授课教案
辅导日期：2016年 月 日 辅导时间： 学员：
二、求值问题 抽象函数的性质一般是用条件恒等式给出的，可通过赋值法解决，赋值需要明确目标，特殊优先，细心研究，反复试验。
★★★★例1. 函数f(x)对任意实数x,y ，均满足f(x+y)=f(x)+2[f(y)]且f(1)≠0, 则f(2001)=_______.
【解析一】令x=y=0（特殊值优先，而f(1)一时难求），得f （0）=0，已经知道一个特殊值的函数值了，就要想办法找函数周期或递推式：令y=0（消元思想），发现没起到消元作用，已知f （0）=0那就令x=0，消去x ，并令y=1（题目提到f(1)≠0，特殊优先）解得f(1)=221, 2发现关于y ²的关系式比较复杂，令y=1（求出f(m)则可以令自变量等于m 以达到消掉次元及化简的作用），可得f(x+1)= f(x)+
（0）=0，易得f(2001)=11, 则f(x+1)- f(x)=, ，递推规律找出，又已知f 222001。 2
【解析二】这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式即f(n+1)与f(n)关系着手：
令x =n , y =1, 得f (n +1) =f (n ) +2[f (1)]2,
f(0+1)=f(0)+2f[(1)], 需求
f(1)=22需求f(1)， 令x=0,y=1,得f(0)，则令x=y=0,得：f(0)=0,∴11n 2001, 即 f (n+1) -f (n)=, 故f (n ) =, ∴f (2001) =. 2222
-1！！！！！y=f(x+2)表示x+2代入f(x+2)的反函数中还是
表示f(x+2)的反函数？反函数上下或左右平移原函数会怎样y=f(x+2)-m的反函数又怎样？下题求f (ϕ(x ))的反函数方式不一定正确
★★★★例2.R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f(x),由y=f(x+1)与y=f(x+2)互为反函数，则f(2009)= .
【解析】由于求的是f(2009)，需找周期或递推公式，则考虑将y=f(x+2)化为f(x)的形式，
1
-1-1-1-1
由y=f(x+2)得其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又y=f(x)为R 上的奇函数，f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4018.本题难点在于由y=f(x+2)得其反函数y=f(x)-2,举个简单的一次函数，令f(x)=y=2x+1则其反函数求解过程是反解x 得x=
数f (x)=y=-1-1-1y -1, 改写x,y 得其反函2x -1-1，又f(x+2)=y=2(x+2)+1,则求y=f(x+2)的过程是反解f(x+2)=2(x+2)+12
x -1y -1中的x 并把x 改写成y ，y 改写成x, 即x+2=改写后即y+2=，化解即可。由以上22
过程我们发现求f (ϕ(x ))的反函数，即令ϕ(y ) = f(x),求解出y 即可。 -1
★★★★★例3. 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.
【解析】考虑g （x ）用f(x)表达的形式，要求g(x)需要知道f(x)解析式，显然通过上面条件无法求出，故考虑f(x)用g(x)表达的形式代入以上条件来寻求g （x ）的性质规律：由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x) ≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)故g(x)=g(x+1) 又赋值得g(1)=1， 故g(2002)=1.
+★★★练1. 已知定义域为R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①f (2) =1，f (6) =1；5
②f (x ⋅y ) =f (x ) +f (y ) ，求f （3），f （9）的值。
【解析】赋值法是解此类问题的常用技巧，可观察已知与未知的联系，巧妙赋值把已知条件欲求问题沟通起来。取x =2，y =3，得f (6) =f (2) +f (3) ，因为f (2) =1，f (6) =
所以f (3) =-1，54 5
8。 5又取x =y =3得f (9) =f (3) +f (3) =-
★★★练2. f(x)的定义域为(0,+∞) ，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，
则f =
【解析】取x=y=2得f(2)=1,取x=y=2
得f = =1 此类题速解法是联系函数模型，可2
在几秒内解出，但必须充分利用条件，准确说f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数模型的必要而不充分条件。如练1.
