柯西不等式(2)011

数学 科学案 序号 4-5 011 高二 年级 6 班 教师 王德鸿 学生 第三讲柯西不等式(2)

☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，进一步理解它们的几何意义;

2. ☻知识情景：

1. 如果a,b,c,dR, 那么a2

b2

2ab，c2

d2

2cd(a2b2)(c2d2)

另一方面，有

(acbd)2a2c2b2d2

2abcd

问题2222

：(ab)(cd)

(acbd)2

???

2. 柯西不等式的证明：

证法10.（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(

)2()2(acbd)2

当且仅当, 等号成立.

证法20

.（构造法） 设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，

∵ f(x)(axc)2(bxd)2 0 恒成立.

. 得证.

证法30

.（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)， 则|m|，|n|.

∵ ||

||||.

. 得证.

3. 柯西不等式的变式： 变式10.

|acbd|

bd；

变式20. 若

a,b,c,dR，

；

变式30. 若x1,y1,x2,y2

R，

变式40.（三角形不等式）设

x,y,x,y,x,y为任意实数，则：

☻新知建构：

前面的柯西不等式，称二维形式的柯西不等式. 意味着还有多维形式的柯西不等式.

1.三维形式的柯西不等式：若a,b,c,d,e,fR，

则 .

当且仅当 时, 等号成立. 2. 柯西不等式的一般形式：

设n为大于1的自然数，ai,bi

R(i1,2,…,n)，则：n

a2

i

i1

n

n

b

2

i

(i)2，

i1

aibi1

其中等号当且仅当

b1b2

bnaa

时成立(当ai0时，约定bi0，i1,2,…,n). 12an

3. 柯西不等式的变式：

n

2

变式1 设a ,则：ai

iR,bi0i(1,2,n(ai)2 . i1bi

bi 等号成立当且仅当biai(1in)

n

变式2 设aibi0(i1,2,

,n), 则：a(a2

ii)

. i1b

iaibi

等号成立当且仅当b1b2bn. 4.

柯西不等式的应用：

例1 已知a,b,c均为正数，且abc1

，求证：

1a1b1

c

9.

n

i

例2 a

已知a1

1，a2，…，an

in

例3 设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求

4x19

yz

的最小值。

例4 在ABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，

求证：(a2b2c2)(

111

sin2Asin2Bsin2

C

)36R2

第 1 页 共 2 页

课后作业

1、 已知a,b,cR且a+b+c=1，求4a14b14c1的最大值。

222

2、已知正数a,b,c满足abc1 证明 a3b3c3abc3

3、已知实数a,b,c,d满足abcd3， a22b23c26d2

5. 试求a的最值.

4、设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，

证明

:

5、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，

求x2+y2+z2

的最小值。(提示: ABC面积

6、（1）已知a,b是正常数,ab,x,y(0,)，

求证：a2

2

2

x

by

(ab)xy

,指出等号成立的条件；

（2）利用（1）的结论求函数f(x)2x912x

(x(0,12)）的最小值，指出取最小值时x的值．

7、设a、b、c为正数且各不相等, 求证：

2229

abbccaabc

。

8、设x,y,zR, 且x+2y+3z=36, 求123

xyz

的最小值．

9、若n是不小于2的正整数，试证

：

4111117234



2n112n2

。

第 2 页 共 2 页

数学 科学案 序号 4-5 011 高二 年级 6 班 教师 王德鸿 学生 第三讲柯西不等式(2)

☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，进一步理解它们的几何意义;

2. ☻知识情景：

1. 如果a,b,c,dR, 那么a2

b2

2ab，c2

d2

2cd(a2b2)(c2d2)

另一方面，有

(acbd)2a2c2b2d2

2abcd

问题2222

：(ab)(cd)

(acbd)2

???

2. 柯西不等式的证明：

证法10.（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(

)2()2(acbd)2

当且仅当, 等号成立.

证法20

.（构造法） 设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，

∵ f(x)(axc)2(bxd)2 0 恒成立.

. 得证.

证法30

.（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)， 则|m|，|n|.

∵ ||

||||.

. 得证.

3. 柯西不等式的变式： 变式10.

|acbd|

bd；

变式20. 若

a,b,c,dR，

；

变式30. 若x1,y1,x2,y2

R，

变式40.（三角形不等式）设

x,y,x,y,x,y为任意实数，则：

☻新知建构：

前面的柯西不等式，称二维形式的柯西不等式. 意味着还有多维形式的柯西不等式.

1.三维形式的柯西不等式：若a,b,c,d,e,fR，

则 .

当且仅当 时, 等号成立. 2. 柯西不等式的一般形式：

设n为大于1的自然数，ai,bi

R(i1,2,…,n)，则：n

a2

i

i1

n

n

b

2

i

(i)2，

i1

aibi1

其中等号当且仅当

b1b2

bnaa

时成立(当ai0时，约定bi0，i1,2,…,n). 12an

3. 柯西不等式的变式：

n

2

变式1 设a ,则：ai

iR,bi0i(1,2,n(ai)2 . i1bi

bi 等号成立当且仅当biai(1in)

n

变式2 设aibi0(i1,2,

,n), 则：a(a2

ii)

. i1b

iaibi

等号成立当且仅当b1b2bn. 4.

柯西不等式的应用：

例1 已知a,b,c均为正数，且abc1

，求证：

1a1b1

c

9.

n

i

例2 a

已知a1

1，a2，…，an

in

例3 设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求

4x19

yz

的最小值。

例4 在ABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，

求证：(a2b2c2)(

111

sin2Asin2Bsin2

C

)36R2

第 1 页 共 2 页

课后作业

1、 已知a,b,cR且a+b+c=1，求4a14b14c1的最大值。

222

2、已知正数a,b,c满足abc1 证明 a3b3c3abc3

3、已知实数a,b,c,d满足abcd3， a22b23c26d2

5. 试求a的最值.

4、设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，

证明

:

5、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，

求x2+y2+z2

的最小值。(提示: ABC面积

6、（1）已知a,b是正常数,ab,x,y(0,)，

求证：a2

2

2

x

by

(ab)xy

,指出等号成立的条件；

（2）利用（1）的结论求函数f(x)2x912x

(x(0,12)）的最小值，指出取最小值时x的值．

7、设a、b、c为正数且各不相等, 求证：

2229

abbccaabc

。

8、设x,y,zR, 且x+2y+3z=36, 求123

xyz

的最小值．

9、若n是不小于2的正整数，试证

：

4111117234



2n112n2

。

第 2 页 共 2 页