《曲线运动》经典例题
1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线运动一定是变速运动 B. 变速运动一定是曲线运动
C. 曲线运动可能是匀变速运动 D. 变加速运动一定是曲线运动
【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。
2、质点在三个恒力F 1、F 2、F 3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F 1，而保持F 2、F 3不变，则质点（ ）
A ．一定做匀变速运动 B ．一定做直线运动
C ．一定做非匀变速运动 D ．一定做曲线运动
【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F 1而保持F 2、F 3不变时，质点受到的合力大小为F 1，方向与F 1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F 1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F 1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F 1后，质点可能做直线运动（条件是F 1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F 1的方向和速度方向不在一条直线上）。
3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A. 合运动的速度一定比分运动的速度大
B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动
C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动
D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等
【解析】根据速度合成的平行四边形定则可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直线上。如果在一直线上，合运动是匀变速直线运动；反之，是匀变速曲线运动。根据运动的同时性，合运动的两个分运动是同时的。
4、质量m=0.2kg 的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x 和v y 随时间变化的图线如图所示，求：
(1) 物体所受的合力。
(2) 物体的初速度。
(3) 判断物体运动的性质。
(4) 4s 末物体的速度和位移。
【解析】根据分速度v x 和v y 随时间变化的图线可知，物体在x
轴上的分运动是匀加速直线运动，在y 轴上的分运动是匀速直线
运动。从两图线中求出物体的加速度与速度的分量，然后再合成。
(1) 由图象可知，物体在x 轴上分运动的加速度大小a x =1m/s2，在y 轴上分运动的加速度为0，
故物体的合加速度大小为a=1m/s2，方向沿x 轴的正方向。则物体所受的合力 F=ma=0.2×1N=0.2N，方向沿x 轴的正方向。
(2) 由图象知，可得两分运动的初速度大小为 vx 0=0，v y 0=4m/s，故物体的初速度
v 0=v x 20+v y 20=0+42m/s=4m/s，方向沿y 轴正方向。
(3)根据（1）和（2）可知，物体有y 正方向的初速度，有x 正方向的合力，则物体做匀变速
曲线运动。
(4) 4s末x 和y 方向的分速度是v x =at=4m/s，v y =4m/s，故物体的速度为 v=v x 2+v y 2=42+42=4/s ，方向与x 正向夹角θ，有tan θ= vy / vx =1。
x 和y 方向的分位移是 x=at2/2=8m，y=vy t =16m，则物体的位移为 s=x 2+y 2=8m ，方向与x 正向的夹角φ ，有tan φ=y/x=2。
5、已知某船在静水中的速率为v 1＝4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，
河宽为d ＝100m ，河水的流动速度为v 2＝3m/s，方向与河岸平行。试分析：
⑴ 欲使船以最短时间渡过河去，航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生
的位移是多大？
⑵ 欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？
【解析】 ⑴ 根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度
v ⊥最大时，渡河所用时间最短，设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v 1、v 2的矢量关系如图1所示。河水流速v 2平行于
河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v ⊥＝v 1sin α，则船渡2图1
d 河所用时间为 t ＝。 v 1sin α
显然，当sin α＝1即α＝90°时，v ⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终指向正对
岸，但船实际的航向斜向下游，如图2所示。
渡河的最短时间 t min ＝d 100＝s ＝25s 。 4v 122船的位移为 s ＝v t＝v 1+v 2⋅t min＝42+32×25m ＝125m 。 图2