2
★★★练3. 如果f (x +y ) =f (x ) f (y ), 且f (1) =2, 则f (2) f (4) f (6) f (2000) +++ +的值是。 f (1) f (3) f (5) f (2001)
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)+++=f (1)f (3)f (5)f (7)
【解析】速解法可以看出函数模型为f (n ) =2n , 符合该条件，易得一式=2000，二式=16.也可赋值发现规律，一式令y=1即可，二式赋值将各函数值都求出或找出分子分母关系即可。
★★★练4．对任意整数x , y y =f (x ) 满足：f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +xy +1，若f (1) =1，则f (-8) =（）
A.-1 B.1 C. 19 D. 43
【解析】选C 。易得f(8)=43,又用x=y=0代入得f(0)=-1,最后用x=8,y=-8代入可求，或求出f(0)=-1后，先求f(-1)，再求f(-2)，f(-4)，f(-8)也可。
★★★练5.f(x)为R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x +6) =f (x ) +f (3)成立，若f (1)=2，则f (2005)=（ ）
A . 2005 B. 2 C.1 D.0
【解析】选B ，令x=-3代入，得f(-3)=f(3)=0,所以函数周期为6.
★★★★定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f(2x)，则Y=f(16)为（ ）（A ）
A ）-1-1-111 B） C）8 D）16 816
★★★★
练6. 已知a 为实数，且0
x +y 1对所有x ≤y , 均有f () =(1-a ) f (x ) +af (y )(1) 求a 的值(2) 求f () 的值27
13 +111312) =(1-a ) a 2+a [a +a (1-a )],【解析】(1) 令x =0, y =1, 则f () =a ，令x =0, y =, ∴f () =a , f () =(1-a ) a +a 又f () =f (224422 20+111) =1f (2) ∴f (2) =2b , 同理f (3) =3b , , f (1) =7b ∴f (1) =b =1可解得a =(2) 设f () =b , 则f () =f (2772277777
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3
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二、求值问题 抽象函数的性质一般是用条件恒等式给出的，可通过赋值法解决，赋值需要明确目标，特殊优先，细心研究，反复试验。
★★★★例1. 函数f(x)对任意实数x,y ，均满足f(x+y)=f(x)+2[f(y)]且f(1)≠0, 则f(2001)=_______.
【解析一】令x=y=0（特殊值优先，而f(1)一时难求），得f （0）=0，已经知道一个特殊值的函数值了，就要想办法找函数周期或递推式：令y=0（消元思想），发现没起到消元作用，已知f （0）=0那就令x=0，消去x ，并令y=1（题目提到f(1)≠0，特殊优先）解得f(1)=221, 2发现关于y ²的关系式比较复杂，令y=1（求出f(m)则可以令自变量等于m 以达到消掉次元及化简的作用），可得f(x+1)= f(x)+
（0）=0，易得f(2001)=11, 则f(x+1)- f(x)=, ，递推规律找出，又已知f 222001。 2
【解析二】这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式即f(n+1)与f(n)关系着手：
令x =n , y =1, 得f (n +1) =f (n ) +2[f (1)]2,
f(0+1)=f(0)+2f[(1)], 需求
f(1)=22需求f(1)， 令x=0,y=1,得f(0)，则令x=y=0,得：f(0)=0,∴11n 2001, 即 f (n+1) -f (n)=, 故f (n ) =, ∴f (2001) =. 2222
-1！！！！！y=f(x+2)表示x+2代入f(x+2)的反函数中还是
表示f(x+2)的反函数？反函数上下或左右平移原函数会怎样y=f(x+2)-m的反函数又怎样？下题求f (ϕ(x ))的反函数方式不一定正确
★★★★例2.R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f(x),由y=f(x+1)与y=f(x+2)互为反函数，则f(2009)= .
