第２７卷第５期％１．２７Ｎｏ．５
唐山师范学院学报
２００５年９月
ｓｅｐ．２００５
乃姗耐矿劢咿施行死ａ曲Ｐ船ｃＤ№ｇｅ
球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导
姚久民，石凤良
（唐山师范学院物理系，河北唐山０６３０００）
摘要：根据直角坐标ｘ、ｙ、ｚ与球坐标ｒ、ｅ、巾之间的关系，由直角坐标系中拉普拉斯算符的表达式推出球坐标系中拉普拉斯算符的表达式。
关键词：偏导数；球坐标系；拉普拉斯算符
中图分类号：０４１３．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００９。９ｌｌ５（２００５）０５．００６７．０５
由直角坐标系中哈密顿算符Ｖ＝亍兰＋歹芸＋云兰的表达式可推导出拉普拉斯算符跏庞
Ｃ钟
△＝ｃ７昙＋歹专“昙Ｈ｝昙＋歹专＋云丢，＝等＋著＋鲁但我们却不能根据球坐标系Ｖ２昙ｉ＋吉嘉石＋志杀ｉ得出
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的表达式。虽然推导过程稍嫌繁琐，但却浅显易懂，适合学生掌握。
根据直角坐标和球坐标的坐标关系ｘ＝鸬ｉｎ侥ｏｓ伊
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ｚ＝，．ｃｏｓ口
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文献Ⅲ虽给出了正确的推导过程，但不容易理解。本文从拉普拉斯算符在直角坐标系中的表达式推导出它在球坐标系中
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所以，．、民妒是关十Ｊ、队ｚ的函数，
即，．＝，．（Ｊ、ｙ、ｚ），口＝护（工、Ｊ，、ｚ），妒＝矿（ｘ、ｙ、ｚ）。根据微分形式的不变性可知【２】
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昙ｃ导，＝昙ｃ昙，妄＋斋ｃ导，尝＋杀ｃ昙，罢＝等妻＋岳尝＋岳警
昙ｃ刍，＝导ｃ品，妄＋寺ｃ刍，罢＋品ｃ嘉，尝＝嘉罢＋岳砉＋磊≥警
收稿日期：２００４．０８．２６
作者简介：姚久民（１９６６．），男，河北丰润人，唐山师范学院物理系实验师。
．６７．
万方数据
第２７卷第５期
唐山师范学院学报２００５年第５期
丢ｃ寺＝导ｃ旁砉＋寺ｃ寺，警＋专ｃ寺罢＝告警＋茜罢＋岳等又因为芸＝嘉岳＝茜，茜＝岳，可得
－－＿一■－一一■・一一■－一●一－等＝导警＋品警＋杀害＋善白２＋著ｃ等２＋鲁尝２
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（１）
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一＝＝一一■－—－—一一■・～一■－一Ｉ—ｌ■一一●一ｌ＿４・一●———－．１一等＝昙鲁＋斋害＋杀害＋等白２＋著尝）２＋等毫，２＆２务如２’ａ口昆２。却岔２’务２、瑟７。ａ口２、如７’劫２、如７
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（３）
．．．式（１）＋（２）＋（３）得
等＋等＋等＝导ｃ鲁＋参＋鲁，＋品謦＋拳＋》弓ｃ窘＋害＋》＋萨＋矿＋≯２石‘万＋矿＋≯卜丽‘萨＋矿＋萨卜瓦‘紊＋蒂＋茅’＋
等嘹２＋ｃ争２＋白２，＋著ｒｃ》２＋ｃ等２＋够２，＋鲁ｒ学２＋当）２＋絮）２】＋
。
２舄ｃ砉罢＋参爹＋象》＋２茜毫警＋参詈＋喜争＋２岳ｃ罢警＋軎×
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（４）
２根据球坐标和直角坐标的关系来求式（４）中的各偏导数之值
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姚久民，石凤良：球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导
由妒詈，得僦２同理詈＝罴＝器
