高考数学常考的100个基础知识点
广州市育才中学 邓军民 整理
1．德摩根公式C U （A ∩B ）= Cu A ∪C u B ；C U (A B ) =C U A C U B 。
2．A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B⊆C U A⇔A ∩C U B=φ⇔C U A∪B =R 3．card （A ∪B ）=cardA +cardB －card （A ∩B ） 4．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）； ②顶点式f （x ）=a （x －h ）2+k（a ≠0）； ③零点式f （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）。 5．设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2 那么
(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]>0⇔
f (x 1) -f (x 2)
>0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；
x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]
设函数y = f （x ）在某个区间内可导，如果f ′（x ） > 0 ，则f （x ） 为增函数；如果f ′（x ）
6．函数y = f （x ） 的图象的对称性: ① 函数y = f （x ） 的图象关于直线x = a 对称⇔ f （a +x ）= f （a －x ）⇔f （2a －x ）= f （x ）。 7．两个函数图象的对称性：
（1）函数y = f （x ）与函数y = f （－x ）的图象关于直线x = 0（即y 轴）对称。 （2）函数y = f （x ） 和y = f
-m n
－1
（x ） 的图象关于直线y =x 对称。
8．分数指数幂a =
1
a
m
（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。
分数指数幂a
-
m n
=
1
m a n
（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。
9．log a N=b ⇔a b =N （a >0，a ≠1，N>0）
10．对数的换底公式
log a N =
log m N n n
，推论log a m b =log a b
m log m a
⎧s 1，n =1
11．a n =⎨− ≥（ 数列{ a n } 的前n 项的和为S n =a 1+a 2 +…+a n ）。
s -s ，n ≥2n -1⎩n
（注意此公式第2 行顺推与逆推的应用，这是递推数列的常用公式，可以达到不同的目的） 12．等差数列的通项公式a n =a 1+（n －1）d =dn +a 1－d （n ∈N *）* 其前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n 2222
n
13．等比数列的通项公式a n =a 1q -1=
a 1n
·q (n ∈N *) ； q
⎧a 1-a n q n ) ⎧a 1(1-q n )
⎪⎪, q ≠1, q ≠1
其前n 项的和公式S n =⎨1-q 或S n =⎨1-q
⎪na , q =1⎪na 1, q =11⎩⎩
（小心：解答题利用错位相减法时要特别注意讨论q=1的情况） 14．同角三角函数的基本关系式 s i n 2θ+ cos2θ=1，tan θ=15．和角与差角公式
s i n （α±β）=si n αcos β±cos αs i n β； cos （α±β）=cosαcos β s i n αs i n β； tan （α±β）=
sin θ
, tan θ·⋅cot θ=1 cos θ
tan α±tan β
。
1 tan αtan β
sin(α+β) sin(α-β) =sin 2α-sin 2α（平方正弦公式）；
cos （α+β）cos （α−β）=cos2α−s i n2β（平方余弦公式）；
（辅助角ϕ所在象限由点（a ，b ）的象限决定，。tan ϕ=）a sin α+b cos α=a 2+b 2sin(α+ϕ)
（建议利用ϕ的正弦和余弦来确定其位于哪个象限，这样比较好理解） 16．二倍角公式s i n 2α = 2si n α·cos α。
b
a
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α⋅tan 2α=
2tan α
。 2
1-tan α
17．三角函数的周期公式 函数y =si n （ωx +ϕ），x ∈R 及函数y = cos（ωx +ϕ），x ∈R （A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T =
2ππ
；函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+，k ∈Z （A ，ω，ϕω2
为常数，且A ≠0，ω>0）的周期T =
π
。（注意ω小于0的函数周期的求法） ω
18．正弦定理
a b c
===2R 。（学会利用后面的2R ） sin A sin B sin C
19．余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cosA ；b 2=c 2+a 2−2ca cosB ；c 2=a 2+b 2−2ab cosC 。 （注意其变形公式） 20．面积定理 （1）S =
111
ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）。 222111
ab sin C =bc sin A =ca sin B 。 222
（2）S =
21．三角形内角和定理 在△ABC 中，有
A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔
C πA +B
=-⇔2C =2π-2(A +B ) 。 222
（很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系） 22．平面两点间的距离公式
d A ，B
→=|AB |=AB ⋅AB =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2（A （x 1，y 1），B （x 2，y 2））。
23．向量的平行与垂直 设a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，且b ≠0，则
a //b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0a ⊥b (a ≠0) ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0
