数学必修5知识点
第二章 数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项）间的关系的公式． 11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
12、由三个数a ，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a 与b 的等差中项．若b =
a +c
，则称b 为a 与c 的等差中项． 2
13、若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则a n 14、通项公式的变形： a n =a m +(n -m )d ；d =
=a 1+(n -1)d ．
a n -a 1a n -a m
d =；．
n -1n -m
*
15、若{a n }是等差数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N），则a m +a n *若{a n }是等差数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N），则2a n
=a p +a q ；
=a p +a q ．
16、等差数列的前n 项和的公式：（1）S n =
n (n -1)n (a 1+a n )
S =na +d ． ；（2）n 1
22
17、等差数列{a n }的前n 项和S n 和a n 的关系：
⎧S 1(n =1)
（1）等差数列{a n }的前n 项和S n 与a n 有如下关系：a n =⎨
S -S (n ≥2) n -1⎩n
（2）若已知等差数列
{a n }的前n 项和S n 求通项公式a n ，要分两步进行：
①先求n ≥2时，a n =S n -S n -1；
⎧S 1(n =1)
②再令n =1求得a 1. 若a 1=S 1，则a n 即为所求；若a 1≠S 1，则a n =⎨，
S -S (n ≥2) n -1⎩n
即必须表示为分段函数形式.
18、等差数列的前n 项和S n 的性质： （1）项数（下标）的“等和”性质：S n =（2）项的个数的“奇偶”性质：
*
①若项数为2n n ∈N，则S 2n
n (a 1+a n )n (a m +a n -m +1)
= 22
()
=n (a n +a n +1)，且S 偶-S 奇=nd ，
偶
S 奇a
=n ． S 偶a n +1
奇
*
②若项数为2n +1n ∈N，则S 2n +1=(2n +1)a n +1，且S
()
-S
=-a n +1，S
偶:
S
奇
=n :n +1
（3）“片段和”性质：等差数列{a n }中，公差为d ，前k 项的和为S k ，则S k 、S 2k -k 、
S 3k -2k ，……，S mk -(m -1) k ，……构成公差为k 2d 的等差数列.
19、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
20、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若
G 2=ab ，则称G 为a 与b 的等比中项．
21、若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则a n =a 1q n -1．
22、通项公式的变形：
a n =a m q
n -m
；q
n -1
a n n -m a n
q =；． =
a m a 1
23、若{a n }是等比数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；若{a n }是等比数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则a n
2
=a p ⋅a q ．
⎧na 1(q =1)
⎪
24、等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n =⎨a 1(1-q n )a -a q ．
1n =(q ≠1)⎪
1-q 1-q ⎩
25、等比数列的前n 项和的性质： （1）项的个数的“奇偶”性质：
*
①若项数为2n n ∈N，则
()
S 偶S 奇
=q
a 1+a 2n +2
（q ≠±1）
1+q
*
②若项数为2n +1n ∈N，则S
()
奇
-S 偶=
（2）“片段和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前k 项的和为S k (S k ≠0) ，则S k 、S 2k -k 、
S 3k -2k ，……，S mk -(m -1) k ，……构成公比为q k 的等比数列.
（3）“相关和”性质：S n +m 26、数列的通项公式的求法
（1）观察法（2）代换法（3）迭代法（4）累加法（5）累乘法（6）待定系数法 27、数列的前n 项和的求法
（1）公式法（2）倒序相加法（3）裂项相消法（4）错位相减法（5）分段求和法
=S n +q n ⋅S m
数列单元测试题
一. 选择题：（每题4分，共48分） 1. 在数列A. -
{a }中, a
n
1
=
13
,
a n =(-1) 2a n -1(n ≥2) , 则a 5
n
=( )
816816
B. C. - D. 3333
2. 在等差数列
3
6
9
{a }
n
中,
a +a +a
1
4
7
=39 ,
a +a +a =
2
5
8
33 则
a +a +a =( )
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21 3. 设
{a }是递增等差数列, 前三项的和是12, 前三项的积为48, 则它的首项是( )
n
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 在等差数列
{a }中, 若a +a +a +a =8 , 则a =( )
n
39151711
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5. 等差数列前10项和为100，前100项和为10。则前110项的和为
A ．-90 B ．90 C ．-110 D ．10
6．两个等差数列，它们的前n 项和之比为
5n +3
，则这两个数列的第9项之比2n -1
是（ ）
5887A ． B ． C ． D ．
3534
7. 设等比数列｛a n ｝中, 每项均为正数, 且a 3·a 8=81,log3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于
A.5 B.10 C.20 D.40 8. 已知等比数列的公比为2, 若前4项之和为1, 则前8项之和为( ) A.15 B.17 C.19 D.21 9. 数列1 ,
n
a , a 2 , …… , a n -1 , ……的前N 项和为( )
n +1
n +2
1-1-1- A. B. C. D. 均不正确 1-a 1-a 1-a
10. 设直角三角形ABC 三边成等比数列, 公比为q, 则q 的值为( )
A.2 B.