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万
方数据
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３结论
将所求得的各式的值代入（４）式，得
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（５）
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ｓｉｎ２目ａ口２
又赤嘉ｃｓｔｎ护南，２７三ｃｃ。ｓ护南删ｎ口暑，＝ｉ三南＋专著
古导ｃ，２导，＝吉ｃ２，昙＋，２等，＝吾导＋告
则（５）式变为
等＋等＋导＝砉昙矿争＋赤著汹ｎ秒寿＋
参考文献：
ｆｌ】梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１．５１１．
萨＋萨＋萨２７石（广石）＋忑石虿‘豇棚亩）＋，２ｓｉｎ２臼ａ∞２
・・・在球坐标系中拉普拉斯算符的表达式为【３】△＝专导（ｒ２斋）＋７扔寺（ｓｉｎ目刍）＋
【３】周世勋．量子力学教程［Ｍ】、北京：高等教育出版社，１９７９．６５。
，．２
ｓｊｎ２护ａ口２
［２】四川大学数学系，高等数学教研室．高等数学（第三版，第二册）【Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９６
ＴｈｅＤｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉＶｅｏｆＬａｐｌａｃｅ’ｓｏｐｅｒａｔｏｒｉｎ
ＳｐｈｅｒｉｃａｌＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＳｙｓｔｅｍ
Ｓｍ
Ｆｅｎｇ—ｌｉａｎｇ，ＺＨＡＮＧＨａｉ－ｐｉｎｇ
Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＨｅｂｅｉＴ趾ｇｓｈａＩＩ０６３０００，ｃｈｉｒｌａ）
（ＰｈｙｓｉｃｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，１１趾擎ｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｌｎＴｈｉｓｐａｐｅｒ，ＴｈｅｒｅｐｒｃｓｅｎｔａｌｉＶｅｏｆＬａｐｌａｃｅ’ｓ（）ｐｅ扭ｔｏｆｏｆＳｐｈ嘶ｃａｌ
Ｃｏｏｒｄ毗ｅ
Ｓｙｓｔｅｍｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄ矗ｏｍｔｈｅ
ｒ、
ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉＶｅｏｆＬ印ｌａｃｅ’ｓ０ｐｅｒａｔｏｒｏｆｒｃｃｔａ】【ｌ差；ｕｌａｒＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＳｙｓｔｅｍｂｙｔｌｌｅｒｅｌａｔｉｏｌｌＳｈｉｐｏｆｘ、ｙ、ｚｏｆｒｅｃ伽１９ｕｌａｒｃｏｏｒｄｉｌｌａｔｅｓａ【ｌｄ
０、
中ｏｆＳｐｈｅｒｉｃａｌＣｏｏｒｄｉＩｌａｔｅ．Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｐ删ａＪｄｅｒｉＶａｔｉＶｅ；ｓｅｃｏｎｄｐａｎｉａｌｄ两ＶａｔｉＶｅ；Ｌ却ｌａｃｃ’ｓｏｐｅｒａｔｏｒ
责任编辑、校对：孙海祥
一７１．
万方数据
第２７卷第５期％１．２７Ｎｏ．５
唐山师范学院学报
２００５年９月
ｓｅｐ．２００５
乃姗耐矿劢咿施行死ａ曲Ｐ船ｃＤ№ｇｅ
球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导
姚久民，石凤良
（唐山师范学院物理系，河北唐山０６３０００）
摘要：根据直角坐标ｘ、ｙ、ｚ与球坐标ｒ、ｅ、巾之间的关系，由直角坐标系中拉普拉斯算符的表达式推出球坐标系中拉普拉斯算符的表达式。
关键词：偏导数；球坐标系；拉普拉斯算符
中图分类号：０４１３．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００９。９ｌｌ５（２００５）０５．００６７．０５
