知识点总结:第二章_平面向量

第二章 平面向量知识点

1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：

ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；

②结合律：abcabc；③a00aa． ⑸坐标运算：设ax1,y1，则abx2,y2，bxy1xy2,1

2



C

．

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设ax1,y1，则abx2,y2，bxy1xy2,1设、两点的坐标分别为

2

a



b

．



x1,y1

，

x2,y2

，则

abCC

x1

x,y12

．y2

4、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，

a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab． ⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y． 5、向量共线定理：

向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．





设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线． 6、平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e1（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 2e2．7、分点坐标公式：

设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，点的

xx2y1y2坐标是1（当1时，就为中点公式。） ,．

11



8、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，ab

ab；aaa2a或a．③abab． ⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc． ⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

若a

x,y，则ax2y2，或a． 设ax1,y1，bx2,y2，则． ab1x2x1y2y0

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，

是a与b的夹角，则

2

2







cos

abab



22

练 习 题

1、若AB(3,5)，AC(1,7), 则BC（ ）

A．（－2，－2） B．（－2，2） C．（4，12）

D．（－4,－12）

→＝(1，－1)，则向量1→－3→＝ ( ) 2、已知平面向量→＝(1，1)，aba2b2A、(－2，－1) B、(－2，1) C、(－1，0) D、(－1，2)

3、设a=(1,－2)，b=(－3,4)，c=(3，2),，则(a－2b)·c=（ ）

A.(10，－8) B、0 C、1 D、（21，－20） 4、已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(31)，，且BC2AD，则顶点D的坐标为（ ）

17

2) D．(1，3) A．2 B．2， C．(3，

22

5、已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab与a垂直，则是（ ）

A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 6、若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b

|=，则b=（

A．（－1，2）

B．（－3，6）

C．（3，－6）

D．（－3，6）或（3，－7、已知向量OM(3,2),ON(5,1),则1

2

MN等于（

） A．(8,1) B．(8,1) C．(4,1

2

)

D．(4,1

2

)

8、已知向量(3,1),(1,2),则32的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．(7,1)

C．(7,1)

D．(7,1)

9、已知a(1,3),b(x,1),且∥，则x等于（

） A．3

B．3

C．13

D．

13

10、若(3,4),(5,12),则与的夹角的余弦值为（ ）

A．

633365

B．

65

C．

3365

D．

6365

11

46，m与n的夹角是135，则mn等于（ ）

A．12

B．2

C．2

D．12

12、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3,2)

B．(2,3)

C．(4,6)

D．(3,2)

13、已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x)满足，则x的值为(

)

A．3

B．6

C．7

D．9

14、设两个非零向量,不共线，且k与k共线，则k的值为(

)

A．1

B．1

C．1

D．0

） 6）

第二章 平面向量知识点

1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：

ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；

②结合律：abcabc；③a00aa． ⑸坐标运算：设ax1,y1，则abx2,y2，bxy1xy2,1

2



C

．

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设ax1,y1，则abx2,y2，bxy1xy2,1设、两点的坐标分别为

2

a



b

．



x1,y1

，

x2,y2

，则

abCC

x1

x,y12

．y2

4、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，

a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab． ⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y． 5、向量共线定理：

向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．





设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线． 6、平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e1（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 2e2．7、分点坐标公式：

设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，点的

xx2y1y2坐标是1（当1时，就为中点公式。） ,．

11



8、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，ab

ab；aaa2a或a．③abab． ⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc． ⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

若a

x,y，则ax2y2，或a． 设ax1,y1，bx2,y2，则． ab1x2x1y2y0

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，

是a与b的夹角，则

2

2







cos

abab



22

练 习 题

1、若AB(3,5)，AC(1,7), 则BC（ ）

A．（－2，－2） B．（－2，2） C．（4，12）

D．（－4,－12）

→＝(1，－1)，则向量1→－3→＝ ( ) 2、已知平面向量→＝(1，1)，aba2b2A、(－2，－1) B、(－2，1) C、(－1，0) D、(－1，2)

3、设a=(1,－2)，b=(－3,4)，c=(3，2),，则(a－2b)·c=（ ）

A.(10，－8) B、0 C、1 D、（21，－20） 4、已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(31)，，且BC2AD，则顶点D的坐标为（ ）

17

2) D．(1，3) A．2 B．2， C．(3，

22

5、已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab与a垂直，则是（ ）

A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 6、若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b

|=，则b=（

A．（－1，2）

B．（－3，6）

C．（3，－6）

D．（－3，6）或（3，－7、已知向量OM(3,2),ON(5,1),则1

2

MN等于（

） A．(8,1) B．(8,1) C．(4,1

2

)

D．(4,1

2

)

8、已知向量(3,1),(1,2),则32的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．(7,1)

C．(7,1)

D．(7,1)

9、已知a(1,3),b(x,1),且∥，则x等于（

） A．3

B．3

C．13

D．

13

10、若(3,4),(5,12),则与的夹角的余弦值为（ ）

A．

633365

B．

65

C．

3365

D．

6365

11

46，m与n的夹角是135，则mn等于（ ）

A．12

B．2

C．2

D．12

12、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3,2)

B．(2,3)

C．(4,6)

D．(3,2)

13、已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x)满足，则x的值为(

)

A．3

B．6

C．7

D．9

14、设两个非零向量,不共线，且k与k共线，则k的值为(

)

A．1

B．1

C．1

D．0

） 6）