船渡过河时已在正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为
x ＝v 2t min ＝v 2d 3×100＝m ＝75m 。 4v 1
⑵ 由于v 1＞v 2，故船的合速度与河岸垂直时，船的渡河距离最短。设此时船速v 1的方向（船
头的指向）斜向上游，且与河岸成θ角，如图6－34所示，则
v 3cos θ＝2＝，θ＝41°24′。 4v 1
22船的实际速度为 v 合＝v 1-v 2＝4－3 m/s＝7 m/s。 2图6－34
d 1001007故渡河时间 t ′＝ ＝ s ＝s ≈38s 。 7v 合7
6、如图所示为频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A 、B 、C 为三个同时由
同一点出发的小球。AA ′为A 球在光滑水平面上以速度v 运动的轨迹； BB ′为B 球以速度v 被水平抛出后的运动轨迹；CC ′为C 球自由下落
的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹可得出结论：
。
【解析】观察照片，B 、C 两球在任一曝光瞬间的位置总在同一水平线
上，说明平抛运动物体B 在竖直方向上的运动特点与自由落体运动相
同；而A 、B 两小球在任一曝光瞬间的位置总在同一竖直线上，说明平
抛运动物体B 在水平方向上的运动特点与匀速直线运动相同。所以，得
C ′ 到的结论是：做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方
向做自由落体运动。
7、在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L ＝1.25cm ，若小
球在平抛运动途中的几个位置如图中a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度为v 0＝ （用
L 、g 表示），其值是。（g 取9.8m/s2）
【解析】由水平方向上ab ＝bc ＝cd 可知，相邻两点的时间间隔相等，设为2T ，竖直方向相邻两点间距之差相等，Δy ＝L ，则由 Δx ＝aT ，得
T ＝ 。时间T 内，水平方向位移为x ＝2L ，所以 g v 0＝x ＝2Lg =2⨯0. 0125⨯9. 8m/s＝0.70m/s。 t
8、飞机在2km 的高空以360km/h的速度沿水平航线匀速飞行，飞机在地面上观察者的正上方空投
一包裹。（g 取10m/s2，不计空气阻力）
⑴ 试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。
⑵ 包裹落地处离地面观察者多远？离飞机的水平距离多大？
⑶ 求包裹着地时的速度大小和方向。
提示 不同的观察者所用的参照物不同，对同一物体的运动的描述一般是不同的。
【解析】 ⑴ 从飞机上投下去的包裹由于惯性，在水平方向上仍以360km/h的速度沿原来的方向飞
行，与飞机运动情况相同。在竖直方向上同时进行自由落体运动，所以飞机上的飞行员只是看到包
裹在飞机的正下方下落，包裹的轨迹是竖直直线；地面上的观察者是以地面为参照物的，他看见包
裹做平抛运动，包裹的轨迹为抛物线。
⑵ 抛体在空中的时间t ＝3602h 2⨯2000⨯20m =s ＝20s 。在水平方向的位移 x＝v 0t ＝3. 6g 10
＝2000m ，即包裹落地位置距观察者的水平距离为2000m 。
包裹在水平方向与飞机的运动情况完全相同，所以，落地时包裹与飞机的水平距离为零。
⑶ 包裹着地时，对地面速度可分解为水平方向和竖直方向的两个分速度，
vx ＝v 0＝100m/s，v y ＝gt ＝10×20m/s＝200m/s，
故包裹着地速度的大小为
v t ＝v x +v y =+200m/s＝1005 m/s≈224m/s。
而 tan θ＝2222v y
v x ＝200＝2，故着地速度与水平方向的夹角为θ＝arctan2。 100
9、如图，高h 的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a ，车厢顶部A 点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O 点位于A 点的正下方，则油滴的落地点必在O 点的 （填“左”或“右”）方，离O 点的距离为 。
【解析】因为油滴自车厢顶部A 点脱落后，由于惯性在水平方向具有与车厢相同的初速度，因此油滴做平抛运动，水平方向做匀速直线运动 x 1＝vt ， 1竖直方向做自由落体运动h ＝gt 2， 2
又因为车厢在水平方向做匀减速直线运动，所以车厢（O 点）
1的位移为 x 2＝vt －at 2。 2
如图所示 x ＝x 1－x 2= 1212h a at =a ⋅=h ， 22g g
a 所以油滴落地点必在O 点的右方，离O 点的距离为 h 。 g
10、如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A 、B 两个小球的运动时间之比为（ D ）
A.1:1 B.4:3 C.16:9 D.9：16
【解析】由平抛运动的位移规律可知：
x =v 0t y =12gt 2
t A tan 37︒9==t =2v tan θ/g t tan 53︒16 0∵tan θ=y /x ∴ ∴B
