点线面位置关系练习题

点线面位置关系知识点总结

【空间中的平行问题】

（1）直线与平面平行的判定及其性质

①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 （线线平行→线面平行）

②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行→线线平行）

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理：

①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）

②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行）

③垂直于同一条直线的两个平面平行

两个平面平行的性质定理：

①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

【空间中的垂直问题】

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为 0

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，a,b形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0

②平面的垂线与平面所成的角：规定为 90

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

解题时，注意挖掘题设中两个信息：①斜线上一点到面的垂线；②过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

练习题

一、选择题(每小题4分，共52分)

1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

Ａ．16 Ｂ．20

Ｃ．24 Ｄ．32

2．已知在四面体ABCD中，若AB2,CD4,EFAB，则EF与CDE,F分别是AC,BD的中点，

所成

的角的度数为（ ）

Ａ．90Ｂ．45

Ｃ．60 Ｄ．30

3．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）

Ａ．1条 Ｂ．2条

Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条

4．在长方体ABCDA底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1BC11D1，1D11到截面AB的距离为( )

8 B． 3

4C． D． 3A． 3 83 4

5．直三棱柱ABCA1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点，连接A1B,BD,A1D,AD，则三棱锥AA1BD的体积为（ ）

A．1333a B．a 612

133a D．a3 126C．

6．下列说法不正确的是（ ） ．．．．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B．同一平面的两条垂线一定共面；

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

7．设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m，n//，则mn ②若//，//，m，则m ③若m//，n//，则m//n ④若，，则//

其中正确命题的序号是 ( )

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

8．若长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c，则长方体体对角线长为（ ）

A

B

C

D

09．在三棱锥ABCD中,AC底面BCD,BDDC,,BDDC,ACa,ABC30

则点C到平面ABD的距离是( )

A

B．

C

D

E是ACCE垂直于（ ） 10．在正方体ABCDA1BC11D1中，若11的中点，则直线

A．AC B． BD C．A1D D．A1D1

11．三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

12．在四面体ABCD中，已知棱AC

其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为（ ）

A．11 B． C

D

2313．四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E,F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（ ）

A．90 B．60 C．45 D．30 0000

二、填空题(每小题4分，共20分)

1．点A,B到平面的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面的距离为_________________．

2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。

03．一条直线和一个平面所成的角为60，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的

角中最大的角是____________．

4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为

_____。

5．在正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB4,PA8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是________

三、解答题

1．已知直线b//c，且直线a与b,c都相交，求证：直线a,b,c共面。（15分）

2． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且AMBN=， 求证：MN//平面SBC（15分） SMND

M是AA1的中点．求证：平面MBD平面BDC．3．正方体ABCDA1BC（1511D1中，

分）

4．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。（15分）

5.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平

面ABC,SAM、N分别为AB,SB的中点。（18分） SC（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

参考答案

一、选择题

1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2

，正四棱柱的底面的对角线为

，正四棱柱的对角线

为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，

即2R

RS球4R224

2.D 取BC的中点G，则EG1,FG2,EFFG,则EF与CD所成的角EFG30

3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线

4.C 利用三棱锥A1AB1D1的体积变换：VA1AB1D1VAA1B1D1，则24

5.B

VAA1BDVDA1BA01316h 311a22 Sh332212

6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了

7． A ③若m//，n//，则m//n，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若，，则//，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交

8．C 设同一顶点的三条棱分别为x,y,z，则x2y2a2,y2z2b2,x2z2c2 222得xyz12(ab2

c2)29．B 作等积变换VABCDVCABD

10．B BD垂直于CE在平面ABCD上的射影

11．C BCPABCAH

12．C取AC的中点E，取CD的中点F

，EF1EF ,BE

BFcos222BF3

13．C 取SB的中点G，则GEGF

二、填空题 a，在△SFC

中，EF，EFG450 22

1.5cm或1cm 分A,B在平面的同侧和异侧两种情况

2.48 每个表面有4个，共64个；每个对角面有4个，共64个

3.90 垂直时最大

4.30

底面边长为1

，tan00

5.11 沿着PA将正三棱锥PABC侧面展开，则A,D,E,A'共线，且AA//BC

三、解答题

1．证明：b//c，不妨设b,c共面于平面，设abA,acB Aa,Ba,A,B，即a，所以三线共面

2．略

3．略

4．略

5．略 '

