简析太阳直射纬度随时间变化的规律
由广东省地图可测得深圳市大鹏新区大鹏街道在北回归线以南约0.9°。若太阳的直射点在南北回归线之
间匀速移动，那大鹏街道在一年之中正午
时分影子是指南的日子大约只有7天（0.9
×365／47≈7）。然而大鹏街道在一年之中
正午时分影子指南的日子却远不只7天。
为何会远不只7天呢？本文简要分析太阳
直射纬度随时间变化的规律。
以地球的中心为坐标系原点O，以地球的自转轴为Z轴，以过地心且与北半球夏至（以下简称夏至）时太阳中心O，和Z轴所确定的平面垂直的直线为X轴，建立一如上图所示的直角坐标系OXYZ。以地球为参考系（注：不考虑地球的自转），以夏至时为时间的起点，用α0表示夏至时OO，与赤道平面OXY的夹角，且将太阳相对于地球的
运动近似看作为半径R、角速度为ω（ω=2π/T，T等于一年，即地球环绕太阳运动一周所用的时间。）的匀速圆周运动，则由太阳相对地球运动的规律可得：
OO，=R（－sinωt,cosα0cosωt,sinα0cosωt）
用θ表示OO，与Z轴的夹角，则由几何知识可得：
cosθ=OO，·OZ/|OO，||OZ|=sinα0cosωt
用α表示OO，与赤道平面的夹角。显然，此夹角即是太阳直射点所在的纬度角（注：此夹角在下文中将简称为直射纬度，且规定北
纬用正值表示，南纬用负值表示。）。由于α=π/2－θ，故由上式可得：
sinα=sinα0cosωt （1）
由（1）式即可得直射纬度随时间的变化规律：
α=arcsin(sinα0cosωt) α∈[－α0,α0] （2）
由（1）式可求出南北回归线内各纬度在一年内处于直射以及回归直射的时刻。将α0=23.5°、大鹏街道所在的纬度α=22.6°以及ω
=2π/T（T≈365天）代入（1）式，即可求出大鹏街道在一年之中正午时分影子是指南的日子大约有31天。
由（1）式或（2）式对时间求导即可得直射纬度在各时刻的变化快慢和变化方向。由于直射纬度的变化方向简单直观，故在此仅讨论其变化快慢的变化规律。由（1）式或（2）式对时间求导取绝对值即得直射纬度的变化快慢的变化规律：
|α′|=ω(ctg2α0csc2ωt+1)－1/2=ω(1－cos2α0sec2α)1/2 （3）
因为α∈[－α0,α0]，所以由上式可知，直射纬度的变化速度随
|α|减小而增大，随|α|增大而减小。当α=0时，即在ωt=kπ+π/2时（在每年春分日或秋分日），直射纬度变化最快，变化速度等于ωsinα0；当|α|=α0时，即在ωt=kπ这一瞬间时（在每年夏至日
或冬至日），直射纬度变化最慢，变化速度为0。
结合太阳绕地“公转”仔细想想，这两点也是必然的。直观地看，在每年的春分日与秋分日，太阳相对于地球的运动方向与赤道平面的夹角最大，故直射纬度变化最快；到了每年的夏至日与冬至日，太阳
相对于地球的运动方向与赤道平面大致平行，故直射纬度几乎不变。这也是为何正午日影以及昼夜长短，在夏至日与冬至日前后变化慢，在春分日与秋分日前后变化快的原因。
从（3）式还可以看出，直射纬度变化快慢的年平均值，比直射纬度从北纬22.6°一直向北到北回归线、再从北回归线回归到北纬22.6°变化快慢的平均值大很多。也正是因为如此，大鹏街道在一年之中正午时分影子指南的天数远大于7天。
后记：
在初中科学教材中，只是谈到太阳的直射点在一年之中在南北回归线之间来回移动的大致情况，并没有谈到移动快慢的问题。多年来的物理教学，令我养成了追寻定量规律的习惯。我觉得定量的东西，往往更有趣味。于是我就决定探寻太阳的直射点在南北回归线之间移动快慢的问题。