，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，P (x ，y ) 是线段P 1P 2的分点，λ是实数，且24．线段的定比分公式 设P 1(x 1
P 1P =λPP 2，则
→→
x 1+λx 2⎧x =⎪⎪1+λ
⎨
⎪y =y 1+λy 2⎪1+λ⎩
（这个公式很重要，不要记错！）
25．三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2) 、C (x 3，y 3) ，则△ABC 的重心的坐标是G (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
) 。
33
→→→⎧x ' =x +h ⎧x =x ' -h
26．点的平移公式⎨⇔⎨⇔OP ' =OP +PP ' （图形F 上的任意一点P （x ，y ）
y ' =y +k y =y ' -k ⎩⎩
在平移后图形F ' 上的对应点为P ' (x ' ，y ' ) ，且PP ' 的坐标为（h ，k ））。
（要注意区别新坐标、旧坐标，区别新方程和旧方程，不要混淆，解答题务必要体现以上公式的
使用过程，关键步骤不要省） 27．常用不等式：
（1）a ，b ∈R ⇒a 2+b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“=”号）。 （2）a ，b ∈R ⇒
+
→
a +b
≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）。 2
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc （a >0，b >0，c >0）。
（4）柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2，a ，b ，c ，d ∈R 。（建议：了解一下，尝试用向量数量积的方法证明之） （5）|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b | 28．极值定理 已知x ，y 都是正数，则有
（1）如果积xy 是定值p ，那么当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）如果和x +y 是定值s ，那么当x =y 时积xy 有最大值s 2。
29．一元二次不等式ax 2 +bx +c >0（或0），如果a 与ax 2 +bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2 + bx + c 异号，则其解集在两根之间。简言之：同号两根之外，异号两根之间。
14
x 1
x x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1
（这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图象特点寻找约束条件就可以解决问题） 30．含有绝对值的不等式当a > 0时，有
|x |a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
31．无理不等式
（1）
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) >g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
（2）
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) >g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨
⎩g (x )
⎩f (x ) >[g (x )]⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) 0
⎪2f (x )
（3）
32．指数不等式与对数不等式 （1）当a >1时，
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0
⎪
⇔f (x ) >g (x ) ；log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
（2）当0
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
33．斜率公式 k =
y 2-y 1
(P ，y 1) 、P 2(x 2，y 2)) 1(x 1
x 2-x 1
（很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数型结合思想的重要体现）
34．直线的四种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) （直线l 过点P 1(x 1，y 1) ，且斜率为k ）。 （2）斜截式 y =kx +b （b 为直线l 在y 轴上的截距）。
（注意：（1）截距不是距离；（2）过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）
（3）两点式
y -y 1x -x 1
，y 1) 、P 2(x 2，y 2) （x 1≠x 2））。 =(y 1≠y 2) （P 1(x 1
y 2-y 1x 2-x 1
（4）一般式A x +By +C =0（其中A 、B 不同时为0）。 35．两条直线的平行和垂直
（1）若l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2 ①l 1//l 2⇔k 1=k 2，b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1
（2）若l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，
①l 1//l 2⇔
A 1B 1C 1
=≠； A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0；
36．夹角公式 tan α=|
k 2-k 1
|。（l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，k 1k 2≠-1）
1+k 2k 1
π。 2
（要区别于直线a 到直线b 的角的求解公式）。直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是
37．点到直线的距离 d =
|Ax 0+By 0+C |
A +B
2
2
（点P （x 0，y 0），直线l ：Ax +By +C =0）。
38．圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)
（3）圆的参数方程 ⎨
θ⎧x =a +r c o s
y =b +r s i n θ⎩
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0（圆的直径的端点是A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2））。（可利用向量垂直理解之）
