。
8、一个质量为m
/2。初始时刻风速和飞船速度相对惯性系S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小
u /2
的时候，飞船发动机推力恒定为F ，否则发动机推力恒定为2F 。飞船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态为：相对于太/θ=90︒
阳风，速度为2u ，方向垂直于风速向上。
（1） 以风速为参照系，v x 和v y 为坐标轴（原风速方向沿v x 方向），画出飞船初态、末态速度的位置，标记出飞船受力为F 的范围。 （2） 求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。
9、如图所示，在一个光滑的底面积为S =1dm 2
高为H =0.2m 的固定圆柱形容器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为m 0=1.0kg ，活塞下方用一根劲度系数为k =200N/m，原长为l 0=0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始时刻活塞位于距离底
面h =0.1m 高的位置，上方盛满方有密度为ρ=1⨯103kg/m3
的水，
用手拉住保持活塞静止然后释放。假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。 （1） 求释放活塞上升最大位移
（2） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
10、如图91a 所示, 均质角尺AB=BC= ，各段质量均为M ，平放于光滑的水平面上，一质量为m 的小球以v o 的速度沿水平面运动，且v o ⊥AB ，并与AB 的中点D 相碰，恢复系数e=0.5。试求质量比M/m为何值时，小球能恰好与角尺的C 端相碰。
如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为m 。在杆上钉一
个钉子，使得杆可以绕着钉子转动。钉子到两端距离分别为l 1和l 2。轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。你可能不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估计。以下四个答案中正确的是哪一个（）
一个质量为 m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。将弹簧原长位置记为原点，即 x = 0 。在任意一个时刻，可以记录物体的位移 x 和速度 v ，以 x 为横轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一个点上。随着时间推移，这个点也会移动。以下说法正确的是（）
A ．在A 点的时候质点受到的合外力为0
B ．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆
C ．这个点随着时间推移，会沿着 A →B →C →D →A 的顺序移动
m
D ．图形中 BD 与 AC 的比值为
m k
在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞 次。
A ．4 B ．5 C ．8 D ．10
质量为 M 、半径为 R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为 m 的小青蛙(可处理成质点) ，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 v x ，竖直向上的分速度记为 v y ，合成的初始速度大小记为 v ，将圆盘后退的速度记为 u 。 (1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
(1.1)对给定的 v x ，可取不同的 v y ，试导出跳起过程中青蛙所做功 W 的取值范围，答案中可包含的参量为 M 、R 、m 、g(重力加速度) 和 v x 。
(1.2)将(1.1)问所得 W 取值范围的下限记为 W 0，不同的 v x 对应不同的 W 0值，试导出其中最小者W min ，答案中可包含的参量为M 、R 、m 和g 。
(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为 W ’，试求 W ’与(1.2)问所得 W min 间的比 值 γ=W‘/Wmin ，答案中可包含的参量为 M 和 m 。
如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。为使问题简化，作如下假设: a) 地球和月球组成1个封闭系统； b) 月球到地球的距离为l 个常量； c) 地球完全由海洋覆盖； d) 不计地球的自转。
l 、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为M ，地月中心间距离为r ，万有引力常量为G ，地球半径为R 。 2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ
)
如图一个倾斜角为θ=30︒的斜面上，有一个质量为m 半径为r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之间
的摩擦系数为μ=3。一根长为r
的轻木棒一端铰接在距离圆心
3
r 处的A 点，另一端通过一块橡皮支撑在斜坡上。
（3） 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则OA 与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系
统静止。 （4） 若要求OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数μ' 至少为多少？
【解答】
(1)由于AB 是轻杆，只在两端点受力，所以AB 对球作用力沿杆方向。（1分）
由于球不滑动，所以斜坡对球的支持力和摩擦力的合力与法向（垂直于斜面方向）不大于
β=arctan μ=30︒ （2分）
