三角形证明

三角形深化解析

一、知识点睛

1．等腰三角形的常见性质有：_____________、______________、

____________、2．直角三角形的常用性质有：、

______________________

、

__________________________

、

_________________________________________________、__________________________________________________.

3．垂直平分线的性质是_________________________________，反之，我们也

可

以

得

到

垂

直

平

分

线

的

判

定

方

法

：

___________________________________________________；

三角形三条边的垂直平分线的交点可以在三角形的_______、________、_______，并且到三角形__________的距离相等.

4．角平分线的性质是_________________________________，反之，我们也可

以

得

到

角

平

分

线

的

判

定

方

法

：

______________________________________________；三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等．一、知识点睛

1．等边对等角，等角对等边；三线合一；黄金三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．勾股定理及其逆定理；两锐角互余；30°角对的直角边是斜边的一半；斜边中线等于斜边一半；射影定理，等积公式．

3．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；内部；边上；外部；三个顶点． 4．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；三条边．

二、精讲精练

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，则∠B= .

2. 如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE=.

第1题图第2题图第3题图 3. 如图在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，

∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm.

4. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且

AB=10，MN=3，BC=20，则△ABC的周长为

CEG

第4题图第5题图第6题图

5. 如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），

点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是_____________三角形.

6. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使

AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

7. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只

蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

． B．25 C

．5 D．35

第7题图第8题图第9题图

8. 如图，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚

会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（）

A．70457cm B．350cm C．280cm D．300cm 9. 如图，长方体的底面边长分别为1cm

细线最短需要

cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．

和3cm，高为

6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用

10. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如下图所示）．已知斜放置的三个正方

形面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=________．

11. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成的锐

角为40°，则△ABC的底角∠B= .

12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠

DAC＝22.5°，则∠B的度数是

13. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线

BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．

14. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∠ACB∠DCE90，D为AB边上一点．

求证：（1）△ACE≌△BCD；

（2）AD2AE2DE2． B

15. 已知：如图，△ABC中，∠

ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.

（1）求证：BF=AC；

（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明；

（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.

16. 如图，在△ABC中，AD是高，AB的垂直平分线交BC于E，EF⊥AC于F，

交AD于G，问：当∠B具备什么条件时，DG=DC？

17. 如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一

腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且

∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．

（1）求证：△ACE≌△DCB；

（2）请你判断△ACM与△DPM的形状

有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC＝∠BPC．

18. 如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥

CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG分别与直线BC相交于点M、N.

（1）试证明：AB+BC+AC=2FG；

（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线；如图3，BD为△ABC

的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．在这两种情况下，线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？

图1

图2

图

【讲义答案】

二、精讲精练

1．36° 2．40° 3．8 4．46 5．等边 6 7．B 8．B 9．10，

10．4 11．65°或25° 12．37.5或67.5 13．50°

14．略．

15．（1）提示：证明△BDF≌△CDA（SAS）；（2）BF=2CE，提示：证明△BEC≌△BEA（ASA）；

（3）BG

CE，提示：证明△ADC∽△GHB． 16．∠B=22.5°，提示：证明△EDG≌△ADC．

17．（1）略；（2）证明△ACE∽△DPM；或用（1）中全等结论，得角相等；（3）提示：证明△AMC∽△DPM，△ADC∽△CMP．或借助△ACE与△DCB面积相等，则高相等，用角平分线线判定定理可证。

18．（1）略；（2）AB+AC-BC=2FG，BC+AC-AB=2FG．

【作业】

三角形深化解析

1. （2010山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过

点D作

DE⊥AC于点E，则DE的长为______．

第3题图

第1题图

D第2题图

第5题图第1题图第2题图第3题图第5

题图

2. （2009北京朝阳区）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一

点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC=6，则DF+DE=_________． 3. （2011江苏苏州）如图，已知△ABC

的等边三角形，△ABC∽

△ADE，

AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于______.（结果保留根号）

4. 等腰三角形的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ac=24，满足条件

的等腰三角形有种.

5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，AB的垂直平分线交AC于D，则下

列结论：①∠A=36°；②BD平分∠ABC；③AD=DB=BC；④DB2=AB·DC．其中正确的结论是_______．

6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和

△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为_______．

EF7. （

E C B第88题图 7题图第题图第第7题图第题图第66题图

2011湖北鄂州）

如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF= ．

8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点

作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则EF= .