39．椭圆
x 2a 2
+
⎧x =a cos θ
的参数方程是。 =1(a >b >0) ⎨2
y =b sin θb ⎩
y 2
（圆和椭圆的参数方程一定要过关）
a 2a 2
40．椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式|PF 1|=e (x +) ，|PF 2|=e (-x ) 。
c c a b
（自己还可以适当化简）
x 2y 2
41．双曲线
x 2a
2
+
y 2b
2
=1(a >0，b >0) 的焦半径公式
a 2a 2
|PF 1|=|e (x +) |，|PF 2|=|e (-x ) |。
c c
（点p 在左支或者右支的时候，上面的公式都可以去绝对值符号的，作题时自己灵活处理）
2
y 0
42．抛物线y =2px 上的动点可设为P ( ，y 0) 或P （2pt 2，2pt ）或P （x ，y ），其中y 2=2px 。
2p
2
（强烈建议理解：以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切）
b 24ac -b 2
43．二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +(a ≠0) 的图像是抛物线：
2a 4a
2
b 4ac -b 2
（1）顶点坐标为（-）； 2a 4a
44．直线与圆锥曲线相交的弦长公式
|AB |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2或
|AB |=(1+k 2)(x 2-x 1) 2=|x 1-x 2|+tan 2α=|y 1-y 2|+cot 2α
（注意和韦达定理结合使用）
（弦端点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由方程⎨
⎧y =kx +b 2
消去y 得到ax +bx +c =0，△>0，
⎩F (x ，y ) =0
α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧）
45．圆锥曲线的对称问题：曲线F （x ，y ）=0关于点P （x 0，y 0）成中心对称的曲线是
F (2x 0-x ，2y 0-y ) =0。
（可以利用重点坐标公式推导之）。
46．对于一般的二次曲线Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0，用x 0x 代x ，用y 0y 代y 2，用
2
x 0y +xy 0x +x y +y
代入xy ，用0代x ，用0代入y 即得方程 222
x 0y +xy 0x +x y +y
+Cy 0y +D ⋅0+E ⋅0+F =0，曲线的切线、切点弦方程均222
Ax 0x +B ⋅
可由此方程得到。
47．共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a ∥b ⇔ 存在实数λ使a =λb 。
→→→→
48．对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =x OA +y OB +z OC ，则四点P 、A 、B 、
C 是共面⇔x +y +z=1。
49．空间两个向量的夹角公式cos=
a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
2a 1
+
2a 2
+
2a 3b 122+b 22+b 3
（a =(a 1，a 2，a 3) ，
b =(b 1，b 2，b 3) ）。
→→
→AB ⋅m
50．直线AB 与平面所成角β=arcsin （m 为平面α的法向量）。 |OP |⋅|m |
→→
51．二面角α−l −β的平面角θ=arccos 法向量）。
|m ||n |
或π-arccos （m ，n 为平面α，β的
|m ||n |
m ⋅n
→→
m ⋅n
→→
52．设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ。则cos θ=cos θ1cos θ2。 53．空间两点间的距离公式 若A (x 1，y 1，z 1) ，B (x 2，y 2，z 2) ，则
d A ，B
→=|AB |=AB ⋅AB =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2。
→→
→|CD ⋅n |
54．异面直线间的距离 d =（l 1，l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别是
|n |
l 1，l 2上任一点，d 为l 1，l 2间的距离）。
→→
|AB ⋅n |→
55．点B 到平面α的距离d =（n 为平面α的法向量，AB 是面α的斜线，A ∈α）。
|n |
56．面积射影定理S =
S '
cos θ
（平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ' ，它们所在平面所成锐二面角的为θ）。 57．球的半径是R ，则其体积是V =
43
πR ，其表面积是S =4πR 2。 3
58．分类计数原理（加法原理） N =m 1+m 2+ +m n 。
59．分步计数原理（乘法原理） N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n 。
m
60．排列数公式 A n =n (n -1) (n -m +1) =
n !
。（n ，m ∈N*，且m ≤n ）。
(n -m )!
m
m m -1
61．排列恒等式 （1）A n ；（2）A n ==(n -m +1) A n
n m m m -1
A n -1；（3）A n =nA n -1；n -m
n n +1n m m m -1
（4）nA n =A n +1-A n ；（5）A n +1=A n +mA n 。（建立了解，会用排列数公式推导之）
m
A n m A m
m
62．组合数公式C n
==
n (n -1) (n -m +1) n !
=(n ，m ∈N *，且m ≤n ) 。
1⨯2⨯ ⨯m m ! ⋅(n -m )!
63．组合数的两个性质
m n -m m m -1m
（1）C n ；（2）C n =C n +C n =C n +1
64．组合恒等式
m （1）C n
n
n -m +1m -1n m -1n m m m r =C n ；（2）C n =C n -1；（3）C n =C n -1；（4）∑C n =2n ；
m n -m m r =0
r r r r +1
（5）C r r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1。（建议了解，会用组合数公式推导之）
m m
65．排列数与组合数的关系是：A n =m ! ⋅C n
0n 1n -12n -22r n -r r n n 66．二项式定理 (a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ；
