高中数学解题技巧和方法(圆锥曲线)

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圆锥曲线

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7. 8.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是(x,y)1212000222

abab

x2y22

Sbtan椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F，则椭圆的焦点角形的面积为. PFFPF1212

2ab

x2y2

椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF

⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b2

11. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，

aab

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即KAB

b2x0

2。

ay0

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5. 6. 7.

8.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222

abab

x0xy0yx2y2

21. 1若P在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是(x,y)1212000

a2ba2b2

x2y2

双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为

ab



SF1PF2b2cot.

2

x2y2

双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N

两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

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b2x0b2x0x2y2

11. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

abay0ay0

x0xy0yx02y02x2y2

222. 12. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2babab

x2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22

aba2bab

椭圆与双曲线的对偶性质--

椭 圆

x2y2x2y2

1. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

ababx2y2b2x0

2. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

abay0acx2y2

tancot. 3. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

ac22ab

x2y2

4. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

sinsina

x2y2

5. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准

ab

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线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三

ab

点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)222222

1AxByC07. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. AaBb(AxByC)0022

abx2y21111

2;（2）|OP|2+|OQ|2的8. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）222

ab|OP||OQ|ab

4a2b2a2b2

最大值为2;（3）SOPQ的最小值是2.

ab2ab2x2y2|PF|e

. 9. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

ab|MN|2

x2y2a2b2a2b2

x010. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则. aaabx2y22b2

11. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F.(2) 1||PF2|1PF2，则(1)|PF

1cosab2

x2y2

12. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距

ab

2a2b22ab2|cos|2

cot. 离心率，则有(1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2

222

baaccos

SPF1F2b2tan



.

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x2y2

13. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx

ab

轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--

双曲线

x2y2

1. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是

ab

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x2y2

21. 2ab

x2y2b2x0

2. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2

abay0

（常数）.

cax2y2

ant3. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

caab

（或



2

co



2

ca

tancot）. ca22

x2y2

4. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

(sinsin)a

x2y2

5. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是

ab

P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点

ab

共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

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x2y222222

7. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

ab

x2y2

8. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

ab

4a2b2a2b2111122

;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）SOPQ的最小值是2.

ba2ba2|OP|2|OQ|2a2b2

x2y2|PF|e

. 9. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

ab|MN|2x2y2a2b2

10. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或

abaa2b2

x0.

a

x2y22b2

11. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F.(2) 1||PF2|1PF2，则(1)|PF

1cosab



SPF1F2b2cot.

2

x2y2

12. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双

ab

2ab2|cos|

曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2. 22

|accos|2a2b22

cot. (2) tantan1e.(3) SPAB2

2

bax2y2

13. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l

ab

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上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

y2

1，P为双曲线上一点。 例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x3

1

求|PA||PF|的最小值。

2

2

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知

1

|PF|即点P到准线距离。 2

|PA| 

15

|PF||PA||PE|AM 22

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

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b

，而ct c2

bpcpt



2

p

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

xct



ybpt

2

消去t，得轨迹方程ypx

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y

R，且满足方程x2y23(y0)，又m

y3

，求m范围。 x3

解析：m

y322

的几何意义为，曲线xy3(y0)上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示 x3

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kPAmkPB



33 m

22

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

OQ|的值为________。 y24和直线ymx的交点为P、Q，则|OP||

解：OMP~OQN

OQ||OM||ON|5 |OP||

例4. 已知圆(x3)

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

2

xyx2y2

1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足|OQ||例5. 已知椭圆：OP||OR|2，当点P在l上移动时，求点

1282416

Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。



解：如图，OQ，OR，OP共线，设OROQ，OPOQ，OQ(x，y)，则OR(x，y)，OP(x，y)

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2|OQ||OP||OR| 

22

2

|OQ||OQ|



2



点R在椭圆上，P点在直线l上 

2x2

24

2y2

16

1，

x

12



y

8

1

x2y2xy 即

2416128

化简整理得点Q的轨迹方程为：

2(x1)2(y1)2

1（直线yx上方部分） 55323

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆x

2

y26x40和x2y26y280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2y26x4(x2y26y28)0

(1)x2(1)y26x6y(284)0

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33

，)，在直线xy40上 11

解得7

22

故所求的方程为xyx7y320

则圆心为(

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y2

1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x2

解：设P2(x2，y2)，则 1(x1，y1)，P

2

2y12

x1122

y2x2122

(x2x1)(x1x2)

1

2

－得

(y2y1)(y1y2)