11、如图在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求（1）小球从A 运动到B 处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
【解析】（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A 运动到B 处所需的时间为t ，
水平位移为x=V0t
竖直位移为y=12gt 2
由数学关系得: 2V tan θ12 gt =(V 0t ) tan θ, t =0
2g
（2）从抛出开始计时，经过t 1时间小球离斜面的距离达到最大, 当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因V y1=gt1=V0tan θ, 所以t 1=V 0tan θ。 g
12、如图所示，两个小球固定在一根长为l 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动。当小球A 的速度为v A 时，小球B 的速度为v B ，则轴心O 到小球A 的距离是（ ）
A. v A (v A +v B ) l B. v A l (v +v B ) l (v +v B ) l C. A D. A v A +v B v A v B
v 有 r 【解析】设轴心O 到小球A 的距离为x ，因两小球固定在同一转动杆的两端，故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为x 、l －x 。根据ω= v A v v A l =B ，解得 x =， x l -x v A +v B
13、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A 、B 、C 三轮的半径关系为r A ＝r C ＝2r B ，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比v A ∶v B ∶v C ＝ ，角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ 。
【解析】A 、B 两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等。B 、C 两轮固定在同一轮轴上，同
轴转动，角速度相等。由v ＝rω可知，B 、C 两轮边缘上各点的线速
度大小不等，且C 轮边缘上各点的线速度是B 轮边缘上各点线速度
的两倍，故有 vA ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2。
A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v ＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即 ωA ∶ωB ＝r B ∶r A ＝1∶2。因此ωA ∶ωB ∶ωC =1∶2∶2
14、雨伞边缘半径为r ，且高出水平地面的距离为h ，如图所示，若雨伞以角速度ω匀速旋转，使雨滴自雨伞边缘水平飞出后在地面上形成一个大圆圈，则此圆圈的半径R 为多大？
【解析】作出雨滴飞出后的三维示意图，如图所示。雨滴飞出的速度大小 v ＝rω，在竖直方向上有1h ＝gt 2，在水平方向上有 s ＝vt ，又由几何关系可得 R ＝r 2+s 2， 2
r 联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径 R＝ g g 2+2g ω2h 。
15、关于向心加速度，以下说法中正确的是（ ）
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【解析】 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向就不始终指向圆心。
16、如图所示，A 、B 两轮同绕轴O 转动，A 和C 两轮用皮带传动，A 、B 、C 三轮的半径之比为2∶3∶3，a 、b 、c 为三轮边缘上的点。求：
⑴ 三点的线速度之比； ⑵ 三点转动的周期之比； ⑶ 三点的向心加速度之比。 【解析】⑴ 因A 、B 两轮同绕轴O 转动，所以有ωa ＝ωb
，
由公式v ＝ωr 可知 va ∶v b ＝(ωa ra ) ∶(ωb rb ) ＝r a ∶r b ＝2∶3。
因为A 和C 两轮用皮带传动，所以有 v a ＝v c ，
综上所述可知三轮上a 、b 、c 三点的线速度之比 v a ∶v b ∶v c ＝2∶3∶2。
2πr⑵ 因为ωa ＝ωb ，所以有T a ＝T b 。因为v a ＝v c ，根据T ＝可得 v
T a ∶T c ＝r a ∶r c ＝2∶3，
所以三点转动的周期之比 T a ∶T b ∶T c ＝2∶2∶3。
v 2⑶ 根据向心加速度公式a ＝可得三点的向心加速度之比 R
22v a v b v c 2494 aa ∶a b ∶a c ＝∶∶＝ ∶∶ ＝6∶9∶4。 r a r b r c 233
17、如图所示，将一质量为m 的摆球用长为L 的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
F A ．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B ．摆球受拉力和向心力的作用 C ．摆球受重力和拉力的作用 D ．摆球受重力和向心力的作用 【解析】物体只受重力G 和拉力F T 的作用，而向心力F 是重力和拉力的合力，如图所示。也可以认为向心力就