r n -r r 二项展开式的通项公式：T r +1=C n a b （r=0，1，2„，n ）。
（注意通项的下标）
67．等可能性事件的概率P (A ) =
m
。 n
68．互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P （A ＋B ）=P（A ）＋P （B ）。 69．n 个互斥事件分别发生的概率的和
P （A 1＋A 2＋„＋A n ）=P（A 1）＋P （A 2）＋„＋P （A n ）。
70．独立事件A ，B 同时发生的概率P （A ·B ）= P（A ）·P （B ）。
71．n 个独立事件同时发生的概率P （A 1·A 2·„·A n ）=P（A 1）·P （A 2）·„·P （A n ）。
k k 72．n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P n (k ) =C n P (1-P ) n -k 。
73．离散型随机变量的分布列的两个性质：
（1）P i ≥0（i =1，2，„）；（2）P 1+P 2+ =1。
74．数学期望E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n +
75．数学期望的性质：
（1）E （a ξ+b ）=aE （ξ）+b ；
（2）若ξ～B （n ，p ），则E ξ= np 。
（要将n 次独立重复实验有k 次发生这样一个问题与二项分布联系起来）
76．方差D ξ=(x 1-E ξ) 2⋅p 1+(x 2-E ξ) 2⋅p 2+ +(x n -E ξ) 2⋅P n +
（还有一个变形公式可以求方差，你记得吗？在下面会有的）
77．标准差σξ=D ξ。（了解，防止你看到标准差的符号不认识，呵呵）
78．方差的性质
（1）D (ξ) =E ξ2-(E ξ) 2；
（2）D (a ξ+b ) =a 2D ξ；
（3）若ξ~B (n ，p ) ，则D ξ=np (1-p ) 。
(x -μ) 2
26279．正态分布密度函数f (x ) =1
2π6e -+∞) 式中的实数μ，σ（σ>0）是参，x ∈(-∞，
数，分别表示个体的平均数与标准差。（了解即可）
80．标准正态分布密度函数f (x ) =1
2π6e -x 2
2，x ∈(-∞，+∞) 。（了解即可，但是要注意其概
率分布图的特点，包括阴影部分面积所表示的含义，考的概率不大，但是要防止考小题。）
81．对于N （μ，σ2），取值小于x 的概率F (x ) =Φ ⎛x -μ⎫⎪。 ⎝σ⎭
P (x 1
⎛x -μ⎫⎛x -m μ⎫（个人觉得：要理解之，考的概率不大，但是还是要防止出小题。） =Φ 2⎪-Φ 1⎪。⎝σ⎭⎝σ⎭
82．特殊数列的极限
|q |
⎧0(k
⎪(k >t ) ⎩不存在
a 1(1-q n ) a （3）S =lim =1（S 无穷等比数列{a 1q n -1}(|q |
84．函数的夹逼性定理
如果函数f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 在点x 0的附近满足：
lim h (x ) =a （常数），则lim f (x ) =a 。 （1）g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ；（2）lim g (x ) =a ，x →x 0x →x 0x →x 0
本定理对于单侧极限和x →∞的情况仍然成立。
（个人觉得：有必要了解一下，防止出新题）
85．两个重要的极限
sin x ⎛1⎫=1；（2）lim 1+⎪=e (e =2. 718281845（1）lim ) 。 x →0x x →∞⎝x ⎭
（个人觉得需要了解一下，防止出新题。看不懂也不要有压力，这是超范围的。）
86．f （x ）在x 0处的导数（或变化率或微商） x
f ' (x 0) =y ' |x =x 0=lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
87．瞬时速度
ν=s ' (t ) =lim s (t +∆t ) -s (t ) ∆s =lim 。 ∆t →0∆t ∆t →0∆t
88．瞬时加速度
a =v ' (t ) =lim v (t +∆t ) -v (t ) ∆v =lim 。（注意这个物理意义） ∆t →0∆t ∆t →0∆t
dy df ∆y f (x +∆x ) -f (x ) ==lim =lim 。 ∆x →0∆x →0dx dx ∆x ∆x 89．f (x ) 在（a ，b ）的导数f ' (x ) =y ' =
90．函数y = f （x ） 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0，f (x 0)) 处的切线的斜率f ' (x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f ' (x 0)(x -x 0) 。
91．几种常见函数的导数
（1）C ' =0（C 为常数）
（2）(x n )' =nx n -1(n ∈Q )
（3）(sinx )' =cos x
（4）(cosx )' =-sin x
（5）(lnx )' =11x e ；(loga )' =log a 。 x x
（6）(e x )' =e x ; (a x )' =a x ln a 。
92．复合函数的求导法则
设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x ' =ϕ' (x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数y u ' =f ' (u ) ，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处有导数，且y x ' =y u ' ⋅u x ' ，或写作f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) 。
93．可导函数y = f （x ） 的微分dy = f ' （x ）dx 。
94．注意构造新的函数，再利用导数的有关性质来解题的解题技巧。
95．a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。（a ，b ，c ，d ∈R ）
96．复数z=a +bi 的模：|z|=|a +bi |=a 2+b 2。
97．复数的四则运算法则
（1）（a +bi ）+（c +di ）=（a +c ）+（b +d ）i ；
（2）（a +bi ）－（c +di ）=（a －c ）+（b －d ）i ；
（3）（a +bi ）（c +di ）=（ac －bd ）+（bc +ad ）i ；
（4）(a +bi ) ÷(c +di ) =ac +bd
c +d 22+bc -ad c +d 22i （c +di ≠0）
98．注意共轭复数的概念
99．注意实部和虚部的概念（虚部有没有包括i 呢？） 100．注意ω=-
1+i 极其共轭复数间的运算关系（具体见教材） 22