2

y2y12(x1x2) 即 

x2x1y1y2

设P1P2的中点为M(x0，y0)，则

y2y12x0

kPP 12

x2x1y0y01

又kAM，而P1、A、M、P2共线

x02

y012x0

 kPPkAM，即

12

x02y0

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P1P2中点M的轨迹方程是2x

2

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y24xy0

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0

(1)写出直线AB的方程； （2）计算出点P、Q的坐标； （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A,B点的坐标. (1 ) 显然A

'

‘

于是 直线AB 1,1t, B1，1t，

'

'

AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，AB交

的方程为ytx1；

x2y21,2t1t2

,)； （2）由方程组解出P(0,1)、Q(22

1t1tytx1,

101

, kQT

0tt

1t2

01t21. 2tt(1t)t1t

（3）kPT

由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

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x2y2

例2 已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

ab

讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为ykxm(k0). 代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2， 得 b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2. 化简后，得关于x的一元二次方程 (a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20. 于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2). 由已知，得△=0．即a2k2b2m2. ① 在直线方程

ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(

m

,0),S(0,m). k

myx,k,kx 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 解得

ym.my.

代入①式并整理，得 ab1, 即为所求顶点P的轨迹方程．

22

2

2

xy

方程ab1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

22

22

xy

x2y22 例3已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是.

32ab

（1）求双曲线的方程； （2）已知直线

ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

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abab

dc23xy 讲解：∵（1）22,原点到直线AB：1的距离cababa3

b1,a.

2

故所求双曲线方程为 xy21.

3

3.2.

（2）把ykx5代入x23y23中消去y，整理得 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则 xx1x20

(13k2)x230kx780.

2

y115k51

y0kx05,kBE0. 22

13k13kx0k

x0ky0k0,即

.

15k5k2

k0,又k0,k7 22

13k13k

故所求k=±

为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程． 讲解：（1）设|PF1|r1,|PF2

|r2,|F1F2|2c, 对PF1F2, 由余弦定理, 得

2r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2

cosF1PF21112e0，

rr2r1r22r1r22r1r2

2(12)2

2

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2 .2

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解出 e

（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为

yk(xc)„„„„„„①

x2y22222

21,A(x1,y1),B(x2,y2) 由e2. 得 a2c,bc. 2ab2

于是椭圆方程可转化为 将①代入②，消去

x22y22c20„„„„„„②

y得 x22k2(xc)22c20,

整理为x的一元二次方程，得 (12k2)x24ck2x2c2(k21)0.

22

22ck则x1、x2是上述方程的两根．且|x2x1|，|AB|k2

|xx|2c(1k)，

21

12k2122

也可这样求解：

AB边上的高h|FF|sinBFF2c|k|,

1212

1k2

S|F1F2||y1y2|

2

11k2|k|S22c()2c 22212kk c|k||x1x2|

.2

ii) 当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得y

,|AB|,S2 2由①②知S的最大值为

2c2 由题意得c2=12 所以c26b2 a22

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故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x22

y262

1.

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

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：x

myc„„„„①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

22

椭圆的方程为：xy1,A(x,y),B(x,y)

112222

ab

由e

2得：2

a2c2,b2c2,于是椭圆方程可化为：x22y22c20„„② .

2

把①代入②并整理得：(m22)y22mcyc20 于是y1,y2是上述方程的两根

.

|AB|y2y1|

AB边上的高h

m

2

4m2c24c2(m22)

m2222c(1m2), 

m22

2cm2

,

2

1m22从而S1|AB|h122c(1m)2c22c2

22m22(m2)222cm2

1

m21

2m1

2

2c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax

2c2.

由题意知c212, 于是 b2c262,a22. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2122

y262

1.

x2y2

例5 已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x2y0上.（１）求此椭圆的离心率；

ab

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（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x

2

y24上，求此椭圆的方程.

yx1，

讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2 得 y2

221

ba(a2b2)x22a2xa2a2b20,

根据韦达定理，得

2a22b2

x1x22,y1y2(x1x2)22, 22

abab

）.

a2b2

∴线段AB的中点坐标为（2,

ab2a2b2

2a22b2222222

由已知得2，故椭圆的离心率为e0,a2b2(ac)a2c

2ab2a2b2

（2）由（1）知b

.

c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y0的对称点为(x0,y0),则

y001xby

1且0200,解得

x0b222

34

x0b且y0b

55

由已知得

3242x2y22

xy4,(b)(b)4,b4，故所求的椭圆方程为1 .