刚开始时我猜想，直射点在南北回归线上的来回运动应当与单摆相似，即也应当是一种近似的简谐振动。但动手分析后发现，这一猜想对从理论上探寻直射纬度的变化规律其实一点帮助都没有。在探寻杆影的指向的变化规律的过程中，我已经明确地认识到所谓的直射点，其实也就是日地中心的连线与地球表面的交点。这样，探寻规律的关键也就是要弄清在地球公转的过程中，这一连线是如何随时间而变的。这也就将问题转化到了太阳的绕地“公转”运动（注：运动是相对的。以太阳为参照物，地球绕日公转；以地球为参照物，太阳绕地公转。有些问题，选择地面为参照物，分析处理起来更为明晰）。
这样思考后，就画了一幅文中所示的坐标系的草图。图一画出来，问题如何处理也就心中有数了。在导出（1）式后，觉得结果与我的猜想差不多；导出（3）式后，结合太阳绕地的公转运动，我才真正明白为何从两至点到两分点的过程中，太阳的直射纬度会变化得越来越快。反过来，这也帮助我进一步地认识了太阳绕地的“公转”运动，使我对这一运动的图景更加明晰了。
在从太阳绕地的“公转”运动领悟到直射纬度变化快慢的规律的那一瞬间，我突然觉得自己以前怎么那么糊涂，糊涂到连太阳“公转”运动的方向与赤道平面的夹角决定了直射纬度的变化快慢这一明显的事实居然都看不出来。这一探寻的经历也使我意识到，在很多情况下，我们要想对事物有较全面而深入的认识，往往就不能仅仅局限于事物本身。“就事论事”，通常是很难的。有时一些貌似关系不大的问题，会出人意料地引导我们从新的视角看待旧的事物，进而无意中获得了对旧的事物的一些更为全面、细致、深入的认识。
有问题，好好想一想，其实是一件很有趣的事！
简析太阳直射纬度随时间变化的规律
由广东省地图可测得深圳市大鹏新区大鹏街道在北回归线以南约0.9°。若太阳的直射点在南北回归线之
间匀速移动，那大鹏街道在一年之中正午
时分影子是指南的日子大约只有7天（0.9
×365／47≈7）。然而大鹏街道在一年之中
正午时分影子指南的日子却远不只7天。
为何会远不只7天呢？本文简要分析太阳
直射纬度随时间变化的规律。
以地球的中心为坐标系原点O，以地球的自转轴为Z轴，以过地心且与北半球夏至（以下简称夏至）时太阳中心O，和Z轴所确定的平面垂直的直线为X轴，建立一如上图所示的直角坐标系OXYZ。以地球为参考系（注：不考虑地球的自转），以夏至时为时间的起点，用α0表示夏至时OO，与赤道平面OXY的夹角，且将太阳相对于地球的
运动近似看作为半径R、角速度为ω（ω=2π/T，T等于一年，即地球环绕太阳运动一周所用的时间。）的匀速圆周运动，则由太阳相对地球运动的规律可得：
OO，=R（－sinωt,cosα0cosωt,sinα0cosωt）
用θ表示OO，与Z轴的夹角，则由几何知识可得：
cosθ=OO，·OZ/|OO，||OZ|=sinα0cosωt
用α表示OO，与赤道平面的夹角。显然，此夹角即是太阳直射点所在的纬度角（注：此夹角在下文中将简称为直射纬度，且规定北
纬用正值表示，南纬用负值表示。）。由于α=π/2－θ，故由上式可得：
sinα=sinα0cosωt （1）
由（1）式即可得直射纬度随时间的变化规律：
α=arcsin(sinα0cosωt) α∈[－α0,α0] （2）
由（1）式可求出南北回归线内各纬度在一年内处于直射以及回归直射的时刻。将α0=23.5°、大鹏街道所在的纬度α=22.6°以及ω