高考数学常考的100个基础知识点
广州市育才中学 邓军民 整理
1．德摩根公式C U （A ∩B ）= Cu A ∪C u B ；C U (A B ) =C U A C U B 。
2．A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B⊆C U A⇔A ∩C U B=φ⇔C U A∪B =R 3．card （A ∪B ）=cardA +cardB －card （A ∩B ） 4．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）； ②顶点式f （x ）=a （x －h ）2+k（a ≠0）； ③零点式f （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）。 5．设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2 那么
(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]>0⇔
f (x 1) -f (x 2)
>0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；
x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]
设函数y = f （x ）在某个区间内可导，如果f ′（x ） > 0 ，则f （x ） 为增函数；如果f ′（x ）
6．函数y = f （x ） 的图象的对称性: ① 函数y = f （x ） 的图象关于直线x = a 对称⇔ f （a +x ）= f （a －x ）⇔f （2a －x ）= f （x ）。 7．两个函数图象的对称性：
（1）函数y = f （x ）与函数y = f （－x ）的图象关于直线x = 0（即y 轴）对称。 （2）函数y = f （x ） 和y = f
-m n
－1
（x ） 的图象关于直线y =x 对称。
8．分数指数幂a =
1
a
m
（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。
分数指数幂a
-
m n
=
1
m a n
（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。
9．log a N=b ⇔a b =N （a >0，a ≠1，N>0）
10．对数的换底公式
log a N =
log m N n n
，推论log a m b =log a b
m log m a
⎧s 1，n =1
11．a n =⎨− ≥（ 数列{ a n } 的前n 项的和为S n =a 1+a 2 +…+a n ）。
s -s ，n ≥2n -1⎩n
（注意此公式第2 行顺推与逆推的应用，这是递推数列的常用公式，可以达到不同的目的） 12．等差数列的通项公式a n =a 1+（n －1）d =dn +a 1－d （n ∈N *）* 其前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n 2222
n
13．等比数列的通项公式a n =a 1q -1=
a 1n
·q (n ∈N *) ； q
⎧a 1-a n q n ) ⎧a 1(1-q n )
⎪⎪, q ≠1, q ≠1
其前n 项的和公式S n =⎨1-q 或S n =⎨1-q
⎪na , q =1⎪na 1, q =11⎩⎩
（小心：解答题利用错位相减法时要特别注意讨论q=1的情况） 14．同角三角函数的基本关系式 s i n 2θ+ cos2θ=1，tan θ=15．和角与差角公式
s i n （α±β）=si n αcos β±cos αs i n β； cos （α±β）=cosαcos β s i n αs i n β； tan （α±β）=
sin θ
, tan θ·⋅cot θ=1 cos θ
tan α±tan β
。
1 tan αtan β
sin(α+β) sin(α-β) =sin 2α-sin 2α（平方正弦公式）；
cos （α+β）cos （α−β）=cos2α−s i n2β（平方余弦公式）；
（辅助角ϕ所在象限由点（a ，b ）的象限决定，。tan ϕ=）a sin α+b cos α=a 2+b 2sin(α+ϕ)
（建议利用ϕ的正弦和余弦来确定其位于哪个象限，这样比较好理解） 16．二倍角公式s i n 2α = 2si n α·cos α。
b
a
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α⋅tan 2α=
2tan α
。 2
1-tan α
17．三角函数的周期公式 函数y =si n （ωx +ϕ），x ∈R 及函数y = cos（ωx +ϕ），x ∈R （A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T =
2ππ
；函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+，k ∈Z （A ，ω，ϕω2
为常数，且A ≠0，ω>0）的周期T =
π
。（注意ω小于0的函数周期的求法） ω
18．正弦定理
a b c
===2R 。（学会利用后面的2R ） sin A sin B sin C
19．余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cosA ；b 2=c 2+a 2−2ca cosB ；c 2=a 2+b 2−2ab cosC 。 （注意其变形公式） 20．面积定理 （1）S =
111
ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）。 222111
ab sin C =bc sin A =ca sin B 。 222
（2）S =
21．三角形内角和定理 在△ABC 中，有
A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔
C πA +B
=-⇔2C =2π-2(A +B ) 。 222
（很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系） 22．平面两点间的距离公式
d A ，B
→=|AB |=AB ⋅AB =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2（A （x 1，y 1），B （x 2，y 2））。
23．向量的平行与垂直 设a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，且b ≠0，则
a //b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0a ⊥b (a ≠0) ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0