5584

2

20

例6 已知⊙M：x

2

(y2)21,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

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（1）如果|AB|

423

，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

讲解:（1）由|AB|

423

，可得

|MP||MA|2(

Rt△MOQ中，

|AB|22221

)2(),233

由射影定理，得

|MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在

|OQ||MQ|2|MO|23222，故a或a5，

所以直线AB方程是2x

5y20或2x5y20;

2y2

,(*) ax

（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得

2

由射影定理得|MB|

|MP||MQ|,即x2(y2)2a241,(**)

71

y2，可得x2(y)2(y2).

416

把（*）及（**）消去a，并注意到

适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

2

2

。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

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（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设DMDN，试确定实数的取值范围． 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |

轨迹是椭圆∵ab1,c1∴曲线E的方程是 x22y21 . （2）设直线L的方程为 ykx2, 代入曲线E的方程x22y22，得

（x1,y1),N(x2,y2), 则

① (8k)24(2k1)60,

xx8k,

122k21 ②



6

x1x22k21.③

i) L与y轴重合时，|DM|

|DN|1

3

ii) L与y轴不重合时， 由①得 k23DMxDxMx

2. 又∵DNx1,

DxNx2

∵x2x10, 或 x2x10,∴0＜＜1 ,

y=222(2)22222∴动点P的(2k21)x28kx60设M1

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(xx2)2(x1x2)2x1x264k2321∴ 22∵21xx6(2k1)x1x2x2x1123(22)k

而k231, ∴63(22)8.∴ 42k323(21)2k16116, ∴ 42, 33

01,11012,2,3

110,3111.∴的取值范围是,1 . 33

值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

例8 直线l过抛物线

（1）求证：4x1x2y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点. p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

2 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程为xP,显然xxP.若l不垂直于x轴，可设yk(xP),代入抛物线方程整理得122242

2PP2P2. 综上可知 xP(12)x0,则x1x244k24x1x2p2.

22p4p2222（2）设C(c,c),D(d,d)且cd，则CD的垂直平分线l的方程为ycdcd(xcd)

2p2p

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22 升学助考一网通 假设l过F，则0cdcd(pcd)整理得 (cd)(2p2c2d2)0 p0 22p24p

22p2c2d20，cd0. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线y2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是CD的垂直

平分线.

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圆锥曲线

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7. 8.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是(x,y)1212000222

abab

x2y22

Sbtan椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F，则椭圆的焦点角形的面积为. PFFPF1212

2ab

x2y2

椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF

⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b2

11. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，

aab

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即KAB

b2x0

2。

ay0

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5. 6. 7.

8.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222

abab

x0xy0yx2y2

21. 1若P在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是(x,y)1212000

a2ba2b2

x2y2

双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为

ab



SF1PF2b2cot.

2

x2y2

双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N

两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

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b2x0b2x0x2y2

11. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

abay0ay0

x0xy0yx02y02x2y2

222. 12. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2babab

x2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22

aba2bab

椭圆与双曲线的对偶性质--

椭 圆

x2y2x2y2

1. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

ababx2y2b2x0

2. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

abay0acx2y2

tancot. 3. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

ac22ab

x2y2

4. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

sinsina

x2y2

5. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准

ab

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线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三

ab

点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)222222

1AxByC07. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. AaBb(AxByC)0022

abx2y21111

2;（2）|OP|2+|OQ|2的8. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）222

ab|OP||OQ|ab

4a2b2a2b2

最大值为2;（3）SOPQ的最小值是2.

ab2ab2x2y2|PF|e

. 9. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

ab|MN|2

x2y2a2b2a2b2

x010. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则. aaabx2y22b2

11. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F.(2) 1||PF2|1PF2，则(1)|PF

1cosab2

x2y2

12. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距

ab

2a2b22ab2|cos|2

cot. 离心率，则有(1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2

222

baaccos

SPF1F2b2tan



.

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x2y2

13. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx

ab

轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--

双曲线

x2y2

1. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是

ab

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x2y2

21. 2ab

x2y2b2x0

2. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2

abay0

（常数）.

cax2y2

ant3. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

caab

（或



2

co



2

ca

tancot）. ca22

x2y2

4. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

(sinsin)a

x2y2

5. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是

ab

P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点

ab

共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

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x2y222222

7. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

ab

x2y2

8. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

ab

4a2b2a2b2111122

;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）SOPQ的最小值是2.

ba2ba2|OP|2|OQ|2a2b2

x2y2|PF|e

. 9. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

ab|MN|2x2y2a2b2

10. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或

abaa2b2

x0.

a

x2y22b2

11. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F.(2) 1||PF2|1PF2，则(1)|PF

1cosab



SPF1F2b2cot.