是F T 沿水平方向的分力F T2，显然，F T 沿竖直方向的分力F T1与重力G 平衡。
18、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）
A ．A 球的线速度必定大于B 球的线速度 B ．A 球的角速度必定小于B 球的线速度 C ．A 球的运动周期必定小于B 球的运动周期
D ．A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力 【解析】小球A 或B 的受力情况如图，两球的向心力都来源于重力G 和支持力F N 的合力，建立坐标系，有F N1＝F N sin θ＝mg ，F N2＝F N cos θ＝F ，
所以 F ＝mg cot θ，即小球做圆周运动所需的向心力，可见A 、B 两球的
向心力大小相等。
v 2比较两者线速度大小时，由F ＝m 可知，r 越大，v 一定较大。 r
比较两者角速度大小时，由F ＝mrω2可知，r 越大，ω一定较小。
2π比较两者的运动周期时，由F ＝mr () 2可知，r 越大，T 一定较大。 T
mg 由受力分析图可知，小球A 和B 受到的支持力F N 都等于。
19、一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50cm 。
⑴ 若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
⑵ 若在最高点水桶的速率v ＝3m/s，求水对桶底的压力。
【解析】 ⑴ 以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水
的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有
2v 0mg ＝m ，则所求的最小速率为 v 0＝gl ＝⨯0. 5m/s＝2.24m/s。 l
⑵ 在最高点，水所受重力mg 的方向竖直向下，此时水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定。
v 2由向心力公式F ＝m 可知，当v 增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v r
＝3m/s＞v 0＝2. 24m/s，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已不足以提供水做圆周运动所需的
v 2向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有 FN ＋mg ＝m ， r
3v 2N -0. 5⨯10N ＝4N 。 故 F N ＝m －mg =0. 5⨯r 0. 5
2
《曲线运动》经典例题
1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线运动一定是变速运动 B. 变速运动一定是曲线运动
C. 曲线运动可能是匀变速运动 D. 变加速运动一定是曲线运动
【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。
2、质点在三个恒力F 1、F 2、F 3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F 1，而保持F 2、F 3不变，则质点（ ）
A ．一定做匀变速运动 B ．一定做直线运动
C ．一定做非匀变速运动 D ．一定做曲线运动
【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F 1而保持F 2、F 3不变时，质点受到的合力大小为F 1，方向与F 1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F 1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F 1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F 1后，质点可能做直线运动（条件是F 1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F 1的方向和速度方向不在一条直线上）。
3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A. 合运动的速度一定比分运动的速度大
B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动
C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动
D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等
【解析】根据速度合成的平行四边形定则可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直线上。如果在一直线上，合运动是匀变速直线运动；反之，是匀变速曲线运动。根据运动的同时性，合运动的两个分运动是同时的。
4、质量m=0.2kg 的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x 和v y 随时间变化的图线如图所示，求：
(1) 物体所受的合力。
(2) 物体的初速度。
(3) 判断物体运动的性质。
(4) 4s 末物体的速度和位移。