，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，P (x ，y ) 是线段P 1P 2的分点，λ是实数，且24．线段的定比分公式 设P 1(x 1
P 1P =λPP 2，则
→→
x 1+λx 2⎧x =⎪⎪1+λ
⎨
⎪y =y 1+λy 2⎪1+λ⎩
（这个公式很重要，不要记错！）
25．三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2) 、C (x 3，y 3) ，则△ABC 的重心的坐标是G (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
) 。
33
→→→⎧x ' =x +h ⎧x =x ' -h
26．点的平移公式⎨⇔⎨⇔OP ' =OP +PP ' （图形F 上的任意一点P （x ，y ）
y ' =y +k y =y ' -k ⎩⎩
在平移后图形F ' 上的对应点为P ' (x ' ，y ' ) ，且PP ' 的坐标为（h ，k ））。
（要注意区别新坐标、旧坐标，区别新方程和旧方程，不要混淆，解答题务必要体现以上公式的
使用过程，关键步骤不要省） 27．常用不等式：
（1）a ，b ∈R ⇒a 2+b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“=”号）。 （2）a ，b ∈R ⇒
+
→
a +b
≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）。 2
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc （a >0，b >0，c >0）。
（4）柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2，a ，b ，c ，d ∈R 。（建议：了解一下，尝试用向量数量积的方法证明之） （5）|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b | 28．极值定理 已知x ，y 都是正数，则有
（1）如果积xy 是定值p ，那么当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）如果和x +y 是定值s ，那么当x =y 时积xy 有最大值s 2。
29．一元二次不等式ax 2 +bx +c >0（或0），如果a 与ax 2 +bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2 + bx + c 异号，则其解集在两根之间。简言之：同号两根之外，异号两根之间。
14
x 1
x x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1
（这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图象特点寻找约束条件就可以解决问题） 30．含有绝对值的不等式当a > 0时，有
|x |a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
31．无理不等式
（1）
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) >g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
（2）
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) >g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨
⎩g (x )
⎩f (x ) >[g (x )]⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) 0
⎪2f (x )
（3）
32．指数不等式与对数不等式 （1）当a >1时，
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0
⎪
⇔f (x ) >g (x ) ；log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
（2）当0
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
33．斜率公式 k =
y 2-y 1
(P ，y 1) 、P 2(x 2，y 2)) 1(x 1
x 2-x 1
（很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数型结合思想的重要体现）
34．直线的四种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) （直线l 过点P 1(x 1，y 1) ，且斜率为k ）。 （2）斜截式 y =kx +b （b 为直线l 在y 轴上的截距）。
（注意：（1）截距不是距离；（2）过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）
（3）两点式
y -y 1x -x 1
，y 1) 、P 2(x 2，y 2) （x 1≠x 2））。 =(y 1≠y 2) （P 1(x 1
y 2-y 1x 2-x 1
（4）一般式A x +By +C =0（其中A 、B 不同时为0）。 35．两条直线的平行和垂直
（1）若l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2 ①l 1//l 2⇔k 1=k 2，b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1
（2）若l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，
①l 1//l 2⇔
A 1B 1C 1
=≠； A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0；
36．夹角公式 tan α=|
k 2-k 1
|。（l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，k 1k 2≠-1）
1+k 2k 1
π。 2
（要区别于直线a 到直线b 的角的求解公式）。直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是
37．点到直线的距离 d =
|Ax 0+By 0+C |
A +B
2
2
（点P （x 0，y 0），直线l ：Ax +By +C =0）。
38．圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)
（3）圆的参数方程 ⎨
θ⎧x =a +r c o s
y =b +r s i n θ⎩
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0（圆的直径的端点是A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2））。（可利用向量垂直理解之）