点线面位置关系知识点总结

【空间中的平行问题】

（1）直线与平面平行的判定及其性质

①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 （线线平行→线面平行）

②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行→线线平行）

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理：

①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）

②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行）

③垂直于同一条直线的两个平面平行

两个平面平行的性质定理：

①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

【空间中的垂直问题】

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为 0

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，a,b形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0

②平面的垂线与平面所成的角：规定为 90

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

解题时，注意挖掘题设中两个信息：①斜线上一点到面的垂线；②过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

练习题

一、选择题(每小题4分，共52分)

1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

Ａ．16 Ｂ．20

Ｃ．24 Ｄ．32

2．已知在四面体ABCD中，若AB2,CD4,EFAB，则EF与CDE,F分别是AC,BD的中点，

所成

的角的度数为（ ）

Ａ．90Ｂ．45

Ｃ．60 Ｄ．30

3．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）

Ａ．1条 Ｂ．2条

Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条

4．在长方体ABCDA底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1BC11D1，1D11到截面AB的距离为( )

8 B． 3

4C． D． 3A． 3 83 4

5．直三棱柱ABCA1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点，连接A1B,BD,A1D,AD，则三棱锥AA1BD的体积为（ ）

A．1333a B．a 612

133a D．a3 126C．

6．下列说法不正确的是（ ） ．．．．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B．同一平面的两条垂线一定共面；

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

7．设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m，n//，则mn ②若//，//，m，则m ③若m//，n//，则m//n ④若，，则//

其中正确命题的序号是 ( )

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

8．若长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c，则长方体体对角线长为（ ）

A

B

C

D

09．在三棱锥ABCD中,AC底面BCD,BDDC,,BDDC,ACa,ABC30

则点C到平面ABD的距离是( )

A

B．

C

D

E是ACCE垂直于（ ） 10．在正方体ABCDA1BC11D1中，若11的中点，则直线

A．AC B． BD C．A1D D．A1D1

11．三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

12．在四面体ABCD中，已知棱AC

其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为（ ）

A．11 B． C

D

2313．四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E,F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（ ）

A．90 B．60 C．45 D．30 0000

二、填空题(每小题4分，共20分)

1．点A,B到平面的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面的距离为_________________．

2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。

03．一条直线和一个平面所成的角为60，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的

角中最大的角是____________．

4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为

_____。

5．在正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB4,PA8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是________

三、解答题

1．已知直线b//c，且直线a与b,c都相交，求证：直线a,b,c共面。（15分）

2． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且AMBN=， 求证：MN//平面SBC（15分） SMND

M是AA1的中点．求证：平面MBD平面BDC．3．正方体ABCDA1BC（1511D1中，

分）

4．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。（15分）

5.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平

面ABC,SAM、N分别为AB,SB的中点。（18分） SC（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

参考答案

一、选择题

1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2

，正四棱柱的底面的对角线为

，正四棱柱的对角线

为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，

即2R

RS球4R224

2.D 取BC的中点G，则EG1,FG2,EFFG,则EF与CD所成的角EFG30

3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线

4.C 利用三棱锥A1AB1D1的体积变换：VA1AB1D1VAA1B1D1，则24

5.B

VAA1BDVDA1BA01316h 311a22 Sh332212

6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了

7． A ③若m//，n//，则m//n，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若，，则//，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交

8．C 设同一顶点的三条棱分别为x,y,z，则x2y2a2,y2z2b2,x2z2c2 222得xyz12(ab2

c2)29．B 作等积变换VABCDVCABD

10．B BD垂直于CE在平面ABCD上的射影

11．C BCPABCAH

12．C取AC的中点E，取CD的中点F

，EF1EF ,BE

BFcos222BF3

13．C 取SB的中点G，则GEGF

二、填空题 a，在△SFC

中，EF，EFG450 22

1.5cm或1cm 分A,B在平面的同侧和异侧两种情况

2.48 每个表面有4个，共64个；每个对角面有4个，共64个

3.90 垂直时最大

4.30

底面边长为1

，tan00

5.11 沿着PA将正三棱锥PABC侧面展开，则A,D,E,A'共线，且AA//BC

三、解答题

1．证明：b//c，不妨设b,c共面于平面，设abA,acB Aa,Ba,A,B，即a，所以三线共面

2．略

3．略

4．略

5．略 '