9. （2009广西河池）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为

AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（） A．16 B．18 C．6 D．76

C A

第9题图第10第10题图

10. （2009重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的

中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积最大值为8．其中正确的结论是（） A．①②③

B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤

11. 已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG//BC，交AC于

点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE，CD．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF//DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

12. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

ACBDCE90o，D为AB边上一点．

求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）

AD2AE2DE2．

13. （2011山东日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝

∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

【作业答案】

1．

13 2

． 3

4．3 5．①②③④ 6．

7．2 8．5 9．A 10．B

11．（1）略；（2）等边三角形； 12.略

13．（1）可计算出∠BDE=∠CDE=60°；（2）提示：证明△BDC≌△EMC

三角形深化解析

一、知识点睛

1．等腰三角形的常见性质有：_____________、______________、

____________、2．直角三角形的常用性质有：、

______________________

、

__________________________

、

_________________________________________________、__________________________________________________.

3．垂直平分线的性质是_________________________________，反之，我们也

可

以

得

到

垂

直

平

分

线

的

判

定

方

法

：

___________________________________________________；

三角形三条边的垂直平分线的交点可以在三角形的_______、________、_______，并且到三角形__________的距离相等.

4．角平分线的性质是_________________________________，反之，我们也可

以

得

到

角

平

分

线

的

判

定

方

法

：

______________________________________________；三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等．一、知识点睛

1．等边对等角，等角对等边；三线合一；黄金三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．勾股定理及其逆定理；两锐角互余；30°角对的直角边是斜边的一半；斜边中线等于斜边一半；射影定理，等积公式．

二、精讲精练

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，则∠B= .

2. 如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE=.

第1题图第2题图第3题图 3. 如图在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，

∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm.

4. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且

AB=10，MN=3，BC=20，则△ABC的周长为

CEG

第4题图第5题图第6题图

5. 如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），

点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是_____________三角形.

6. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使

AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

7. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只

蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

． B．25 C

．5 D．35

第7题图第8题图第9题图

8. 如图，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚

A．70457cm B．350cm C．280cm D．300cm 9. 如图，长方体的底面边长分别为1cm

细线最短需要

cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．

和3cm，高为

6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用

10. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如下图所示）．已知斜放置的三个正方

形面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=________．

11. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成的锐

角为40°，则△ABC的底角∠B= .

12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠

DAC＝22.5°，则∠B的度数是

13. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线

BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．

14. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∠ACB∠DCE90，D为AB边上一点．

求证：（1）△ACE≌△BCD；

（2）AD2AE2DE2． B

15. 已知：如图，△ABC中，∠

ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.

（1）求证：BF=AC；

（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明；

（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.

16. 如图，在△ABC中，AD是高，AB的垂直平分线交BC于E，EF⊥AC于F，

交AD于G，问：当∠B具备什么条件时，DG=DC？

17. 如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一

腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且

∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．

（1）求证：△ACE≌△DCB；

（2）请你判断△ACM与△DPM的形状

有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC＝∠BPC．

18. 如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥

CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG分别与直线BC相交于点M、N.

（1）试证明：AB+BC+AC=2FG；

（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线；如图3，BD为△ABC

的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．在这两种情况下，线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？

图1

图2

图

【讲义答案】

二、精讲精练

1．36° 2．40° 3．8 4．46 5．等边 6 7．B 8．B 9．10，

10．4 11．65°或25° 12．37.5或67.5 13．50°

14．略．

15．（1）提示：证明△BDF≌△CDA（SAS）；（2）BF=2CE，提示：证明△BEC≌△BEA（ASA）；

（3）BG

CE，提示：证明△ADC∽△GHB． 16．∠B=22.5°，提示：证明△EDG≌△ADC．

18．（1）略；（2）AB+AC-BC=2FG，BC+AC-AB=2FG．

【作业】

三角形深化解析

1. （2010山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过

点D作

DE⊥AC于点E，则DE的长为______．

第3题图

第1题图

D第2题图

第5题图第1题图第2题图第3题图第5

题图

2. （2009北京朝阳区）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一

点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC=6，则DF+DE=_________． 3. （2011江苏苏州）如图，已知△ABC

的等边三角形，△ABC∽

△ADE，

AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于______.（结果保留根号）

4. 等腰三角形的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ac=24，满足条件

的等腰三角形有种.

5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，AB的垂直平分线交AC于D，则下

列结论：①∠A=36°；②BD平分∠ABC；③AD=DB=BC；④DB2=AB·DC．其中正确的结论是_______．

6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和

△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为_______．

EF7. （

E C B第88题图 7题图第题图第第7题图第题图第66题图

2011湖北鄂州）

如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF= ．

8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点

作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则EF= .

9. （2009广西河池）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为

AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（） A．16 B．18 C．6 D．76

C A

第9题图第10第10题图

10. （2009重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的

B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤

11. 已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG//BC，交AC于

点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE，CD．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF//DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

12. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

ACBDCE90o，D为AB边上一点．

求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）

AD2AE2DE2．

13. （2011山东日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝

∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

【作业答案】

1．

13 2

． 3

4．3 5．①②③④ 6．

7．2 8．5 9．A 10．B

11．（1）略；（2）等边三角形； 12.略

13．（1）可计算出∠BDE=∠CDE=60°；（2）提示：证明△BDC≌△EMC

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