由于球是力矩平衡的，所以支持力摩擦力合力、重力、杆对球的支持力三力交与一点。 这样AB 的于过O 点的重力所在的线的交点只能位于左图中红色阴影区域。（3分）
情景一 交点在下端点处。由平面几何可知这时候A 恰好位于重力线和支持力摩擦力合力所在直线的交点处（因为HOA 中恰好∠OHA =∠HOA =30︒
，这样使得OA =3
） 于是这个临界情景OA 与竖直夹角为γ=0︒ （3分）
情景二 交点在无穷远处，这时候三个力都沿竖直方向。由平面几何
r -
cos(γ+30︒) =
OA
；γ=46.6︒ （4分）
由此可知OA 与竖直夹角应位于γ∈[0,46.6︒] （3分）
(2)由前一问可知，AB 与法线最大夹角为60︒
因此B 点摩擦系数不应当小于μ' =tan 60︒= （4分）
题二、（24分）如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为30︒，斜向下。初始时刻有两个质量为m 的小圆AB 环套在杆上，距离O 均为l 。用根长度为l 的不可伸长的细线把A 和B 都系在一个质量为2m 的质点C 上。重力加速度竖直向下为g 。 （3） 初态三个ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。
（4） 初态三个物体静止，给C 一个向下的冲量J ，使得C 的速度变为v 0。
求J ，并求此后瞬间绳子拉力T 。
【解答】
（1）由几何关系，可知AOC , BOC 为等边三角形，各内
角均为60 （1分）
设C 加速度a ，由对称性，a 竖直向下
设A 加速度a '
，由对称性，两绳上张力相等，设其为T . 以A 为系
由静止释放时，A 、C 无相对速度，故C 无沿绳方
向加速度 a '
cos
π
π
'
3
-a cos
3
=0⇒a =a
（2
分）
以A 为参考系，对C 在垂直AC 方向根据牛顿第二定律 (
2mg +2ma -T )=⋅2m （3分）
地面系中，分析A 受力有
1
2
(T -mg )=ma （1分）
解得a =a ' =g 4
T =3
2
mg
（2分）
（2）设绳的冲量为I
由速度关联，A 、C 沿绳方向速度相等
V A cos θ=V 0cos θ⇒V A =V 0
（1分）
动量定理
J -2I cos θ=2mV 0
（1分）
I cos θ=mV 0 （1分） ⇒J =4mV 0
（2分）
设A 加速度a ' ，C 加速度a ，由对称性，a 竖直向下，沿绳向加速
度等于向心加速度，即
'
)
2
a cos θ-a cos θ=
0l
（2分）
牛顿第二定律
2mg
(
2mg +2ma '
-T )=2m ' ⎫ （3分）
⎝
⎪⎪⎭地面系中，分析A 受力 T cos θ-mg cos θ=ma '
（1分）
a =-3V 20g 解得l +
4
a ' =3V 2
0g l +
4
2
T =3
6mV 02mg +
l （3分）
一个质量为m
/2。初始时刻风速和飞船速度相对惯
性系S
的时候，飞船发动机推力恒定为F ，否则发动机推力恒定为2F 。分船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态为：相对于太阳风，速度为2u ，方向垂直于风速向上。
（3） 以风速为参照系，v x 和v y 为坐标轴（原风速方向沿v x 方向），画出飞船初态、末态速度的位置，标记出飞船受力为F 的范围。
（4） 求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。
u /2
/θ=90︒
【解答】
v y
（
1）虚线圆内受力为F ）
（5分）
v 末=2u
（2）设速度变化量在圆内部分长：v 1 v 初=u
设速度变化量在圆外部分长：v v x
2 则初速至末速历时t =
m v 1m v 2
F +
2F
（3分）
若时间类比光学中的光程，v 类比光线路径长，m f 类比
折射率，由于费马原理则原问题可等效为：
如图，求A 点发出的光线中可到达B
点的光线的光程及轨迹 （5分） 考察A 正上方点P ，由几何关系∠OPA =30，∠BPO =90
（2分）
sin ∠BPO ⋅n 11
外=1⋅2=2
⋅1=sin∠OPA ⋅n 内
（2分）
满足折射定律故折线APB 即为所求轨迹 带回原问题，得到v 1=u , v 2=u （2分） 故最短用时：t =3mu
2F
（1
分）
如图所示，在一个光滑的底面积为S =1dm 2
高为H =0.2m 的固定圆柱形容器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为m 0=1.0kg ，活塞下方用一根劲度系
数为k =200N/m，原长为l 0=0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始时刻活塞位于距离底面
h =0.1m 高的位置，上方盛满方有密度为ρ=1⨯103kg/m3的水，用手拉住保持活塞静止然后
释放。假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。 （3） 求释放活塞上升最大位移
（4） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
【解答】
以地面为原点，向上为x 坐标，描述活塞运动在水未完全溢出前，活塞及水有牛顿第二定律 注意：水也在加速！
⎡⎣m 0+ρ⋅s (H -x )⎤⎦⋅a =k (l 0-x )-m 0g -ρ⋅s (H -x )g （3分） 带入数据得到
a =10s 2. 为匀加速运动。
（2分） 到达瓶口时，活塞速度为 v 1=s （2分）
经历时间为
t 1=s
（2分） 后活塞作简谐运动，平衡位置在容器口上h ' =0.05m 处
（2分）
由能量守恒求得其振幅
1mv 21' 21
21+2kh =2kA 2
得
A =
（3分）
从瓶口上升至最大振幅处，参考圆转过角度
ϕ=+
π
2
（3分）
故
t ⎛
π⎫2= ⎝
+2⎪⎭0.14s
（1分）
综上：（1）上升最大位移
S =(H -h )+h ' +A =
=0.26m （2分）
（2）经历时间
T =t 1+t 2=0.29s
（2分）
如图91a 所示, 均质角尺AB=BC= ，各段质量均为M ，平放于光滑的水平面上，一质量为m 的小球以v o 的速度沿水平面运动，且v o ⊥AB ，并与AB 的中点D 相碰，恢复系数e=0.5。试求质量
比M/m为何值时，小球能恰好与角尺的C 端相碰。