【摘 要】作为高中数学教师，应该对高考压轴题认真分析研究，了解试题背景，摸清命题意图，揭示试题本质，以达到拓宽数学视野的目的。适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地思考问题，从而深化对知识的理解，激活学生的数学思维。 【关键词】高考 压轴题 多解 【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）10－0160－02 【试题】已知函数f（x）＝ ，h（x）＝ 。（I）设函数 F（x）＝f（x）－h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设 a∈R，解关于x的方程log4[ f（x－1）－ ]＝log2h（a－x）－log2h （4－x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）－ （k）与 的大小。 本题以函数为纽带，有机地将函数、方程、数列不等式融为一体，主要考查函数导数的应用、解方程及不等式证明等基础知识，体现了分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想方法，试题采用平行设问方式，各小问之间相互独立，本文就第（Ⅲ）问给出几种解法。 解：（I）、（Ⅱ）略 【解法探究】（Ⅲ）解法一：记 即 ，则 。 ＝ ＝ ＝ 故{an}是单调递增数列，故 ，即f（100）h（100） － （k）＞ 。 点评：本题将比较函数值大小问题转化为数列问题，即通过探讨数列的单调性达到证明目的。 解法二：先证明：对任何正整数n≥2，有f（n）h（n）－ （k）＞ ，即证对任何正整数n≥2，有 ＞ ，当n＝2时，左边 ，结论成立；假设当n＝k （k≥2）时，命题成立，即 ， 当n＝k＋1时，欲证 ＞ 成立，只须证：（4k＋7） －（4k＋3） － （4k＋1） ＞（4k＋3）（4k＋1）2（k＋1）＞（4k＋3）2k 16k3＋24k2＋9k＋1＞16k3＋24k2＋9k，结论成立。即当n＝k＋1时，命题也成立，由归纳原理知，对任何n∈N*，结论都 成立。所以，取n＝100时，有f（100）h（100）－ （k）＞ 。 点评：凡是与自然数有关的命题，从理论上说都可以用数学归纳法证明。如考生能想到用归纳法证明，则难度并不大，问题 可迎刃而解。 解法三：由已知得 。设数列{an}的前n项和 为Sn，且Sn＝f（n）h（n）－ （n∈N*），从而有a1＝S1＝1，当 2≤k≤100时， 。又ak－ ＝ ＝ 。即对任意的2≤k≤100，有 ak＞ 。又因为a1＝1＝ ，所以 。故f（100）h （100）－ （k）＞ 。 点评：虚拟数列{an}，将 不能求和的代数式，利用ak＞ 搭桥，巧妙地链接，通过恰当放缩，完成了对问题的解决，但这种方法对考生的思维能力要求较高（本解法是高考答案提供的解法）。 解法四：由已知得 。设数列{an}的前n项和 为Sn，Sn＝f（n）h（n）－ ，从而有a1＝S1＝1，当2≤k≤100 时，ak＝Sk－Sk－1＝ k ＋－ （k－1） －。 又 ＝ (k－ 1) ＝ 。即对任意的2≤k≤100， 有ak＞ ，又因为a1＝S1＝1，所以 ，故f（100） h（100）－ （k）＞ 。 点评：思想方法的实质与解法3相同。 解法五：由已知得 。 ≤ ＝ 所以 ≤，故f（100）h（100）－ （k） ＞ 。 点评：对于 不能直接求和的式子，通过构造恒等式， 再恰当的放缩求和，但对考生的能力要求较高。 解法六：f（100）h（100）－ ＝ 。 ＝ ＝ ＝ 。 所以 ，， …， ，上式叠加得 ，化简得 。故f（100）h（100）－ （k）＞ 。 点评：从通项入手，通过一系列放缩转化，利用“拆项相消”的方法达到解题目的。 解法七：f（100）h（100）－ ＝ 。在x轴正半轴上依 次取点A1，A2，…，A100，使OA＝1，A1A2＝1，A2A3＝1，…，A99A100＝1，过Ai作垂直于x轴的直线交函数h（x）的图象于Pi（1＜i＜100）。因为函数h（x）＝ 是上凸函数，所以线段PiPi＋1在函数的图象下方，因此梯形AiAi＋1 Pi＋1Pi的面积小于函数h（x）＝ 上弧PiPi＋1与AiPi、Ai＋1Pi＋1、AiAi＋1所围成的图形的面积。 即： （1≤i≤99）。 所以： 。 。 。 故：f（100）h（100）－ （k）＞ 。 点评：利用高等数学定积分知识和数形结合思想，可以容易获得探索与证明的思路。若是使用“新课标”的考生，则本题是一道较好的中档训练题。 本题较好地体现了现代社会对数学教育的要求，情境朴实，形态简洁明了；采用“以能力立意”的命题思路，注重新旧知识的交汇，着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质，使新课程所倡导的“多样性、交叉性、纵向不深、模向拓宽”的命题要求得以充分地体现；同时突出了高考的选拔功能，具有较高的准确度和区分度。 【启示】高考压轴题往往都有一定的创新，但并非无源之水，而是推陈出新，有根可导，本题就是在高等数学的背景下设置的一道压轴题。作为高中数学教师，应该对高考试题特别是压轴题认真地分析研究，了解试题背景，摸清命题意图，揭示试题本质、以达到拓宽数学视野、居高临下，对高考试题触类旁通、举一反三、创新解题思路的目的，这也是高三数学中把握复习方向的重要基础。 “一题多解”教学，对于拓展学生思维，培养学生分析问题、解决问题能力具有十分重要的意义，适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地去思考问题，从而深化对知识的理解，激活学生的数学思维。