2
5-1
C. 25+1
D. 25±1
2
11. 若数列1,2cos θ,22cos 2θ,23cos 3θ, , 前100项之和为0，则θ的值为（ ） A. k π±
π
3
(k ∈Z ) B. 2k π±
π
3
(k ∈Z ) C. 2k π±
2π
(k ∈Z ) D. 以上的答案均3
不对
12. 设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成
A. 等差 B. 等比 C. 非等差也非等比 D. 既等差也等比
二. 填空题：（每题4分，共16分） 13．在等差数列则a 5+a 8
{a }中，a 、a
n
3
是方程x 10
2
-3x -5=0的两根，
=
14. 已知数列为
{a }的通项公式a
n
n
=
，若它的前n 项和为10，则项数n
15. 小于200的自然数中被7除余3的所有的数的和是______________。 16. 等差数列5，8，11，……与等差数列3，8，13，……都有100项，那么这两个数列相同的项共有______________项。
三、解答题（共36分）
17. 已知a , b , c 成等差数列。求证:a 2-bc , b 2-ac , c 2-ab 是等差数列。（8分）
18. 一个等比数列{a n }中，a 1+a 4=133，a 2+a 3=70，求这个数列的通项公式。（8分）
19. 数列{a n }中, 当n 为奇数时, a n =5n +1, 当n 为偶数时, a n =2, 若数列{a n }共有2m
(m ∈N ) 项。求这个数列的前2m 项的和S 2m 。（12分）
n
2
20. 设等差数列{a n }的前n 项和为s n ，已知a 3=12，且s 12>0, s 13
（2） 问前几项和最大？并说明理由。
数学必修5知识点
第二章 数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项）间的关系的公式． 11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
12、由三个数a ，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a 与b 的等差中项．若b =
a +c
，则称b 为a 与c 的等差中项． 2
13、若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则a n 14、通项公式的变形： a n =a m +(n -m )d ；d =
=a 1+(n -1)d ．
a n -a 1a n -a m
d =；．
n -1n -m
*
15、若{a n }是等差数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N），则a m +a n *若{a n }是等差数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N），则2a n
=a p +a q ；
=a p +a q ．
16、等差数列的前n 项和的公式：（1）S n =
n (n -1)n (a 1+a n )
S =na +d ． ；（2）n 1
22
17、等差数列{a n }的前n 项和S n 和a n 的关系：
⎧S 1(n =1)
（1）等差数列{a n }的前n 项和S n 与a n 有如下关系：a n =⎨
S -S (n ≥2) n -1⎩n
（2）若已知等差数列
{a n }的前n 项和S n 求通项公式a n ，要分两步进行：
①先求n ≥2时，a n =S n -S n -1；
⎧S 1(n =1)
②再令n =1求得a 1. 若a 1=S 1，则a n 即为所求；若a 1≠S 1，则a n =⎨，
S -S (n ≥2) n -1⎩n
即必须表示为分段函数形式.
18、等差数列的前n 项和S n 的性质： （1）项数（下标）的“等和”性质：S n =（2）项的个数的“奇偶”性质：
*
①若项数为2n n ∈N，则S 2n
n (a 1+a n )n (a m +a n -m +1)
= 22
()
=n (a n +a n +1)，且S 偶-S 奇=nd ，
偶
S 奇a
=n ． S 偶a n +1
奇
*
②若项数为2n +1n ∈N，则S 2n +1=(2n +1)a n +1，且S
()
-S
=-a n +1，S
偶:
S
奇
=n :n +1
（3）“片段和”性质：等差数列{a n }中，公差为d ，前k 项的和为S k ，则S k 、S 2k -k 、
S 3k -2k ，……，S mk -(m -1) k ，……构成公差为k 2d 的等差数列.