【解析】根据分速度v x 和v y 随时间变化的图线可知，物体在x
轴上的分运动是匀加速直线运动，在y 轴上的分运动是匀速直线
运动。从两图线中求出物体的加速度与速度的分量，然后再合成。
(1) 由图象可知，物体在x 轴上分运动的加速度大小a x =1m/s2，在y 轴上分运动的加速度为0，
故物体的合加速度大小为a=1m/s2，方向沿x 轴的正方向。则物体所受的合力 F=ma=0.2×1N=0.2N，方向沿x 轴的正方向。
(2) 由图象知，可得两分运动的初速度大小为 vx 0=0，v y 0=4m/s，故物体的初速度
v 0=v x 20+v y 20=0+42m/s=4m/s，方向沿y 轴正方向。
(3)根据（1）和（2）可知，物体有y 正方向的初速度，有x 正方向的合力，则物体做匀变速
曲线运动。
(4) 4s末x 和y 方向的分速度是v x =at=4m/s，v y =4m/s，故物体的速度为 v=v x 2+v y 2=42+42=4/s ，方向与x 正向夹角θ，有tan θ= vy / vx =1。
x 和y 方向的分位移是 x=at2/2=8m，y=vy t =16m，则物体的位移为 s=x 2+y 2=8m ，方向与x 正向的夹角φ ，有tan φ=y/x=2。
5、已知某船在静水中的速率为v 1＝4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，
河宽为d ＝100m ，河水的流动速度为v 2＝3m/s，方向与河岸平行。试分析：
⑴ 欲使船以最短时间渡过河去，航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生
的位移是多大？
⑵ 欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？
【解析】 ⑴ 根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度
v ⊥最大时，渡河所用时间最短，设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v 1、v 2的矢量关系如图1所示。河水流速v 2平行于
河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v ⊥＝v 1sin α，则船渡2图1
d 河所用时间为 t ＝。 v 1sin α
显然，当sin α＝1即α＝90°时，v ⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终指向正对
岸，但船实际的航向斜向下游，如图2所示。
渡河的最短时间 t min ＝d 100＝s ＝25s 。 4v 122船的位移为 s ＝v t＝v 1+v 2⋅t min＝42+32×25m ＝125m 。 图2
船渡过河时已在正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为
x ＝v 2t min ＝v 2d 3×100＝m ＝75m 。 4v 1
⑵ 由于v 1＞v 2，故船的合速度与河岸垂直时，船的渡河距离最短。设此时船速v 1的方向（船
头的指向）斜向上游，且与河岸成θ角，如图6－34所示，则
v 3cos θ＝2＝，θ＝41°24′。 4v 1
22船的实际速度为 v 合＝v 1-v 2＝4－3 m/s＝7 m/s。 2图6－34
d 1001007故渡河时间 t ′＝ ＝ s ＝s ≈38s 。 7v 合7
6、如图所示为频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A 、B 、C 为三个同时由
同一点出发的小球。AA ′为A 球在光滑水平面上以速度v 运动的轨迹； BB ′为B 球以速度v 被水平抛出后的运动轨迹；CC ′为C 球自由下落
的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹可得出结论：
。
【解析】观察照片，B 、C 两球在任一曝光瞬间的位置总在同一水平线
上，说明平抛运动物体B 在竖直方向上的运动特点与自由落体运动相
同；而A 、B 两小球在任一曝光瞬间的位置总在同一竖直线上，说明平
抛运动物体B 在水平方向上的运动特点与匀速直线运动相同。所以，得
C ′ 到的结论是：做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方
向做自由落体运动。
7、在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L ＝1.25cm ，若小
球在平抛运动途中的几个位置如图中a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度为v 0＝ （用
L 、g 表示），其值是。（g 取9.8m/s2）
【解析】由水平方向上ab ＝bc ＝cd 可知，相邻两点的时间间隔相等，设为2T ，竖直方向相邻两点间距之差相等，Δy ＝L ，则由 Δx ＝aT ，得
T ＝ 。时间T 内，水平方向位移为x ＝2L ，所以 g v 0＝x ＝2Lg =2⨯0. 0125⨯9. 8m/s＝0.70m/s。 t
8、飞机在2km 的高空以360km/h的速度沿水平航线匀速飞行，飞机在地面上观察者的正上方空投
一包裹。（g 取10m/s2，不计空气阻力）
⑴ 试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。
