椭圆的解题方法和技巧
安徽省宿州市褚兰中学 海平
一、 椭圆的定义的应用
椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1
的三边、、成等差数列且满足
、
。求顶点的轨迹。
，、两点
的坐标分别是
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴ 又
，∴
。
。
，即
，
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为 又∵ ∴
，∴
，即，∴
， 。
（
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为）。又当
。
时，
点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ ∴点的轨迹方程为
。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略因此易漏掉
这一条件，
这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔
。
除使、、共线的点
例2 、椭圆断
的形状。
上一点到两焦点
、的距离之差为2，试判
分析：由椭圆定义知，件，故可求出 解析：由 又 ∴
，故满足为直角三角形。
的两边。
的和为定值，且二者之差为题设条
，解得。
。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
P1,P2,求椭圆的方程.
【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=
x2y2
∴所求椭圆方程为+=1
93
11
, n= . 93
评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n），由题目所给条件求出m，n即可.
三、 利用向量解决椭圆问题
几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．
例4、最值问题
y2
设椭圆方程为x+=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，
4
1 11
点P满足OP=(OA+OB)，点N的坐标为()．当l绕点M旋转时，
222
求：P的轨迹方程；(1)动点
(2)|NP|的最大值与最小值．
2
解析：(1)直线l过点M(0,1)，
当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
⎧y=kx+1⎪
由⎨2y2，得(4+k2)x2+2kx-3=0，
=1⎪x+
⎩4
2k⎧
x+x=-⎪⎪124+k2
所以⎨.
⎪y+y=812⎪4+k2⎩ 1 x+xy+y2-k4则OP=(OA+OB)=(121)=()．22
2224+k4+k
设点P的坐标为(x，y)，则，消去k得4x2+y2-y=0.
当斜率不存在时，AB的中点为原点(0,0)，也满足上述方程．所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.111，即-≤x≤.1644
21117所以|NP|=(x-)2+(y-)2=-3(x+)2+.
22612 1故当x=-时，|NP|取得6 11
当x=时，|NP|取得最小值为.
44
(
2)由点P的轨迹方程知x2≤
评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数范围问题
已知点G是∆ABC的重心，A(0，-1)，B(0,1)，在x轴上有一点M，满足|MA=MC|，
GM=λAB(λ∈R)．(1)求点C的轨迹方程；
(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足|AP=AQ|，试求k的取值
xy
解析：(
1)设C(x，y)，G为∆ABC的重心，则G()．
33
因为GM=λAB(λ∈R)，所以GM AB，
x
而点M在x轴上，则M(，．0)
3 =整理得+y2=1(x≠0)．
3
x2
所以点C的轨迹方程为+y2=1(x≠0)
3
由椭圆的对称性知|AP=AQ|.
(2)①当k=0时，l与椭圆C有两个不同的交点P、Q，
②当k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，x2
代入+y2=1，整理得，
3
(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0，(*)
因为直线l与椭圆交于不同的两点，所以∆=(6km)2-4(1+3k2)⋅3(m2-1)>0，即1+3k2-m2>0，(**)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
6km3(m2-1)
则x1+x2=-，x1x2=，22
1+3k1+3k
x+x
则PQ中点N(x0，y0)的坐标为x0=12=
2
3kmm-，y=kx+m=， 00221+3k1+3k 又|AP=AQ|，所以AN⊥PQ，
m
+12
所以k⋅kAN=k⋅=-1，
3km-1+3k2
1+3k2
得m=，代入(**)得k2
2
所以k∈(-1,0) (0,1)．． 综合①②得，k的取值范围是(-1,1)．
评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．
椭圆的解题方法和技巧
安徽省宿州市褚兰中学 海平
一、 椭圆的定义的应用
椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1
的三边、、成等差数列且满足
、
。求顶点的轨迹。
，、两点
的坐标分别是
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴ 又
，∴
。
。
，即
，
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为 又∵ ∴
，∴
，即，∴
， 。
（
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为）。又当
。
时，
点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ ∴点的轨迹方程为
。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略因此易漏掉
这一条件，
这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔
。
除使、、共线的点
例2 、椭圆断
的形状。
上一点到两焦点
、的距离之差为2，试判
分析：由椭圆定义知，件，故可求出 解析：由 又 ∴
，故满足为直角三角形。
的两边。
的和为定值，且二者之差为题设条
，解得。
。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
P1,P2,求椭圆的方程.
【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=
x2y2
∴所求椭圆方程为+=1
93
11
, n= . 93
评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n），由题目所给条件求出m，n即可.
三、 利用向量解决椭圆问题
几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．
例4、最值问题
y2
设椭圆方程为x+=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，
4
1 11
点P满足OP=(OA+OB)，点N的坐标为()．当l绕点M旋转时，
222
求：P的轨迹方程；(1)动点
(2)|NP|的最大值与最小值．
2
解析：(1)直线l过点M(0,1)，
当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
⎧y=kx+1⎪
由⎨2y2，得(4+k2)x2+2kx-3=0，
=1⎪x+
⎩4
2k⎧
x+x=-⎪⎪124+k2
所以⎨.
⎪y+y=812⎪4+k2⎩ 1 x+xy+y2-k4则OP=(OA+OB)=(121)=()．22
2224+k4+k
设点P的坐标为(x，y)，则，消去k得4x2+y2-y=0.
当斜率不存在时，AB的中点为原点(0,0)，也满足上述方程．所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.111，即-≤x≤.1644
21117所以|NP|=(x-)2+(y-)2=-3(x+)2+.
22612 1故当x=-时，|NP|取得6 11
当x=时，|NP|取得最小值为.
44
(
2)由点P的轨迹方程知x2≤
评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数范围问题
已知点G是∆ABC的重心，A(0，-1)，B(0,1)，在x轴上有一点M，满足|MA=MC|，
GM=λAB(λ∈R)．(1)求点C的轨迹方程；
(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足|AP=AQ|，试求k的取值
xy
解析：(
1)设C(x，y)，G为∆ABC的重心，则G()．
33
因为GM=λAB(λ∈R)，所以GM AB，
x
而点M在x轴上，则M(，．0)
3 =整理得+y2=1(x≠0)．
3
x2
所以点C的轨迹方程为+y2=1(x≠0)
3
由椭圆的对称性知|AP=AQ|.
(2)①当k=0时，l与椭圆C有两个不同的交点P、Q，
②当k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，x2
代入+y2=1，整理得，
3
(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0，(*)
因为直线l与椭圆交于不同的两点，所以∆=(6km)2-4(1+3k2)⋅3(m2-1)>0，即1+3k2-m2>0，(**)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
6km3(m2-1)
则x1+x2=-，x1x2=，22
1+3k1+3k
x+x
则PQ中点N(x0，y0)的坐标为x0=12=
2
3kmm-，y=kx+m=， 00221+3k1+3k 又|AP=AQ|，所以AN⊥PQ，
m
+12
所以k⋅kAN=k⋅=-1，
3km-1+3k2
1+3k2
得m=，代入(**)得k2
2
所以k∈(-1,0) (0,1)．． 综合①②得，k的取值范围是(-1,1)．
评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．