19、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
20、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若
G 2=ab ，则称G 为a 与b 的等比中项．
21、若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则a n =a 1q n -1．
22、通项公式的变形：
a n =a m q
n -m
；q
n -1
a n n -m a n
q =；． =
a m a 1
23、若{a n }是等比数列，且m +n =p +q （m 、n 、p 、q ∈N*），则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；若{a n }是等比数列，且2n =p +q （n 、p 、q ∈N*），则a n
2
=a p ⋅a q ．
⎧na 1(q =1)
⎪
24、等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n =⎨a 1(1-q n )a -a q ．
1n =(q ≠1)⎪
1-q 1-q ⎩
25、等比数列的前n 项和的性质： （1）项的个数的“奇偶”性质：
*
①若项数为2n n ∈N，则
()
S 偶S 奇
=q
a 1+a 2n +2
（q ≠±1）
1+q
*
②若项数为2n +1n ∈N，则S
()
奇
-S 偶=
（2）“片段和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前k 项的和为S k (S k ≠0) ，则S k 、S 2k -k 、
S 3k -2k ，……，S mk -(m -1) k ，……构成公比为q k 的等比数列.
（3）“相关和”性质：S n +m 26、数列的通项公式的求法
（1）观察法（2）代换法（3）迭代法（4）累加法（5）累乘法（6）待定系数法 27、数列的前n 项和的求法
（1）公式法（2）倒序相加法（3）裂项相消法（4）错位相减法（5）分段求和法
=S n +q n ⋅S m
数列单元测试题
一. 选择题：（每题4分，共48分） 1. 在数列A. -
{a }中, a
n
1
=
13
,
a n =(-1) 2a n -1(n ≥2) , 则a 5
n
=( )
816816
B. C. - D. 3333
2. 在等差数列
3
6
9
{a }
n
中,
a +a +a
1
4
7
=39 ,
a +a +a =
2
5
8
33 则
a +a +a =( )
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21 3. 设
{a }是递增等差数列, 前三项的和是12, 前三项的积为48, 则它的首项是( )
n
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 在等差数列
{a }中, 若a +a +a +a =8 , 则a =( )
n
39151711
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5. 等差数列前10项和为100，前100项和为10。则前110项的和为
A ．-90 B ．90 C ．-110 D ．10
6．两个等差数列，它们的前n 项和之比为
5n +3
，则这两个数列的第9项之比2n -1
是（ ）
5887A ． B ． C ． D ．
3534
7. 设等比数列｛a n ｝中, 每项均为正数, 且a 3·a 8=81,log3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于
A.5 B.10 C.20 D.40 8. 已知等比数列的公比为2, 若前4项之和为1, 则前8项之和为( ) A.15 B.17 C.19 D.21 9. 数列1 ,
n
a , a 2 , …… , a n -1 , ……的前N 项和为( )
n +1
n +2
1-1-1- A. B. C. D. 均不正确 1-a 1-a 1-a
10. 设直角三角形ABC 三边成等比数列, 公比为q, 则q 的值为( )
A.2 B.
2
5-1
C. 25+1
D. 25±1
2
11. 若数列1,2cos θ,22cos 2θ,23cos 3θ, , 前100项之和为0，则θ的值为（ ） A. k π±
π
3
(k ∈Z ) B. 2k π±
π
3
(k ∈Z ) C. 2k π±
2π
(k ∈Z ) D. 以上的答案均3
不对
12. 设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成
A. 等差 B. 等比 C. 非等差也非等比 D. 既等差也等比
二. 填空题：（每题4分，共16分） 13．在等差数列则a 5+a 8
{a }中，a 、a
n
3
是方程x 10
2
-3x -5=0的两根，
=
14. 已知数列为
{a }的通项公式a
n
n
=
，若它的前n 项和为10，则项数n
15. 小于200的自然数中被7除余3的所有的数的和是______________。 16. 等差数列5，8，11，……与等差数列3，8，13，……都有100项，那么这两个数列相同的项共有______________项。
三、解答题（共36分）
17. 已知a , b , c 成等差数列。求证:a 2-bc , b 2-ac , c 2-ab 是等差数列。（8分）
18. 一个等比数列{a n }中，a 1+a 4=133，a 2+a 3=70，求这个数列的通项公式。（8分）
19. 数列{a n }中, 当n 为奇数时, a n =5n +1, 当n 为偶数时, a n =2, 若数列{a n }共有2m
(m ∈N ) 项。求这个数列的前2m 项的和S 2m 。（12分）
n
2
20. 设等差数列{a n }的前n 项和为s n ，已知a 3=12，且s 12>0, s 13
（2） 问前几项和最大？并说明理由。