由直角坐标系中哈密顿算符Ｖ＝亍兰＋歹芸＋云兰的表达式可推导出拉普拉斯算符跏庞
Ｃ钟
△＝ｃ７昙＋歹专“昙Ｈ｝昙＋歹专＋云丢，＝等＋著＋鲁但我们却不能根据球坐标系Ｖ２昙ｉ＋吉嘉石＋志杀ｉ得出
班
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宓
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却
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Ｏ旷ｒｄ∥ｒＳｌｎ∥∥口
△＿‘石∥＋７丽印＋忑而面％）’‘石％＋７丽印＋丙石面％）２≯＋７紊＋
的表达式。虽然推导过程稍嫌繁琐，但却浅显易懂，适合学生掌握。
根据直角坐标和球坐标的坐标关系ｘ＝鸬ｉｎ侥ｏｓ伊
ｙ＝愿ｉｎ夙ｉｎ缈
ｚ＝，．ｃｏｓ口
，．２＝工２＋ｙ２＋ｚ２
．，ａ一．１
ａ一
１
ａ一、，ａ—ｌ
ａ—
ｌ
ａ一、
ａ２ｌ
ａ２
，２
ｓｉｎ２目面２
文献Ⅲ虽给出了正确的推导过程，但不容易理解。本文从拉普拉斯算符在直角坐标系中的表达式推导出它在球坐标系中
ｃｏｓ臼＝三
ｒ
Ｘ
增伊＝一
Ｊ，
所以，．、民妒是关十Ｊ、队ｚ的函数，
即，．＝，．（Ｊ、ｙ、ｚ），口＝护（工、Ｊ，、ｚ），妒＝矿（ｘ、ｙ、ｚ）。根据微分形式的不变性可知【２】
０
ｅｅｒ
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小一十一一十一～．十一＋一一＋一。
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ａ缈反’砂勿砂ａ口砂
一＝一一＋一一＋一●ａ缈砂’玉勿瑟。阳昆。ａ妒如
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叙２
苏、叙７
舐、咖玉
ａ目苏
ａ够苏７
。面‘石’面＋瓦‘面’瓦＋面呖’瓦＋瓦秀’历＋瓦％’蔷＋瓦嗉’丽＝去ｃ导，砉＋昙ｃ砉，昙＋昙嚼，罢＋丢尝，品＋丢嚼，警＋丢絮，杀
：箕拿＋驾兰＋粤．＝｝＋昙（旦）堡＋旦（鸟丝＋旦（旦）丝＝一一—ｈ～一０，．．——．Ｌ一＋一Ｉ—ｌ一‘～●一ｌ一＾一，一１．．ｏ苏２ａｒ。苏２ａ曰’舐２ａ妒。叙、务７叙。舐、ａ曰７叙。ａｘ、ａ妒７反
昙ｃ导，＝昙ｃ昙，妄＋斋ｃ导，尝＋杀ｃ昙，罢＝等妻＋岳尝＋岳警
昙ｃ刍，＝导ｃ品，妄＋寺ｃ刍，罢＋品ｃ嘉，尝＝嘉罢＋岳砉＋磊≥警
收稿日期：２００４．０８．２６
作者简介：姚久民（１９６６．），男，河北丰润人，唐山师范学院物理系实验师。
．６７．
万方数据
第２７卷第５期
唐山师范学院学报２００５年第５期
丢ｃ寺＝导ｃ旁砉＋寺ｃ寺，警＋专ｃ寺罢＝告警＋茜罢＋岳等又因为芸＝嘉岳＝茜，茜＝岳，可得
－－＿一■－一一■・一一■－一●一－等＝导警＋品警＋杀害＋善白２＋著ｃ等２＋鲁尝２
叙２
务苏２’ａ口融２。ａ妒苏２。西２、叙７。ａ口２、叙７。ａ谚２、苏７
＋一●一－■・一ｌ—Ｉ＋２旦尘塑＋２旦堡鲤＋２』Ｌ塑塑务ａ口苏叙
醐伊叙叙
（１）
ａ国伊苏缸
一＝＝一一１－一一１－一一１‘一●一－等＝导骞＋杀害＋专寺＋告移２＋鲁髻）２＋等当，２砂２务砂２。阳砂２。ａ缈砂２’务２、砂７。ａ占２、砂７。ａ９２、砂７
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一＝＝一一■－—－—一一■・～一■－一Ｉ—ｌ■一一●一ｌ＿４・一●———－．１一等＝昙鲁＋斋害＋杀害＋等白２＋著尝）２＋等毫，２＆２务如２’ａ口昆２。却岔２’务２、瑟７。ａ口２、如７’劫２、如７
“丽西ｉ“而西ｉ“丽ｉｉ
．，ａ。务ａ占。，，ａ‘跏ａ９。，’ａ２
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（３）
．．．式（１）＋（２）＋（３）得
等＋等＋等＝导ｃ鲁＋参＋鲁，＋品謦＋拳＋》弓ｃ窘＋害＋》＋萨＋矿＋≯２石‘万＋矿＋≯卜丽‘萨＋矿＋萨卜瓦‘紊＋蒂＋茅’＋
