二次根式知识点2

二次根式知识点

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：

2

（1）（a）2=a （a≥0）； （2

a  a a（a＞0）

0 （a=0）；

a（a＜0）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根

号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

a≥0，b≥0）；

b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都

适用于二次根式的运算． 勾股定理知识点 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

222

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么abc

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

D

C

E

B

方法一：

4SS正方形EFGH

14ab(ba)2c2

S正方形ABCD

2，，化简可证．

b

A

方法二：

b

a

c

b

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面1

S4abc22abc2

2积与小正方形面积的和为 大正方形面积为

S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

a

b

c

cb

a

a

Aa

111

S梯形(ab)(ab)S梯形2SADESABE2abc2

222，化简得证 方法三：，３.勾股定理的适用范围

c

B

b

Db

E

aC

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三

角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90

，则c

，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实b

，a②际问题

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，若a2b2c2，时，以a，若a2b2c2，c为三边的三角形是直角三角形；c为三边的三角形是钝角三角形；b，b，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 7.逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

二次根式与勾股定理练习题

一、选择题 1、 A．a1



1



2

a1

成立的条件是：（ ）

B．a1 C．a1

D．a1

2

2、把27化成最简二次根式，结果为：（ ）

226

A．33 B．9 C．9

3、下列根式中，最简二次根式为：（ ）

A．4x

2

B．x4

2

3D．9

2

D．(x4)

C．

x 4

4、已知t

D．0

x0，则

x

2

2

x

x0，则

B．设

D．设

xx

2

1

C．设x0，则xx

x0，则

x

2

2

x2

6、与23是同类根式的是：（ ） A． B．32 7、下列各式中正确的是：（ ） A．5 8．二次根式

m13

C． D．

B．2323 C．3ax4x3a4x

130279D．

2(m3)的值是（ ）

A．3 B．2 C．2 D．0

9．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）

2

A．x2y20 B．xy0 C．x

y20 D．xy0

10．当x3时，二次根2x25x7式的值为5，则m等于（ ）

2A． B． C． D．

25

11．已知x22xx10，则x等于（ ）

x

2

A．4 B．±2 C．2 D．±

xx2

12．若x

x

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2 二、填空题

1．化简：（1

；（2

（3

； （4

x0,y0)； （5）204_______（6）

11

= 56

（7

（8

2．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需E

A

F

C

米

A

第3题图 ．

3.已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cm 4.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）

5．若m

33a

。 9a

a1

32

9．若不是二次根式，则x的取值范围是10.已知a>b>0，

三、简答题

1.计算题

（1）

（2）

与的关系是。 8．若x3，则x26x5的值为。

的值为（ ）A

． B．2 C．

2

（3）2.已知：x

． （4）

．（5）48



1

27 4

231

，求x2x1的值。

3.

先将

x值，代入化简后的式子求值。 x

24.已知：y8xx1

1xy

,求代数式22yxxy

2的值。

yx

、5.如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由

3、在，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,求证：

111BC2AC2CD2

A

D

B

二次根式知识点

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：

2

（1）（a）2=a （a≥0）； （2

a  a a（a＞0）

0 （a=0）；

a（a＜0）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根

号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

a≥0，b≥0）；

b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都

适用于二次根式的运算． 勾股定理知识点 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

222

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么abc

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

D

C

E

B

方法一：

4SS正方形EFGH

14ab(ba)2c2

S正方形ABCD

2，，化简可证．

b

A

方法二：

b

a

c

b

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面1

S4abc22abc2

2积与小正方形面积的和为 大正方形面积为

S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

a

b

c

cb

a

a

Aa

111

S梯形(ab)(ab)S梯形2SADESABE2abc2

222，化简得证 方法三：，３.勾股定理的适用范围

c

B

b

Db

E

aC

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三

角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90

，则c

，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实b

，a②际问题

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，若a2b2c2，时，以a，若a2b2c2，c为三边的三角形是直角三角形；c为三边的三角形是钝角三角形；b，b，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 7.逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

二次根式与勾股定理练习题

一、选择题 1、 A．a1



1



2

a1

成立的条件是：（ ）

B．a1 C．a1

D．a1

2

2、把27化成最简二次根式，结果为：（ ）

226

A．33 B．9 C．9

3、下列根式中，最简二次根式为：（ ）

A．4x

2

B．x4

2

3D．9

2

D．(x4)

C．

x 4

4、已知t

D．0

x0，则

x

2

2

x

x0，则

B．设

D．设

xx

2

1

C．设x0，则xx

x0，则

x

2

2

x2

6、与23是同类根式的是：（ ） A． B．32 7、下列各式中正确的是：（ ） A．5 8．二次根式

m13

C． D．

B．2323 C．3ax4x3a4x

130279D．

2(m3)的值是（ ）

A．3 B．2 C．2 D．0

9．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）

2

A．x2y20 B．xy0 C．x

y20 D．xy0

10．当x3时，二次根2x25x7式的值为5，则m等于（ ）

2A． B． C． D．

25

11．已知x22xx10，则x等于（ ）

x

2

A．4 B．±2 C．2 D．±

xx2

12．若x

x

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2 二、填空题

1．化简：（1

；（2

（3

； （4

x0,y0)； （5）204_______（6）

11

= 56

（7

（8

2．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需E

A

F

C

米

A

第3题图 ．

3.已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cm 4.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）

5．若m

33a

。 9a

a1

32

9．若不是二次根式，则x的取值范围是10.已知a>b>0，

三、简答题

1.计算题

（1）

（2）

与的关系是。 8．若x3，则x26x5的值为。

的值为（ ）A

． B．2 C．

2

（3）2.已知：x

． （4）

．（5）48



1

27 4

231

，求x2x1的值。

3.

先将

x值，代入化简后的式子求值。 x

24.已知：y8xx1

1xy

,求代数式22yxxy

2的值。

yx

、5.如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由

3、在，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,求证：

111BC2AC2CD2

A

D

B