2

x2y2

12. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双

ab

2ab2|cos|

曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2. 22

|accos|2a2b22

cot. (2) tantan1e.(3) SPAB2

2

bax2y2

13. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l

ab

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上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

y2

1，P为双曲线上一点。 例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x3

1

求|PA||PF|的最小值。

2

2

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知

1

|PF|即点P到准线距离。 2

|PA| 

15

|PF||PA||PE|AM 22

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

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b

，而ct c2

bpcpt



2

p

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

xct



ybpt

2

消去t，得轨迹方程ypx

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y

R，且满足方程x2y23(y0)，又m

y3

，求m范围。 x3

解析：m

y322

的几何意义为，曲线xy3(y0)上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示 x3

第 10 页

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kPAmkPB



33 m

22

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

OQ|的值为________。 y24和直线ymx的交点为P、Q，则|OP||

解：OMP~OQN

OQ||OM||ON|5 |OP||

例4. 已知圆(x3)

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

2

xyx2y2

1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足|OQ||例5. 已知椭圆：OP||OR|2，当点P在l上移动时，求点

1282416

Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。



解：如图，OQ，OR，OP共线，设OROQ，OPOQ，OQ(x，y)，则OR(x，y)，OP(x，y)

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2|OQ||OP||OR| 

22

2

|OQ||OQ|



2



点R在椭圆上，P点在直线l上 

2x2

24

2y2

16

1，

x

12



y

8

1

x2y2xy 即

2416128

化简整理得点Q的轨迹方程为：

2(x1)2(y1)2

1（直线yx上方部分） 55323

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆x

2

y26x40和x2y26y280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2y26x4(x2y26y28)0

(1)x2(1)y26x6y(284)0

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33

，)，在直线xy40上 11

解得7

22

故所求的方程为xyx7y320

则圆心为(

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y2

1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x2

解：设P2(x2，y2)，则 1(x1，y1)，P

2

2y12

x1122

y2x2122

(x2x1)(x1x2)

1

2

－得

(y2y1)(y1y2)

2

y2y12(x1x2) 即 

x2x1y1y2

设P1P2的中点为M(x0，y0)，则

y2y12x0

kPP 12

x2x1y0y01

又kAM，而P1、A、M、P2共线

x02

y012x0

 kPPkAM，即

12

x02y0

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P1P2中点M的轨迹方程是2x

2

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y24xy0

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0

(1)写出直线AB的方程； （2）计算出点P、Q的坐标； （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A,B点的坐标. (1 ) 显然A

'

‘

于是 直线AB 1,1t, B1，1t，

'

'

AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，AB交

的方程为ytx1；

x2y21,2t1t2

,)； （2）由方程组解出P(0,1)、Q(22

1t1tytx1,

101

, kQT

0tt

1t2

01t21. 2tt(1t)t1t

（3）kPT

由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

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x2y2

例2 已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

ab

讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为ykxm(k0). 代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2， 得 b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2. 化简后，得关于x的一元二次方程 (a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20. 于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2). 由已知，得△=0．即a2k2b2m2. ① 在直线方程

ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(

m

,0),S(0,m). k

myx,k,kx 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 解得

ym.my.

代入①式并整理，得 ab1, 即为所求顶点P的轨迹方程．

22

2

2

xy

方程ab1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

22

22

xy

x2y22 例3已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是.

32ab

（1）求双曲线的方程； （2）已知直线

ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

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abab

dc23xy 讲解：∵（1）22,原点到直线AB：1的距离cababa3

b1,a.

2

故所求双曲线方程为 xy21.

3

3.2.

（2）把ykx5代入x23y23中消去y，整理得 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则 xx1x20

(13k2)x230kx780.

2

y115k51

y0kx05,kBE0. 22

13k13kx0k

x0ky0k0,即

.

15k5k2

k0,又k0,k7 22

13k13k

故所求k=±

为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程． 讲解：（1）设|PF1|r1,|PF2

|r2,|F1F2|2c, 对PF1F2, 由余弦定理, 得

2r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2

cosF1PF21112e0，

rr2r1r22r1r22r1r2

2(12)2

2

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2 .2

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解出 e

（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为

yk(xc)„„„„„„①

x2y22222

21,A(x1,y1),B(x2,y2) 由e2. 得 a2c,bc. 2ab2

于是椭圆方程可转化为 将①代入②，消去

x22y22c20„„„„„„②

y得 x22k2(xc)22c20,

整理为x的一元二次方程，得 (12k2)x24ck2x2c2(k21)0.