=2π/T（T≈365天）代入（1）式，即可求出大鹏街道在一年之中正午时分影子是指南的日子大约有31天。
由（1）式或（2）式对时间求导即可得直射纬度在各时刻的变化快慢和变化方向。由于直射纬度的变化方向简单直观，故在此仅讨论其变化快慢的变化规律。由（1）式或（2）式对时间求导取绝对值即得直射纬度的变化快慢的变化规律：
|α′|=ω(ctg2α0csc2ωt+1)－1/2=ω(1－cos2α0sec2α)1/2 （3）
因为α∈[－α0,α0]，所以由上式可知，直射纬度的变化速度随
|α|减小而增大，随|α|增大而减小。当α=0时，即在ωt=kπ+π/2时（在每年春分日或秋分日），直射纬度变化最快，变化速度等于ωsinα0；当|α|=α0时，即在ωt=kπ这一瞬间时（在每年夏至日
或冬至日），直射纬度变化最慢，变化速度为0。
结合太阳绕地“公转”仔细想想，这两点也是必然的。直观地看，在每年的春分日与秋分日，太阳相对于地球的运动方向与赤道平面的夹角最大，故直射纬度变化最快；到了每年的夏至日与冬至日，太阳
相对于地球的运动方向与赤道平面大致平行，故直射纬度几乎不变。这也是为何正午日影以及昼夜长短，在夏至日与冬至日前后变化慢，在春分日与秋分日前后变化快的原因。
从（3）式还可以看出，直射纬度变化快慢的年平均值，比直射纬度从北纬22.6°一直向北到北回归线、再从北回归线回归到北纬22.6°变化快慢的平均值大很多。也正是因为如此，大鹏街道在一年之中正午时分影子指南的天数远大于7天。
后记：
在初中科学教材中，只是谈到太阳的直射点在一年之中在南北回归线之间来回移动的大致情况，并没有谈到移动快慢的问题。多年来的物理教学，令我养成了追寻定量规律的习惯。我觉得定量的东西，往往更有趣味。于是我就决定探寻太阳的直射点在南北回归线之间移动快慢的问题。
刚开始时我猜想，直射点在南北回归线上的来回运动应当与单摆相似，即也应当是一种近似的简谐振动。但动手分析后发现，这一猜想对从理论上探寻直射纬度的变化规律其实一点帮助都没有。在探寻杆影的指向的变化规律的过程中，我已经明确地认识到所谓的直射点，其实也就是日地中心的连线与地球表面的交点。这样，探寻规律的关键也就是要弄清在地球公转的过程中，这一连线是如何随时间而变的。这也就将问题转化到了太阳的绕地“公转”运动（注：运动是相对的。以太阳为参照物，地球绕日公转；以地球为参照物，太阳绕地公转。有些问题，选择地面为参照物，分析处理起来更为明晰）。
这样思考后，就画了一幅文中所示的坐标系的草图。图一画出来，问题如何处理也就心中有数了。在导出（1）式后，觉得结果与我的猜想差不多；导出（3）式后，结合太阳绕地的公转运动，我才真正明白为何从两至点到两分点的过程中，太阳的直射纬度会变化得越来越快。反过来，这也帮助我进一步地认识了太阳绕地的“公转”运动，使我对这一运动的图景更加明晰了。
在从太阳绕地的“公转”运动领悟到直射纬度变化快慢的规律的那一瞬间，我突然觉得自己以前怎么那么糊涂，糊涂到连太阳“公转”运动的方向与赤道平面的夹角决定了直射纬度的变化快慢这一明显的事实居然都看不出来。这一探寻的经历也使我意识到，在很多情况下，我们要想对事物有较全面而深入的认识，往往就不能仅仅局限于事物本身。“就事论事”，通常是很难的。有时一些貌似关系不大的问题，会出人意料地引导我们从新的视角看待旧的事物，进而无意中获得了对旧的事物的一些更为全面、细致、深入的认识。
有问题，好好想一想，其实是一件很有趣的事！