39．椭圆
x 2a 2
+
⎧x =a cos θ
的参数方程是。 =1(a >b >0) ⎨2
y =b sin θb ⎩
y 2
（圆和椭圆的参数方程一定要过关）
a 2a 2
40．椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式|PF 1|=e (x +) ，|PF 2|=e (-x ) 。
c c a b
（自己还可以适当化简）
x 2y 2
41．双曲线
x 2a
2
+
y 2b
2
=1(a >0，b >0) 的焦半径公式
a 2a 2
|PF 1|=|e (x +) |，|PF 2|=|e (-x ) |。
c c
（点p 在左支或者右支的时候，上面的公式都可以去绝对值符号的，作题时自己灵活处理）
2
y 0
42．抛物线y =2px 上的动点可设为P ( ，y 0) 或P （2pt 2，2pt ）或P （x ，y ），其中y 2=2px 。
2p
2
（强烈建议理解：以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切）
b 24ac -b 2
43．二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +(a ≠0) 的图像是抛物线：
2a 4a
2
b 4ac -b 2
（1）顶点坐标为（-）； 2a 4a
44．直线与圆锥曲线相交的弦长公式
|AB |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2或
|AB |=(1+k 2)(x 2-x 1) 2=|x 1-x 2|+tan 2α=|y 1-y 2|+cot 2α
（注意和韦达定理结合使用）
（弦端点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由方程⎨
⎧y =kx +b 2
消去y 得到ax +bx +c =0，△>0，
⎩F (x ，y ) =0
α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧）
45．圆锥曲线的对称问题：曲线F （x ，y ）=0关于点P （x 0，y 0）成中心对称的曲线是
F (2x 0-x ，2y 0-y ) =0。
（可以利用重点坐标公式推导之）。
46．对于一般的二次曲线Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0，用x 0x 代x ，用y 0y 代y 2，用
2
x 0y +xy 0x +x y +y
代入xy ，用0代x ，用0代入y 即得方程 222
x 0y +xy 0x +x y +y
+Cy 0y +D ⋅0+E ⋅0+F =0，曲线的切线、切点弦方程均222
Ax 0x +B ⋅
可由此方程得到。
47．共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a ∥b ⇔ 存在实数λ使a =λb 。
→→→→
48．对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =x OA +y OB +z OC ，则四点P 、A 、B 、
C 是共面⇔x +y +z=1。
49．空间两个向量的夹角公式cos=
a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
2a 1
+
2a 2
+
2a 3b 122+b 22+b 3
（a =(a 1，a 2，a 3) ，
b =(b 1，b 2，b 3) ）。
→→
→AB ⋅m
50．直线AB 与平面所成角β=arcsin （m 为平面α的法向量）。 |OP |⋅|m |
→→
51．二面角α−l −β的平面角θ=arccos 法向量）。
|m ||n |
或π-arccos （m ，n 为平面α，β的
|m ||n |
m ⋅n
→→
m ⋅n
→→
52．设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ。则cos θ=cos θ1cos θ2。 53．空间两点间的距离公式 若A (x 1，y 1，z 1) ，B (x 2，y 2，z 2) ，则
d A ，B
→=|AB |=AB ⋅AB =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2。
→→
→|CD ⋅n |
54．异面直线间的距离 d =（l 1，l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别是
|n |
l 1，l 2上任一点，d 为l 1，l 2间的距离）。
→→
|AB ⋅n |→
55．点B 到平面α的距离d =（n 为平面α的法向量，AB 是面α的斜线，A ∈α）。
|n |
56．面积射影定理S =
S '
cos θ
（平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ' ，它们所在平面所成锐二面角的为θ）。 57．球的半径是R ，则其体积是V =
43
πR ，其表面积是S =4πR 2。 3
58．分类计数原理（加法原理） N =m 1+m 2+ +m n 。
59．分步计数原理（乘法原理） N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n 。
m
60．排列数公式 A n =n (n -1) (n -m +1) =
n !
。（n ，m ∈N*，且m ≤n ）。
(n -m )!
m
m m -1
61．排列恒等式 （1）A n ；（2）A n ==(n -m +1) A n
n m m m -1
A n -1；（3）A n =nA n -1；n -m
n n +1n m m m -1
（4）nA n =A n +1-A n ；（5）A n +1=A n +mA n 。（建立了解，会用排列数公式推导之）
m
A n m A m
m
62．组合数公式C n
==
n (n -1) (n -m +1) n !
=(n ，m ∈N *，且m ≤n ) 。
1⨯2⨯ ⨯m m ! ⋅(n -m )!
63．组合数的两个性质
m n -m m m -1m
（1）C n ；（2）C n =C n +C n =C n +1
64．组合恒等式
m （1）C n
n
n -m +1m -1n m -1n m m m r =C n ；（2）C n =C n -1；（3）C n =C n -1；（4）∑C n =2n ；
m n -m m r =0
r r r r +1
（5）C r r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1。（建议了解，会用组合数公式推导之）
m m
65．排列数与组合数的关系是：A n =m ! ⋅C n
0n 1n -12n -22r n -r r n n 66．二项式定理 (a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ；