22

22ck则x1、x2是上述方程的两根．且|x2x1|，|AB|k2

|xx|2c(1k)，

21

12k2122

也可这样求解：

AB边上的高h|FF|sinBFF2c|k|,

1212

1k2

S|F1F2||y1y2|

2

11k2|k|S22c()2c 22212kk c|k||x1x2|

.2

ii) 当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得y

,|AB|,S2 2由①②知S的最大值为

2c2 由题意得c2=12 所以c26b2 a22

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故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x22

y262

1.

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

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：x

myc„„„„①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

22

椭圆的方程为：xy1,A(x,y),B(x,y)

112222

ab

由e

2得：2

a2c2,b2c2,于是椭圆方程可化为：x22y22c20„„② .

2

把①代入②并整理得：(m22)y22mcyc20 于是y1,y2是上述方程的两根

.

|AB|y2y1|

AB边上的高h

m

2

4m2c24c2(m22)

m2222c(1m2), 

m22

2cm2

,

2

1m22从而S1|AB|h122c(1m)2c22c2

22m22(m2)222cm2

1

m21

2m1

2

2c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax

2c2.

由题意知c212, 于是 b2c262,a22. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2122

y262

1.

x2y2

例5 已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x2y0上.（１）求此椭圆的离心率；

ab

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（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x

2

y24上，求此椭圆的方程.

yx1，

讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2 得 y2

221

ba(a2b2)x22a2xa2a2b20,

根据韦达定理，得

2a22b2

x1x22,y1y2(x1x2)22, 22

abab

）.

a2b2

∴线段AB的中点坐标为（2,

ab2a2b2

2a22b2222222

由已知得2，故椭圆的离心率为e0,a2b2(ac)a2c

2ab2a2b2

（2）由（1）知b

.

c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y0的对称点为(x0,y0),则

y001xby

1且0200,解得

x0b222

34

x0b且y0b

55

由已知得

3242x2y22

xy4,(b)(b)4,b4，故所求的椭圆方程为1 .

5584

2

20

例6 已知⊙M：x

2

(y2)21,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

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（1）如果|AB|

423

，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

讲解:（1）由|AB|

423

，可得

|MP||MA|2(

Rt△MOQ中，

|AB|22221

)2(),233

由射影定理，得

|MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在

|OQ||MQ|2|MO|23222，故a或a5，

所以直线AB方程是2x

5y20或2x5y20;

2y2

,(*) ax

（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得

2

由射影定理得|MB|

|MP||MQ|,即x2(y2)2a241,(**)

71

y2，可得x2(y)2(y2).

416

把（*）及（**）消去a，并注意到

适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

2

2

。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

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（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设DMDN，试确定实数的取值范围． 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |

轨迹是椭圆∵ab1,c1∴曲线E的方程是 x22y21 . （2）设直线L的方程为 ykx2, 代入曲线E的方程x22y22，得

（x1,y1),N(x2,y2), 则

① (8k)24(2k1)60,

xx8k,

122k21 ②



6

x1x22k21.③

i) L与y轴重合时，|DM|

|DN|1

3

ii) L与y轴不重合时， 由①得 k23DMxDxMx

2. 又∵DNx1,

DxNx2

∵x2x10, 或 x2x10,∴0＜＜1 ,

y=222(2)22222∴动点P的(2k21)x28kx60设M1

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(xx2)2(x1x2)2x1x264k2321∴ 22∵21xx6(2k1)x1x2x2x1123(22)k

而k231, ∴63(22)8.∴ 42k323(21)2k16116, ∴ 42, 33

01,11012,2,3

110,3111.∴的取值范围是,1 . 33

值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

例8 直线l过抛物线

（1）求证：4x1x2y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点. p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

2 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程为xP,显然xxP.若l不垂直于x轴，可设yk(xP),代入抛物线方程整理得122242

2PP2P2. 综上可知 xP(12)x0,则x1x244k24x1x2p2.

22p4p2222（2）设C(c,c),D(d,d)且cd，则CD的垂直平分线l的方程为ycdcd(xcd)

2p2p

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22 升学助考一网通 假设l过F，则0cdcd(pcd)整理得 (cd)(2p2c2d2)0 p0 22p24p

22p2c2d20，cd0. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线y2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是CD的垂直

平分线.