等嘹２＋ｃ争２＋白２，＋著ｒｃ》２＋ｃ等２＋够２，＋鲁ｒ学２＋当）２＋絮）２】＋
。
２舄ｃ砉罢＋参爹＋象》＋２茜毫警＋参詈＋喜争＋２岳ｃ罢警＋軎×
裥占、苏锄勿勿
玉出７’裥驴、苏锄。匆匆。玉国…一ａ国口、玉玉。却“塑＋塑驾
加
玉次’
（４）
２根据球坐标和直角坐标的关系来求式（４）中的各偏导数之值
２．１求罢，妻，要ａ。ｃ咖０２
由＿ｒ２＝Ｊ＋ｙ２＋ｚ２，得
２ｒ罢＝２工，２ｒ昙：２ｙ，２ｒ妻：２ｚ，．．．妻：三，享：上，拿：三ｍ回晓ｍｒ曲ｒ现
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２．２求罢，罢，罢
由ｃ刚：三，得“ｎ口罢：阜．．．罢：÷址：；Ｌ：竺鼍业：
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塑：一＝盍：一二三：一！！二！！竺至：一地：一皇坐
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ｒ２
ｓｉｎ口
ｒ３
ｓｉｎ口
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２３求警，考，警Ｃ＊ｄＶ疵
一６３．
万
方数据
姚久民，石凤良：球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导
由妒詈，得僦２同理詈＝罴＝器
工ＩＧ锋
９罢２詈２孟卷兰
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３结论
将所求得的各式的值代入（４）式，得
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（５）
ｒ２
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古导ｃ，２导，＝吉ｃ２，昙＋，２等，＝吾导＋告
则（５）式变为
等＋等＋导＝砉昙矿争＋赤著汹ｎ秒寿＋
参考文献：
ｆｌ】梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１．５１１．
萨＋萨＋萨２７石（广石）＋忑石虿‘豇棚亩）＋，２ｓｉｎ２臼ａ∞２
・・・在球坐标系中拉普拉斯算符的表达式为【３】△＝专导（ｒ２斋）＋７扔寺（ｓｉｎ目刍）＋
【３】周世勋．量子力学教程［Ｍ】、北京：高等教育出版社，１９７９．６５。
，．２
ｓｊｎ２护ａ口２
［２】四川大学数学系，高等数学教研室．高等数学（第三版，第二册）【Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９６
ＴｈｅＤｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉＶｅｏｆＬａｐｌａｃｅ’ｓｏｐｅｒａｔｏｒｉｎ
ＳｐｈｅｒｉｃａｌＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＳｙｓｔｅｍ
Ｓｍ
Ｆｅｎｇ—ｌｉａｎｇ，ＺＨＡＮＧＨａｉ－ｐｉｎｇ
Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＨｅｂｅｉＴ趾ｇｓｈａＩＩ０６３０００，ｃｈｉｒｌａ）
（ＰｈｙｓｉｃｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，１１趾擎ｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｌｎＴｈｉｓｐａｐｅｒ，ＴｈｅｒｅｐｒｃｓｅｎｔａｌｉＶｅｏｆＬａｐｌａｃｅ’ｓ（）ｐｅ扭ｔｏｆｏｆＳｐｈ嘶ｃａｌ
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ｗｏｒｄｓ：ｐ删ａＪｄｅｒｉＶａｔｉＶｅ；ｓｅｃｏｎｄｐａｎｉａｌｄ两ＶａｔｉＶｅ；Ｌ却ｌａｃｃ’ｓｏｐｅｒａｔｏｒ
责任编辑、校对：孙海祥
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万方数据