【摘 要】作为高中数学教师，应该对高考压轴题认真分析研究，了解试题背景，摸清命题意图，揭示试题本质，以达到拓宽数学视野的目的。适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地思考问题，从而深化对知识的理解，激活学生的数学思维。 【关键词】高考 压轴题 多解 【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）10－0160－02 【试题】已知函数f（x）＝ ，h（x）＝ 。（I）设函数 F（x）＝f（x）－h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设 a∈R，解关于x的方程log4[ f（x－1）－ ]＝log2h（a－x）－log2h （4－x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）－ （k）与 的大小。 本题以函数为纽带，有机地将函数、方程、数列不等式融为一体，主要考查函数导数的应用、解方程及不等式证明等基础知识，体现了分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想方法，试题采用平行设问方式，各小问之间相互独立，本文就第（Ⅲ）问给出几种解法。 解：（I）、（Ⅱ）略 【解法探究】（Ⅲ）解法一：记 即 ，则 。 ＝ ＝ ＝ 故{an}是单调递增数列，故 ，即f（100）h（100） － （k）＞ 。 点评：本题将比较函数值大小问题转化为数列问题，即通过探讨数列的单调性达到证明目的。 解法二：先证明：对任何正整数n≥2，有f（n）h（n）－ （k）＞ ，即证对任何正整数n≥2，有 ＞ ，当n＝2时，左边 ，结论成立；假设当n＝k （k≥2）时，命题成立，即 ， 当n＝k＋1时，欲证 ＞ 成立，只须证：（4k＋7） －（4k＋3） － （4k＋1） ＞（4k＋3）（4k＋1）2（k＋1）＞（4k＋3）2k 16k3＋24k2＋9k＋1＞16k3＋24k2＋9k，结论成立。即当n＝k＋1时，命题也成立，由归纳原理知，对任何n∈N*，结论都 成立。所以，取n＝100时，有f（100）h（100）－ （k）＞ 。 点评：凡是与自然数有关的命题，从理论上说都可以用数学归纳法证明。如考生能想到用归纳法证明，则难度并不大，问题 可迎刃而解。 解法三：由已知得 。设数列{an}的前n项和 为Sn，且Sn＝f（n）h（n）－ （n∈N*），从而有a1＝S1＝1，当 2≤k≤100时， 。又ak－ ＝ ＝ 。即对任意的2≤k≤100，有 ak＞ 。又因为a1＝1＝ ，所以 。故f（100）h （100）－ （k）＞ 。 点评：虚拟数列{an}，将 不能求和的代数式，利用ak＞ 搭桥，巧妙地链接，通过恰当放缩，完成了对问题的解决，但这种方法对考生的思维能力要求较高（本解法是高考答案提供的解法）。 解法四：由已知得 。设数列{an}的前n项和 为Sn，Sn＝f（n）h（n）－ ，从而有a1＝S1＝1，当2≤k≤100 时，ak＝Sk－Sk－1＝ k ＋－ （k－1） －。 又 ＝ (k－ 1) ＝ 。即对任意的2≤k≤100， 有ak＞ ，又因为a1＝S1＝1，所以 ，故f（100） h（100）－ （k）＞ 。 点评：思想方法的实质与解法3相同。 解法五：由已知得 。 ≤ ＝ 所以 ≤，故f（100）h（100）－ （k） ＞ 。 点评：对于 不能直接求和的式子，通过构造恒等式， 再恰当的放缩求和，但对考生的能力要求较高。 解法六：f（100）h（100）－ ＝ 。 ＝ ＝ ＝ 。 所以 ，， …， ，上式叠加得 ，化简得 。故f（100）h（100）－ （k）＞ 。 点评：从通项入手，通过一系列放缩转化，利用“拆项相消”的方法达到解题目的。 解法七：f（100）h（100）－ ＝ 。在x轴正半轴上依 次取点A1，A2，…，A100，使OA＝1，A1A2＝1，A2A3＝1，…，A99A100＝1，过Ai作垂直于x轴的直线交函数h（x）的图象于Pi（1＜i＜100）。因为函数h（x）＝ 是上凸函数，所以线段PiPi＋1在函数的图象下方，因此梯形AiAi＋1 Pi＋1Pi的面积小于函数h（x）＝ 上弧PiPi＋1与AiPi、Ai＋1Pi＋1、AiAi＋1所围成的图形的面积。 即： （1≤i≤99）。 所以： 。 。 。 故：f（100）h（100）－ （k）＞ 。 点评：利用高等数学定积分知识和数形结合思想，可以容易获得探索与证明的思路。若是使用“新课标”的考生，则本题是一道较好的中档训练题。 本题较好地体现了现代社会对数学教育的要求，情境朴实，形态简洁明了；采用“以能力立意”的命题思路，注重新旧知识的交汇，着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质，使新课程所倡导的“多样性、交叉性、纵向不深、模向拓宽”的命题要求得以充分地体现；同时突出了高考的选拔功能，具有较高的准确度和区分度。 【启示】高考压轴题往往都有一定的创新，但并非无源之水，而是推陈出新，有根可导，本题就是在高等数学的背景下设置的一道压轴题。作为高中数学教师，应该对高考试题特别是压轴题认真地分析研究，了解试题背景，摸清命题意图，揭示试题本质、以达到拓宽数学视野、居高临下，对高考试题触类旁通、举一反三、创新解题思路的目的，这也是高三数学中把握复习方向的重要基础。 “一题多解”教学，对于拓展学生思维，培养学生分析问题、解决问题能力具有十分重要的意义，适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地去思考问题，从而深化对知识的理解，激活学生的数学思维。