⑵ 包裹落地处离地面观察者多远？离飞机的水平距离多大？
⑶ 求包裹着地时的速度大小和方向。
提示 不同的观察者所用的参照物不同，对同一物体的运动的描述一般是不同的。
【解析】 ⑴ 从飞机上投下去的包裹由于惯性，在水平方向上仍以360km/h的速度沿原来的方向飞
行，与飞机运动情况相同。在竖直方向上同时进行自由落体运动，所以飞机上的飞行员只是看到包
裹在飞机的正下方下落，包裹的轨迹是竖直直线；地面上的观察者是以地面为参照物的，他看见包
裹做平抛运动，包裹的轨迹为抛物线。
⑵ 抛体在空中的时间t ＝3602h 2⨯2000⨯20m =s ＝20s 。在水平方向的位移 x＝v 0t ＝3. 6g 10
＝2000m ，即包裹落地位置距观察者的水平距离为2000m 。
包裹在水平方向与飞机的运动情况完全相同，所以，落地时包裹与飞机的水平距离为零。
⑶ 包裹着地时，对地面速度可分解为水平方向和竖直方向的两个分速度，
vx ＝v 0＝100m/s，v y ＝gt ＝10×20m/s＝200m/s，
故包裹着地速度的大小为
v t ＝v x +v y =+200m/s＝1005 m/s≈224m/s。
而 tan θ＝2222v y
v x ＝200＝2，故着地速度与水平方向的夹角为θ＝arctan2。 100
9、如图，高h 的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a ，车厢顶部A 点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O 点位于A 点的正下方，则油滴的落地点必在O 点的 （填“左”或“右”）方，离O 点的距离为 。
【解析】因为油滴自车厢顶部A 点脱落后，由于惯性在水平方向具有与车厢相同的初速度，因此油滴做平抛运动，水平方向做匀速直线运动 x 1＝vt ， 1竖直方向做自由落体运动h ＝gt 2， 2
又因为车厢在水平方向做匀减速直线运动，所以车厢（O 点）
1的位移为 x 2＝vt －at 2。 2
如图所示 x ＝x 1－x 2= 1212h a at =a ⋅=h ， 22g g
a 所以油滴落地点必在O 点的右方，离O 点的距离为 h 。 g
10、如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A 、B 两个小球的运动时间之比为（ D ）
A.1:1 B.4:3 C.16:9 D.9：16
【解析】由平抛运动的位移规律可知：
x =v 0t y =12gt 2
t A tan 37︒9==t =2v tan θ/g t tan 53︒16 0∵tan θ=y /x ∴ ∴B
11、如图在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求（1）小球从A 运动到B 处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
【解析】（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A 运动到B 处所需的时间为t ，
水平位移为x=V0t
竖直位移为y=12gt 2
由数学关系得: 2V tan θ12 gt =(V 0t ) tan θ, t =0
2g
（2）从抛出开始计时，经过t 1时间小球离斜面的距离达到最大, 当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因V y1=gt1=V0tan θ, 所以t 1=V 0tan θ。 g
12、如图所示，两个小球固定在一根长为l 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动。当小球A 的速度为v A 时，小球B 的速度为v B ，则轴心O 到小球A 的距离是（ ）
A. v A (v A +v B ) l B. v A l (v +v B ) l (v +v B ) l C. A D. A v A +v B v A v B
v 有 r 【解析】设轴心O 到小球A 的距离为x ，因两小球固定在同一转动杆的两端，故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为x 、l －x 。根据ω= v A v v A l =B ，解得 x =， x l -x v A +v B
13、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A 、B 、C 三轮的半径关系为r A ＝r C ＝2r B ，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比v A ∶v B ∶v C ＝ ，角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ 。
【解析】A 、B 两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等。B 、C 两轮固定在同一轮轴上，同
轴转动，角速度相等。由v ＝rω可知，B 、C 两轮边缘上各点的线速
度大小不等，且C 轮边缘上各点的线速度是B 轮边缘上各点线速度
的两倍，故有 vA ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2。
A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v ＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即 ωA ∶ωB ＝r B ∶r A ＝1∶2。因此ωA ∶ωB ∶ωC =1∶2∶2