【解析】由于求的是f(2009)，需找周期或递推公式，则考虑将y=f(x+2)化为f(x)的形式，
1
-1-1-1-1
由y=f(x+2)得其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又y=f(x)为R 上的奇函数，f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4018.本题难点在于由y=f(x+2)得其反函数y=f(x)-2,举个简单的一次函数，令f(x)=y=2x+1则其反函数求解过程是反解x 得x=
数f (x)=y=-1-1-1y -1, 改写x,y 得其反函2x -1-1，又f(x+2)=y=2(x+2)+1,则求y=f(x+2)的过程是反解f(x+2)=2(x+2)+12
x -1y -1中的x 并把x 改写成y ，y 改写成x, 即x+2=改写后即y+2=，化解即可。由以上22
过程我们发现求f (ϕ(x ))的反函数，即令ϕ(y ) = f(x),求解出y 即可。 -1
★★★★★例3. 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.
【解析】考虑g （x ）用f(x)表达的形式，要求g(x)需要知道f(x)解析式，显然通过上面条件无法求出，故考虑f(x)用g(x)表达的形式代入以上条件来寻求g （x ）的性质规律：由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x) ≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)故g(x)=g(x+1) 又赋值得g(1)=1， 故g(2002)=1.
+★★★练1. 已知定义域为R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①f (2) =1，f (6) =1；5
②f (x ⋅y ) =f (x ) +f (y ) ，求f （3），f （9）的值。
【解析】赋值法是解此类问题的常用技巧，可观察已知与未知的联系，巧妙赋值把已知条件欲求问题沟通起来。取x =2，y =3，得f (6) =f (2) +f (3) ，因为f (2) =1，f (6) =
所以f (3) =-1，54 5
8。 5又取x =y =3得f (9) =f (3) +f (3) =-
★★★练2. f(x)的定义域为(0,+∞) ，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，
则f =
【解析】取x=y=2得f(2)=1,取x=y=2
得f = =1 此类题速解法是联系函数模型，可2
在几秒内解出，但必须充分利用条件，准确说f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数模型的必要而不充分条件。如练1.
2
★★★练3. 如果f (x +y ) =f (x ) f (y ), 且f (1) =2, 则f (2) f (4) f (6) f (2000) +++ +的值是。 f (1) f (3) f (5) f (2001)
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)+++=f (1)f (3)f (5)f (7)
【解析】速解法可以看出函数模型为f (n ) =2n , 符合该条件，易得一式=2000，二式=16.也可赋值发现规律，一式令y=1即可，二式赋值将各函数值都求出或找出分子分母关系即可。
★★★练4．对任意整数x , y y =f (x ) 满足：f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +xy +1，若f (1) =1，则f (-8) =（）
A.-1 B.1 C. 19 D. 43
【解析】选C 。易得f(8)=43,又用x=y=0代入得f(0)=-1,最后用x=8,y=-8代入可求，或求出f(0)=-1后，先求f(-1)，再求f(-2)，f(-4)，f(-8)也可。
★★★练5.f(x)为R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x +6) =f (x ) +f (3)成立，若f (1)=2，则f (2005)=（ ）
A . 2005 B. 2 C.1 D.0
【解析】选B ，令x=-3代入，得f(-3)=f(3)=0,所以函数周期为6.
★★★★定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f(2x)，则Y=f(16)为（ ）（A ）
A ）-1-1-111 B） C）8 D）16 816
★★★★
练6. 已知a 为实数，且0
x +y 1对所有x ≤y , 均有f () =(1-a ) f (x ) +af (y )(1) 求a 的值(2) 求f () 的值27
13 +111312) =(1-a ) a 2+a [a +a (1-a )],【解析】(1) 令x =0, y =1, 则f () =a ，令x =0, y =, ∴f () =a , f () =(1-a ) a +a 又f () =f (224422 20+111) =1f (2) ∴f (2) =2b , 同理f (3) =3b , , f (1) =7b ∴f (1) =b =1可解得a =(2) 设f () =b , 则f () =f (2772277777
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