r n -r r 二项展开式的通项公式：T r +1=C n a b （r=0，1，2„，n ）。
（注意通项的下标）
67．等可能性事件的概率P (A ) =
m
。 n
68．互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P （A ＋B ）=P（A ）＋P （B ）。 69．n 个互斥事件分别发生的概率的和
P （A 1＋A 2＋„＋A n ）=P（A 1）＋P （A 2）＋„＋P （A n ）。
70．独立事件A ，B 同时发生的概率P （A ·B ）= P（A ）·P （B ）。
71．n 个独立事件同时发生的概率P （A 1·A 2·„·A n ）=P（A 1）·P （A 2）·„·P （A n ）。
k k 72．n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P n (k ) =C n P (1-P ) n -k 。
73．离散型随机变量的分布列的两个性质：
（1）P i ≥0（i =1，2，„）；（2）P 1+P 2+ =1。
74．数学期望E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n +
75．数学期望的性质：
（1）E （a ξ+b ）=aE （ξ）+b ；
（2）若ξ～B （n ，p ），则E ξ= np 。
（要将n 次独立重复实验有k 次发生这样一个问题与二项分布联系起来）
76．方差D ξ=(x 1-E ξ) 2⋅p 1+(x 2-E ξ) 2⋅p 2+ +(x n -E ξ) 2⋅P n +
（还有一个变形公式可以求方差，你记得吗？在下面会有的）
77．标准差σξ=D ξ。（了解，防止你看到标准差的符号不认识，呵呵）
78．方差的性质
（1）D (ξ) =E ξ2-(E ξ) 2；
（2）D (a ξ+b ) =a 2D ξ；
（3）若ξ~B (n ，p ) ，则D ξ=np (1-p ) 。
(x -μ) 2
26279．正态分布密度函数f (x ) =1
2π6e -+∞) 式中的实数μ，σ（σ>0）是参，x ∈(-∞，
数，分别表示个体的平均数与标准差。（了解即可）
80．标准正态分布密度函数f (x ) =1
2π6e -x 2
2，x ∈(-∞，+∞) 。（了解即可，但是要注意其概
率分布图的特点，包括阴影部分面积所表示的含义，考的概率不大，但是要防止考小题。）
81．对于N （μ，σ2），取值小于x 的概率F (x ) =Φ ⎛x -μ⎫⎪。 ⎝σ⎭
P (x 1
⎛x -μ⎫⎛x -m μ⎫（个人觉得：要理解之，考的概率不大，但是还是要防止出小题。） =Φ 2⎪-Φ 1⎪。⎝σ⎭⎝σ⎭
82．特殊数列的极限
|q |
⎧0(k
⎪(k >t ) ⎩不存在
a 1(1-q n ) a （3）S =lim =1（S 无穷等比数列{a 1q n -1}(|q |
84．函数的夹逼性定理
如果函数f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 在点x 0的附近满足：
lim h (x ) =a （常数），则lim f (x ) =a 。 （1）g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ；（2）lim g (x ) =a ，x →x 0x →x 0x →x 0
本定理对于单侧极限和x →∞的情况仍然成立。
（个人觉得：有必要了解一下，防止出新题）
85．两个重要的极限
sin x ⎛1⎫=1；（2）lim 1+⎪=e (e =2. 718281845（1）lim ) 。 x →0x x →∞⎝x ⎭
（个人觉得需要了解一下，防止出新题。看不懂也不要有压力，这是超范围的。）
86．f （x ）在x 0处的导数（或变化率或微商） x
f ' (x 0) =y ' |x =x 0=lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
87．瞬时速度
ν=s ' (t ) =lim s (t +∆t ) -s (t ) ∆s =lim 。 ∆t →0∆t ∆t →0∆t
88．瞬时加速度
a =v ' (t ) =lim v (t +∆t ) -v (t ) ∆v =lim 。（注意这个物理意义） ∆t →0∆t ∆t →0∆t
dy df ∆y f (x +∆x ) -f (x ) ==lim =lim 。 ∆x →0∆x →0dx dx ∆x ∆x 89．f (x ) 在（a ，b ）的导数f ' (x ) =y ' =
90．函数y = f （x ） 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0，f (x 0)) 处的切线的斜率f ' (x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f ' (x 0)(x -x 0) 。
91．几种常见函数的导数
（1）C ' =0（C 为常数）
（2）(x n )' =nx n -1(n ∈Q )
（3）(sinx )' =cos x
（4）(cosx )' =-sin x
（5）(lnx )' =11x e ；(loga )' =log a 。 x x
（6）(e x )' =e x ; (a x )' =a x ln a 。
92．复合函数的求导法则
设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x ' =ϕ' (x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数y u ' =f ' (u ) ，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处有导数，且y x ' =y u ' ⋅u x ' ，或写作f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) 。
93．可导函数y = f （x ） 的微分dy = f ' （x ）dx 。
94．注意构造新的函数，再利用导数的有关性质来解题的解题技巧。
95．a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。（a ，b ，c ，d ∈R ）
96．复数z=a +bi 的模：|z|=|a +bi |=a 2+b 2。
97．复数的四则运算法则
（1）（a +bi ）+（c +di ）=（a +c ）+（b +d ）i ；
（2）（a +bi ）－（c +di ）=（a －c ）+（b －d ）i ；
（3）（a +bi ）（c +di ）=（ac －bd ）+（bc +ad ）i ；
（4）(a +bi ) ÷(c +di ) =ac +bd
c +d 22+bc -ad c +d 22i （c +di ≠0）
98．注意共轭复数的概念
99．注意实部和虚部的概念（虚部有没有包括i 呢？） 100．注意ω=-
1+i 极其共轭复数间的运算关系（具体见教材） 22