14、雨伞边缘半径为r ，且高出水平地面的距离为h ，如图所示，若雨伞以角速度ω匀速旋转，使雨滴自雨伞边缘水平飞出后在地面上形成一个大圆圈，则此圆圈的半径R 为多大？
【解析】作出雨滴飞出后的三维示意图，如图所示。雨滴飞出的速度大小 v ＝rω，在竖直方向上有1h ＝gt 2，在水平方向上有 s ＝vt ，又由几何关系可得 R ＝r 2+s 2， 2
r 联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径 R＝ g g 2+2g ω2h 。
15、关于向心加速度，以下说法中正确的是（ ）
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【解析】 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向就不始终指向圆心。
16、如图所示，A 、B 两轮同绕轴O 转动，A 和C 两轮用皮带传动，A 、B 、C 三轮的半径之比为2∶3∶3，a 、b 、c 为三轮边缘上的点。求：
⑴ 三点的线速度之比； ⑵ 三点转动的周期之比； ⑶ 三点的向心加速度之比。 【解析】⑴ 因A 、B 两轮同绕轴O 转动，所以有ωa ＝ωb
，
由公式v ＝ωr 可知 va ∶v b ＝(ωa ra ) ∶(ωb rb ) ＝r a ∶r b ＝2∶3。
因为A 和C 两轮用皮带传动，所以有 v a ＝v c ，
综上所述可知三轮上a 、b 、c 三点的线速度之比 v a ∶v b ∶v c ＝2∶3∶2。
2πr⑵ 因为ωa ＝ωb ，所以有T a ＝T b 。因为v a ＝v c ，根据T ＝可得 v
T a ∶T c ＝r a ∶r c ＝2∶3，
所以三点转动的周期之比 T a ∶T b ∶T c ＝2∶2∶3。
v 2⑶ 根据向心加速度公式a ＝可得三点的向心加速度之比 R
22v a v b v c 2494 aa ∶a b ∶a c ＝∶∶＝ ∶∶ ＝6∶9∶4。 r a r b r c 233
17、如图所示，将一质量为m 的摆球用长为L 的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
F A ．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B ．摆球受拉力和向心力的作用 C ．摆球受重力和拉力的作用 D ．摆球受重力和向心力的作用 【解析】物体只受重力G 和拉力F T 的作用，而向心力F 是重力和拉力的合力，如图所示。也可以认为向心力就
是F T 沿水平方向的分力F T2，显然，F T 沿竖直方向的分力F T1与重力G 平衡。
18、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）
A ．A 球的线速度必定大于B 球的线速度 B ．A 球的角速度必定小于B 球的线速度 C ．A 球的运动周期必定小于B 球的运动周期
D ．A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力 【解析】小球A 或B 的受力情况如图，两球的向心力都来源于重力G 和支持力F N 的合力，建立坐标系，有F N1＝F N sin θ＝mg ，F N2＝F N cos θ＝F ，
所以 F ＝mg cot θ，即小球做圆周运动所需的向心力，可见A 、B 两球的
向心力大小相等。
v 2比较两者线速度大小时，由F ＝m 可知，r 越大，v 一定较大。 r
比较两者角速度大小时，由F ＝mrω2可知，r 越大，ω一定较小。
2π比较两者的运动周期时，由F ＝mr () 2可知，r 越大，T 一定较大。 T
mg 由受力分析图可知，小球A 和B 受到的支持力F N 都等于。
19、一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50cm 。
⑴ 若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
⑵ 若在最高点水桶的速率v ＝3m/s，求水对桶底的压力。
【解析】 ⑴ 以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水
的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有
2v 0mg ＝m ，则所求的最小速率为 v 0＝gl ＝⨯0. 5m/s＝2.24m/s。 l
⑵ 在最高点，水所受重力mg 的方向竖直向下，此时水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定。
v 2由向心力公式F ＝m 可知，当v 增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v r
＝3m/s＞v 0＝2. 24m/s，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已不足以提供水做圆周运动所需的
v 2向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有 FN ＋mg ＝m ， r
3v 2N -0. 5⨯10N ＝4N 。 故 F N ＝m －mg =0. 5⨯r 0. 5
2